Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Nguyễn Thị Hồng Nhung Ngày tháng 10 năm 2014 Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Table of contents Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Biến ngẫu nhiên X ánh xạ từ không gian biến cố sơ cấp vào R X :Ω → R ω → X (ω) Người ta thường dùng chữ in hoa X , Y , Z , để ký hiệu biến ngẫu nhiên chữ thường x, y , z, để giá trị biến ngẫu nhiên Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Ví dụ Thực phép thử tung hai đồng xu cân đối đồng chất Không gian mẫu phép thử sau Ω = {SS, SN, NS, NN} Gọi X số mặt ngửa xuất Khi đó, X nhận giá trị sau X (ω) = 0, X (ω) = 1, X (ω) = Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên Dựa vào miền giá trị biến ngẫu nhiên mà người ta phân thành hai loại sau: Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc tập hợp giá trị mà nhận tập hữu hạn vơ hạn đếm giá trị Ví dụ Biến ngẫu nhiên phép thử tung hai đồng xu ví dụ biến ngẫu nhiên rời rac Số điện thoại đến tổng đài bưu điện ngày Số sản phẩm bị lỗi lô hàng Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Nguyễn liên tục Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ Chọn ngẫu nhiên hợp chất hóa học đo độ pH, X , Khi X biến ngẫu nhiên liên tục, pH nằm khoảng từ đến 14 Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Kí hiệu Cho X ⊂ X Ta kí hiệu (X ⊂ X ) = {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ X } Chẳng hạn, ta viết (X = x) = {ω ∈ Ω : X (ω) = x} (X ≤ x) = {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ x} Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Quy luật phân phối xác suất Định nghĩa Một hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giá trị có biến ngẫu nhiên với xác suất nhận giá trị tương ứng gọi luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Định nghĩa Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X ( xác định không gian biến cố sơ cấp Ω) hàm F (x) định nghĩa FX : R → [0, 1] x → P(X ≤ x) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Tính chất hàm phân phối xác suất Mệnh đề Hàm phân phối xác suất F (x) ≡ FX (x) có tính chất sau (i) F (x) ≤ F (y ) x ≤ y (ii) liên tục phải, có giới hạn trái điểm (iii) F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, F (∞) = limx→−∞ F (x) = (iv) P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a) với a ≤ b Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Hàm xác suất Định nghĩa (Hàm xác suất) Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , x3 , , xn , hàm giá trị xác suất( gọi tắt hàm xác suất) hàm thỏa (1) f (xi ) ≥ (2) n i=1 f (xi ) = (3) f (xi ) = P(X = xi ) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Hàm mật độ xác suất Định nghĩa (Hàm mật độ xác suất) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X , hàm số f (x) không âm, xác định R thỏa tính chất (i) P(X ∈ I ) = f (x)dx, ∀I ⊂ R I (ii) ∞ f (x)dx = −∞ hàm số f (x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Nguyễn Thị Hồng Nhung Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Nhận xét ∞ (1) Mọi hàm f (x) không âm thỏa điều kiện −∞ f (x)dx = hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X (2) Từ định nghĩa hàm mật độ ta có hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f (x) x F (x) = P(X ≤ x) = f (t)dt −∞ (3) F (x) = f (x.) (4) Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục, với x1 , x2 bất kỳ, ta có P(x1 ≤ X ≤ x2 ) = P(x1 < X ≤ x2 ) = P(x1 ≤ X < x2 ) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ví dụ Cho hàm số f (x) = Ce −λx x ≥ 0, x < a Chứng tỏ f (x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X b Tìm hàm phân phối F (x) c Tính xác suất P(1 ≤ X ≤ 3/2) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ví dụ Cho hàm số f (x) = 8x 0≤x ≤2 nơi khác (a) Chứng tỏ f (x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X (b) Tìm hàm phân phối F (x) (c) Tính xác suất P(1 ≤ X ≤ 3/2) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc) Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất X x1 x2 ··· xn ··· P f (x1 ) f (x2 ) · · · f (xn ) · · · Kỳ vọng X , ký hiệu E(X ) định nghĩa sau +∞ +∞ xi P(X = xi ) = E(X ) = i=1 Nguyễn Thị Hồng Nhung xi f (xi ) i=1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ví dụ Một hộp chứa 10 viên bi, có viên bi nặng 10g, viên bi nặng 50g, viên bi nặng 20g Chọn ngẫu nhiên viên bi gọi X khối lượng viên bi Tính E(X ) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa (Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục) Giả sử biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất f (x), kỳ vọng X +∞ xf (x)dx E(X ) = −∞ Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên (2) Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f (x) = 20e −20(x−12.5) x ≥ 12.5 nơi khác (a) Tính P(X > 12, 60) (b) Tính kỳ vọng X Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ý nghĩa kỳ vọng (i) Là giá trị trung bình theo xác suất tất giá trị biến ngẫu nhiên (ii) Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Mệnh đề (Tính chất kỳ vọng) Cho X , Y hai biến ngẫu nhiên c ∈ R kỳ vọng biến ngẫu nhiên có tính chất sau (i) E(c) = c (ii) E(cX ) = cE(X ) (iii) E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) (iv) Nếu hai biến ngẫu nhiên X Y độc lập E(XY ) = E(X )E(Y ) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Định nghĩa (Phương sai) Nếu biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng E(X ) phương sai, ký hiệu Var (X ) định nghĩa Var (X ) = E[X − E(X )]2 Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất f (x), ký hiệu µ = E(X ), có cơng thức tính phương sai (x − µ)2 f (x) = Var (X ) = x (3) x f (x) − µ2 x Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độc f (x), ký hiệu µ = E(X ), có cơng thức tính phương sai ∞ (x − µ)2 f (x)dx Var (X ) = Nguyễn Thị Hồng Nhung −∞ Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Ý nghĩa phương sai Phương sai kỳ vọng bình phương sai lệch X E(X ), nói cách khác phương sai trung bình phương sai lệch, phản ánh mức độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình Trong cơng nghiệp phương sai biểu thị độ xác sản xuất Trong canh tác, phương sai biểu thị mức độ ổn định suất, Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Tính chất phương sai Cho hai biến ngẫu nhiên X , Y số thực C ∈ R, phương sai có tính chất sau (i) Var (C ) = (ii) Var (CX ) = C Var (X ) (iii) Nếu X , Y độc lập Var (X + Y ) = Var (X ) + Var (Y ) Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Phương sai Định nghĩa 10 (Độ lệch chuẩn) Độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X , ký hiệu σ(X ), bậc hai Var (X ) σ(X ) = Var (X ) Ví dụ 10 Cho biến ngẫu nhiên Y có hàm mật độ xác suất g (y ) = y2 y ∈ [1, 2] nếuy ∈ / [1, 2] Tính phương sai, độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên X Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên ... trị biến ngẫu nhiên Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên. .. suất biến ngẫu nhiên X Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên. .. Nguyễn Thị Hồng Nhung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên: rời rạc, liên tục Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Các đặc trưng biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu