I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM NGUYN TH HO BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE-AMPERE PHC V TNH CHNH QUI CA HM GREEN A PHC Chuyờn ngnh: GII TCH Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2013 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu tham kho lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Th Hũa S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n Thy v s hng dn tn tỡnh, hiu qu vi nhng kinh nghim quỏ trỡnh nghiờn cu hon thnh lun Xin cm n Ban ch nhim Khoa Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, S Giỏo dc v o to Tuyờn Quang, Trng PTDT Ni trỳ - THPT tnh, Trng THPT Chuyờn Tuyờn Quang cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2013 Tỏc gi Nguyn Th Hũa S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii MC LC M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng 1: CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di cc i 1.2 Toỏn t Monge-Ampốre phc 1.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge-Ampere 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im 20 Chng 2: BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE-AMPẩRE PHC V TNH CHNH QUY CA HM GREEN A PHC 24 2.1 Cỏc c lng biờn i vi cỏc o hm cp hai 25 2.2 Cỏc c lng ni ti i vi cỏc o hm cp hai 32 2.3 Tớnh chớnh quy ca hm Green a phc 36 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ M U Lý chn ti Cho W l mt b chn Ê n vi biờn ả W lp Ê Ơ Xột bi toỏn Dirichlet i vi cỏc phng trỡnh Monge-Ampốre phc ớù det (u ) = y (z , u, ẹ u ) W z j zk ùù ỡ ùù u = j tr ờn ả W ùợ (*) Khi W l mt gi li mnh, bi toỏn ny ó c nghiờn cu rng rói Nm 1976, E Bedford v B A Taylor ó chng minh s tn ti, tớnh nht v tớnh chớnh qui Lipschitz u ton cc ca cỏc nghim a iu hũa di tng quỏt Nm 1980, Cheng v Yau, cụng trỡnh nghiờn cu v cỏc mờtric & & Kahler-Einstein y trờn cỏc a phc khụng Compact, ó gii bi toỏn (*) vi y = e u v j = + Ơ , thu c nghim thuc lp C Ơ (W) Nm 1985, L Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg v J Spruck ó chng minh s tn ti ca cỏc nghim a iu hũa di c in ca (*) cho trng hp , khụng suy bin cỏc iu kin thớch hp Trng hp suy bin cng ó thu hỳt nhiu s chỳ ý, v cỏc phn vớ d c tỡm thy ó ch rng nghim ú khụng nht thit phi l nghim thuc lp C2 (xem Bedford v Fornaess, 1979; Gamelin v Sibony nm 1980) õy chỳng ta xem xột bi toỏn Dirichlet (*) i vi cỏc tng quỏt m khụng cn n tớnh gi li Theo hng dn nghiờn cu trờn, chỳng tụi chn ti: "Bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh Monge-Ampere phc v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc" Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch chớnh ca lun l trỡnh by mt s kt qu vic nghiờn cu tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im - Trỡnh by mt s kt qu ca Bo Guan v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca lý thuyt th v phc trỡnh by cỏc kt qu ca Bo Guan B cc ca lun Ni dung lun gm 43 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t MongeAmpốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Hm a iu ho di cc i 1.1.1 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ [- Ơ , Ơ ) l mt hm na liờn tc trờn v khụng trựng vi - Ơ trờn bt k thnh phn liờn thụng no ca W Hm u c gi l a iu ho di nu vi mi a ẻ W v b ẻ Ê n , hm l a u(a + l b) l iu ho di hoc trựng - Ơ trờn mi thnh phn ca hp {l ẻ Ê : a + l b ẻ W} Trong trng hp ny, ta vit u ẻ P SH (W) ( õy P SH (W) l lp cỏc hm a iu ho di W) 1.1.2 nh ngha Hm giỏ tr thc u ẻ C (W) , Wé Ê n , gi l a iu hũa { } l xỏc nh dng W Ký hiu {u } l ma trn nghch o ca {u } nú l kh nghch di cht nu ma trn Hessian phc uz z j k jk z j zk 1.1.3 nh ngha Cho W l mt m ca Ê n v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Ta núi rng u l cc i nu vi mi m compact tng i G ca W, v vi mi hm na liờn tc trờn v trờn G cho v ẻ P SH (G ) v v Ê u trờn ả G , u cú v Ê u G Sau õy ta s xem xột mt s tớnh cht tng ng ca tớnh cc i 1.1.4 Mnh Cho Wé Ê n l m v u : Wđ Ă l hm a iu ho di Khi ú cỏc iu kin sau l tng ng: (i ) Vi mi m compact tng i G ca W v mi v ẻ P SH (W) , nu lim sup(u (z ) - v(z )) , vi mi x ẻ ả G , thỡ u v G ; zđ x (ii ) Nu v ẻ P SH (W) v vi mi e > tn ti mt compact K é W cho u - v - e W\ K , thỡ u v W; S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (iii ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt m compact tng i ca W, v u v trờn ả G thỡ u v G; (iv ) Nu v ẻ P SH (W) , G l mt m compact tng i ca W, v lim inf(u (z ) - v(z )) 0, vi mi x ẻ ả G , thỡ u v G; zđ x (v ) u l hm cc i Chng minh (i ) ị (ii ) : Cho v l mt hm a iu ho di cú tớnh cht: vi mi e > tn ti mt compact K é W cho u - v - e W\ K Gi s rng u(a ) - v(a ) = h < ti mt im a ẻ W Bao úng ca hp { E = z ẻ W: u (z ) < v(z ) + h } l compact ca W Bi vy cú th tỡm c m G cha E v h compact tng i G Theo (i ) ta cú u v + G , iu ú mõu thun vi a ẻ E Phn cũn li c suy t khng nh: hm ớù max {u (z ), v(z )} (z ẻ G ) ù w(z ) = ỡ ùù u (z ) (z ẻ W\ G ) ùợ l a iu ho di W theo cỏc gi thit (iii ) , (iv ) , (v ) v (i ) 1.2 Toỏn t Monge-Ampốre phc Cho u l a iu ho di trờn Wé Ê n Nu u ẻ C 2(W) thỡ toỏn t: c n (dd u ) ộ ảu ự ỳ := (dd u ) (dd u ) = n !det ờờ dV , ỳ 1444444442 444444443 ả z ả z ỳ j k n ỷ1Ê j ,k Ê n c c n vi dV l yu cú th tớch C n gi l toỏn t Monge-Ampốre Toỏn t ny cú th xem nh o Radon trờn W, tc l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn khụng gian cỏc hm liờn tc vi giỏ compact C 0(W) trờn W C (W) ' j a c n ũ j (dd u ) W S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bedford v Taylor ó chng minh rng nu u l a iu ho di b chn a phng trờn W thỡ tn ti dóy {u n } n> ớù v ỡ dd cu n ùợù ( é P SH h (W) ầ C Ơ cho un ] u nỹ ù ) ùýùỵù hi t yu ti o Radon trờn W tc l: lim ũ j (dd cun ) = n n W ũ j d m, " j ẻ C (W) W Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu: (dd c u )n = m v gi l toỏn t Monge-Ampốre ca u Sau õy chỳng ta s xem xột mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t MongeAmpốre c trỡnh by [1] { } l dóy cỏc o Radon trờn m Wé 1.2.1 Mnh Gi s mj Ă n hi t yu ti o Radon m Khi ú a) Nu G é W l m thỡ m(G ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ b) Nu K é W l compact thỡ m(K ) lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Nu E compact tng i W cho m(ả E ) = thỡ m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ Chng minh a) Ta cú m(G ) = sup {m(K ) : K é G } Gi s K é G l compact Ly j ẻ C (G ) , Ê j Ê v j = trờn K Khi ú m(K ) Ê m(j ) = lim mj (j ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ T ú jđ Ơ m(G ) Ê lim inf mj (G ) jđ Ơ S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ { } b) Ta cú m(K ) = inf m(V ) : V ẫ K ,V é W ,V= V Gi s V l mt lõn cn m ca K v j ẻ C (V ) , Ê j Ê v j = trờn K Khi ú m(V ) m(j ) = lim mj (j ) lim sup mj (K ) jđ Ơ T ú jđ Ơ m(K ) lim sup mj (K ) jđ Ơ c) Vit E = IntE ẩ ả E Khi ú m(E ) = m(int E ) Ê lim inf mj (int E ) Ê lim inf mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ Mt khỏc m(E ) lim sup mj (E ) lim sup mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ T ú m(E ) lim sup mj (E ) Vy m(E ) = lim mj (E ) jđ Ơ jđ Ơ 1.2.2 nh lý Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) Khi ú zđ ảW ũ ( dd cv )n Ê ũ ( dd cu )n {u < v } {u < v } (1.1) 1.2.3 H qu Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho u Ê v v lim u (z ) = lim v(z ) = Khi ú zđ ảW zđ ảW ũ ( dd v ) c ( W) n Ê ũ ( dd cu )n ( W) 1.2.4 H qu (Nguyờn lý so sỏnh) Gi s Wé Ê n l b chn v u, v ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) cho lim inf(u(z ) - v(z )) zđ ảW Gi (dd cu )n Ê (dd cv )n trờn W Khi ú v Ê u trờn W S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ s 29 ( A v + B z - u y - uy n n ) T (u - u ) Wầ B s (0) T ú suy ut a xn (0) Ê A vx (0) + ut n (0) Ê C , a < 2n (0) Ê C , a , b < 2n a xn (2.5) Vic cũn li l i thit lp c lng ux n xn (0) Ê C Vỡ ta ó xõy dng c ut t (0) , ut a b a xn Nờn iu ú l suy unn (0) Ê C Gii phng trỡnh (2.1) vi u nn (0) ta thy rng u x ut t (0) , ut a b l uz a ,b < n a zb a xn n xn (0) Ê C suy t (0) Ê C , a , b < 2n (0)xa xb c0 > , vi vộc t n v x = (x1, , xn - 1) ẻ Ê n - 2.1.2 nh lý Cho j , y l cỏc hm s trn giỏ tr thc, y > Gi s tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C (W) ca (2.1), tc l, det (u z j zk ) y (z , u, ẹ u ) W, u = j trờn ả W (2.6) Khi ú tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C Ơ (W) ca (2.1) vi u u 2.1.3 Mnh Tn ti c0 = c0( y 0, j , u, ả W) cho a ,b < n uz a zb (0)xa xb c0 > S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt, ta ch cn ch bt ng thc sau l u11 (0) c0 > (2.7) Ta cng cú th gi s u (0) = ut (0) = 0, j Ê 2n - Tng t (2.4) ta cú: j (u - u )z a zb (0) = - (u - u )x (0)r z n a zb (0), a ,b < n c bit, u11 (0) = u11 (0) - (u - u )x (0)r 11 (0) n u (0) (trong ú K nh (2.2), vỡ vy 4K 11 T ú suy nu r 11 (0) Ê Ê (u - u )x (0) Ê 2K ), thỡ u11 (0) n r 11 (0) u (0) > Do ú ta cú th gi s 11 u (0) > 4K 11 Hm u%= u - l x n , ú l = ux (0) + u11 (0) / r 11 (0) , tha n det (u%ik ) = det (uik ) y 0, (2.8) v ổả ả2 ữ ỗỗ ữu%(t Â, r (t Â)) = ti ỗỗ + ữ ữ ỗả ả t2 ữ ố t1 ứ (2.9) Trờn ả W, u% c khai trin thnh chui Taylor u%ả W = ú q(t Â) l ổ 4ử g a b t a t b + q(t Â) + O ỗỗ t  ữ ữ ữ, ố ứ a , b < 2n mt a thc bc ba Ta cú th gi s g11 = g12 = g22 = Da vo (2.9), ta cú g11 + g22 = , v ú (2.8), (2.9) xy nu ta thay u%bi u%- ( g11x 12 + 2g12x 1y1 + g22y12 ) S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 31 Ta s chng t rng, sau tr i phn thc ca mt a thc chnh hỡnh (iu ny khụng nh hng n (2.8) v (2.9)), cú th gi s u%ả W Ê Re 1< j Ê n a j z 1z j + C 1< j Ê n zj , (2.10) vi a j ẻ Ê thớch hp thy iu ny trc tiờn chỳng ta nhn xột rng 2n - ồ n- g a b t a t b = Re z 1(a1 j z j + a1 j z j ) + Re(cz 1y n ) a=1 b= j= Vỡ vy n- 1 ga b t a t b = Re z 1(a1j z j + a1j z j ) + Re(cz 1y n ) + O(t 32 + + t 22n - 1) a , b < 2n j= Tip theo, q(t Â), a thc bc ba theo (t1, t ) cú mt khai trin nht Re(az 13 + bz z ), cỏc s hng l bc hai theo (t 1, t ) cú th c vit di dng n- n- j= j= 2 Re z 12(a1Âj z j + a1Âj z j ) + Re c j z j z , v tt c cỏc s hng khỏc u b chn bi C 3Ê b < 2n t b2 Cui cựng, nh (2.3) ta cú th thay th z bi ( r 11 (0))- x n theo mụ un ca mt a thc chnh hỡnh v mt sai s c iu chnh bi C z b , nu ta 3Ê b < 2n bin i cỏc h s a1j v c mt cỏch hp lý Do ú ta th li c (2.10) Bõy gi ta gi s (2.8), (2.9), (2.10) ng thi xy v xột hm cn h = - ex n + d z + S húa bi trung tõm hc liu 2B 1< j Ê n a j z + Bz j http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 32 Wầ B s (0) vi d > nh Giỏ tr riờng nh nht ca {h }l 2d v jk giỏ tr riờng ln nht b chn trờn bi CB vi C l mt hng s c iu chnh, khụng ph thuc vo d Ta s chn < e < d cho d z - ex n > trờn ả (Wầ B s (0)) v B ln (khụng ph thuc vo ) cho h u% trờn ả (Wầ B s (0)) Nh vy bng vic c nh B , chỳng ta cú th chn nh cho det (h jk ) Ê y trờn Wầ B s (0) Nhng s la chn ny bõy gi xỏc nh e Nh vy h l mt hm cn trờn ca u% Tc l, theo nguyờn lý cc i, u%Ê h Wầ B s (0) T ú, vỡ u%(0) = h(0) , nờn u%x (0) Ê hx (0) = - e n n Theo (2.8), ta cú u%11 (0) = - u%x (0)r (0) e n Nh vy (2.7) xy vi c0 = 11 u11 (0) 2K ũ u (0) > 2K 11 W Ta ó thit lp c (2.1) Nh vy chng minh ca nh lý 2.1.2 l y 2.2 Cỏc c lng ni ti i vi cỏc o hm cp hai 2.2.1 nh lý Cho u ẻ C (W) ầ C 1(W) l mt nghim a iu hũa di cht ca (2.1) Gi s rng tn ti mt hm a iu hũa di cht v ẻ C (W) vớ v = j trờn ả W Khi ú uz j zk (z ) Ê C (dist (z , ả W))N , vi z ẻ W ú C v N l cỏc hng s ph thuc vo n , W, u n C 1( W) (2.11) , v C ( W) , y cho cỏc o hm cp ca nú, v cn di y > ca y (x , u, ẹ u ) , ln lt ph thuc vo u C ( W) S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 õy cú th c xem nh mt s tng t cỏc C - c lng ni ti ca Pogorelov i vi cỏc phng trỡnh Monge-Ampốre thc (xem[12]) Vi y = y (z, u ) v j = (trong trng hp ny, W phi l gi li mnh, v cú th ly v , mc dự nú khụng phi l a iu hũa di cht), kt qu ny ó c chng minh bi F Schulz [13], chng minh ca ụng s dng cỏch tip cn phng phỏp tớch phõn ca N M Ivochkina [9] cho cỏc phng trỡnh Monge-Ampere thc S.-Y Cheng v S.-T Yau [6] cng t c cỏc c lng tng t vi iu kin ph thuc vo sup W u jk u z u z Chng minh j k nh lý c trỡnh by phn ny l mt m rng chng minh u tiờn ca Pogorelov cho trng hp phc Chỳng ta bt u vi b sau, s cn n phn 2.3 2.2.2 B Cho u l mt nghim a iu hũa di ca (2.1) v L = u jk ả j ả k l toỏn t tuyn tớnh Cho h l mt hm dng W v 2ỹ W = max max hN u jk (z )xj xk exp ùỡ P ẹ u (z ) ùý z ẻ W x = 1, x ẻ Ê n ùợù ùỵ ù j ,k (2.12) ú P v N l hng s gi s W t c ti mt im ( ) z ẻ W vi x = (1, 0, , 0) v u jk z = vi j k Khi ú, ti z , ta cú: ổ ỗ h Pu 11 11 ỗ ỗỗồ u + L (h) - N + m h ỗỗ j jj ỗố Nu j ,k 2ử u jk ữ ữ ữ ữ ữ u jj ữ ữ ữ ứ n + (f ) + 2Pu11 Re u k L (u k ) Ê , 11 (2.13) k N 8P max ẹ u (z ) zẻ W S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 34 Chng minh Vỡ hm N log h + log u11 + P ẹ u t c giỏ tr cc i ti z , nờn ti im ú ta cú N hj + h u11 j + Pồ u11 (u u k kj ) + u k u kj = (2.14) k v N h jj - N h ổ2 + P ỗỗỗu jj + ỗố hj u11 jj + h u11 - u11 j u11 + 2ử ữ u kj ữ + Re u k ukjj Ê ữ ữ ứ k k (2.15) T (2.14) vi j , ta cú N hj h u11 j Ê N u11 2 4P ẹ u ổ ỗỗu + + ỗố jj N k 2ử u kj ữ ữ ữ ữ ứ (2.16) Ly vi phõn phng trỡnh (2.1), ta c: u jk u jkl = (f ) , l j ,k u jk u jk 11 - j ,k u jm u lk u jk 1ulm = (f ) , 11 j ,k ,l ,m ú f = log y Vi N , ta cú j ,k 2 u11 j ổ u 2ử ữ - 111 - ỗỗ1 + ữ ữ ỗố ữồ u kk u jj u11 Nứ j > u 11u j j u1kj Ti z ta cú L = (2.17) u -jj 1ả j ả j ; nhõn (2.15) vi u11u -jj v ly tng theo j ng thi s dng (2.16) v (2.17), ta thu c (2.13) W Chng minh nh lý 2.2.1 Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s ( ) det vij Ê y0 W, ú: y y (x , u (x ), ẹ u (x )) > xẻ W S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 35 ph thuc vo u C (W) (Nu iu ny khụng tha thỡ ỏp dng nh lý 2.1.2 ta cú th s dng v , l mt hm a iu hũa di cht nh mt nghim y0 ( ) nhn c mt hm a iu hũa di cht v% tha det vij Ê W, v v%= j trờn ả W Khi ú ta cú th thay th v bi v%) Theo lp lun ro cn tiờu chun ta thy rng (u - v )(z ) e0dist (z , ả W) vi x ẻ W (2.18) vi hng s e0 > no ú Hn na, vỡ v l a iu hũa di, nờn ta cú L (h ) = L (v ) - L (u ) - L (u ) = - n (2.19) nhn c (2.11) ta ly h v - u (2.12); iu ú suy cn i vi W Vỡ h = trờn ả W, nờn W t c ti im z ẻ W v vi x ẻ Ê n no ú Sau bin i chnh hỡnh cỏc ta ta cú th gi s x = (1, 0, , 0) v u j k (z ) = vi j k Do ú ta cú th ỏp dng B 2.2.2 Bng tớnh toỏn n gin, ta c (xem [5]) (f )11 ổ 2 Re f p u j 11 - C ỗỗỗ1 + u11 + j ỗố j j 2ử ữ u1 j ữ ữ ữ ứ T (2.14) ta cú: ổ Re f p uj 11 = - 2Ku11 Re f p ỗỗỗu j u j j + j j ỗ ố j j k 2Nu 11 ữ u k u kj ữ Re f p h ữ j j ữ h ứ j ổ Nử ữ - 2Ku11 Re uk L (u k ) - Cu11 ỗỗK + ữ ữ ỗ ữ h ố ứ j Bõy gi, nhõn (2.13) vi h , kt hp vi (2.19) v hai bt ng thc trờn, ta c S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36 ổ 2ỗ P C h ( ) ỗỗỗu11 + ố j 2ử ữ u1j ữ - C (P + N )hu 11 - C N Ê ữ ữ ứ Chn N > P > , ú nhn c cn i vi hu11 v ú nhn c cn i vi W Cui cựng, vi z ẻ W tựy ý, ta cú max x = 1, x ẻ Ê n j ,k u jk (z )xj xk Ê 2ỹ ớù ù exp P ẹ u z ỡ ( ) ý ùợù ùỵ hN ù W Theo (2.18), iu ú ó hon thnh chng minh nh lý 2.2.1 W 2.3 Tớnh chớnh quy ca hm Green a phc Mt tớnh cht c bn ca hm Green a phc ú l nú l mt nghim yu ca bi toỏn sau: ớù u ẻ P SH (W- {a }) ùù ùù det(u ) = W- a {} z j zk ù ỡ ùù u = tren ảW ùù ùù u(z) = log z - a + O (1) z đ a ợ (2.20) Trong phn ny chỳng ta chng minh tớnh gii c ca bi toỏn (2.20) C 1,a (W- {a }) Trong trng hp W l trn, b chn v li cht, Lempert [11] ó chng minh rng gW(z , a ) ẻ C Ơ (W- {a }) Tuy nhiờn, trng hp gi li mnh, E Bedford v J.-P Demailly [2] ó tỡm c cỏc phn vớ d ch rng gW(z , a ) núi chung khụng thuc C 2(W- {a }) Sau õy chỳng ta s ỏp dng nh lý 2.1.2 chng minh tớnh C 1,a - chớnh quy ca hm Green a phc i vi mt gi li mnh 2.3.1 nh lý Cho W l mt gi li mnh, trn b chn v a ẻ W Khi ú gW(z , a ) ẻ C 1,a (W- {a }) vi < a < bt k Lu ý rng nh lý 2.2.1 khụng th s dng trc tip chng minh ca nh lý 2.3.1 bi toỏn (2.20) ca chỳng ta l suy bin S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 37 Chỳng ta s chng minh nh lý 2.3.1 bng vic chng minh rng bi toỏn trờn cú nghim nht C 1,a (W- {a }) nu W l mt gi li mnh, trn v b chn Ta chng minh nh lý sau õy, t ú suy nh lý 2.3.1 2.3.2 nh lý Cho W l mt gi li mnh, trn b chn, v a ẻ W Khi ( ) ú tn ti mt nghim yu nht ca (2.20) trongC 1,a W- {a } Chng minh Tớnh nht l h qu ca nguyờn lý cc tiu ca BedfordTaylor [4] Tip theo ta s chng minh s tn ti Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s rng B (a ) é W Theo [5], tn ti mt nghim a iu hũa di cht nht v ẻ C Ơ (W) i vi bi toỏn Dirichlet ( ) det v j k = W, v = - log z - a trờn ả W t u v + log z - a ẻ C Ơ W- {a } Ta thy rng u l a iu ho di ( cht W- ) {a } v tha ớù det(u ) e W- {a }, < e < ùù jk 0 ù u Ê 0, u = ỡ ảW ùù ùù u (z) = log z - a + O(1) z đ a ợ Vi mi < e Ê e0 , t We = W- B e (a ) v xột bi toỏn Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u trờn ả We Chỳ ý rng, vỡ u l mt nghim, nờn theo nh lý 2.1.2 tn ti mt nghim a iu hũa di cht nht u e ẻ C Ơ (We )ca bi toỏn Dirichlet det (u j k ) = e We , u = u trờn ả We Theo nguyờn lý cc i ta thy rng  u Ê u e Ê u e Ê log z - a We nu e ÂÊ e (2.21) Nh vy gii hn S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38 u (z ) lim u e (z ) eđ ( ) tn ti vi mi z ẻ W- {a } Ta mun chng minh rng u ẻ C 1,a W- {a } vi bt k < a < iu ú thit lp mt c lng sau õy: vi bt k compact K é W- {a }, v vi nh cho K é We , ta cú ue C 1,a (K ) Ê C = C (K ) khụng ph thuc vo e (2.22) Trc ht, t (2.21) ta cú, max u e Ê C khụng ph thuc vo e K Bõy gi ta c lng cỏc o hm trờn ả W Gi s h l mt hm iu hũa We vi giỏ tr biờn h ảW = v h = log e0 Khi ú, vi e < e0 ả B e (z ) u Ê u e Ê h We T ú suy < c1 Ê ẹ u e = u ne Ê C trờn ả W, khụng ph thuc vo e (2.23) ú o hm ly theo n theo hng chun tc i vi vộc t n v hng phớa ngoi i vi ả W i vi cỏc o hm bc ti mt im trờn ả W, ta nhn xột rng chng minh ca cỏc c lng (2.5) i vi cỏc o hm cp hai hn hp phn 2.1 cú hiu lc, cp c lng o hm phỏp tuyn suy t (s dng ký hiu phn 2.1) uz a zb = - u x (0)r z n a zb cựng vi (2.23) v tớnh gi li mnh ca W Vỡ vy, ta cú ẹ 2u e Ê C trờn ả W, khụng ph thuc vo e (2.24) Tip theo ta nhn c S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 Du e n j=1 (u ) + uye y Ê C K c lp vi e e x jx j j j (2.25) Chn e1 > nh K é W- B e (z ) Vi e < e1 , t M e = max max h2 u jek (z )xj xk , z ẻ We x = 1, x ẻ Ê n j ,k ú h = z - a - e12 Ta mun c lng M e , nú suy mt cn u i vi u jk trờn K nh chng minh nh lý 2.2.1 Nu M e t c trờn ả W, thỡ mt cn i vi M e suy t (2.24) Gi s M e t c ti mt im no ú W- B e (a ) Theo B 2.2.2 (trong bt ng thc (2.13), ly N = 2, P = v f log e ) ta nhn c Meồ j u je j Ê C Theo bt ng thc giỏ tr trung bỡnh s-hỡnh hc ta cú j T ú suy M e Ê n Ce u jje n det - 1/ n ( ) u jek = n e- 1/ n Do ú ta thu c mt cn i vi M e v vỡ th nhn c (2.25) D u = 4ồ u jj Cui cựng, (2.22) suy t (2.25) iu ( ) ny chng t rng u ẻ C 1,a W- {a } v vỡ th gii c bi toỏn (2.20), iu ú ó hon thin chng minh nh lý 2.3.2 Trong [14], S Semmes ó phỏt trin mt nh lý v cỏc ỏnh x Riemann suy rng cú liờn quan cht ch vi cỏc hm Green a phc (nh lý 2.2 [14]) S dng cụng trỡnh ca Lempert [11], ụng ó chng minh s tn ti ca cỏc ỏnh S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 x Riemman trn vi cỏc nh trn v li cht ó cho Ê n Ta cú h qu sau õy ca nh lý 2.3.1 2.3.3 H qu Nu : B n đ Ê n l mt ỏnh x Riemann m nh ca nú l mt gi li mnh v trn Ê n , ú B n ký hiu l hỡnh cu n v Ê n , thỡ r l C 1, a B n - S húa bi trung tõm hc liu {0} vi < a < tu ý http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh cht ca hm a iu ho di cc i, toỏn t Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere, hm Green a phc vi cc logarit ti mt im - Mt s kt qu ca Bo Guan v tớnh chớnh quy ca nghim tng quỏt ca phng trỡnh Monge-Ampốre v tớnh chớnh qui ca hm Green a phc C th l ó trỡnh by chng minh chi tit cỏc kt qu sau: + Gi s j , y l cỏc hm s trn giỏ tr thc, y > Gi s tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C (W) ca bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh Monge-Ampốre phc ớù det (u ) = y (z , u, ẹ u ) W z j zk ùù ỡ ùù u = j trờn ả W, ùợ (2.1) ú W b chn Ê n vi Ê Ơ - biờn ả W, tc l, det (u z j zk ) y (z , u, ẹ u ) W, u = j trờn ả W Khi ú tn ti mt nghim a iu hũa di cht u ẻ C Ơ (W) ca bi toỏn (2.1) vi u u + Gi s W l mt gi li mnh, trn b chn v a ẻ W Khi ú gW(z , a ) ẻ C 1,a (W- {a }) vi < a < bt k + Cho W l mt gi li mnh, trn b chn, v a ẻ W Khi ú tn ( ) ti mt nghim yu nht trongC 1,a W- {a } ca bi toỏn ớù u ẻ P SH (W- {a }) ùù ùù det(u ) = W- a {} z j zk ù ỡ ùù u = tren ảW ùù ùù u(z) = log z - a + O (1) z đ a ợ S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 TI LIU THAM KHO Ting Vit: [1] Nguyn Quang Diu v Lờ Mu Hi, C s lớ thuyt a th v, NXB i hc s phm H Ni, 2009 Ting Anh: [2] E Bedford and J.-P Demailly, Two counterexamples concerning the pluricomplex Green function in Ê n , Indiana Univ Math J., 37 (1988), 865-867 [3] E Bedford and J E Fornaess, Counterexamples to regularity for the complex Monge-Ampere equation, Invent Math., 50 (1979), 129-134 [4] E Bedford and B A Taylor, The Dirichlet problem for a complex MongeAmpere equation, Invent Math., 37 (1976) 1-44 [5] L A Caffarelli, J J Kohn, L Nirenberg and J Spruck, The Dirichlet problem for nonlinear secondorder elliptic equations II Complex MongeAmpere and uniformly elliptic equations, Comm Pure Applied Math., 38 (1985), 209-252 [6] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complete Kahler metric on non-compact complex manifolds and the regularity of Feffermans equation, Comm Pure Applied Math., 33 (1980), 507-544 [7] B Guan, The Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations and regularity of the pruli-complex Green function, Comm Anal Geom (1998), 687-703 [8] B Guan and J Spruck, Boundary value problem on S n for surfaces of constant Gauss curvature, Annals of Math., 138 (1993), 601-624 [9] N M Ivochkina, Construction of a priori bounds for convex solutions of the Monge-Ampere equa tions by integral methods, Ukrain Math J., 30 (1978), 32-38 [10] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford University Press, New York 1991 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 [11] L Lempert, La metrique de Kobayashi et la representation des domains sur la boule, Bull Sci Mat France 109 (1981), 427-474 [12] A V Pogorelov, The Minkowski Multidimensional Problem, Wiston, Washington D.C, 1978 [13] F Schulz, A C - estimate for solutions of complex Monge-Amp`ere equations, J Reine Angew Math, 348 (1984), 88-93 [14] S Semmes, A Generalization of Riemann Mappings and Geometric Structures on a Space of Domains in Cn, Memoirs Amer Math Soc., no 472, 1992 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... y (z ) H w- z (z ) y (z + w - z ) - e = y (w) - e Vy y l na liờn tc di (iu phi chng minh) Bõy gi ta s ỏp dng kt qu trờn cho Bi toỏn Dirichlet tng quỏt i vi toỏn t Monge- Ampere: Cho W l min b chn trong Ê n v f ẻ C(ả W) Bi toỏn Dirichlet tng quỏt i vi toỏn t Monge- Ampere phc c t ra nh sau: tỡm mt hm na liờn tc trờn u : Wđ R sao cho u liờn tc ti mi im ca ả W v cỏc iu kin sau c tha món: S húa bi trung... vi w = u + eg trong lõn cn ca im b S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 24 Chng 2 BI TON DIRICHLET I VI PHNG TRèNH MONGE- AMPẩRE PHC V TNH CHNH QUY CA HM GREEN A PHC Cho W l mt min b chn trong Ê n vi Ê Ơ - biờn ả W Trong chng ny chỳng ta quan tõm n bi toỏn Dirichlet i vi phng trỡnh MongeAmpốre phc ớù det (u ) = y (z , u, ẹ u ) trong W z j zk ùù ỡ ùù u = j trờn ả W ùợ (2.1) Trc tiờn ta... trờn W Vy u v trờn {u < w } G Do ú u cc i S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 1.3 Bi toỏn Dirichlet i vi toỏn t Monge- Ampere Trc tiờn chỳng ta xột lp cỏc hm a iu hũa di cc i liờn tc liờn quan n bi toỏn Dichlet tng quỏt: Cho W l mt min b chn trong Ê n v f ẻ C (ả W) Bi toỏn Dirichlet c t ra nh sau: tỡm mt hm na liờn tc trờn u : Wđ Ă sao cho u W l a iu ho di trờn W v u ả W f Ta ký... (1.14) Khi ú v Ê u , bi vỡ u l hm Green, v ti mt im b ẻ W\ {a } no ú, cú v(b) < u(b) Gi s g l hm a iu hũa di cht xỏc nh trờn lõn cn ca W sao cho g Ê - 1 trong W Chn e > 0 bộ sao cho u + eg > v trong lõn cn ca b v t w = max {u + eg, v } Chỳ ý rng w(z ) - log z - a = O(1) khi z đ a v (dd c w)n ({a }) = (2p ) n , (1.15) theo nh lý 1.4.6 Hn na, t thỏc trin ca toỏn t Monge- Ampere ta cú ũ (dd w) c n = W ũ... l nghim ca bi toỏn Dirichlet tng quỏt khi W l mt hỡnh cu Euclid 1.3.1 nh lý Cho f ẻ C (ả B ) , trong ú B = B (a, r ) l mt hỡnh cu m trong Ê n Khi ú hm y xỏc nh bi ớù y B , f (z ) (z ẻ B ) y (z ) = ùỡ ùù f (z ) (z ẻ ả B ) ùợ l mt nghim ca bi toỏn Dirichlet i vi tp B v hm f Hn na, y l liờn tc Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi thit rng a = 0 Gi s h l nghim ca bi toỏn Dirichlet c in i vi... u z ) 1 j k 1 n, n trong ú ảj = ả 1 ả ả ả 1 ả ả = ( - i ), ả j = = ( +i ) ảz 2 ảx ảyj ảzj 2 ảxj ảyj j i Trong [8], J Spruck v cỏc tỏc gi ó nghiờn cu bi toỏn Dirichlet cho cỏc phng trỡnh Monge- Ampốre thc trong cỏc min khụng li Vỡ cỏc phng trỡnh Monge- Ampốre phc liờn quan cht ch ti cỏc vn ó bit trong hỡnh hc v gii tớch phc, nờn nú l lý do hy vng vo mt kt qu nh th tỡm ra nhng ng dng thỳ v S húa bi... tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Vỡ 20 1.4 Hm Green a phc vi cc logarit ti mt im 1.4.1 nh ngha Cho W l tp con m liờn thụng trong Ê n , a ẻ W, nu u l hm a iu ho trong lõn cn ca a thỡ ta núi rng u cú cc logarit ti a nu v(z ) - log z - a Ê O (1) khi z đ a Ta ký hiu: { } gW(z , a ) = sup v(z ) : v ẻ P SH (W), v < 0; v(z ) - log z - a Ê 0(1) , l hm Green a phc trờn W vi cc logarit ti a Hm gW(z ,.)... B (x , e j ) , ả 2u e (T e u )(y ) - D u (x ) Ê h v j ả xiả xk j (y ) - ả 2u (x ) Ê h , ả xiả xk trong ú i, k = 1, , m v u e ( x) = A (u ; x, e j ) j Bõy gi ta xem xột tớnh chớnh qui ca hm Perron- Bremermann: kt qu chớnh qui sau õy thuc v Bedford-Taylor (1976) 1.3.3 nh lý Gi s j ẻ C2(ả (B (0,1)) v u = YB (0,1),j Khi ú ả 2u Ơ ẻ Lloc (B (0,1)) v u ẻ C1,1(W) ả xiả xk Chng minh Trc tiờn ta chng minh... dd cu )n ũ ( dd u ) {u < v } {u < v + ey } ũ (dd cv )n + en 4n n !l n ({u < v + ey }) > 0 {u < v + ey } v ta gp mõu thun 1.2.7 H qu Gi s Wé Ê n l min b chn v u ẻ P SH (W) ầ LƠ (W) tha món phng trỡnh Monge- Ampốre (dd cu )n = 0 Khi ú u l hm a iu hũa di cc i trong W Chng minh Gi s v ẻ P SH (W) v G é W sao cho u v trờn ả G t ớù max {u (z ), v(z )}, z ẻ G w(z ) = ùỡ ùù u (z ), z ẻ W\ G ợ Khi ú w ẻ... suy ra t cỏc kt ả x jả xk qu v khụng gian Sobolev 1.3.4 nh lý Bedford-Taylor Nu f ẻ C(ả B (0,1)) , thỡ hm s ớù f u = ùỡ ùù YB (0,1), f ợ t rờn ả B (0,1) tr ờn B (0,1) (1.6) l nghim duy nht ca bi toỏn Dirichlet S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 ớù u ẻ P SH (B (0,1)) ầ C(B (0,1)) ùù ùỡ u = f B (0,1) ùù ùù (ddcu )n = 0 trong W ợ (1.7) Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi ... tốn Dirichlet cổ điển tốn tử Monge- Ampere, hàm Green đa phức với cực logarit điểm - Một số kết Bo Guan tính quy nghiệm tổng qt phương trình Monge- Ampère tính qui hàm Green đa phức Cụ thể trình. .. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hồ dưới, hàm đa điều hồ cực đại, tốn tử Monge- Ampère tốn Dirichlet cổ điển tốn tử Monge- Ampere, Hàm Green đa phức với cực logarit... 1.1 Hàm đa điều hồ cực đại 1.2 Tốn tử Monge- Ampère phức 1.3 Bài tốn Dirichlet tốn tử Monge- Ampere 1.4 Hàm Green đa phức với cực logarit điểm 20 Chƣơng 2: BÀI TỐN DIRICHLET