GIO N BI DNG HSG TON PHN I S CH 1: CC BI TON THC HIN PHẫP TNH TRấN Q V R Dng 1: TNH V RT GN BIU THC: Bi 1: Thực phép tính: a) A = ( b) B HD : A = 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 46.92 510.73 255.492 125.7 59.143 ;B= 28 3 0,375 0,3 1,5 0,75 1890 11 12 : Bi 2: a) Tính A 115 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 11 12 1 1 1 b) Cho B 2004 2005 3 3 3 Chứng minh B 5 13 10 230 46 27 25 Bi 3: a) Tớnh : 10 1 : 12 14 10 1 1 2012 b) Tính P 2011 2010 2009 2011 HD: Nhn thy 2011 + = 2010+2 = 2012 2010 MS 2011 2011 2012 2012 1 1 2012 2011 = 2012( ) 2011 2012 1 1 (1 99 100) (63.1,2 21.3,6) c) A 99 100 Bi 4: a) Tính giá trị biểu thức: 11 31 15 19 14 31 A 1 93 50 12 1 1 b) Chứng tỏ rằng: B 2 2004 2004 Bi 5: a) Tính giá trị biểu thức: 81,624 : 4,505 125 A 11 13 : 0,88 3,53 (2,75) : 25 25 b) Chứng minh tổng: 1 1 1 S n n 2002 2004 0,2 2 2 2 Bi 6: Rỳt gn: 16 120.6 5.4 4.3 46.95 69.120 520 279 3.915 259 45.94 2.69 ; ; ; D= ; C B E A 10 8 5.29.619 7.229.276 84.312 611 20 329.1256 39 1519 6.312 611 15 20 10 ễN LI DY S HC LP ( HS t lm GV gii ỏp bui) DNG 2: DY S T NHIấN VIT THEO QUY LUT Bi : Tớnh tng: + + 10 + 12 14 16 + 18 + 20 22 24 - 2008 Bi 2: Cho A 99 100 a) Tớnh A b) A cú chia ht cho 2, cho 3, cho khụng ? c) A cú bao nhiờu c t nhiờn Bao nhiờu c nguyờn ? Bi 3: Cho A 13 19 25 31 a) Bit A = 181 Hi A cú bao nhiờu s hng ? b) Bit A cú n s hng Tớnh giỏ tr ca A theo n ? Bi 4: Cho A 13 19 25 31 a) Bit A cú 40 s hng Tớnh giỏ tr ca A b) Tỡm s hng th 2004 ca A Bi 5: Tỡm giỏ tr ca x dóy tớnh sau: ( x 2) ( x 7) ( x 12) ( x 42) ( x 47) 655 Bi 6: a) Tỡm x bit : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010 b) Tớnh M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009 2010 Bi 7: Tớnh tng: S 9.11 99.101 999.1001 9999.10001 99999.100001 Bi 8: Cho A 32 33 3100 Tỡm s t nhiờn n bit rng 2A + = 3n Bi 9: Cho A 32 33 32004 a) Tớnh tng A b) Chng minh rng A 130 c) A cú phi l s chớnh phng khụng ? Vỡ ? Bi 10: a) Cho A 32 33 32003 32004 Chng minh rng: 4A -1 l lu tha ca b) Chng minh rng A l mt lu tha ca vi A Bi 11: a) Cho A 2 23 60 Chng minh rng A chia ht cho 3, v 15 b) Chng minh rng tng + 22 + 23 + + 22003 + 22004 chia ht cho 42 Bi 12: Cho A = + 22 + 23 + +299 + 2100 Chng t A chia ht cho 31 Bi 13: Cho S = + 52 + 53 + + 596 a, Chng minh: S 126 b, Tỡm ch s tn cựng ca S 2003 2004 Bi 14: Cho A 1.2.3 29.30 B 31.32.33 59.60 a) Chng minh: B chia ht cho 30 b) Chng minh: B - A chia ht cho 61 Bi 15: Cho A 2 23 2001 2002 v B 2003 So sỏnh A v B Bi 16: Cho M = 32 33 399 3100 a M cú chia ht cho 4, cho 12 khụng ? vỡ sao? b.Tỡm s t nhiờn n bit rng 2M+3 = 3n Bi 17: Cho biu thc: M = +3 + 32+ 33 ++ 3118+ 3119 a) Thu gn biu thc M b) Biu thc M cú chia ht cho 5, cho 13 khụng? Vỡ sao? DNG 3:DY CC PHN S VIT THEO QUY LUT 1 2003 Bi 18: Tỡm s t nhiờn n bit: 10 n(n 1) 2004 Bi 19: 2 2 a) Tớnh: 1.3 3.5 5.7 99.101 3 3 b) Cho S n N * Chng minh: S 1.4 4.7 7.10 n(n 3) 2 2 Bi 20: So sỏnh: A 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 v B 40.44 44.48 76.80 2003 Bi 21: 1 1 1 a) Tớnh A 10 40 88 154 238 340 1 1 b) Tớnh: M 10 15 2004.2005 1 c) Tớnh tng: S 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 1 Bi 22: So sỏnh: A 100 v B = 2 2 Bi 23: So sỏnh: 5 5 2 2 B A v 40.44 44.48 76.80 2006 60.63 63.66 117.120 2006 Bi 24 Tớnh 2 2 a A = 15 35 63 99 143 3 3 b B = 3+ 2 100 Bi 25: Tớnh giỏ tr cỏc biu thc: 1 1 1 1 97 99 100 a) A = b) B = 1 1 99 98 97 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 99 1 1 Bi 26: Tớnh A 1.2.3 2.3.4 3.4.5 97.98.99 Bi 27: 1 1 Bi 28: Tỡm tớch ca 98 s u tiờn ca dóy : ;1 ;1 ;1 ;1 ; 15 24 35 1 1 Bi 29: Tớnh tng 100 s hng u tiờn ca dóy sau : ; ; ; ; 66 176 336 A Bi 30: Tớnh bit: B 1 1 1 1 1 A= ; B= 1.2 3.4 5.6 17.18 19.20 11 12 13 19 20 1 1 Bi 31: Tỡm x, bit: x 10.110 1.11 2.12 100.110 1.101 2.102 Bi 32: Tớnh : a) S a a2 a3 a n , vi ( a 2, n N ) b) S1 a a a6 a 2n , vi ( a 2, n N ) c) S2 a a3 a5 a 2n1 , vi ( a 2, n N * ) Bi 33: Cho A 42 43 499 , B 4100 Chng minh rng: A B Bi 34: Tớnh giỏ tr ca biu thc: a) A 99 999 999 b) B 99 999 999 50 chữ số 200 chữ số DNG 4: CC BI TON V S THP PHN- S THC- CN BC HAI (Dy sau hc xong chng I trờn lp) Bi 1: Vit cỏc s thp phõn sau di dng phõn s ti gin 0,(1); 0,(01); 0,(001); 1,(28); 0,(12); 1,3(4); 0,00(24); 1,2(31); 3,21(13) Bi 2: Tớnh: a) 10,(3)+0,(4)-8,(6) b) 12, (1) 2,3(6) : 4, (21) c) 0, (3) 0,4(2) Bi 3: Tớnh tng cỏc ch s chu k biu din s 116 di dng s thp phõn vụ hn tun hon 99 Bi 4: Tớnh tng ca t v mu ca phõn s ti gin biu din s thp phõn 0,(12) Bi 5: Tớnh giỏ tr ca biu thc sau v lm trũn kt qu n hng n v (4,6 : 6,25).4 4.0,125 2,31 0,5 0, (3) 0,1(6) Bi 6: Rỳt gn biu thc M 2,5 1, (6) 0,8(3) Bi 7: Chng minh rng: 0,(27)+0,(72)=1 Bi 8: Tỡm x bit 0, (3) 0, (384615) x 0,1(6) 0, (3) 13 50 a) b) x 0, (2) 0,0(3) 85 0, (3) 1,1(6) a) A (11,81 8,19).2,25 6,75 b) B c) 0, (37) 0, (62)x 10 Bi 9: Cho phõn s A d) 0,(12):1,(6)=x:0,(4) e) x : 0,(3) = 0,(12) m 3m 2m ; (m N ) m(m 1)(m 2) a) Chng minh rng A l phõn s ti gin b) Phõn s A cú biu din thp phõn l hu hn hay vụ hn tun hon? vỡ sao? Bi 10: So sỏnh cỏc s sau :5 v b) 25 16 c) CMR: vi a, b dng thỡ a b a b Bi 11: Tỡm x bit a) 0,5 100 25 v a) x l cn bc hai ca cỏc s: 16; 25; 0,81; a2 ; b) x x Bi 12: Tỡm x bit c) a) x x b) x Bi 13: Cho A x 12 x 12 25 c) x x 16 x 16 25 CMR vi x v x thỡ A cú giỏ tr l mt s nguyờn(chuyn sang ch 9 x tỡm gớ tr nguyờn) Bi 14: Tỡm cỏc s nguyờn x cỏc biu thc sau cú giỏ tr l mt s nguyờn a) A b) B c) C= (chuyn sang ch tỡm gớ tr nguyờn) x x x x Tỡm s nguyờn x A cú giỏ tr l s nguyờn (chuyn sang ch tỡm gớ tr nguyờn) x Bi 16: thc hin phộp tớnh 2 2 : 2,4 5,25 : : : : 22 : 2 81 Bi 17: Tớnh giỏ tr biu thc sau theo cỏch hp lý 1 1 49 49 7 A 64 343 Bi 15: Cho A 5 25 Bi 18: Tớnh bng cỏch hp lý M 204 374 196 21 Bi 19: Tỡm cỏc s x, y, z tho ng thc Bi 20: Thc hin phộp tớnh x y x yz 49 1704 : 12 : M 18 : 225 3 445 BI TP V NH: Lm cỏc bi Toỏn tớnh giỏ tr biu thc v dóy s 30 CH 2: BI TON V TNH CHT CA DY T S BNG NHAU: Kin thc dng : a c - a.d b.c b d a c e a c e abe -Nu thỡ vi gt cỏc t s du cú ngha b d f b d f bd f a c e - Cú = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk b d f Bi dng Dng 1: Tỡm cỏc s bit tng (hoc tớch) v t s ca chỳng VD1: Tỡm x,y,z bit: a) x y z v x y z 18 ; b) x y z v x y z 15 Gii: a) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x 2.2 x y z x y z 18 y 2.3 23 z 2.4 Cỏch 2: t t s bng k rỳt x,y,z theo k x 2k x y z k y 3k (1) z 4k x y z 2k 3k 4k 9k 9k 18 k Theo (1) ta cú: x = 4; y = 6; z = Cỏch 3: Rỳt x, y theo z x z x y z y z x y z z z z z 18 4 z 8; x 4; y x 3.2 x y z x y z 15 y 3.3 b) 23 z 3.4 12 VD2: Tỡm x, y,z bit: a) x y z x y z v x y z 93 ; b) v x y 3z 34 5 Gii: p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x 3.3 x y z y z x y z 93 y 3.4 12 a) 20 20 31 z 3.5 15 x 2.3 x y z x 3z x y 3z 34 y 2.4 b) 15 15 17 z 2.5 10 VD3: Tỡm x, y,z bit: 2x 3y 4z v x+2y+4z=220 ; = = Gii: a) T 2x y 4z x y z 18 16 15 p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x 2.18 36 x y z x y z 220 y 2.16 32 18 16 15 18 32 60 110 z 2.15 30 VD 4: Tỡm x, y bit: a) 5x y v x y 51 ; b) a.x b y(a 0, b 0, b a) v x y b a Gii: a) T x y x y p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x 21 x y x y 51 7 10 17 y 15 b) T a.x b y x y b a p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x b x y x y ba b a ba ba y a VD5: Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC bit 2A=B; 3B=C Gii: 2A=B; 3B=C 2A=B T: C A B C A B C 1800 200 9 A 200 ; B 400 ;C 1200 Tng quỏt : x y z = = v mx+ny+pz=d a b c Vi a, b, c, dl cỏc s cho trc v m,n,p Tỡm x,y,z bit (*) Phng phỏp gii l: ta ch cn ỏp dng tớnh cht dóy t s bng to t s l hng s C th: T x y z mx ny pz mx ny pz d = = = = = a b c ma nb pc ma nb pc ma nb pc VD6: Tỡm x,y,z bit: a) x y v xy 24 ; b) x y z v xyz 24 Gii: a) Cỏch 1: 2 x y x y x y xy 24 3 6 x x Vi x = y = Vi x = - y = - Cỏch 2: t x y k x 2k ; y 3k Thay x 2k ; y 3k vo xy 24 ta c: 2k.3k 6k 24 k k -Vi k x 4; y -Vi k x 4; y b) t x y z k x 2k ; y 3k ; z 4k Thay x 2k ; y 3k ; z 4k vo xyz 24 ta c: x 2k 3k 4k 24k 24 k k y z 3 VD7: Tỡm x, y,z bit: a) x y z 2 v x y z 141 b) x y z v x y 3z 77 Gii: x y z (1) a) T x2 y z 16 25 p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x y z 2 y z x y z 141 x x 16 25 32 100 32 100 141 x x kt hp vi (1) y hoc y z z b) T x y z x2 y2 z (1) 16 25 p dng tớnh cht dóy t s bng ta c: x y z 2 x 3z 2 x y 3z 77 x x 16 25 18 75 18 16 75 77 x x kt hp vi (1) y hoc y z z Tng quỏt : x y z v mx k ny k pz k d a b c Vi a, b, c, d , m, n, p, d , k l cỏc s khỏc k N * Tỡm x,y,z bit Phng phỏp gii nh sau: T x y z mx k ny k pz k a b c ma k nb k pc k p dng tớnh cht dóy t s bng cho dóy t s mx k ny k pz k ta c: ma k nb k pc k mx k ny k pz k mx k ny k pz k d k k k k k k k ma nb pc ma nb pc ma nb k pc k Bi cú hng dn (Dng 1) Bi : Tỡm x,y z Bit a/ x y z v 2x - y + 3z = 45 15 b/ x y y z ; & .=> x=9;y=45 ;z=24 x + y - z = - 35 HD: quy v t s ca y ta nhn thy BCNN(9;5)=45 nờn x y x y v 20 45 y z y z x y z Do ú ta c : =>x =100;y=225;z= 360 45 72 20 45 72 c/ 5x = 6y ; 5y = 6z v x + 2y z = 42 x y y z HD: T 5x = 6y v 5y = z => v 6 x y z Tng t cõu b : BCNN(5;6) =30 => => x = 72, y=60, z=50 36 30 25 d/ 3x = 5y = 10z v x 2y =Z = 15 HD : lp c cỏc t s ta chia mi t s cho BCNN(3,5,10)=30 ri rỳt gn: 3x y 10 z x y z 3x = 5y = 10z = => x = 150,y = 90 z = 45 30 30 30 10 3 e/ x y z v x + y + z = 98 HD: Tng t cõu d ta chia mi t s cho BCNN(2,3,4)=12 ri rỳt gn : 2x 3y 4z x y z => x =35 ; y =32 ; z = 30 3.12 4.12 5.12 18 16 15 x y y z => x = 60 ; y = 30 v z = 75 ; & x y z 330 10 x y z Bi : Tỡm x,y,z Bit v x.y.z = 576 HD : f/ 3 x y z x y z x y.z 576 Ta cú : k => k = 72 72 x y z => x 6; y 8; z 12 x y Bi : Tỡm x ,y Bit & x y 144 x y x2 y2 HD: Ta cú : 32 4 Nhõn mi t s vi x ta c x4 x y 144 x 81 x & y 16 16 x y 2 z 14 Bi a/ Tỡm x,y,z Bit v x + z = y x y 2 z 14 x 2 y HD: Ta cú : 10 x z 14 (2 y 4) 20 = .=> x = 11 ; y = 22 ; z = 11 10 5 b/ v x + y + z = 18 x y z 3 45 12 HD: Ta cú x y z x y z 18 => x = ;y = ;z = Bi : Tỡm x,y Bit : x3 y3 x3 y3 a/ v x y 64 x y x y x y x y x y 3x HD: 12 12 16 33 x y x 2y (x y ) (x y ) 3y 64 3 3x 3y x x y y y6 Do ú : 16 64 x y 64 y 12 y & x Nhõn mi t s vi y ta c 64 64 Vy ta cú : ( ; 1) v ( -2 ; -1 ) x 3y 3y x b/ x x 3y 3y x 3y x HD: Ta cú : x = & y = x Bi : Ba lp chia d nh chia mt s ko theo t l 5:6:7 Nhng Cụ giỏo li cho chia theo t l 4:5:6 nờn cú mt lp c nhn hn d nh tỳi ko Tớnh tng s tỳi ko ? HD : Gi x l l tng s tỳi ko ( x thuc N ) 10 3 3 3 3 Cm MDI = NEI ( g.c.g) c) Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A xung BC , O l giao im ca AH vi ng thng vuụng gúc A vi MN k t I Cn cm O l im c nh cm O l im c nh Cn cm OC AC Cn cm OAC OCN 900 M Cn cm : OBA OCA v OBM OCM C I B E D H Cn cm OBM = OCN ( c.c.c) v OAB = OAC (c.g.c) *Khai thỏc bi N T bi ta thy BM = CN , vy ta cú th phỏt biu li bi toỏn nh sau: O Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy điểm N cho BM = CN ng thng BC ct MN ti I Chứng minh rằng: a) I l trung im ca MN b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định AD thay i li gii: T li gii bi gii bi 2.1 ta cn k MD BC ( D BC) NE BC ( E BC) M C I B E D H N O Bi : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca cnh BC Qua K k ng thng vuụng gúc vi AK , ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im ca DE a) Chng minh rng : AI BC b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao? *Phõn tớch tỡm li gii A a) Gi H l giao im ca BC v AI cm AI BC Cn cm A1 ACK 90 cm A1 ACK 900 D Cú AEK EAK 900 K C cn cm A1 AEK v ACK CAK Cn cm AIE cõn ti I v AKC cõn ti K b) so sỏnh DE vi BC cn so sỏnh IE vi CK ( vỡ 2.IE = DE, 2CK = BC) So sỏnh AI vi AK ( vỡ AI = IE, AK = CK) Cú AI AK B H I E 37 Li gii : a)D dng chng c AIE cõn ti I v AKC cõn ti K cn cm A1 AEK v ACK CAK m AEK EAK 900 A1 ACK 900 AI BC b) ta cú BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) M AI AK DE BC , DE = BC K trựng vi I ú ABC vuụng cõn ti A Bi 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC ng thng i qua M v vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F Chng minh rng: a) EF AH AE b) 2BME ACB B A c) BE = CF lỡ gii p dng nh lý Py ta-go cho tam giỏc vuụng AFH, ta cú: HF2 + AH2 = AF2 M AHE = AHF (g-c-g) nờn HF = EF; AF = AE 2 EF AH AE Suy ra: Từ AEH AFH Suy E1 F C E M H B Xét CMF có ACB góc suy CMF ACB F BME có E1 góc suy BME E1 B D F CMF BME ( ACB F ) ( E1 B) hay 2BME ACB B (đpcm) T AHE AHF Suy AE = AF v E1 F T C v CD // AB ( D EF ) => BME CMD( g c g ) BE CD (1) Li cú: E1 CDF (cp gúc ng v) Do ú CDF F CDF cõn CF = CD ( 2) T (1) v (2) suy BE = CF Bi : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn Trờn tia i ca tia AB ly im D cho AD = AB , trờn tia i ca tia AC ly im E cho AE = AC a) Chng minh rng : BE = CD b) Gi M l trung im ca BE , N l trung im ca CB Chng minh M,A,N thng hng c)Ax l tia bt k nm gia hai tia AB v AC Gi H,K ln lt l hỡnh chiu ca B v C trờn tia Ax Chng D minh BH + CK BC E d) Xỏc nh v trớ ca tia Ax tng BH + CK cú giỏ tr ln nht *Phõn tớch tỡm li gii M cm BE = CD Cn cm ABE = ADC (c.g.c) a) k K I B b) 38 cm M, A, N thng hng Cn cm BAN BAM 1800 N A H x C Cú BAN NAD 1800 Cn cm MAB NAD cm MAB NAD Cn cm ABM = ADN (c.g.c) c) Gi l giao im ca BC v Ax cm BH + CK BC Cn cm BH BI ; CK CI Vỡ BI + IC = BC d) BH + CK cú giỏ tr ln nht = BC ú K,H trựng vi I , ú Ax vuụng gúc vi BC Bi Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đ-ờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN vuông góc với AH (M, N thuộc AH) N a) Chứng minh: EM + HC = NH b) Chứng minh: EN // FM E F *Phõn tớch tỡm li gii a) cm EM + HC = NH M A Cn cm EM = AH v HC = AN + cm EM = AH cn cm AEM =BAH (cnh huyn gúc nhon) + cm HC = AN cn cm AFN =CAH (cnh huyn gúc nhon) b) cm EN // FM B AEF EFN ( cp gúc so le trong) Gi I l giao im ca AN v EF H cm AEF EFN C Cn cm MEI = NFI ( g.c.g) Bi : Cho tam ABC vuụng ti A , đ-ờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đ-ờng thẳng song song với AC cắt E đ-ờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phõn tớch tỡm li gii F Gi F l giao im ca BA v IE Cm cm : AE = BC cn cm : AFE = CAB AFE = CAB A I Cn cm AF = AC (2); AFC BAC 900 (1); EAF ACB (3) + cm (1) : AFC BAC 900 B M H C Cm CI // AE vỡ cú FI // AC v BAC 900 D 39 Cm CI // AE AMB = DMC ( c.g.c) Cm + cm (2) : AF = AC Cm AFI = ACI ( Cnh huyn gúc nhn) EAF ACB ( vỡ cựng ph HAC ) + Cm (3) : *Khai thỏc bi toỏn : T bi ta thy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vỡ AM = MB = MC) Vy HE ln nht = 3AM = BC H trựng M ú tam giỏc ABC vuụng cõn Bi Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) AE = AF A b) BE = CF AB AC c) AE * Phõn tớch tỡm li gii a) cm F AE = AF B C ANE = ANF ( c g c) M N I Hoc AEF cõn ti A ( Cú AH va l tia phõn giỏc , va l ng cao) b) cm E BE = CF cn to tam giỏc cha BE( hoc cú cnh = BE) m bng tam giỏc MCF + K BI // AC MBI = CMF( c g c) cm BE = CF BEI cõn ti B E BEI Cú BIE ABF ( cp gúc ng v ) m E AFE vỡ AEF cõn ti A c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF m CF = BC v AE = AF 40 AE = AB + AC hay AE AB AC Bi Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đ-ờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần l-ợt giao điểm DE với AB AC a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A b) Tính số đo góc AIC AKB ? *Phõn tich tỡm hng gii A - Xột TH gúc A < 900 K E I a) cm ADE cõn ti A D cn cm : AD = AH = AE ( p dng t/c ng trung trc) b) D oỏn CI IB , BK KC Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoi ca HIK B C H nờn HA l tia phõn giỏc Do AHC 900 nờn HC l tia phõn giỏc ngoi nh H Cỏc tia phõn giỏc gúc ngoi nh H v K ca HIK ct C nờn IC l tia phõn giỏc ca gúc HIK , ú IB IC , Chng minh tng t ta cú BK KC - Xột TH gúc A>900 *Khai thỏc bi toỏn : Gi M l im bt k thuc cnh BC , qua M ly im D, E cho AB l trung trc ca DM, AC l trung trc ca ME Khi ú ta cú ADE cõn ti A v gúc DAC cú T ú ta cú bi toỏn sau: Bi 9.1 Cho tam giỏc ABC nhn Tỡm im M trờn cnh BC cho nu v cỏc im D, E ú AB l ng trung trc ca MD, AC l ng trung trc ca ME thỡ DE cú di nh nht D A HD T nhn xột bi d dng tỡm c E v trớ im M trờn cnh BC C B H M Bi 10 Cho ABC vi gúc A khụng vuụng v gúc B khỏc 135 Gi M l trung im ca BC V phớa o ngoi ABC v ABD vuụng cõn ỏy AB ng thng qua A vuụng gúc vi AB v ng thng qua C song song vi MD ct ti E ng thng AB ct CE ti P v DM ti Q Chng minh rng Q l trung im ca BP E A HD Trờn tia i ca tia MQ ly im H cho MH = MQ D P - Cm BMQ = CMH ( c.g.c) Q BQ = CH (1) v MBQ MCH BQ//CH hay PQ // CH ( vỡ MBQ, MCH l cp gúc so le trong) B C M H 41 - Ni PH , cm PQH = HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nm gia B v P dự gúc B nh hn 1350 T (1) v (2) Suy pcm Bi 11.Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú A 200 , v tam giỏc u DBC (D nm tam giỏc ABC) Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC A b) AM = BC HD a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC Do ú DAB 200 : 100 b) ABC cõn ti A, m A 200 (gt) nờn ABC (1800 200 ) : 800 ABC u nờn DBC 600 Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ABD 800 600 200 Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ABM 100 Xột tam giỏc ABM v BAD cú: AB cnh chung ; BAM ABD 200 ; ABM DAB 100 Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC 20 M D C B Bi 12 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB > AC) Tia phõn giỏc gúc B ct AC D K DH vuụng gúc vi BC Trờn tia AC ly im E cho AE = AB ng thng vuụng gúc vi AE ti E ct tia DH K Chng minh rng : a) BA = BH B I b) DBK 450 c) Cho AB = cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK K HD : a) Cm ABD = HBD ( cnh huyn gúc nhn) b) Qua B k ng thng vuụng gúc vi EK , ct EK ti I H A Ta cú : ABI 90 , Cm HBK = IBK ( cnh huyn cnh gúc vuụng) D C E B3 B4 m B1 B2 DBK 450 c) Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = = 2.4 = cm * T bi ta thy DBK 450 thỡ chu vi DEK = AB vy nu cú chu vi DEK = thỡ ta cng cm c DBK 450 Ta cú bi toỏn sau : Bi 12.1 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450 HD : 42 MT S BI TON CN V THấM YU T PH GII: Bi toỏn 1: Cho hỡnh v, bit AB // CD; AC // BD Chng minh: AB = CD, AC = BD? (Bi 38/ 124 SGK Toỏn 1) (Bi toỏn cũn c phỏt biu di dng: Chng minh nh lớ: Hai on thng song song b chn gia hai ng thng song song thỡ bng nhau) 1) Phõn tớch bi toỏn: Bi cho hỡnh v, bit AB // CD; AC // BD Yờu cu chng minh: AB = CD, AC = BD 2) Hng suy ngh: chng minh AB = CD, AC = BD cn to hai tam giỏc cha cỏc cp cnh trờn, yu t ph cn v l ni B vi C hoc ni A vi D 3) Chng minh: GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD B A C D Xột ABD v DCA cú: BAD CDA ( so le - AD l cnh chung ADB DAC ( so le - AC // BD) AB // CD) ABD = DCA ( g - c - g) AB = CD; AC = BD ( cỏc cnh tng ng) 4) Nhn xột: Vic ni AD lm xut hin hỡnh v hai tam giỏc cú mt cnh chung l AD, mun chng minh AB = CD; AC = BD ta ch cn chng minh ABD = DCA Do hai tam giỏc ny ó cú mt cnh bng nhau( cnh chung) nờn ch cn chng minh hai cp gúc k cnh ú bng l dng c trng hp bng gúc - cnh - gúc iu ny thc hin c nh dng tớnh cht ca hai ng thng song song Bi toỏn 2: Tam giỏc ABC cú ng cao AH v trung tuyn AM chia gúc A thnh ba gúc bng Chng minh rng ABC l tam giỏc vuụng v ABM l tam giỏc u? 1) Phõn tớch bi toỏn: Bi cho ABC cú ng cao AH v trung tuyn AM chia gúc A thnh ba gúc bng Yờu cu ta chng minh ABC l tam giỏc vuụng v ABM l tam giỏc u 2) Hng suy ngh: 43 Mun chng minh tam giỏc ABC vuụng ti A ta cn k thờm ng thng vuụng gúc vi AC v chng minh ng thng ú song song vi AB, t ú suy suy AB AC v suy A = 900 3) Chng minh: ABC; AH BC; GT A trung tuyn AM; A1 A2 A3 I ABC vuụng ; KL ABM u B C M H V MI AC ( I AC) Xột MAI v MAH cú: H I 900 ( gt) AM l cnh chung) A2 A3 MAI = MAH ( cnh huyn - gúc nhn) MI = MH ( cnh tng ng) (gt) (1) Xột ABH v AMH cú: H1 H 900 ( gt) AH l cnh chung ABH= AMH ( g - c - g) A1 A2 ( gt) BH= MH ( cnh tng ng) Mt khỏc: H BM , nờn t (1) v (2) MI MH BH Li cú BM = CM (gt) MI HAC Vy ABC vuụng ti A Vỡ BM CM Xột MIC vuụng ti C cú: MI BAC (2) 0 CM nờn C 30 t ú suy ra: HAC 60 600 900 C 300 B 600 Li cú AM BC ( tớnh cht trung tuyn ng vi cnh huyn tam giỏc vuụng) v BM = MC BC ( vỡ M l trung im BC) suy AM = BM ú ABM cõn ti A v cú gúc bng 60 nờn nú l tam giỏc u 44 4) Nhn xột: Trong bi toỏn trờn nu ch cú cỏc yu t bi thỡ tng chng nh rt khú gii, nhiờn, ch bng mt ng v thờm ( MI AC) thỡ bi toỏn li tr lờn rt d dng, qua ú cng thy rừ vai trũ ca vic v thờm yu t ph gii toỏn hỡnh hc Bi toỏn 3: Cho tam giỏc ABC ( AB < AC) T trung im M ca BC k ng vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ct tia ny ti H, ct tia AB ti D v AC ti E Chng minh rng: BD = CE 1) Phõn tớch bi toỏn: Bi cho ABC ( AB < AC) T trung im M ca BC k ng vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ct tia ny ti H, ct tia AB ti D v AC ti E Yờu cu chng minh: BD = CE 2) Hng suy ngh: Mun chng minh BD = CE, ta tỡm cỏch to on thng th ba, ri chng minh chỳng bng on thng th ba ú ng ph cn v thờm l ng thng qua B v song song vi AC ct DE F, BF chớnh l on thng th ba ú 3) Chng minh: A ABC; AB < AC; MB MC GT KL BC AH l tia phõn giỏc BAC ; DE AH BD = CE E B H M C D V ng thng qua B v song song vi AC, gi F l giao im ca ng thng ny vi ng thng DE Xột MBF v MCE cú: A MBF MCE ( so le - BF // CE) MB = MC ( gt) E BMF CME ( i nh) B Do ú MBF = MCE (g -c - g) BF = CE ( cnh tng ng) (1) D C F H M Mt khỏc ADE cú AH DE v AH cng l tia phõn giỏc ca DAE ( gt) Do ú: ADE cõn ti A BDF = AED M BF // CE ( theo cỏch v) Do ú: BDF = BFD BFD = AED BDF cõn ti B BF = BD (2) T (1) v (2) suy ra: BD = CE ( pcm ) 4) Nhn xột: Cỏch v ng ph bi toỏn ny nhm to on thng th ba cựng bng hai on thng cn chng minh l bng nhau, õy l cỏch rt hay s dng nhiu bi toỏn nờn giỏo viờn cn lu ý cho hc sinh nh dng Cỏch gii ny cng c ỏp dng gii mt s bi toỏn rt hay chng trỡnh THCS 45 Nm cỏch v thờm yu t ph trờn nm nhúm phng phỏp chung gi l phng phỏp tam giỏc bng nhau, sau õy ta s nghiờn cu thờm mt phng phỏp mi rt hay nhng cha c khai thỏc nhiu gii toỏn õy l mt phng phỏp rt c bit, ni dung ca nú l to thờm c vo hỡnh v cỏc cnh bng nhau, cỏc gúc bng giỳp cho vic gii toỏn c thun li c bit i vi cỏc bi v tớnh s o gúc, trc tiờn ta hc sinh chỳ ý n nhng tam giỏc cha gúc cú s o xỏc nh nh : - Tam giỏc cõn cú mt gúc xỏc nh - Tam giỏc u - Tam giỏc vuụng cõn - Tam giỏc vuụng cú mt gúc nhn ó bit hay cnh gúc vuụng bng na cnh huyn Sau ú ngh n vic tỡnh s o ca gúc cn tỡm thụng qua mi liờn h vi cỏc gúc ca mt cỏc hỡnh cha gúc cú s o hon ton xỏc nh nờu trờn (Thng l i vi mi liờn h bng ca mt tam giỏc ri rỳt gúc tng ng ca chỳng bng nhau) Ta hóy xột mt bi toỏn in hỡnh: Bi toỏn 4: Cho tam giỏc ABC cõn ti A, A 20 Trờn cnh AB ly im D cho AD = BC Chng minh rng DCA A 1) Phõn tớch bi toỏn: Bi cho ABC cõn ti A, Yờu cu chng minh: DCA A A = 200 ; AD = BC ( D AB) 2) Hng suy ngh: bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 200, suy gúc ỏy l 800 Ta thy 800 200 = 600 l s o mi gúc ca tam giỏc u V tam giỏc u BMC 3) Chng minh: GT KL ABC; AB = AC; A 20 AD = BC (D AB) DCA A Ta có: ABC; AB = AC; A 20 ( gt) Suy ra: 1800 200 B C 800 V tam giỏc u BCM ( M v A cựng thuc na mt phng b BC), ta c: AD = BC = CM ng thi 46 ABM = ACM = 800 - 600 = 200 Ta cú MAB = MAC ( c - c - c) MAB = MAC = 200 : = 100 A Xột CAD v ACM cú: AD = CM ( chng minh trờn) CAD ACM 200 D AC l cnh chung Do ú CAD = ACM ( c -g -c ) M => DCA = MAC = 100 Vy DCA = BAC 4) Nhn xột: C B * bi cho tam giỏc cõn ABC cú gúc nh l 200, suy gúc ỏy l 800 Ta thy 800 -200 = 600 l s o mi gúc ca tam giỏc u Chớnh s liờn h ny gi ý cho ta v tam giỏc u BCM vo tam giỏc ABC Vi gi thit AD = BC thỡ v tam giỏc u nh vy giỳp ta cú mi quan h bng gia AD vi cỏc cnh ca tam giỏc u giỳp cho vic chng minh tam giỏc bng d dng * Ta cng cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch v tam giỏc u kiu khỏc: - Cỏch 2: EAD u nm ngoi tam giỏc ABC, tora Khi ú EAC = CBA (c.g.c) vỡ: EA = BC ( V EAC 600 200 800 B A EAC B AC = AB CE = CA v Mt khỏc CDA = E ECA BAC CDE (c.c.c) vỡ: D DA = DE CD chung CA = CE 1 C1 C ECA BAC 100 2 Vy DCA = ? 1 BAC B 80 C Sau phõn tớch, hng dn hc sinh lm hai cỏch trờn, cú th hng dn A hc sinh lm thờm theo cỏch sau: - Cỏch : V tam giỏc u EAC nm ngoi tam giỏc ABC, to Khi ú DAE = DAE 800 B E D CBA (c.g.c) vỡ : AE = BA ( = AC ) DAE B ( 800 ) AD = BC ? B 80 C 47 0 E1 A1 E1 20 (do A1 20 ) DE AC DE = AC m AC = CE nờn DE = CE ú DEC cõn ti nh E, cú gúc nh E2 60o 20o 40o gúc ỏy ECD = (1800 - 400) : = 700 Do ú DCA DCE ACE 700 600 100 T ú ta cú iu phi chng minh - Cỏch : A V u ABE ( E,C nm cựng phớa i vi AB) to CBE 80 60 20 BAC Khi ú 0 CBE = DAC (c.c.c) vỡ : D CB = AD (gt) BE = AC ( =AB) CBE BAC 200 C1 E1 ? Vy tỡm C1 ta ch cn tớnh E1 Ta cú AE = AC (=AB) nờn E AEC cõn ti A li cú B 80 gúc nh C A =60 - 200= 400 Nờn gúc ỏy AE C = (1800 400) : = 700 M gúc E2 600 (gúc tam giỏc u ABE) E1 AEC E2 700 600 100 C1 100 Vy DCA = Hay ACD 100 BAC vớ d ny bi cho hai cp on thng bng l : AB = AC ; AD = BC Nh vy cú th gii bng cỏch : V tam giỏc u cú mt cnh l AC ; v tam giỏc u cú mt cnh l AB ; v tam giỏc u cú mt cnh l BC ; ri AD Qua vớ d bc u cỏc em ó nh hỡnh c phng phỏp v tam giỏc u v cỏc cỏch trin khai theo phng phỏp ú Bi toỏn Cho tam giỏc cõn ABC cú ỏy BC, gúc ỏy bng 500 Ly im K tam giỏc, cho A KBC 100 ; KCB 300 Tớnh s o cỏc gúc ca ? ABK * Hng gii quyt: ? ABK cú: ABK = 500 -100= 400 ? Vy ch cũn phi tớnh hai gúc cũn li l: 48 B 100 K 300 C BAK & BKA Xem xột u bi ta thy ABC cú cỏc gúc 500, 500, 800 KBC = 100, ABC = 500, m 500 + 100 = 600 chớnh l gúc ca tam giỏc u T ú cú th gii bi toỏn trờn theo cỏch sau (hc sinh tỡm hoc giỏo viờn gi ý): - Cỏch 1: V u BCE trựm lờn T ú chng minh ABC, to ABE KBC 10 EAB = EAC (c.c.c) E 1 E1 E2 BEC 600 300 2 Khi ú A ? ABE = KBC (g.c.g) vỡ: 100 E1 KCB 30 o ? ? BE = BC B EBA KBC 100 AB = KB Do ú K 300 100 C ABK cõn ti B cú gúc nh ABK 400 BAK BKA 1800 400 : 700 Vy cỏc gúc ca ABK l 400; 700; 700 - Cỏch 2: V u ABE ( E, C nm cựng phớa i vi AB), to EBC KBC 10 v AEC cõn A vỡ cú AE = AC ( = AB ) cú gúc nh EAC 800 600 200 Suy gúc ỏy AEC ACE 1800 200 : 800 A ? BCE ECA BCA 80 50 30 Do vy KBC = 0 EBC (g.c.g) vỡ: KBC EBC 100 ? ? BC chung B Khi ú 300 100 KCB BCE 300 BK = BE K C E m BE = BA nờn BK = BA ABK cõn ti B cú gúc nh l 400 nờn hai gúc cũn li l 700 v 700 - Cỏch 3: V u AEC ( E, B nm cựng phớa i vi AC ) to BCE KBC 10 v ABE cõn ti A cú gúc nh bng 800- 600 = 200 49 gúc ỏy bng 800 A EBC 800 500 300 Do ú KBC = ? ECB (g.c.g) vỡ: BCE KBC 100 ? BC chung EBC KCB 30 ? K 300 100 B C E KB = EC m EC = AC = AB nờn KB = AB ABK cõn ti B Vy cỏc gúc cn tớnh l: 400; 700; 700 Qua vớ d ny, cú th thy rng cỏch v cỏch l tng ng nhau: u to tam giỏc u cú cnh bng mt hai cnh bờn ca tam giỏc cõn ó cho, t ú dn n cnh BK bng mt cnh no ú ca tam giỏc u va to suy tam giỏc ABK cõn Cũn nu i v tam giỏc u cú mt cnh l KC to gúc bng KCB hoc v tam giỏc u cú mt cnh l BK to gúc bng ABC thỡ s khụng gii quyt c bi toỏn, vỡ khụng d kin, v hc sinh cng cn phi thy c iu ny cú cỏch v cho thớch hp Bi toỏn Cho tam giỏc ABC cú C 750 ng cao AH cú di bng na BC Tớnh s o gúc B Phõn tớch: A AHC vuụng ti H cú C 750 CAH 150 M 750 - 150 = 600 l gúc ca tam giỏc u 750 B T ú hng dn HS v thờm tam giỏc u Cú cỏc cỏch v nh sau: H - Cỏch 1: V tam giỏc u AEC nm ABC, to ra: ECB CAH 15 K EK BC (cú th hng dn v gii thớch cho hc sinh ti li k nh vy) Khi ú vuụng EKC = vuụng CHA (cnh huyn, gúc nhn) vỡ: EC = AC ECB CAH 150 KC = AH, m AH 1 BC KC BC 2 Vy K l trung im ca BC, li cú KE BC ú tam giỏc EBC cõn ti E EBC ECB 150 A Do ú : BEC = 180 - 2.15 = 150 0 T ú cú BEA = 3600 - (600 + 1500) = 1500 BEC = BE chung 50 E BEA (c.g.c) vỡ: 750 B K H C C BEC BEA 1500 EC = EA ABE CBE 150 ABC ABE CBE 150 150 300 (Hoc t BEC = BEA AB = BC ABC cõn ti B cú gúc ỏy bng 750 ABC 300 ) Mt s bi toỏn t luyn: Bi 1: (4 im) Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l cỏc gúc nhn V ng cao AH v ng trung tuyn AM ca tam giỏc Bit BAH HAM MAC Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC Bi 2: (4 im) Cho tam giỏc ABC u, I l mt im nm tam giỏc V ng thng d qua I v song song vi BC, ng thng ny ct AB, AC M, N a/ Chng minh AI < AM b/Chng minh IA + IB + IC < AB + AC (PHềNG GD T HOI NHN Nm hc 2009 2010) Bi 3: ( thi th 19) Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC ng thng vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ti M ct cnh AB , AC ln lt ti E v F Chng minh : a) EH = HF b) 2BME ACB B c) FE AH AE d) BE = CF (v ng ph) Bi 4: ( thi th 7) Cho ABC cú gúc A nh hn 900 V ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn ti A l ABM v ACN a) Chng minh rng: AMC = ABN; b) Chng minh: BN CM; c) K AH BC (H BC) Chng minh AH i qua trung im ca MN (v ng ph) Bi 5: ( thi th 9) Cho tam giỏc ABC l tam giỏc u Ly im M nm tam giỏc ABC cho MA=1 ; MB=2 ; MC= tỡnh di cnh AB v s o goỏc AMB Bi 6: Cho ABC vuụng cõn ti A Gi M, N ln lt l trung im ca AB v AC K NH vuụng gúc vi CM ti H, k HE vuụng gúc vi AB ti E Chng minh rng: a) ABH cõn b) HM l phõn giỏc ca BHE Li kt: Chuyờn ny ch yu cỏc em t hc thy ch ging gii, gii ỏp mt phn, ging gii nhng cỏi quan trng Tuy nhiờn quỏ trỡnh son thy tham kho rt nhiu ti liu trờn mng nờn cú th s cú rt nhiu sai sút Trong quỏ trỡnh lm phỏt hin thỡ thụng bỏo thy kp thi chnh sa hon thin ti liu ny! Cũn rt nhiu dng toỏn thy mun cp n nhiờn thi lng khụng cho phộp Hc xong chuyờn ny thy dnh thi lng khong 10 bui gii cho cỏc em! Nờn cỏc em phi c gng ht sc hi tic sau k thi! Xin cm n cỏc em ó hc v chỳc cỏc em thnh cụng k thỡ nm n! An Lóo, ngy 8/8/2015 51 [...]... minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z) Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) b) Cho đa thức f ( x) ax 2 bx c (a, b, c nguyên) CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 HD a) ta cú 17a 34 b 17 v 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b 17 2(10a 16b) 17 10a 16b 17 vỡ (2, 7) = 1 10a 17b 16b 17 10a b 17 b) Ta cú f(0) = c do... khi ú VT cha TSNT khỏc 2, m VT ch cha TSNT 2 suy ra TH ny khụng xy ra : vy n = 8 , m = 9 x 1 x 11 Bi 4 : Tỡm x , bit : x 7 x 7 0 HD : x 1 x 11 x 7 x 7 0 x 7 x 7 x 1 1 x 7 10 0 x 1 1 x 7 10 0 x 7 x10 1( x7)10 0 x7 x 70 10 x 8 ( x 7) 1 x 6 Bi 5 : Tỡm x, y bit : x 2011y ( y 1)2012 0 HD : ta cú x 2011y 0 vi mi x,y v (y 1)2012 0 vi mi y Suy ra :... tất cả các số nguyên d-ơng n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7 HD : Vi n < 3 thỡ 2n khụng chia ht cho 7 Vi n 3 khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 ( k N * ) Xột n = 3k , khi ú 2n -1 = 23k 1 = 8k 1 = ( 7 + 1)k -1 = 7. A + 1 -1 = 7. A 7 Xột n = 3k +1 khi ú 2n 1 = 23k+1 1 = 2.83k 1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7 Xột n = 3k+2 khi ú 2n 1 = 23k +2 -1 = 4.83k 1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A +... nhau ta c: b d c d 2 2 a b a b a b a 2 b 2 ab = = 2 = 2 c d c d c d c d cd 2 2 2 2 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a 2 -10b 2 2= 2= = 3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2 3a 2 +5ab 3c 2 +5cd 2 = 7a -10b 2 7c 2 -10d 2 3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2 3a 2 +5ab 3c2 +5cd = 2 = 3c2 +5cd 7c2 -10d 2 7a -10b 2 7c2 -10d 2 t Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu: Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc Tng quỏt : a... rằng: A 3638 4133 chia hết cho 7 HD: a) Ta cú 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng) 4 = 3.1 + 1 Suy ra : A 101998 4 = ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng chia ht cho 9 b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + 1 ( k N*) 4133 = ( 7. 6 1)33 = 7. q 1 ( q N*) Suy ra : A 3638 4133 = 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q) 7 Bi 5 : a) Chứng minh rằng: 3n ... 4 12 x 15 4 12 x 15 23 C ln nht khi ln nht 12 x 15 nh nht v 12 x 15 0 x 2 12 x 15 3 23 8 (1 ) khi x = 2 4 9 3 7n 8 Bi 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất 2n 3 7n 8 7 2(7n 8) 7 14n 16 7 5 HD : Ta cú (1 ) 2n 3 2 7( 2n 3) 2 14n 21 2 14n 21 7n 8 5 21 3 ln nht thỡ ln nht 14n 21 0 v 14n 21 cú giỏ tr nh nht n 14n 21 14 2 2n 3 v n nh nht n = 2 * Dng 3:... 4 y 4 Bi 9 : Tỡm x , y bit : 5 9 7x C.BI TP VN DNG Bi 1: Tỡm hai s x v y bit: x y x 7 a) v 5x 2y = 87; b) v 2x y = 34; 19 21 y 3 Bi 2: Tỡm cỏc s a, b, c bit rng: 2a = 3b; 5b = 7c v 3a + 5c 7b = 30 Bi 5 : Tỡm x, bit rng: Bi 3: Tỡm cỏc s x; y; z bit rng: x y z x y y z a) v 5x + y 2z = 28; b) ; v 2x + 3y z = 186; 10 6 24 3 4 5 7 2x 3y 4z c) 3x = 2y; 7y = 5z v x y + z = 32; d) v x + y +... a ; b ; c ta cú : a b c abc x 5x 6x 7x a ; b &c 5 6 7 5 6 7 18 18 18 18 - S tỳi ko mi lp chia theo cụ giỏo l m ; n ; p ta cú: m n p mn p x 4x 5x 6x m ;b &c 4 5 6 4 5 6 15 15 15 15 6 x 5x 5x 4 x 7 x 6 x - Vỡ ; ; Lp th ba nhn nhiốu hn lỳc u v 15 15 18 15 18 15 6x 7x x phõn s ch 4 tỳi ko l : 15 18 90 => Tng s tỳi ko l : 4 90 = 360 tỳi 37 Bi 7: Tỡm ba phõn s cú tng bng 1 Bit cỏc... di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đ-ợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đ-ợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đ-ợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đ-ợc đều nh- nhau Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi đ-ợc... ca a thc Bi 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 23 y 2 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 25 HD: a) T 51x + 26y = 2000 17. 3.x = 2.( 1000 13 y) do 3, 17 l s NT nờn x 2 m x NT x = 2 Li cú 1000 13y 51 , 1000 13y > 0 v y NT y = b) T 7( x 2004)2 23 y 2 (1) do 7( x2004)2 0 23 y 2 ... trị x a, b, c chia hết cho HD a) ta cú 17a 34 b 17 v 3a + 2b 17 17a 34b 3a 2b 17 2(10a 16b) 17 10a 16b 17 vỡ (2, 7) = 10a 17b 16b 17 10a b 17 b) Ta cú f(0) = c f(0) c f(1) - f(-1)... d cd 2 2 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b 2= 2= = 3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd = 7a -10b 7c -10d 3a +5ab 7a -10b 3a +5ab 3c2 +5cd = = 3c2 +5cd 7c2 -10d 7a -10b 7c2 -10d t Cỏch... chia ht cho b) Ta cú 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k N*) 4133 = ( 7. 6 1)33 = 7. q ( q N*) Suy : A 3638 4133 = 7k + + 7q = 7( k + q) Bi : a) Chứng minh rằng: 3n 2n