Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu tham khảo, tài liệu học về bài toán vận tải
LÝ THUYẾT VỀ BÀI TÓAN VẬN TẢINguyễn Minh Đức1) Bài tóan vận tải luôn có phương án tối ưu: 1 1min(max)m nij iji jZ c x= ==��Trong đó: 1mij jix b==, 1,j n=rsd∆ 1nij ijx a==, 1,i m= 0, ,ijx i j ∀Chứng minh: bằng cách đặt i jija bxd= với i jd a b= =� �Dễ thấy 0Z hay Z bị chặn dưới2) Định lý: nếu lầ lượt cộng vào chi phí ở hàng 1,2…m một lượng -1u,-2u,…,-mu và vào cột 1,2…n một lượng -1v,-1v,…,-nv, tức là thay thế ijc bởi 'ij ij i jc c u v= − −Chứng minh: Ta có 1 1( )m nij iji jf x c x= ==�� Đặt 1 1( ) ( )m nij i j iji jF x c u v x= == − −�� 1 11 1 1 1 1 11 1( ) ( )( )( )m nij i j iji jm n m n n mij ij i ij j iji j i j j im ni i j ii jF x c u v xc x u x v xf x u a v bf x A= == = = = = == == − −= − −= − −= +���� �� ��� �Vậy để tìm min f(x) tức có nghĩa là tìm min của F(x)• Nhận xét1: nhờ định lý trên ta có thể cho ' 0 0ij ij i jc c u v= − − =� với mọi ô chọn 0ijx để F(x)=0, khi đó. 1 1( )m nij i i j ji jf x u a v b= == +� � ( biểu thức đối ngẫu của bài tóan đối ngẫu của ( )ijf x)Suy ra (( ))ijx chính là giá trị tối ưu của bài tóan vì (( )) ( , )ij D i jf x f u v=với 1,i m= , 1,j n= F(X)=0• Nhận xét 2: có m+n-1 ô chọn, nên có m+n-1 phương trình, với m ẩn iu và n ẩn jv (m+n ẩn). Do đó hệ sẽ có vô số nghiệm, chỉ cần cho một ẩn nào đó một giá trị tùy ý thì sẽ tính được các ẩn còn lại. Vì vậy đây là tiền đề cho phương pháp thế vị sau này.3) Phương pháp thế vị Từ nhận xét trên ta tìm các iu,jv thỏa i j iju v c+ = với mọi ô chọn (i,j) được gọi là các thế vị.Đối với các ô lọai, lượng ( )ij i j ij ij i ju v c c u v∆ = + − = − − − được gọi là lượng kiểm tra• Nhận xét: sở dĩ đổi ij i j iju v c∆ = + − là vì khi giải để dễnhớ rằng bài tóa vận tải min,0ij∆ với các ô lọai đó là phương án tối ưu, còn bài tóan vận tải max,0ij∆ với các ô lọai đó là phương án tối ưu, còn bài tóan vận tải4) Định lý 3 : BTVT min + Nếu 0ij∆ ∀ ô lọai thì PACB đang xét là PATƯ + Nếu 0ij∆, thì có thể tìm được một PACB khác tốt hơn PACB hiện có và 0( ) ( )ijf x f x d= − ∆ (trong đó d là lượng chúng ta lọai)Đây là một kiến thức quan trọng của phương pháp thế vị, nó giải thích tại sao chúng ta lại lọai phương án đó, vì phương án tiếp theo sẽ nhỏ hơn phương án cũ.Chứng minh: a) Nếu 0ij∆, ∀ ô lọai (i,j) thì PA là PATƯ. Ta lập hai bài tóan tương đồng nhau (I) và (II) ( )( )0ij ijf x c xI AX BX==�� ( ) ( )( )0ij ij ij i j ijF x x c u v xII AX BX= ∆ = − −=�� ��Gọi phương án cơ bản hiện tại là X0 , và X là một phương án bất kỳ 0 0 0 0( , ) ( , ) _( )ij ij ij ij ij iji j ochon i j o loaiF X x x x= ∆ = ∆ + ∆�� �� ��(i,j) là ô chọn 0ij∆ =�(I,j) là ô lọai 00ijx =�Với X là phương án 00ijx, ∀(i.j) 0( 0), ,ij iji j∆ ∆ ∀ 0( ) 0( ) ( )ij ijF X xF X F X= ∆� ���Vậy X0 là phương án tối ưu của bài tóan (II) nên cũng là PATƯ của bài tóan (I)• Nhận xét: Ở đây nhờ định lý 2 bài tóan tương đồng đã sừ dụng được kỹ thuật rất hay là kỹ thuật quy không để tìm lời giải của bài tóan (II)b) Nếu có một lượng kiểm tra 0ij∆ >, thì có thể tìm được một PACB khác tốt hơn PACB hiện có và 0( ) ( )ijf x f x d= − ∆.Chứng minh: Gọi (r,s) là ô lượng kiểm tra 0rs∆ >0rs r sc u v− − >� 0 0rs r s rsc u v− + + < ∆ <� �Gọi G là tập hợp các ô chọn của X0 ( G có m+n-1) ôKhi đó sẽ tồn tại một vòng đi qua ô (r,s) (có thể chứng minh dc điều này) thì đánh dấu + vào ô (r,s), đánh dấu – vào ô kế tiếp… cho tới hết vòng VGiả sử vòng V gồm các ô ( ) ( )r,s , r,k ,( , ),( , )l k l s+ −+ − Vì ( )r,k, ( , )l k, ( , )l s là ô chọn nên rk r klk l kls l sc u vc u vc u v= += += + rk ls r k l sc c u v u v+ = + + +� (1) (r,s) là ô lọai nên rs r s rsrs r s rsu v cc u v∆ = + −= + − ∆� rs ls l s r s rsc c u v u v+ = + + + − ∆� (2)Từ (1),(2) ( ) ( ) 0rk ls rs ls rsV Vc c c c− ++ − + = ∆ >�Suy ra chi phí V− lớn hơn V+một lượng là rs∆ Tổng quát ta có ( , ) ( , )0ij ij rsi j V i j Vc c− +� �− = ∆ >� �• Nhận xét : Vậy, cjở một đơn vị hàng bên V− thì chi phí lớn hơn V+một lượng là rs∆dương. Do đó nếu chuyển bớt d đơn vị hàng bên V− sang V+ thì chi phí sẽ giảm là rsd∆. Vậy ta có tổng quát 0( ) ( )ijf x f x d= − ∆Từ đây, ta suy ra với một số hữu hạn bước như trên ta sẽ tìm được một PA x*Là nhỏ nhất. . rằng bài tóa vận tải min,0ij∆ với các ô lọai đó là phương án tối ưu, còn bài tóan vận tải max,0ij∆ với các ô lọai đó là phương án tối ưu, còn bài. LÝ THUYẾT VỀ BÀI TÓAN VẬN TẢINguyễn Minh Đức1) Bài tóan vận tải luôn có phương án tối ưu: