phòng giáo dục - đào tạo đề thi khảo sát học sinh giỏi huyện trực ninh Môn: Toán 8 * Năm học 2007 - 2008 -------------- (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2 điểm): Cho hai đa thức ( ) mxxxA += 268 2 ( ) 32 = xxB Với giá trị nào của m thì A ( ) x chia hết cho B ( ) x Bài 2 (4,5 điểm): Cho biểu thức: 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x A + + = a) Tìm điều kiện của x để giá trị của A đợc xác định? b) Rút gọn biểu thức A? c) Tìm x để A = - 1 Bài 3 (3,5 điểm): a) Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. b) Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện sau: 1 1 1 0 a b c + + = Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2 2 ab bc ca c a b + + Bài 4 (7 điểm): Cho hình thang ABCD có à à 0 90A D= = ; BC = AB + CD. Gọi O là trung điểm của AD , trên BC lấy điểm E sao cho BE = AB. a ) Chứng minh rằng các tam giác AED và BOC là các tam giác vuông b ) Chứng minh AD 2 = 4 AB . CD c ) Gọi I và H lần lợt là giao điểm của OC với DE , OB với AE . Tính diện tích tứ giác OIEH biết AB = 9cm ; CD = 4 cm Bài 5 (2 điểm): Cho a,b ,c, d là các số thực dơng thoả mãn a 2 + b 2 +c 2 = 1 Chứng minh rằng : 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 a b c b c c a a b abc + + + + + + + + Họ và tên thí sinh: Chữ ký của Giám thị 1: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 2: phòng giáo dục - đào tạo Hớng dẫn chấm khảo sát học sinh giỏi huyện trực ninh Môn: Toán 8 Năm học 2007 2008 -------------- (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (2 điểm): Cho hai đa thức ( ) mxxxA += 268 2 ( ) 32 = xxB Với giá trị nào của m thì A ( ) x chia hết cho B ( ) x + Phân tích ( ) mxxxA += 268 2 = (2x -3).(4x-7) + (21+m) + A ( ) x chia hết cho B ( ) x (21 + m) = 0 m= -21 Bài 2 (4,5 điểm): Cho biểu thức: 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x A + + = a) Tìm điều kiện của x để giá trị của A đợc xác định? Điều kiện xác định : x 2 ; x 3; x 0 b) Rút gọn biểu thức A? 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x A + + = 2 2 3 2 2 2 4 2 2 . 2 4 2 3 x x x x x x x x x x + = + ữ + 2 2 2 2 2 (2 ) 4 (2 ) (2 ) . 4 ( 3) x x x x x x x x + + = ữ 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 4 (2 ) (2 ) (2 2 )(2 2 ) 4 (2 ) . . 4 ( 3) 4 ( 3) x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + = = 2 2 2 2 2 .4 4 (2 ) 4 (2 ) (2 ) . . 4 ( 3) (2 ).(2 ) ( 3) x x x x x x x x x x x x x x x + + = = + 2 4 3 x x = c) Tìm x để A = - 1 2 2 4 1 4 3 3 x x x x = = + 4x 2 + x -3 = 0 (x+1)(4x- 3) = 0 x= -1; x= 3 4 Bài 3 (3,5 điểm): a) 1.5đ Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = 0 thì x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. + x + y + z = 0 suy ra z = - ( x+y) nên x 3 + y 3 + z 3 = x 3 + y 3 (x+y) 3 + = x 3 + y 3 x 3 -3xy(x+y) - y 3 + = -3xy(x+y) = 3xyz b)2đ Cho a, b, c là 3 số thoả mãn điều kiện sau: 1 1 1 0 a b c + + = 1 Tính giá trị của biểu thức: P = 2 2 2 ab bc ca c a b + + + P = 2 2 2 ab bc ca c a b + + = 3 3 3 abc abc abc c a b + + = 3 UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đề thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Khóa thi: Ngày 23/04/2016 Bài (4.0 điểm): a) Chứng minh rằng: Chữ số tận hai số tự nhiên n n5 b) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn: x2 + x – p = 0; với p số nguyên tố Bài (3.0 điểm): a) Cho ba số a, b, c khác thỏa mãn: a + b + c = Tính giá trị biểu thức: P= 1 + + 2 2 a +b −c b +c −a c + a2 − b2 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x − x + 3x − x + 2015 ; B= x − x + 2016 x2 Bài (3.0 điểm): Cho biểu thức: P = 1 1 + + + + x − x x − 3x + x − x + x − x + 12 x − x + 20 a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P c) Tính giá trị P x thỏa mãn: x3 – x2 + = Bài (4.0 điểm): a) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < Bài (4.0 điểm): Cho M điểm nằm hình vuông ABCD có cạnh a) Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 ≥ b) Xét điểm M nằm đường chéo AC, kẽ MN ⊥ AB N, gọi O trung điểm AM Chứng minh rằng: CN2 = 2.OB2 Bài (2.0 điểm): ˆ = ABC ˆ Đường Cho tam giác ABC có Aˆ > Bˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HAC ˆ cắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH phân giác góc BAH F Chứng minh rằng: CF | | AE Họ tên thí sinh:…………………………………………… SBD:………… HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KỲ THI HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 Bài Nội dung +) Với n = 0; n = 1, rõ ràng n n5 có chữ số tận giống +) Với n ≥ Ta xét hiệu: P = n − n = n n − = n ( n − 1) ( n + 1) n + ( ( ) ) ( ) = n ( n − 1) ( n + 1) n − + = 5n ( n − 1) ( n + 1) + ( n − ) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) a (2đ) (4đ) b (2đ) Ta có: Trong k số tự nhiên liên tiếp tồn số chia hết cho k Do đó: (n −1) n(n + 1) M2 ⇒ 5n( n −1)( n + 1)M5.2 = 10 ( n − ) ( n − 1) n ( n + 1) ( n + ) M2.5 = 10 Suy ra: P = n5 − n M10 ⇒ n5 − n có chữ số tận ⇒ Chữ số tận hai số n n5 (đpcm) Ta có: x2 + x – p = ⇔ p = x2 + x ⇔ p = x(x + 1) Với x ∈ Z , ta có x (x + 1) hai số nguyên liên tiếp ⇒ p = x( x + 1) M2 Mặt khác p số nguyên tố ⇒ p = ⇒ x(x + 1) = ⇔ (x – 1)(x + 2) = ⇔ x = 1, x = – Từ a + b + c = ⇒ a + b = −c ⇒ ( a + b ) = ( −c ) ⇒ a + b − c = −2ab a (1đ) ) ( 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ) 0,5đ 0,5đ = x ( x + ) − x ( x + ) + ( x + ) + 2013 )( Với x, ta có: ( x 0,75đ Tương tự: b + c − a = −2bc ; c + a − b = −2ca 1 c+a+b + + =− =0 Do đó: P = −2ab −2bc −2ca 2abc +) Ta có: A = x + x − x − x + x + + 2013 ( Điểm 0,25đ 0,5đ = x + x − x + + 2013 = x + ( x − 1) + 2013 (3đ ) b (2đ) a 2 ) ( ) + ( x − 1) ≥ ⇒ A = x + ( x − 1) + 2013 ≥ 2013 Đẳng thức A = 2013 xảy khi: x – = ⇔ x = Vậy giá trị nhỏ A là: minA = 2013 ⇔ x = 2016 x − x.2016 + 20162 +) Ta có: B = 2016 x 2 x − 2016 ) + 2015 x ( x − 2016 ) ( 2015 = = + 2 2016 x 2016 x 2016 Với x ≠ 0, ta có: 2 ( x − 2016 ) ≥ ⇒ B = ( x − 2016 ) + 2015 ≥ 2015 2016 x 2016 2016 2016 x 2015 Đẳng thức B = xảy khi: x – 2016 = ⇔ x = 2016 2016 2015 ⇔ x = 2016 Vậy giá trị nhỏ B là: B = 2016 2 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ a) Tìm điều kiện đúng: x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 2; x ≠ 3; x ≠ 4; x ≠ 0,5đ b) Rút gọn đúng: 1 1 (1,5đ) P= + + + + x( x − 1) ( x − 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 4) ( x − 4)( x − 5) 0,5đ (0,5đ) b (3đ   1   1   1   1  − ÷+  − − − − = ÷+  ÷+  ÷+  ÷  x −1 x   x − x −1  x − x −   x − x − 3  x − x −  1 = − = x − x x ( x − 5) c (1,0đ ) 2 c) Lập luận được: x − x + = ⇔ ( x + 1) ( x − x + ) = 0,5đ 0,5đ 0,5đ ⇔ ( x + 1) ( x − 1) + 1 = ⇔ x + = ⇔ x = −1 (thỏa ĐK)   5 = Tính giá trị: P = −1( −1 − ) 0,5đ Ta có: ( a − b ) ≥ ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab a c + a ≥ 2ca Tương tự: b + c ≥ 2bc; Do đó, suy ra: a + b + c ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca (1) ( ) tam giác nên ta có: (4đ) (2,0đ) Vì a, b, c độ dài ba cạnh < a < b + c ⇒ a < ab + ca ; < b < c + a ⇒ b < bc + ab < c < a + b ⇒ c < ca + bc Do đó, suy ra: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) (2) Từ (1) (2) ⇒ ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Ta có: 10 x + 50 y + 42 xy +14 x − y + 57 < b (2,0đ) ⇔( x + y ) +( x + ) +( y −3) −1 < 0,5đ 0,5đ 0,5đ ⇔( x + 42 xy + 49 y ) +( x +14 x + 49 ) +( y −6 y +9 ) −1 < 0,5đ 1,0đ ⇔( x + y ) + ( x + ) + ( y −3) 10 99 100 1 c) Cho S = − + − + + Tính ( S − P ) 2016 1 1 1 1 Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi Môn toán Lớp 6 Năm học 2008 - 2009 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (2 điểm) Tính nhanh: a/ (-47) + 74 - ( 53 - 26) b/ 2008.2009 4018 2010.2011 4020 + − Bài 2 (3 điểm) a/ Tìm số tự nhiên n biết rằng khi chia 147 và 193 cho n thì có số dư lần lượt là 17 và 11. b/ Khi cộng vào cả tử và mẫu của phân số 3 7 với cùng một số nguyên x thì được một phân số có giá trị bằng 1 3 . Tìm số nguyên x? c/ Cho a, b, c là các số nguyên dương. Chứng tỏ rằng P = a b c a b b c c a + + + + + không phải là một số nguyên. Bài 3 (2,5 điểm) Bài kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán của lớp 6A không có bạn nào bị điểm dưới trung bình. Số học sinh đạt điểm loại trung bình bằng 60% số học sinh cả lớp; số học sinh đạt điểm loại khá bằng 2 7 số học sinh cả lớp. Biết rằng, lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn và tất cả các bạn đều tham gia kiểm tra. Hỏi bài kiểm tra đó có bao nhiêu học sinh đạt điểm loại giỏi ? Bài 4 (2,5 điểm) Trên tia Ox lấy các điểm A và B sao cho OA = 2cm, AB = 6cm. a/ Tính khoảng cách giữa trung điểm I của đoạn thẳng OA và trung điểm K của đoạn thẳng AB. b/ M là một điểm nằm ngoài đường thẳng AB. Biết · OMB = 100 O và · · 2 3 OMA AMB= , tính số đo · AMB . ================Hết================ HNG DN CHM TON 6 Bài Nội dung Điểm 1 (2đ) a = - 47 + 74 - 53 + 26 0.25 = -(47 +53) +(74 + 26) 0.25 = -100 +100 = 0 0.25 b 2008.2009 + 4018 = 2008.2009 + 2.2009 0.25 = 2009.(2008+2) = 2009.2010 0.25 2010.2011-4020 = 2010.2011-2.2010 0.25 = 2010.(2011-2) = 2010.2009 0.25 2008.2009 4018 2010.2011 4020 + = 1 0.25 2 (3đ) a 147 chia cho n d 17; n N nên n > 17 và 147 -17 M n hay 130 M n 0.25 193 cho n d 11 nên 193 - 11 M n hay 182 M n n ƯC(130,182) 0.25 ƯC(130,182) = { } 1; 2; 13; 26 0.25 n > 17 nên n = 26. 0.25 b Từ đề bài suy ra 3 1 7 3 x x + = + 0.25 3(3+x) = 7+x 0.25 9 +3x = 7+x 3x - x = 7 - 9 0.25 2x = -2 x = -1 0.25 c Do a, b, c dơng nên a a b+ > a a b c+ + ; b b c+ > b a b c+ + ; c c a+ > c a b c+ + 0.25 P = a b c a b b c c a + + + + + > a b c a b c a b c a b c + + + + + + + + = 1 0.25 Do a, b, c có vai trò bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử a b c Ta có a, b, c dơng và a b c + a c + b c c a+ c c b+ b c b c c a + + + b c b c c b + + + = 1 0.25 Do a, b dơng nên a a b+ < 1 a b c a b b c c a + + + + + < 2 1< a b c a b b c c a + + + + + < 2 nên P không phải là số nguyên 0.25 3 (2,5đ) Số học sinh đạt điểm loại khá và trung bình bằng: 60% + 2 7 = 3 5 + 2 7 = 31 35 (Số học sinh cả lớp) 0.5 Số học sinh đạt điểm loại giỏi bằng: 0.5 1- 31 35 = 4 35 (Số học sinh cả lớp) Vì số học sinh đạt loại giỏi bằng 4 35 số học sinh cả lớp nên số học sinh cả lớp là bội của 35. 0.25 Ta có B(35) = { } 0; 35; 70; 105 . 0.25 Vì lớp 6A có khoảng từ 30 đến 40 bạn nên số học sinh lớp 6A là 35 bạn. 0.5 Số học sinh đạt điểm loại giỏi là: 4 35 . 35 = 4 (Bạn) Đáp số: 4 bạn. 0.5 4 (2,5đ) xK M I AO B 0.5 a Chứng tỏ đợc A nằm giữa O và B 0.25 Tính đợc IA = 1cm; AK = 3cm 0.25 Chứng tỏ đợc A nằm giữa I và K 0.25 Suy ra IK = 4 cm 0.25 b Chứng tỏ đợc tia MA nằm giữa hai tia MO và MB 0.25 ã ã ã OMA AMB OMB+ = 0.25 ã ã 2 100 3 o AMB AMB+ = 0.25 ã AMB = 60 O 0.25 Tổng 10.0 L u ý: - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình. - Bài làm không chặt chẽ, không đủ cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó. - Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm. ================Hết================ PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HOÀI NHƠN ***** ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho n = 7a5 + 8b4 Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b b) Tìm số tự nhiên x, y cho: 5x + 12y = 26 Bài 2: (4,0 điểm) a 1 − = b+3 1 22 ( + + + ).x= 45 1.2.3 2.3.4 8.9.10 a)Tìm số nguyên a, b biết rằng: b) Tìm x, biết : Bài 3: (4,0 điểm)