PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ Đề thi thức ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN NĂM HỌC 2015-2016 Thời gian làm 120 phút x −1 2 Bài 1: a) Tìm x biết + = 28 −  − ( − 1)  12 16 30 26 10 34 + + + + + + 1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67 −9 −17 −17 −9 Bài 2: a) Không quy đồng mẫu, so sánh A = 2015 + 2016 B = 2015 + 2016 10 10 10 10 a b 12 c b) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho = ; = ; = b c 21 d 11 Bài 3: a) Cho n = 3a9 + 7b5 Biết a – b = n chia hết cho Tìm a b b) Cho A = 10 2011 + 10 2012 + 10 2013 + + 10 2018 + 16 Chứng minh A chia hết cho 48 · · Bài 4: Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz cho xOy = 800 xOz = 1300 b) Tính A = · a) Tính số đo yOz · b) Gọi Ot tia đối tia Ox Tia Oz có phải tia phân giác tOy không ? Vì ? c) Lấy điểm: M thuộc tia Ot, N thuộc tia Oz, P thuộc tia Oy, Q thuộc tia Ox (các điểm khác điểm O) Qua điểm M, N, P, Q, O vẽ đường thẳng phân biệt Bài 5: Tìm tất số tự nhiên n, biết n + S ( n ) = 2016 , S(n) tổng chữ số n BÀI GIẢI x −1 x −1 x −1 x −1 Bài 1: a) Ta có + = 28 − [ 16 − 3] ⇔ = 28 − 13 − ⇔ = ⇔ = ⇔ x − = ⇔ x = 15 13 17   + + + + + + b) Ta có A =  ÷  1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67  1   66 132 1 1  =  − + − + + − ÷ = 1 − ÷ = = 50 67  67 67 1 3  67  −9  −8 −9  −8  −9  −9 Bài 2: a) Ta có A =  2015 + 2016 ÷+ 2016 B =  2015 + 2016 ÷+ 2015 10  10 10  10  10  10 8 −8 −8 Vì 2016 < 2015 ⇒ 2016 > 2015 Do A > B 10 10 10 10 a 3x b 12 4y c 6z = b) Ta có = ; = ; = với x, y, z ∈ N* Suy a = 3x; b = 5x = 4y; c = 7y = 6z c 21 7y b 5x d 11z  y M5 d = 11z Vì (5; 4) = (7; 6) = nên  ⇒ y ∈ BC(5; 6) mà b, c số nguyên dương nhỏ nên  y M6 4y 7y = 24 , z = = 35 Vậy a = 3x = 24 = 72; b = 5x = 24 = y = BCNN(5; 6) = 30 Từ ta có x = 120; c = 7y = 30 = 210; d = 11z = 11 35 = 385 Bài 3: a) Vì n chia hết tổng chữ số n (3 + a + + + b + 5) chia hết cho 9, hay ( + a + b ) M9 ⇒ ( a − b + a + b ) M9 ⇔ 2a M9 ⇒ a M9 (Vì không chia hết cho 9) Ta lại có ≤ a, b ≤ nên a ∈ {0; 9} Với a = b = -6 (loại) Với a = b = thỏa mãn toán b) Ta có 102011 = 10 4.10 2007 = 16.54.10 2007 chia hết cho 16, tương tự 102012 , …, 102018 chia hết cho 16, A chia hết cho 16 Mặt khác tổng chữ số A + + = 15 chia hết cho 3, mà (16; 3) = nên A chia hết cho 16 = 48 Bài 4: y z gP gN t g M O g Q x · · a) Vì tia Oy Oz thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa tia Ox xOz > xOy · · · · Do tia Oy nằm tia Ox tia Oz, suy xOy + yOz = xOz ⇒ yOz = 130 − 80 = 50 · = 180 b) Vì tia Ot tia đối tia Ox nên tia Oz nằm tia Ox, tia Ot xOt · ¶ (1) Mặt khác tia Oy, tia Oz · ¶ = xOt · ⇒ zOt ¶ = 180 − 130 = 50 ⇒ yOz Do xOz = zOt + zOt · · · thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xt mà xOy nên tia Oz nằm hai tia Oy Ot < xOz < xOt · (2) Từ (1) (2) suy tia Oz tia phân giác tOy c) Có tất điểm M, N, P, Q, O Giả sử điểm điểm thẳng hàng ta vẽ ( − 1) = 10 đường thẳng Nhưng có điểm M, O, Q thuộc tia Ox, Ot đối nên chúng thẳng hàng, qua điểm vẽ đường thẳng, đáng lẻ vẽ đường thẳng Vì số đường thẳng bị giảm – = (đường thẳng) Do ta vẽ tất 10 – = (đường thẳng) Bài 5: Nếu n số có chữ số n + S ( n ) < 2016 Nếu n số có chữ số n + S ( n ) > 2016 Do n số có chữ số Ta đặt n = abcd với ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤ , ≤ S ( n ) ≤ 36 Mặt khác 2016 chia hết n + S ( n ) phải chia hết cho Nếu n chia hết cho S(n) chia hết cho Do S ( n ) ∈ { 0;9;18;27;36} với n = 2016 − S ( n ) Lần lượt thay S(n) ta n = 2007; n = 1989 thỏa mãn toán Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh