Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 KĨ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN 4 x − x y + xy = ( x − xy + y ) x − xy + y  Ví dụ [Video] Giải hệ phương trình  2 x − y + = y x + + y − y + Lời giải  x − xy + y ≥  ĐK: 8 x + ≥  y − 4y + ≥ (*) Khi (1) ⇔ x3 + x ( x − xy + y ) = x x − xy + y + (x − xy + y ) Đặt u = x − xy + y ≥ ⇒ x3 + 3xu = x 2u + u ⇔ ( x − u ) = ⇔ x = u x ≥ ≥ x   ⇒ x = x − xy + y ⇔  ⇔  y = 2  x = x − xy + y  x = y  (3) Với y = vào (2) ta x + = ⇔ x + − = vô nghiệm nên loại Khi (3) ⇔ x = y ≥ 0, kết hợp với (2) ta ( x ≥ 0) x2 − x + = x 8x + + x2 − x + ⇔ x2 − x + − x 8x + − x2 − x + = ( ) ⇔ x x + − 8x + + x2 − x + ( x + ) − ( x + 3) + ⇔ x ( x + + 8x + ⇔ x ( x − x + 1) x + + 8x + (x + x − x + ) x2 − x + − = x2 − x + − x2 − x + + − x + 1) x − x + + x2 − x + =0  ( x − ) +  x  ⇔ ( x − x + 1) + =0  x + + 8x + + x2 − 4x +    Với x ≥ ⇒ x x + + 8x + + ( x − 2) +1 + x2 − x + =0 (4) > x = + ⇒ y = + thỏa mãn hệ cho Do (4) ⇔ x − x + = ⇔   x = − ⇒ y = − Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Đ/s: ( x; y ) = {( + ) ( 3; + , − 3; − Facebook: Lyhung95 )}  x + + y + = − x + y Ví dụ [Video] Giải hệ phương trình  ( x, y ∈ ℝ ) x + y + = x − y + + x + ( )  Lời giải Điều kiện: x + ≥ 0; y ≥ −1; ≥ x − y; x ≥ y − Từ phương trình thứ hệ ta có: x + + y + = − x + y ⇔ x + y + + ( x + 1)( y + 1) = − x + y ⇔ 2 y + ≥ x ( x + 1)( y + 1) = y + − x ⇔  2  xy + x + y + = x + y + − x − xy + y 2 y + ≥ x x = y 2 y + ≥ x ⇔ ⇔  x = 4y +  x − xy + y − x + y = ⇔ ( x − y )( x − y ) − ( x − y ) = Với x = y + kết hợp y + ≥ x suy y + ≥ x = y + ⇔ y ≤ −1 ⇒ y = −1 ⇒ x = −1 không thỏa mãn điều kiện x + ≥ nên không nghiệm hệ phương trình Với x = y vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x + x + = ( x + 1) + 3x + ( ) ( ) x2 − x − x2 − x − + =0 x + + x + x + + 3x +  1+  x= y=  ≥ − x 1    ⇔ ( x − x − 1) 1 + + ⇔ =0⇔  x + + x + x + + 3x +   1− x2 − x − =  x = y =  ⇔ x − x − + x + − x + + x + − 3x + = ⇔ x − x − + Vì + x + + 5x + + > 0; ∀x ≥ − Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm kể x + + 3x + 3 x + y = xy + x + ( y − x + 1) x + y ,  Ví dụ [Video] Giải hệ phương trình   x ( x − x + ) = y + x − + 10 x − Lời giải Điều kiện x ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với x + y − ( y − x + 1) x + y − x ( y + 1) =  x + y = y + (1) 3x + y + x = ⇔   3x + y = − x ( 2)  x ≤ x ≤ Xét ( ) ⇔  ⇔ ⇔ x = y = , không thỏa mãn ĐKXĐ 2 3x + y = x 2 x + y =  y +1 ≥  y ≥ −1 Xét (1) ⇔  ⇔  2 3x + y = y + y + 3x = y + Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có x3 − x + x + = x − + 10 x − ⇔ ( )( 3x2 + y − y − ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 ⇔ x − x − + x + − 10 x − + x3 − x + x = x2 − 8x + x2 − 8x + + + x ( x2 − 8x + 7) = x + x − x + + 10 x − 1   ⇔ ( x2 − 8x + )  + + x =  x + x − x + + 10 x −  1 Rõ ràng + + x > 0, ∀x ≥ nên x − x + = ⇔ x ∈ {1;8} x + x − x + + 10 x −  191  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1;1) ,  8;     x ( x + 1) + y ( y + 1) + xy =  Ví dụ [Video] Giải hệ phương trình  2 4 y + − ( x + 1) ( x − y + 3) = x + x + Lời giải: Điều kiện: ( x + 1) ( x − y + 3) ≥ 0; y ≥ −2 ⇔ Phương trình hệ tương đương x3 + y + xy + x + y − = ⇔ ( x + y ) + x + y − − xy ( x + y − 1) = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) + x + y +  − xy ( x + y − 1) =   x + y = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y + x + y − xy + ) = ⇔  2  x + (1 − y ) x + y + y + = ( ∗) Giải ( ∗) , có ∆ x = (1 − y ) − ( y + y + ) = − ( y + y + ) < 0; ∀x, y ∈ ℝ suy ( ∗) vô nghiệm Với y = − x vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 3− x − ( x + 1) ( x + x + 3) = x + x + (i ) Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có: 4 − x = ( − x ) ≤ + − x  ⇔ x2 + x + = − x −  − ( x + 1) ( x + x + 3) ≤ ( x + 1) ( x + x + 3) ≤ − x ⇔ ( x + 1) ≤0 Do phương trình ( i ) ⇒ ( x + 1) = ⇔ x = −1 ⇒ y = ( thỏa mãn điều kiện cho ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( −1; )  y + x x + y +1 + = x + y +1 +1 ( )  Ví dụ [Tham khảo] Giải hệ phương trình   y − 13 x − y + = x − y + Lời giải: 2 Điều kiện: x ≥ 0; x + y + ≥ 0; 13 x ≥ y − ( ) Bình phương hai vế phương trình hệ, ta có: y + x ( x + y + 1) + = x + y + + ⇔ y + x ( x + y + 1) + = ( x + y + 1) + x + y + + ⇔ ⇔ ( )( x −1 ( ) x −1 x + y +1 = x −1 x =  x =1⇔ x =1 x + y +1 − x −1 = ⇔  ⇔  x + y + = x +  x + y + = ) ( ) x +1 ⇔ y = x TH1 Với x = xuống phương trình hai hệ, ta được: y + y − − 17 − y = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( ⇔ y − + y + − 17 − y = ⇔ ( y − )( y + ) +  3y + ⇔ ( y − 2)  y + +  y + + 17 − y  Facebook: Lyhung95 ( y − )( y + ) y + + 17 − y =0   = ⇔ ( y − ) ( y + 3) + ( y + ) 17 − y + 1 =      17  ⇔ y = ⇒ ( x; y ) = (1; ) ( y + 3) + ( y + ) 17 − y + > 0; ∀y ∈  −2;    TH2 Với y = x xuống phương trình hai hệ, ta được: x − 13x − x + = x − x + Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có: 2 x ≤ x +  2 ⇔ x + x − 13x − x + ≤ + x  − x x x   ≥ ≥ 3x; x ≥  13x − x + =   +    (i ) Do từ phương trình ( i ) suy x + ≤ + x ⇔ ( x − 1) ≤ ⇔ x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = (1; )  x ( x + 1)  x + y+x = y −1 Ví dụ [Tham khảo] Giải hệ phương trình  3 y − 19 x + = y −  ( x, y ∈ ℝ ) Lời giải Điều kiện: x + x + y ≥ 0; y ≥ Đặt a = x + x , phương trình hệ trở thành: a ≥ a ≥ a ⇔ ⇔ a+ y =  2 2 y −1 ( a + y )( y − 1) = a a − ( y − 1) a − y ( y − 1) =  ( y − 1) a = 2 Có ∆ a = ( y − 1) + y ( y − 1) = ( y − 1) ≥ nên suy ( i ) ⇔    a = ( y − 1)  + ( y − 1) − ( y − 1) (i ) = y2 − y =1− y x + y = TH1 Nếu a = y − y ta có: x + x = y − y ⇔ x − y + x + y = ⇔ ( x + y )( x − y + 1) = ⇔  x = y −1 • Với x + y = vào phương trình thứ hai hệ, ta được: y + 19 y + = y − y + 18 y + + y − − y − + = y − ⇔ y + 18 y + + • Với x = y − vào phương trình thứ hai hệ, ta được: ( ( ) y − − = vô nghiệm ) y − 19 y + 27 = y − ⇔ ( y − y + 11) + y − − y − = ( y − y + 11)   = ⇔ ( y − y + 11)  + =0  y −3+ y − y − + y −   y −1+ y − 2 7± ⇔ y − y + 11 = ⇔ y = + = 2+ > 0; ∀y ≥ y −3+ y −2 y −3+ y −2 ⇔ ( y − y + 11) + 2 1  TH2 Nếu a = − y ta có: x + x = − y ⇔ x + x + y − = ⇔  x +  + ( y − ) + = vô nghiệm 2  2 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 5+ 7+  5− 7−  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ; ,     2   BÀI TẬP LUYỆN TẬP 5 x − xy + y = ( x + y ) x − xy + y  Câu Giải hệ phương trình  3 x + y + = x y + + ( y + 1) x − x + Đ/s: ( x; y ) = {(1;1) , ( 2; )}  x − = y + 2x + y ( x + 4)  Câu Giải hệ phương trình   x + y − = 16 y − + ( y + 3) ( x + y − )  Đ/s: ( x; y ) = {(10;1) ; (12; )}  y x + y + = y − xy +  Câu Giải hệ phương trình  x + + = x2 + − + ( x + ) ( x − 1)  y y       Đ/s: ( x; y ) = 1;  ;  9;      18    x2 + =0  x − y + + y y Câu Giải hệ phương trình   2 y − x + = x + 10 + ( x + )( y + ) {( )( Đ/s: ( x; y ) = + 2; + 2 − 2; − 2 )} ( y + 1) x − y − x + x + xy = Câu Giải hệ phương trình  2  x + y − xy − x + = Đ/s: ( x; y ) = ( 2;0 ) 2 2 ( x − y ) x + y + = x + y + xy Câu Giải hệ phương trình  2 (1 − x )( y − x − ) = −7 36  Đ/s: ( x; y ) =  − ; −  6  4  x2 − y − y + = y2 − x2 − y +  Câu Giải hệ phương trình  2 ( x + ) x − + y + y = Đ/s: hệ phương trình vô nghiệm ( x + y + ) x − y + x + y + 12 = Câu Giải hệ phương trình  2 ( x − y ) ( x + ) + x − y − = y + Đ/s: ( x; y ) = ( −2; −3) ( ( x, y ∈ ℝ ) ) 2 y − 3x + y ( x − ) = x − − y −  Câu Giải hệ phương trình   y + y ( xy − x + ) = ( y + ) − x + Đ/s: ( x; y ) = ( 2;0 ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 x y  y − xy + x = x + y −  Câu 10 Giải hệ phương trình  2  x + y = x − xy + y  x + y + xy Đ/s: ( x; y ) = (1;1) 3 y − + y − x = ( x + 1)  Câu 11 Giải hệ phương trình   x + + ( y − ) = ( y + 1)( x − 1)    Đ/s: ( x; y ) = ( 0;1) ,  − ;      ( ) ( x + 3) x − y + y − y ( x − ) = 3x + Câu 12 Giải hệ phương trình   x − 11y − − 21y − 17 = y − x + Đ/s: ( x; y ) = {(10;1) , (18; )}  x + xy − y = ( y − x ) x − y +  Câu 13 Giải hệ phương trình  2 4 ( x − 1) + ( y − 3) = + ( y − 1) ( x − 3)  + 5 +   − 5 −    Đ/s: ( x; y ) = (1;1) ,  ; ; ,     4     Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! ... thứ hai hệ ta có x3 − x + x + = x − + 10 x − ⇔ ( )( 3x2 + y − y − ) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT,... Với y = − x vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 3− x − ( x + 1) ( x + x + 3) = x + x + (i ) Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có: 4 − x = ( − x ) ≤ + − x  ⇔ x2 + x + = − x −  − ( x + 1) (... TH1 Với x = xuống phương trình hai hệ, ta được: y + y − − 17 − y = Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT,