LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày cách xây dựng mơ hình quy hoạch tuyến tính tốn dạng đơn giản Đây kiến thức quan trọng để xây dựng mơ hình cho tốn phức tạp thực tế sau Các khái niệm ‘’ lồi’’ đuợc trình bày để làm sở cho phương pháp hình học giải quy hoạch tuyến tính Một ví dụ mở đầu trình bày cách trực quan để làm rõ khái niệm phương án tối ưu quy hoạch tuyến tính Nội dung chi tiết chương bao gồm : I- GIỚI THIỆU BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1- Bài tốn vốn đầu tư 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất 3- Bài toán vận tải II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát 2- Quy hoạch tuyến tính dạng tắc 3- Phương án III- ĐẶC ĐIỂM CỦA TẬP HỢP CÁC PHƯƠNG ÁN 1- Khái niệm lồi tính chất 2- Đặc điểm tập phương án 3- Phương pháp hình học IV- MỘT VÍ DỤ MỞ ĐẦU V- DẤU HIỆU TỐI ƯU 1- Ma trận sở - Phương án sở - Suy biến 2- Dấu hiệu tối ưu LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GIỚI THIỆU BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh vực tốn học nghiên cứu toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề quan tâm) ràng buộc (điều kiện toán) hàm phương trình bất phương trình tuyến tính Đây định nghĩa mơ hồ, toán quy hoạch tuyến tính xác định rõ ràng thơng qua ví dụ Các bước nghiên cứu ứng dụng tốn quy hoạch tuyến tính điển hình sau : a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập liệu b- Lập mơ hình tốn học c- Xây dựng thuật tốn để giải tốn mơ hình hố ngơn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính d- Tính tốn thử điều chỉnh mơ hình cần e- Áp dụng giải toán thực tế 1- Bài tốn vốn đầu tư Người ta cần có lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i=1,2, ,m thức ăn j=1,2, ,n cung cấp Giả sử : aij số lượng chất dinh dưỡng loại i có đơn vị thức ăn loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) bi nhu cầu tối thiểu loại dinh dưỡng i cj giá mua đơn vị thức ăn loại j Vấn đề đặt phải mua loại thức ăn để tổng chi phí bỏ mà đáp ứng yêu cầu dinh dưỡng Vấn đề giải theo mơ hình sau : Gọi xj ≥ (j= 1,2, ,n) số lượng thức ăn thứ j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn : LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH z= n ∑ c jx = c x + c x 1 2 + + c n x n j j=1 : Vì chi phí bỏ để mua thức ăn phải thấp nên yêu cầu cần thỏa mãn z = n ∑ c j x = c1 x1 + c x + + c n x n j j=1 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai1x1 (i=1→m) Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn : ai2x2 Lượng dinh dưỡng i thu từ thức ăn n : ainxn Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu từ loại thức ăn : ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1→m) Vì lượng dinh dưỡng thứ i thu phải thỏa yêu cầu bi dinh dưỡng loại nên ta có ràng buộc sau : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≥ bi (i=1→m) Khi theo yêu cầu tốn ta có mơ hình tốn sau : z = n ∑ c j x = c1 x1 + c x + + c n x n j j=1  a11 x + a12 x + + a1n ≥ b1 xn ≥ b2   a 21 x + a 22 x + + a 2n xn      a m1 x + a m2 x + + a mn ≥ b m xn  xj ≥ (j = 1,2, , n) 2- Bài toán lập kế hoạch sản xuất Từ m loại nguyên liệu có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm Giả sử : aij lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất sản phẩm loại j (i=1,2, ,m) (j=1,2, , n) LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH bi số lượng nguyên liệu loại i có cj lợi nhuận thu từ việc bán đơn vị sản phẩm loại j Vấn đề đặt phải sản xuất loại sản phẩm cho tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm lớn điều kiện nguyên liệu có Gọi xj ≥ số lượng sản phẩm thứ j sản xuất (j=1,2, ,n) Tổng lợi nhuận thu từ việc bán sản phẩm : z= n ∑ c j x = c1 x + c x j=1 + + c n x n j Vì yêu cầu lợi nhuận thu cao nên ta cần có : max z = n ∑ c j x = c1 x1 + c x + + c n x n j j=1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai1x1 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ ai2x2 Lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n ainxn Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất sản phẩm ai1x1+ai2x2+ +ainxn Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất loại sản phẩm vượt lượng cung cấp bi nên : ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≤ bi (i=1,2, ,m) Vậy theo u cầu tốn ta có mơ hình sau : max z = n ∑ c j x = c1 x1 + c x + + c n x n j j=1  a11 x + a12 x + + a1n ≤ b1 xn ≤ b2   a 21 x + a 22 x + + a 2n xn      a m1 x + a m2 x + + a mn ≤ b m xn  xj ≥ (j = 1,2, , n) 3- Bài toán vận tải Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ Lượng hàng hoá kho i si (i=1,2, ,m) nhu cầu hàng hoá cửa hàng j dj LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển đơn vị hàng hoá từ kho i đến hàng j cij ≥ đồng Giả sử tổng hàng hố có kho tổng nhu cầu hàng hoá cửa hàng nhau, tức : m ∑ s= n ∑ j=1 d j i i=1 Bài toán đặt lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước nhỏ nhất, với điều kiện cửa hàng nhận đủ hàng kho trao hết hàng Gọi xij ≥ lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất kho j : n ∑ c ij x ij j=1 Cước vận chuyển tất hàng hoá đến tất kho : z= m n ∑∑ c ij x ij i=1 j=1 Theo yêu cầu tốn ta có mơ hình tốn sau : z = m n ∑∑ c ij x ij i=1 j=1 m ∑ x = d j (j = 1,2, , n) ij  ≥ x  ij (i = 1,2, , m) (j = 1,1, , n) II- QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT VÀ CHÍNH TẮC 1- Quy hoạch tuyến tính tổng quát Tổng quát tốn quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, tốn quy hoạch tuyến tính mơ hình tốn tìm cực tiểu (min) cực đại (max) hàm mục tiêu tuyến tính với ràng buộc bất đẳng thức đẳng thức tuyến tính Dạng LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính : min/ max z = n ∑  n   ∑ a ij x = b i j j=1 c jx (I) (i ∈ I1 ) j   j=1 ≤ bi  n   ∑ a ij x (i ∈ I ) (II) (i ∈ I ) j ≥ bi   j=1  n  ∑ aij xj  j=1  x j ≥  x j ≤   x tùy ý  ( j ∈ J1 ) (j ∈ J ) (III) (j ∈ J ) Trong : (I) Hàm mục tiêu Là tổ hợp tuyến tính biến số, biểu thị đại lượng mà ta cần phải quan tâm toán (II) Các ràng buộc toán Là phương trình bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh từ điều kiện toán (III) Các hạn chế dấu biến số Người ta thường trình bày tốn quy hoạch tuyến tính dạng ma trận sau :  a11 a12 a1n   x1     a 21 a 22 a 2n   A = [aij ] =     x2       a m1 a m2 a mn  x=       x n   c1     c2  c=       c n   b1     b2  b=       b m Gọi (i=1→m) dòng thứ i ma trận A, ta có : ...LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH I- GI? ?I THIỆU B? ?I TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tính lĩnh... gi? ?i n? ?i đa diện l? ?i, số ? ?i? ??m cực biên hữu hạn Ðịnh lý Tập hợp phương án t? ?i ưu quy hoạch tuyến tính tập l? ?i Xét quy hoạch tuyến tính tắc min/max z(x) = c T x (I)   Ax = b  x ≥ (II) (III)... c x (III) (I) (II) rang(A)=m (III) Ngư? ?i ta biến đ? ?i tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt thành tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc nhờ quy tắc sau : - Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ ngư? ?i ta cộng