Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Bài toán mở đầu: Xác định dạng của tam giác ABC biết: (p – a)sin 2 A + (p – b)sin 2 B = c.sinA.sinB (*), trong đó: 2 abc p   . HD: Lời giải bài toán này tương đối đơn giản. Ta dễ dàng tính được VT(*) – VP(*) =     2 2 0 8 ababc R   . Vậy VT(*) = VP(*) khi và chỉ khi a = b, tức là tam giác ABC cân tại C. Phân tích bài toán: Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau: cot,cot 22 AB parpbr Thay vào (*) ta được: 22 .cotsin.cotsin(cotcot)sin.sin 2222 ABAB rArBrAB  ( c = (p-a)+(p-b) ). 22 cotsincotsincotcotsin.sin 2222 ABAB ABAB          Vậy ta có bài toán 1: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 22 cotsincotsincotcotsin.sin 2222 ABAB ABAB          (1) Mặt khác ta có thể biến đổi (*) theo hướng khác: (*)  22 .cotsin.cotsin.sin.sin 22 AB rArBcAB  (**)  22 .cotsin.cotsin2.sin.sin.sin 22 AB rArBRABC   2 4 (2sin)cotsin(2sin)cotsinsin.sin.sin 22 ABR RAARBBABC r   2 AB4 .cot.2sin.os.cot.2sin.ossin.sin.sin 222222 AABBR acbcABC r   2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  Vậy ta có bài toán toán 2: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  (2) Mặt khác ta có: 2 2 4S 2sin¸cinBsinA.sinB= abc SbcA Dó đó (**) 2 22 2 2 22 2222 4 .cot.sin.cot.sin. 22 4 .cot.sin.cot.sin. 22 4 cot.sincot.sin.cot.sincot.sin() 222224 ABS prAprBpc abc ABS SASBp abc ABSABabcabc ABpABdoS abcRR     22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  Vậy ta có bài toán 3: Xác định dạng của tam giác ABC biết: 22 cotsincotsin 222 ABabc AB R   (3) 22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  (3*) Ta lại có: (3) 2sincotsin2sincotsin 22 AB RAARBBabc  22 .2os.2os(1osA)+b(1+cosB)=a+b+c 22 AB acbcabcac PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh osA+bcosB=c ac  Vậy ta có bài toán 4: Xác định dạng của ABC  biết: osA+bcosB=c ac (4) hoặc 22 osos 222 ABabc acbc   (4*) Mặt khác khi chứng minh bài toán mở đầu ta phát hiện ra một điều khá thú vị là: VT(*)  VP(*), tức là: 22 ()sin()sin.sin.sin paApbBcAB  Căn cứ vào đó và vào việc biến đổi tương đương (*) đến các đẳng thức (2),(3),(4),(4*) ta có các nhóm BĐT sau: Nhóm 1: 22 ()sin()sin2sin.sin.sin paApbBRABC  Hoàn toàn tương tự, ta có: 22 ()sin()sin2sin.sin.sin pbBpcCRABC  22 ()sin()sin2sin.sin.sin pcCpaARABC  Nhóm 2: 2 22 AB2 .os.ossin.sin.sin 22 R acbcABC r  Hoàn toàn tương tự ta có: 2 22 BC2 .os.ossin.sin.sin 22 R bcccABC r  2 22 CA2 .os.ossin.sin.sin 22 R ccacABC r  Nhóm 3: 22 cotsincotsinsinsinsin 22 AB ABABC  Hoàn toàn tương tự, ta có: 22 cotsincotsinsinsinsin 22 BC BCABC  22 cotsincotsinsinsinsin 22 CA CAABC  Nhóm 4: osA+bcosBc ac  . osB+ccosC bca  osC+acosA ccb  Từ các nhóm BĐT trên ta có các bài toán sau: Bài toán 5: Xác định dạng của ABC  biết: 222 ()sin()sin()sin3sin.sin.sin paApbBpcCRABC  Bài toán 6: Xác định dạng của ABC  biết: 2 222 ABC3 .os.os.ossin.sin.sin 222 R acbcccABC r  Bài toán 7: Xác định dạng của ABC  biết: a+b+c .osA+b.cosB+c.cosC= 2 ac ( ĐH Dược HN_1999 ) Bài toán 8 : Xác định dạng của ABC  biết: 222 3 cotsincotsincotsin(sinsinsin) 2222 ABC ABCABC  Ta có: 333 3sin.sin.sinsinsinsin ABCABC  ( BĐT Cauchy ) Vậy căn cứ vào đó và vào bài toán 6 ta có Bài toán 9: Xác định dạng của ABC  biết:   2 222333 ABC .os.os.ossinsinsin 222 R acbcccABC r  Qua đây tôi muốn nói với các bạn rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra nhiều bài toán hay từ những bài toán đơn giản. PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng Lí THUYếT CÔNG THứC LƯợNG GIáC CƠ BảN sin = cos , cos = sin 1 sin = + cot = sin + cot 1 cos = + tan = cos + t an k 1 ; tan = tan cot = 1; , k Z cot = tan cot sin + cos = ; BàI TậP : Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng Hai cung đối nhau: ; co s( ) = co s sin( ) = sin tan( ) = tan cot( ) = cot CÔNG THứC CUNG LIÊN KếT Hai cung bù (tổng = ): ; Hai cung hơnkém : ; ; co s( + ) = co s sin( ) = sin sin( + ) = sin tan( ) = tan tan( + ) = tan cot( ) = cot cot( + ) = cot ) : ; 2 sin ữ = co s cot ữ = tan Hai cung ph ( tng = co s ữ = sin tan ữ = cot co s( ) = co s : ; + 2 co s + ữ = sin ; sin + ữ = co s tan + ữ = cot ; cot + ữ = tan 2 Hai cung hn kộm ; + Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng CÔNG THứC CộNG 1/ cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b 2/ cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b 3/ sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b 4/ sin(a b) = sin a cos b co s a sin b H qu : Cụng thc nhõn ụi 1/ cos2a = cos a sin a = 2cos a = 2sin 2a 2/ sin 2a = 2sin a cos a 3/ tan 2a = tan a + tan b tan a tan b tan a tan b 6/ tan(a b) = + tan a tan b 5/ tan(a + b) = Bi 13 : Bi 14 : Bi 15 : tan a tan a Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Nguyễn Công Mậu LỜI NÓI ĐẦU: Kính thưa các đồng nghiệp cùng bạn đọc: Tôi viết chuyên đề giải PTLG này nhằm trao đổi cùng đồng nghiệp để tham khảo. Bên cạnh đó giúp cho các em học sinh đã học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ôn luyện vào các trường đại học theo nguyện vọng của mình. Nếu nói một chuyên đề PTLG thì phải giới thiệu tất cả các dạng phương trình và cách giải hoặc thuật toán của từng dạng.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu cách cho đề của các đề thi đại học từ những năm gần đây bản thân tôi rút ra được kinh nghiệm: +Số chuyên đề của một học sinh phải học quá nhiều, do vậy vấn đề về thời gian dành để ôn luyện cho mỗi chuyên đề phải được tính đến. +Dạy và ôn như thế nào để phù hợp với xu thế ra đề của Bộ Giáo dục. Do vậy tài liệu này tôi đã tích lũy từ nhiều năm, các bài tập được biên soạn chỉ ngang tầm với các đề thi đại học đã diễn ra hoặc mức độ chênh lệch nhau không đáng kể.Tài liệu này được viết theo các nội dung chính say đây: A.Ôn lý thuyết:Không trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu quá dài. B.Sơ đồ hệ thống cách giải các phương trình lượng giác trong các đề thi đại học. (Sau mỗi bài giải hoặc ví dụ,bạn hãy thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !) C.Ôn tập cách giải các phương trình thường gặp đã nâng cao.Trong phần này có ví dụ và có lời giải hoặc hướng dẫn cách giải.Cuối của mỗi mục có phần bài tập hoàn toàn tương tự , do vậy tôi không ghi cách giải. Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tôi đã biên soạn các ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy được ưu điểm của mỗi cách.Số bài tập tương tự mục này nhiều hơn so với những nội dung khác. D.Phần bài tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần này tôi biên soạn tương ứng với mức độ các đề thi đại học từ 2002-2009 . Các em học sinh có thể nghiên cứu đáp án các đề thi đại học từ 2002-2009 để giải nó (nếu không giải được).(Nếu các em là học sinh có yêu cầu bài giải phần này thì có thể liên hệ theo email: maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114. E.Nội dung các đề thi đại học các khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với các bài tập ở phần D. F.Nghiên cứu thêm những gợi ý về cách giải các phương trình lượng giác. Tôi hy vọng rằng, nếu đọc kỹ về cách giải PTLG cùng với sơ đồ hệ thống các em học sinh có thể tự học tốt về chuyên đề này. Chúc tất cả chúng ta thành công và cũng mong đồng nghiệp và các em học sinh thông cảm cho bản thân tôi trong quá trình biên soạn tài liệu này không sao tránh khỏi những sai sót. Chào thân ái! A. ÔN LÝ THUYẾT:  Ôn :giá trị lượng giác các góc đặc biêt, giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biêt. Các công thức cơ bản, công thức lượng giác…  Ôn : Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải. OÂN LUYỆN PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Chuyên đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC-Theo hướng ra đề thi của BỘ GIÁO DỤC DẠY ÔN LỚP 11 và LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2 Nguyễn Công Mậu B. SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.  (ẩn phụ) C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP. VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP. I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:  Phương trình dạng : a.f 2 (x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác. Và a, b, c là các hệ số a  0.  Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì 1t  ) + Giải phương trình at 2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện. + Giải phương trình f(x) = t. Ví dụ 1) Giải phương trình : 2 2cos4 6 s 1 3cos2 0 cos x co x x x     (1) Ví dụ 2) Giải phương trình : 1 cos1 sin2)1cos2(cos1    x xxx (2) Ví dụ 3) Giải phương trình : 2 3 2 3(1 ).cotcosx cosx x    (3) Ví dụ 4) Giải phương trình : 6 6 2 sin 2 1x cos x cos x   (4) Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng   0;  của phương trình : PTLG cho trước PT còn một cung Còn 1 HSLG PTĐẠI SỐ Còn 2 hàm sin và côsin PTLG cơ bản PTLG THƯỜNG GẶP PT còn hai cung Áp dụng: (asinu + bcosu) PTcơ bản CÁC BÀI TOÁN VỀ LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH-CĐ 2002-2009 A_2009 (1 2sin )cos 3 (1 2sin )(1 sin ) x x x x − = + − B_2009 3 sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin )x x x x x x+ + = + D_2009 3 cos5 2sin 3 cos2 sin 0x x x x− − = CĐ_2008 sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− = A_2008 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x π   + = −  ÷ π     −  ÷   B_2008 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = − D_2008 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cosx x x x+ + = + A_2007 2 2 (1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2x x x x x+ + + = + B_2007 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = D_2007 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   A_2006 6 6 2(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − B_2006 cot sin 1 tan tan 4 2 x x x x   + + =  ÷   D_2006 cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = A_2005 2 2 cos 3 cos2 cos 0x x x− = B_2005 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x + + + + = D_2005 4 4 3 cos sin cos sin 3 0 4 4 2 x x x x     + + − − − =  ÷  ÷     π π A_2004 Tính ba góc của ABCV không tù, thoả mãn điều kiện cos 2 2 2 cos 2 2 cos 3A B C+ + = . B_2004 2 5sin 2 3(1 sin ) tanx x x− = − D_2004 (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x− + = − A_2003 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x − = + − + B_2003 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x − + = D_2003 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   A_2002 Tìm nghiệm (0;2 )x ∈ π của phương trình: cos3 sin3 5 sin cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x +   + = +  ÷ +   . B_2002 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − D_2002 Tìm [ ] 0;14x ∈ nghiệm đúng phương trình cos3 4cos 2 3cos 4 0x x x − + − = . ĐỀ DỰ BỊ 1_A_2008 2 tan cot 4cos 2x x x= + 2_A_2008 2 sin 2 sin 4 4 2 x x π π     − = − +  ÷  ÷     1_B_2008 1 2sin sin 2 3 6 2 x x π π     + − − =  ÷  ÷     2_B_2008 2 3sin cos2 sin 2 4sin cos 2 x x x x x+ + = 1_D_2008 4 4 4(sin cos ) cos4 sin 2 0x x x x+ + + = 1_A_2007 1 1 sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2 x x x x x + − − = 2_A_2007 cos sin cos (sin cos )x x x x x+ + = + 2 2 2 3 1 3 3 1_B_2007 5 3 sin cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x xπ π     − − − =  ÷  ÷     2_B_2007 sin 2 cos2 tan cot cos sin x x x x x x + = − 1_D_2007 2 2 sin cos 1 12 x x π   − =  ÷   2_D_2007 (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x− + = + 1_A_2006 3 3 2 3 2 cos3 cos sin 3 sin 8 x x x x + − = 2_A_2006 2sin 2 4sin 1 0 6 x x π   − + + =  ÷   1_B_2006 2 2 2 (2sin 1)tan 2 3(2cos 1) 0x x x− + − = 2_B_2006 ( ) ( ) cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x+ + − = 1_D_2006 3 3 2 cos sin 2sin 1x x x+ + = 2_D_2006 3 2 4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + = 1_A_2005 Tìm nghiệm trên khoảng (0; )π của phương trình: 2 2 3 4sin 3 cos 2 1 2cos 2 4 x x x   − = + −  ÷   π . 2_A_2005 3 2 2 cos 3cos sin 0 4 x x x   − − − =  ÷   π 1_B_2005 2 2 3 sin cos 2 cos (tan 1) 2sin 0x x x x x+ − + = 2_B_2005 2 2 cos 2 1 tan 3tan 2 cos x x x x −   + − =  ÷   π 1_D_2005 3 sin tan 2 2 1 cos x x x   − + =  ÷ +   π 2_D_2005 sin 2 cos 2 3sin cos 2 0x x x x + + − − = 1_A _2004 3 3 4(sin cos ) cos 3sinx x x x+ = + 2_A _2004 1 sin 1 cos 1x x− + − = 1_B _2004 1 1 2 2 cos 4 sin cos x x x   + + =  ÷   π 2_B _2004 Câu 2.1 sin 4 sin 7 cos3 cos6x x x x= 2_B _2004 Câu 5 Cho ABCV thoả mãn 2 sin 2sin sin tan A A B C= và µ 90A ≤ ° . Tìm GTNN của biểu thức 2 1 sin sin A S B − = . 1_D _2004 2sin cos 2 sin 2 cos sin 4 cosx x x x x x+ = 2_D _2004 ( ) sin sin 2 3 cos cos 2x x x x+ = + 1_A _2003_Câu 2.1 ( ) 2 cos2 cos 2 tan 1 2x x x+ − = 1_A _2003_Câu 5 Tính các góc của ABCV biết rằng 4 ( ) 2 3 3 sin sin sin 2 2 2 8 p p a bc A B C − ≤    − =   . Trong đó , , , 2 a b c BC a CA b AB c p + + = = = = . 2_A _2003_Câu 2.1 ( ) 3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x− + + = 2_A _2003_Câu 5 Tìn GTLN và GTNN của hs 5 sin 3 cosy x x= + 1_B _2003 6 2 3cos4 8cos 2cos 3 0x x x− + + = 2_B _2003 ( ) 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x   − − −  ÷   = − π 1_D _2003_Câu 2.1 ( ) ( ) 2 cos cos 1 2 1 sin sin cos Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 1 - MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững 2 A – Phương trình lượng giác cơ bản 5 Bài tập áp dụng 5 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8 Bài tập rèn luyện 29 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 32 Bài tập áp dụng 33 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35 Bài tập rèn luyện 56 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59 Bài tập áp dụng 59 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62 Bài tập rèn luyện 81 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84 Bài tập áp dụng 85 Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87 Bài tập rèn luyện 92 E – Phương trình lượng giác đối xứng 93 Bài tập áp dụng 94 Bài tập rèn luyện 96 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 97 Bài tập áp dụng 97 Bài tập rèn luyện 99 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101 Bài tập áp dụng 102 Bài tập rèn luyện 104 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 106 Bài tập áp dụng 106 Bài tập rèn luyện 112 I – Hệ phương trình lượng giác 116 Bài tập áp dụng 117 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 121 Bài tập áp dụng 122 Bài tập rèn luyện 125 Ths. Lê Văn Đoàn www.MATHVN.com Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) - 2 - www.DeThiThuDaiHoc.com CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG     Công thức cơ bản ● 2 2 sin x cos x 1 + = ● tan x.cotx 1 = ● sin x tan x cos x = ● cos x cotx sin x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + =    Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba ● sin2x 2 sin x.cos x = ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2 cos x 1 1 2 sin x  −  =  − = −   ● os 2 1 c 2x sin x 2 − = ● os os 2 1 c 2x c x 2 + = ● 3 sin 3x 3 sin x 4 sin x = − ● 3 cos 3x 4 cos x 3 cos x = −    Công thức cộng cung ● ( ) sin a b sin a.cos b cos a.sin b ± = ± ● ( ) os c a b cos a.cos b sin a.sin b ± = ∓ ● ( ) tan a tan b tan a b 1 tan a.tan b + + = − ● ( ) tan a tan b tan a b 1 tan a.tan b − − = + ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   +    + =      −   ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   −    − =      +      Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cosa cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = ● a b a b cosa cos b 2 sin .sin 2 2 + − − = − ● a b a b sin a sin b 2 sin .cos 2 2 + − + = ● a b a b sin a sin b 2 cos .sin 2 2 + − − = ● ( ) sin a b tan a tan b cos a.cos b + + = ● ( ) sin a b tan a tan b cos a.cos b − − =    Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( ) cos a b cos a b cos a.cos b 2 + + − = ● ( ) ( ) sin a b sin a b sin a.cos b 2 + + − = ● ( ) ( ) cos a b cos a b sin a.sin b 2 − − + =    Một số công thức thông dụng khác ● π π sinx cosx 2 sin x 2 cos x 4 4           + = + = −               ● π π sinx cosx 2 sin x 2 cos x 4 4           − = − = +               ● 4 4 2 1 cos4x cos x sin x 1 s 3 1 in 2x 2 4 + + = − = ● 6 6 2 3 cos4x cos x sin x 1 s 5 3 in 2x 4 8 + + = − = Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn “Cần cù bù thông minh…………” www.DeThiThuDaiHoc.com - 3 -    Một số lưu ý :  Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x cos x  = α   = α   là: 1 1 − ≤ α ≤ .  Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.  Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k 2 π ≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ .  Phương trình chứa cot x , điều kiện: ( ) sin x 0 x GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Toán 11 I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n, kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +  ÷   trên đoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 1 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos 2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 Trường THPT Lăk WWW.ToanCapBa.Net 2 GV:Lương Thanh Phượng WWW.ToanCapBa.Net Bài tập Tốn 11 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt ...Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng Hai cung đối nhau: ; co s( ) = co... tan + ữ = cot ; cot + ữ = tan 2 Hai cung hn kộm ; + Công Thức Lợng Giác 2011 - Vấn đề : Bài tập công thức cộng CÔNG THứC CộNG 1/ cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b 2/ cos(a