Đang tải... (xem toàn văn)
I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đƣờng cong:Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểmPhương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y01.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếptuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểmthuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y= f’(x).(x – x0) + y0 (d).Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (xA – x0) + y0 => x0
VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Lý thuyết: Bài toán tiếp tuyến với đƣờng cong: Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + y0 1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức tiếp tuyến nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm) Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) điểm M(x0; y0) ∈ (C) (hoặc h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0 2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể điểm thuộc đồ thị hàm số (tức tiếp tuyến qua A(xA, yA)) Cho hàm số (C): y = f(x) Giả sử tiếp điểm M(x0, y0), phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x).(x – x0) + y0 (d) Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0) (xA – x0) + y0 => x0 Từ lập phương trình tiếp tuyến d Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k Cho hàm số (C): y = f(x) Giả sử tiếp điểm M(x0;y0), phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x0).(x – x0) + y0 Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến d nghiệm phương trình: f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta y0 = f(x0) Ta lập phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0) (x – x0) + y0 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Phương trình đường thẳng qua điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng; d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) hệ phương trình sau có nghiệm: { ( ) ( ) ( ) ( ) Từ lập phương trình tiếp tuyến d II Bài tập Loại 1: Cho hàm số y =f(x) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0; y0) ∈ (C) Giải Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Với x0 hoành độ tiếp điểm; Với y0 = f(x0) tung độ tiếp điểm; Với k = y’(x0) = f’(x0) hệ số góc tiếp tuyến Để viết phương trình tiếp tuyến ta phải xác định x0; y0 k MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến M0(x0;y0) ∈ (C) -Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc Áp dụng (*) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Dạng 2: Cho trước hồnh độ tiếp điểm x0 -Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc - Thay x0 vào hàm số ta tìm tung độ tiếp điểm Áp dụng (*) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0 -Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! -Tính đạo hàm hàm số, thay x0 ta hệ số góc Áp dụng (*) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm Chú ý: Có giá trị x0 có nhiêu tiếp tuyến Dạng 4: Cho trước hệ số góc tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0) -Tính đạo hàm giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0 - Thay x0 vào hàm số ta tìm tung độ tiếp điểm cần tìm Chú ý: Có giá trị x0 có nhiêu tiếp tuyến Chú ý: Một số dạng khác -Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : y = ax + b điều ⇔ y’(x0) a = -1 ⇔ y’(x0) = … Quay dạng - Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b điều ⇔ y’(x0) = a… Quay dạng - Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm với đường thẳng y = ax + b việc tìm tọa độ giao điểm (C) đường thẳng… Quay dạng Chú ý: Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 hệ số góc đường thẳng d1 y = a2x + b2 với a2 hệ số góc đường thẳng d2 +Nếu d1 ⊥ d2 ⇔ a1.a2 = -1 +Nếu d1 // d2 ⇔ { -Nếu đường thẳng cho dạng Ax + By + C = (A2 + B2 ≠ 0) có hệ số góc -Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm M1(x1; y1) M2(x2; y2) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! VÍ DỤ MINH HỌA ( ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Ví dụ 1: Cho hàm số điểm có hồnh độ = Giải Gọi M0(x0;y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Đạo hàm y’(x0) = 2x03 – 6x0 Theo giả thiết x0 = => y(1) = k = y’(1) = -4 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến y = -4 (x – 1) = -4x + Ví dụ 2: Cho hàm số: ( ) ( ) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm (C) có hồnh độ x0, với f’’(x0) = Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Tính f’(x0) = -x02 + 4x0 - 3; f’’(x0) = -2x0 + Theo giả thiết f’’(x0) = ⇔ -2x0 + = ⇔x0 = -1 =>y0 (-1) = k=f’(x0) = f’(-1) = - (-1)2 + (-1) – = - Thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến cần tìm ( )⇔ Ví dụ 3: Cho hàm số tung độ (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Theo giả thiết: ⇔ ⇔[ ⇔ ⇔ Tính y’(x0) = Với x0 = => k = y’(2) = -12 y0 = ( ) Với x0 = -2 => k = y’(-2) = 12 y0 = ( thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: ) thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) có hệ số góc Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Đạo hàm ( ) ( ) Theo giả thiết: k=y’(x0) = ⇔( ) ⇔( ) ⇔ ⇔[ Với x0 = => y0 = -1 k = Thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến: y = 2(x – 0) – = 2x -1 Với x0 = -2 => y0 = k = Thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến: >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! y = 2(x + 2) + = 2x + Ví dụ 5: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*) Tiếp tuyến song song với ∆: y = 3x nên có hệ số góc k = f’(x0) = Do đó: ⇔ ⇔[ Với x0 = y0 = 03 – 02 + = Và f’(x0) = nên pttt là: y – = 3(x – 0) ⇔ y = 3x (loại trùng với ∆) Với x0 = y0 = 23 – 22 + = f’(x0) = nên phương trình tiếp tuyến là: y – = 3(x – 2) ⇔ y =3x – Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn đề là: y = 3x – Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 – 2x2, có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Giải Giao điểm đồ thị (C) với trục Ox ⇔[ √ Với x0 = y0 = k = suy phương trình tiếp tuyến y = Với x0 = √ y0 = -4 Với x0 = √ y0 = -4 Vậy có tiếp tuyến y = 0; √ suy phương trình tiếp tuyến √ suy phương trình tiếp tuyến √ √ √ √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x4 – x2 + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Giải Tiếp tuyến ∆ vng góc d: =>Phương trình tiếp tuyến ∆: y = -6x + b ∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ số có nghiệm: { Vậy ∆ vng góc d: ⇔{ => Phương trình ∆: y = -6x + b ∆ tiếp xúc (C) ⇔hệ sau có nghiệm: { ⇔{ Vậy ∆: y = -6x + 10 Hoặc: Hệ số góc tiếp tuyến y’ = -4x3 – 2x Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng ⇔( ) ⇔( )( ) ⇔ ( ) Vậy ∆: y = -6(x – 1) + = -16 + 10 Loại 2: Tiếp tuyến qua điểm Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 3x2 + (C) Tìm phương trình đường thẳng qua ( ) tiếp xúc với đồ thị (C) hàm số Giải Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 – 3x02 + Ta có: y’ = 6x2 – 6x =>y’(x0) = 6x02 – 6x0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Phương trình tiếp tuyến ∆ (C) M có dạng: y – y0 = y’(x0)(x – x0) ⇔ ( ⇔ ( ) ( )( ) ) ( A ∈ ∆⇔ ) ⇔ ⇔ Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn y = y = 12x – 15 Ví dụ 2: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1; - 9) Giải Tiếp tuyến qua M(-1;-9) có dạng ∆: y = k(x + 1) – Đường thẳng ∆ tiếp tuyến ( ⇔{ ) ( ⇔ )( ⇔* Khi đó: ⇔* ( ) ⇔ ( )⇔ )( ( ) )( ) ⇔[ ( ) Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay Loại 3: Một số dạng khác viết phƣơng trình tiếp tuyến VÍ DỤ MINH HỌA >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết khoảng Thí dụ 1: Cho hàm số cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Giải Giả sử ( ) ∈ ( ) mà tiếp tuyến với đồ thị có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp tuyến lớn Phương trình tiếp tuyến M có dạng: ⇔ ( ) Ta có ( ( Ta có ( ( )( ( ) ) √ ( ( Đặt √ ( ) ) ) ) Xét hàm số ( ) ( )( ) ) )√ f’(t)=0 t =1 Bảng biến thiên, từ bảng biến thiên ta có d(I; tt) lớn t = hay ⇔[ Với x0 = ta có y = -x >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x + Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến √ Giải Tiếp tuyến (C) điểm M(x0;f(x0)) ∈ (C) có phương trình y=f’(x0)(x – x0) + f(x0) ⇔ x + (x0 – 1)2y – 2x02 + 2x0 – = (*) Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) √ ⇔ √ ( ) √ ⇔[ Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1= x + y – = ( ) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ví dụ 3: Cho hàm số hoành A cho OA = Giải Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng: ( )( ⇔ ( ) ( )⇔ ( ) ⇔ ( ) ( ) với x0 ≠ Tiếp tuyến (*) cắt trục Ox điểm ( Ta có ) ⇔ ) (loại), Vậy tiếp tuyến cần tìm là: x + 2y +1 = x + 8y – = Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) cắt trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Giải Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với ( ) Phương trình tiếp tuyến M0 có dạng d: ( ) ( ) ( ) Tọa độ điểm A = d ∩ Ox nghiệm hệ { ( ) ( ) ⇔{ ( ) Tọa độ điểm B = d ∩ Oy nghiệm hệ: { ( ) ( ) ⇔{ ( ( ) ( ) ) Theo giả thiết ⇔ ⇔[ ⇔ ( ⇔ ) ( ) ⇔ [ Với ( Với ( Ví dụ 5: Cho hàm số ) ) ( ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Giải Cách 1: Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với ( ) ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Phương trình tiếp tuyến điểm M0 có dạng: ( ( ) ) Tọa độ điểm A = d∩ Ox nghiệm hệ { ( ) ( ) => ( ⇔{ ) Tọa độ diểm B = d ∩ Ox nghiệm hệ { ( ) ( ) ⇔{ ( => ( ( ) ) ) Theo giả thiết tam giác OAB vuông cân O nên OA = OB ⇔ ⇔( ( ) ⇔[ ) ⇔[ Với =>Phương trình tiếp tuyến y = -x (loại) Với =>Phương trình tiếp tuyến y = -x – Cách 2: Vì tam giác OAB vng cân O nên tiếp tuyến điểm M0(x0; y0) ∈ (C) phải song song với hai đường phân giác ⇔( ⇔[ ⇔( ) ) ⇔[ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 Với => Phương trình tiếp tuyến y = -x (loại) Với => Phương trình tiếp tuyến y = -x – Ví dụ 6: Cho hàm số Tìm điểm M (C) cho tiếp tuyến với (C) M ( ) tạo với trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm đường thẳng 4x + y = Giải Gọi ( ) ∈ ( ) điểm cần tìm Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình: ∆:y = f’(x0)(x – x0) + ( Gọi A = ∆ ∩ Ox => ( ) => ( ) ( ) ); B = ∆ ∩ Oy => ( ) ( Khi tam giác tạo với hai trục tọa độ ∆AOB có trọng tâm là: ( ) ( ) ) Do G ∈ đường thẳng: 4x + y = ⇔ ⇔ ( ( ) ) (vì A, B ≠ nên ⇔[ ⇔[ Với ( Với ( ) ) ) Bài tập vận dụng >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 Bài 1: Cho hàm số đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tiệm cận ngang A, B cho côsin góc ̂ √ , với I giao tiệm cận (C) Giải )∈( ) ( Gọi Phương trình tiếp tuyến M: ( Tọa độ ) Do os ̂ ( ) ( Vậy: Tại ( Tại ( ) √ ̂ ) ⇔ ⇔( Ta được: ) (∆) , tọa độ B(2x0 -2; 2) = (C) ∩ TCN nên t n ̂ √ ( ) phương trình tiếp tuyến: ) phương trình tiếp tuyến: Bài 2: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết rẳng khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Giải Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a ≠ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình: ( ) ( ) ⇔ ( ) Tâm đối xứng I(-2; 2) Ta có ( ) =>d(I,d)max ⇔ ( √ ( ) ) √ ( ) √ √ ⇔* >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 14 Từ suy r ó h i tiếp tuyến y x y x ( ) Viết phương tình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến với tiệm Bài 3: Cho hàm số cận tam giác vuông cân Giải Tiếp tuyến tạo với tiệm cận tam giác vuông I, để tam giác cân, tiếp tuyến phải vng góc với đường phân giác góc tạo tiệm cận Phương trình đường phân giác y = x + y = - x Khơng có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = -x có hệ số góc thỏa mãn: ( ) ⇔( ) ⇔* Với x = tiếp tuyến có phương trình: y = x Với x = -4 tiếp tuyến có phương trình y = x + Vậy: y = x y = x +8 tiếp tuyến thỏa mãn Bài 4: Cho hàm số y = x4 – 4x2 + (C) Gọi (C1) đồ thị đối xứng đồ thị qua điểm ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C1) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 16x + y – = Giải Giả sử M(x1, x2) ∈ (C1), N(x2; y2) ∈ (C2) điểm đối xứng nh u qu A t { =>M(1-x2; – y2) Vì M ∈ (C) nên t ó – y2 = (1 – y2)4 – (1- x2)2 + Vậy (C1) ó phương trình y T ó ó f’(x) f(x) -x4 + 4x3 – 2x2 – 4x + -4x3 + 12x2 – 4x – >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 15 Phương trình tiếp tuyến M0(x0; y0) ó dạng y f’(x0)(x – x0) + y0 Vì tiếp tuyến song song với d nên f’(x0) = - ⇔ - 4x3 + 12x2 – 4x – = - ⇔ x0 = Suy r phương trình tiếp tuyến cần tìm y -16x + 49 Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B thỏa mãn OB = 9OA Giải Gọi tọa độ điểm M(x0; f(x0)) tọa độ tiếp điểm Theo giả thiết OB = 9OA suy hệ sơ góc tiếp tuyến -9 [ ( ) ( ) ⇔[ ⇔[ ( ) ( ) Phương trình (2) vơ nghiệm Phương trình (1) suy x0 = -1, x0 = Với x0 = -1 suy phương trình tiếp tuyến y = 9x + Với x0 = suy phương trình tiếp tuyến y = 9x – 25 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 16