SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN TOÁN CHUYÊN Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 26/6/2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3 điểm) 1) Giải pgương trình: (x + 2x + 64)( x2 + 2x + 27) = 2010 Đặt t = x2 + 2x, phương trình trở thành: (t + 64)(t + 27) = 2010  t2 + 91t – 282 =  t 3  t2   94  x2  2x   Khi ta có   x  x  94  1  2 Phương trình (1) có x1 = 1; x2 = -3 Phương trình (2) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 1; x2 = -3   x  y  2x  y  2) Giải hệ phương trình    2  x  y x  y ĐK: x  y  0; x  y  1 Đặt u   0; v   , hệ cho trở thành 2x  y x y  u 1 3u  2v      (TMĐK)  u  3v  v    x  y 1  x  y 1 x  Khi ta có:  (TMĐK)   2 x  y   y   1  x  y x  Vậy hệ có nghiệm   y 1 Bài 2: (2 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2kx + k2 – k + 1) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với k Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x – 2kx – k2 + k – = (*) Ta có: ’ = k2 + k2 – k + = 2k2 – k + =  k     0, k  4 Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu) trang Nên (*) có hai nghiệm phân biệt với k Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với k 2) Gọi x 1, x2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm k để x1x2 đạt giá trị lớn x 1, x2 hai nghiệm (*) 3 Theo Viet ta có: x1x2 = – k2 + k – =    k     Dấu “=” xảy k  2 = Bài 3: (2,0 điểm) 1) Tìm x y nguyên cho Ta có x2  y2  x2  y   x  y    x  y  x  y   4 Vì x, y  Z nên x – 2y  Z x + 2y  Z, mặt khác x – 2y x + 2y tính chẵn lẻ Từ ta có bảng sau: x – 2y -2 x + 2y -2 x -2 y 0 Vậy cặp số nguyên (x, y) cần tìm (2; 0) (-2; 0) 2) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) Ta có a3 + b3 + c3 + 2abc < a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2)  ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b 2c – a3 – b3 – c3 – 2abc >  (a2b + a2c – a3) + (b2c + bc2 – b3 – c3) + (ab + ac2 – 2abc) >  a2(b + c – a) – (b + c)(b – c)2 + a(b – c)2 >  a2(b + c – a) – (b – c)2(b + c – a) >  (b + c – a)[a2 – (b – c)2] >  (b + c – a)(a + b – c)(a + c – b) > (*) (*)đúng b + c – a > 0, a + b – c > 0, a + c – b > Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 4: (2 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông A, AB = (cm),  ACB  450 Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác ABC vòng quanh BC Tam giác ABC vuông cân A, nên quay tam giác ABC quanh BC hình thu gồm hai hình nón tích Ta tích V hình tạo thành tính V     OA2  OC Tính OA2 = 1; OC = Vậy V    cm3  Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu) trang 2) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A, B Gọi M, N tiếp tuyến chung (O) (O’) (M  (O), N  (O’)) Chứng minh AB qua trung điểm I MN Gọi I giao điểm AB MN Xét AIM MIB, ta có:   IMB  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp IAM tuyến dây chắn cung MB (O))   (góc chung) AIM  MIB Vậy AIM MIB (g.g) Nên IM IB  IA IM  IM  IA  IB 1 Chứng minh tương tự có AIN Nên IN IB  IA IN NIB (g.g)  IN  IA  IB   Từ (1) (2)  IM = IN Do AB qua trung điểm MN (đpcm) Bài 5: (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC không song song với AD Gọi M, N trung điểm BC AD Đường thẳng MN cắt AB I cắt CD J  Chứng minh:  AIN  DJN Gọi K trung điểm AC, ta có KM đường trung bình ABC, suy KM // AB KM = AB Tương tự KN đường trung bình ACD, suy KN // CD KN = CD   KNM  1 mà AB = CD (gt)  KM = KN Vậy KMN cân K, nên KMN   AIN   2 lại có KM // AB (cmt)  KMN   DJN   3 KM // CD (cmt)  KNM  Từ (1), (2), (3) suy  AIN  DJN Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu) trang ...  ACB  450 Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác ABC vòng quanh BC Tam giác ABC vuông cân A, nên quay tam giác ABC quanh BC hình thu gồm hai hình nón tích Ta tích V hình tạo thành tính... OC Tính OA2 = 1; OC = Vậy V    cm3  Nguyễn Dương Hải – GV THCS Phan Chu Tri nh – BMT – Đăk Lăk (Sưu tầm - gi ới thiệu) trang 2) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A, B Gọi M, N tiếp tuyến chung... IM = IN Do AB qua trung điểm MN (đpcm) Bài 5: (1 điểm) Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BC không song song với AD Gọi M, N trung điểm BC AD Đường thẳng MN cắt AB I cắt CD J  Chứng minh:  AIN 