Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi HSG Toán lớp 10 THPT Chuyên ĐH Vinh 2016 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...
SINH VÀO 3 2014 MÔN: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5 m) 1) Tính: 3 16 5 36 . 2) Chứng minh rằng với x > 0 và 1x thì 11 1 xx x x x x . 3) Cho hàm số bậc nhất: (2 1) 6y m x a) Với giá trị nào của m thì hàm số dã cho nghịch biến trên R ? b) Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm A(1;2). Bài 2: (2m) 1) Giải phương trình 2 2 3 5 0.xx 2) Tìm giá trị của tham số m để phương trình: 2 20x mx m có hai nghiệm 12 ;xx thoả mãn hệ thức 12 2xx . 3) Giải hệ phương trình: 1 21 x y xy x y xy . Bài 3: (2,0 m) Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó, tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? Bài 4: (3,5 m) Cho đường tròn (O) cố định. Từ một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (M; N là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C ( B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của dây BC. 1) Chứng minh rằng: AMON là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng : AK AI AB AC . 3) Khi các tuyến ABC thay đổi thì điểm I chuyển động trên cung tròn nào? Vì sao? 4) Xác định vị trí của cát tuyến ABC để IM = 2IN. Bài 5: (1,0 m) Với 0x , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2014xx A x --------------------------------------------HẾT-------------------------------------------- (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ tên và chữ ký của giám thị 1 . Họ tên và chữ ký của giám thị 2 . TTHH WWW.VNMATH.COM TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán lớp 10 (Thời gian 150 phút) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Giải phương trình 2x2 + 8x + − √ 2x2 − 4x + = x Câu Tính góc tam giác ABC biết: cos A + √ 3(cos B + cos C) = Câu Tìm cặp số nguyên tố a, b thõa mãn a3 − b5 = (a + b)2 Câu Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 + + 4a2 − bc + 4b2 − ac + 4c2 − ab + √ Câu Cho hình thang vuông ABCD, có đường cao AB = a 10, cạnh đáy AD = a P = Gọi I, J trung điểm BC, CD Biết AI vuông góc với BJ Tính độ dài BC theo a Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Biết tọa độ đỉnh A(−1; 0), tâm đường tròn tiếp I(3; 3) tâm đường tròn nội tiếp J(1; 2) Tìm tọa độ điểm B C Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: smartedu.ac.vn ; Số báo danh: 0973323090 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: 2 9 3 2 1 . 5 6 2 3 x x x P x x x x a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức P là số nguyên. Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: 2 2 1 3 0. 1x m x m a. Chứng minh rằng với m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 12 ,xx . b. Tìm các giá trị của m để 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3 (3,0 điểm) a. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3x 2x 5x 2 0yy . b. Trong một hộp có 2012 viên sỏi. Hai người A và B tham gia trò chơi bốc sỏi như sau: Mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất 1 viên và nhiều nhất 30 viên sỏi. Người nào bốc được viên sỏi cuối cùng sẽ thắng cuộc. Hỏi ai luôn thắng cuộc và chỉ ra thuật chơi. Câu 4 (1 điểm) Từ 1 đến 2013 có bao nhiêu số tự nhiên biểu diễn được dưới dạng hiệu bình phương của hai số nguyên (dạng 22 ab ). Câu 5 (2 điểm) Cho tam giác ABC , lấy điểm M nằm trong tam giác ABC , các đường thẳng ,,AM BM CM cắt các cạnh ,,BC CA AB tương ứng tại ', ', '.A B C a. Chứng minh rằng: ' ' ' 1. AA' ' ' MA MB MC BB CC b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . MA' ' ' MA MB MC f MB MC --- Hết --- Họ và tên thí sinh: SBD: . ĐÁP ÁN MÔN TOÁN CHUYÊN TIN. Câu Nội dung Điểm Câu 1 a (1 điểm) Điều kiện: 0 4* 9 x x x 0,25 2 9 3 2 1 23 23 x x x P xx xx 0,25 2 9 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 x x x x x xx x x x x 1 2 1 . 2 3 3 x x x x x x 0,5 b (1 điểm) Với điều kiện (*) 4 1 3 P x 0,25 Với x , để P thì 3 1; 2; 4x 0,25 4; 2; 5;1; 7x 0,25 1;4;16; 25;49x 0,25 Câu 2 a (1 điểm) Ta có 2 2 ' 1 3 3 4m m m m 0,5 = 2 37 0, . 24 mm 0,5 b (1 điểm) Ta có 12 12 21 3 x x m x x m 0,25 22 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2x 4 1 2 3 4 10 10x x x x x m m m m 0,25 = 2 5 15 15 2. 2 4 4 m 0,25 Vậy 22 12 xx đạt giá trị nhỏ nhất là 15 4 khi 5 . 4 m 0,25 Câu 3 a (1,5 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 2 2x 1 3x 5x 2y 0,25 Vì x nên 2x 1 0 do đó 22 3x 5x 2 12x 20x 8 1 4 4 6x 7 2x 1 2x 1 2x 1 y y y 0,25 Do ,xy nên 1 2x 1 là số nguyên, do đó 2x 1 1 hoặc 0,5 A B C M A' B' C' 2x 1 1 Từ đó tìm được 2 nghiệm 1;0 , 0; 2 . 0,5 b (1,5 điểm) Ta thấy 2012 1 30 .64 28 0,5 Người A đi trước sẽ thắng cuộc bằng cách 0,5 Lần đầu bốc 28 viên sỏi. Những lần sau bốc số viên sỏi cộng với số viên sỏi người B vừa bốc bằng 31 viên. 0,5 Câu 4 (1 điểm) + Ta có 22 x y x y x y . Đây là tích của hai số nguyên có cùng tính chẵn, lẻ. Suy ra 22 xy hoặc là số lẻ hoặc khi là số chẵn thì sẽ chia hết cho 4. 0,5 + Ngược lại - Nếu n lẻ thì 2 2 2 1 1n k k k . - Nếu n chia hết cho 4 thì 22 4 1 1n k k k . SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho tất cả các thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề ————————— Bài 1 (2,5 điểm). Cho phương trình 2 1 0 (1)x mx m− + − = 1) Giải phương trình (1) với 3m = . 2) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 3) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x và biểu thức 2 2 1 2 P x x= + đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2 (2,0 điểm). Cho hàm số (2 1) ( 3)y m x m= + − − . 1) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm ( 2; 3)A − . 2) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi giá trị của m. Bài 3 (1,5 điểm). Cho 17 1a = − . Tính giá trị của biểu thức: 5 4 3 2 2012 ( 2 17 18 17)P a a a a a= + − − + − Bài 4 (1,0 điểm). Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 1a b c + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 2( ) P abc ab bc ca = + − + + . Bài 5 (3,0 điểm). Cho ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Gọi ( )O là đường tròn tâm O bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của ( )O ). Kẻ từ A các tiếp tuyến AE, AF đến ( )O (E, F là các tiếp điểm). Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và EF; đường thẳng FI cắt lại ( )O tại D. Chứng minh rằng: 1) Bốn điểm A, E, O, I cùng nằm trên một đường tròn, chỉ rõ đường kính của đường tròn đó. 2) ED song song với AC. 3) Nếu ( )O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định. — Hết — Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh ………………………………………………… SBD …………… 1 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | 1 - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011 MÔN THI: TOÁN (Vòng 1) Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. 1) Giải hệ phương trình: ( ) 2 2 1 3 ( 2) 1 x y x y y x y x − + + = − + = + 2) Giải phương trình: 2 3 7 . 2( 1) x x x x + + = + Câu II. 1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên ( , , ) x y z thỏa mãn đẳng thức: 4 4 4 7 5. x y z + = + 2) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn đẳng thức: 4 4 3 ( 1) ( 1) x x y + − − = . Câu III. Cho hình bình hành ABCD với 90 . BAD < Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng ( ) d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng ( ) d lần lượt cắt các đường thẳng , CB CD tại , E F . 1) Chứng minh rằng OBE ODC ∆ = ∆ . 2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3) Gọi giao điểm của OC và BD là , I chứng minh rằng . . . . IB BE EI ID DF FI = . Câu IV. Với , x y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 3 3 3 4 8 ( ) x y P x y y x y = + + + + . Nguồn: Hocmai.vn Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 0902 – 11 – 00 - 33 - Trang | 1 - ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2011 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I. 1) Giải phương trình: ( ) ( ) 1 1 3 1 xx x − + + − = . 2) Giải hệ phương trình: ( )( ) 2 2 2 2 2 2 1 . 2 4x y xy x y x y x y + + + = = Câu II. 1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [ ] a . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức 2 3 1 1 27 3 n n + − + không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương. 2) Với , , x y z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức 5 xy yz zx + + = , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 . 3 3 2 6( 5) 6( 5) 5 x y z x y z P + + + + + + + = Câu III. Cho hình thang ABCD với BC song song . AD Các góc BAD và CDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại . I P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC ( P không trùng với , B C ). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác . P 1) Chứng minh rằng năm điểm , , , , A M I N D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là ( ). K 2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại , Q chứng minh rằng Q cũng nằm trên đường tròn ( ). K 3) Trong trường hợp , , P I Q thẳng hàng, chứng minh rằng . PB BD PC CA = Câu IV. Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên . ℕ Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A ( ) 1 , x ≠ luôn tồn tại , a b cũng thuộc A sao cho x a b = + ( a có thể bằng b ). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Nguồn: Hocmai.vn Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2012 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của