PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI : TOÁN Ngày thi 09/04/2015 Thời gian làm 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) Tính giá trị biểu thức  15   11  A =  − ÷  − − ÷  10 16   12 15 20  + + + + + 2014 B= 2015.1002 + 2015.5 C= 11.322.37 − 915 4.328 Bài (4 điểm) Tìm x biết 1) x − 2013 − 2014 = 2015 20 20 20   20 2) x −  + + + + ÷= 53.55  11  11.13 13.15 15.17 Bài (6 điểm) 1) Cho số x, y nguyên thỏa mãn 621x + 587y M2014 Chứng minh 151x + 253y M2014 12x + 2) Tìm tất số nguyên x để phân số có giá trị số nguyên? 3x − 3) Một số tự nhiên chia cho dư 2, chia cho dư 1, chia cho dư Hỏi số chia cho 60 có số dư bao nhiêu? Bài (3 điểm) · · · · Cho hai góc xOy , yOz kề bù thỏa mãn xOy gấp lần yOz · 1) Tính yOz ? · · 2) Gọi tia Ot phân giác xOy , Om tia đối tia Ot Tính số đo xOm ? Bài (2 điểm) 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012 1 1 B = + + + + 2015 1) Cho A = Tính giá trị A B 2) Cho a, b, c ∈ Z thỏa mãn ab − ac + bc − c = −1 Tính giá trị biểu thức M = a + b ………………Hết ………………… PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI : TOÁN Bài Nội dung Bài  15   11   72 75   25 44 21  A =  − ÷  − − ÷=  − ÷  − − ÷  10 16   12 15 20   80 80   60 60 60     40  =  − ÷  − ÷ =  80   60  40 + + + + + 2014 2015.1002 + 2015.5 (1 + 2014).2014 : = =1 2015.(1002 + 5) Điểm 1 B= 11.322.37 − 915 4.328 11.329 − 330 = 4.328 329 (11 − 3) = 4.328 329.8 = =6 4.328 1.5 C= Bài 0.5 0.5 0.5 a) x − 2013 − 2014 = 2015 Trường hợp 1: x − 2013 − 2014 =2015 0.5 x − 2013 = 4029 Trường hợp a) x - 2013=4029 x = 6042 Trường hợp b) x - 2013= -4029 x= - 2016 Trường hợp 2: x − 2013 − 2014 =-2015 0.5 0.5 x − 2013 = - x ∈φ Vậy x =6042 x = -2016 0.5 20 20 20   20 b) x −  + + + + ÷= 53.55  11  11.13 13.15 15.17 1  1 1 b) x − 10  − + − + + − ÷ = 53 55  11  11 13 13 15 1  x − 10  − ÷ =  11 55  11 x - 10 = 55 11 x= + 11 11 x=1 Vậy x = 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 621x + 587y M2014 ⇒ 3.(621x + 587y) M 2014 1 ⇒ 1863x + 1761y M 2014 Xét tổng (1863x + 1761y) + (151x + 253y) = 2014x + 2014y Ta có 1863x + 1761y M 2014 2014x + 2014y M 2014 Nên suy 151x + 253y M2014 (đpcm) 12x + 12x − + 9 = 4+ = 3x − 3x − 3x − Để P nguyên M3x – Vì x nguyên ta có bảng sau 3x – -1 -3 φ φ φ x 1 P= -9 φ φ Vậy x = thỏa mãn Gọi số x ta có: x chia cho dư 2, chia cho dư 1, chia cho dư Suy x + chia hết cho 3; 4; Hay x + M(3.4.5) x + M60 ⇒ x + = 60k (k ∈ N) x = 60k – x = 60k – 60 +53 x = 60(k – ) + 53 Vậy số dư x chia cho 60 dư 53 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 0.5 · · · · Vì xOy , yOz kề bù nên ta có xOy + yOz = 1800 · · · Mà xOy gấp lần yOz Nên yOz = 1800 ⇒ 0.5 = 450 · yOz 0.5 · Ta có yOz = 450 Nên · xOy = 1350 Ot phân giác · nên xOy · = xOy · xOt = 67,50 Mặt khác Ot, Om 0.5 hai tia đối · xOm = 180 − 67,5 = 112,50 Bài 0.5 nên 0.5 2 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012 1 1 B = + + + + 2015 1) Cho A = Ta có 2013 + + + + + 2014 2014 2013 2012      2013  = + ÷+  + ÷+ +  + ÷+  2014   2013    2015 2015 2015 2015 = + + + + 2014 2013 2015  1 = 2015  + + + ÷ 2015  2 A= Vậy A = 2015 B 0.5 0.5 ab − ac + bc − c = −1 ⇒ a(b – c ) + c(b – c ) = -1 ⇒ (b – c )(a + c) = -1 0.5 Vì a,b,c nguyên nên ta có a + c =  b − c = −1 TH1:  ⇒M = a + b =  a + c = −1 b − c = TH2:  ⇒M = a + b = 0.5 Vậy M = Tổng điểm toàn 20 ... Vậy x = 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 62 1x + 587y M2014 ⇒ 3. (62 1x + 587y) M 2014 1 ⇒ 1 863 x + 1 761 y M 2014 Xét tổng (1 863 x + 1 761 y) + (151x + 253y) = 2014x + 2014y Ta có 1 863 x + 1 761 y M 2014 2014x + 2014y... dư Suy x + chia hết cho 3; 4; Hay x + M(3.4.5) x + M60 ⇒ x + = 60 k (k ∈ N) x = 60 k – x = 60 k – 60 +53 x = 60 (k – ) + 53 Vậy số dư x chia cho 60 dư 53 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 0.5 · · · · Vì xOy , yOz... GD&ĐT LỤC NAM HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN THI : TOÁN Bài Nội dung Bài  15   11   72 75   25 44 21  A =  − ÷  − − ÷=  − ÷  − − ÷  10 16  