KỸ NĂNG SỬ DỤNG CASIO TRONG GIẢI TOÁN (Lễ Tân -THPT Chuyên Chu Văn An-Bùi Thế Việt THPT Chuyên Thái Bình) Trong dụng cụ học tập phép mang vào phòng thi kỳ thi đại học, kỳ thi THPT Quốc Gia máy tính cầm tay dụng cụ thiếu giúp tính toán nhanh chóng Tuy nhiên, máy tính cầm tay trợ thủ đắc lực để giải toán, đặc biệt giải Phương Trình, Hệ Phương Trình, Bất Phương Trình, hay kể Bất Đẳng Thức Mình (tác giá - Bùi Thế Việt) người đam mê với kỹ năng, thủ thuật sử dụng máy tính cầm tay giải toán Mình áp dụng vào đề thi THPT Quốc Gia 2015 Chỉ – phút, đưa lời giải xác cho câu Phương Trình Vô Tỷ gần giờ, hoàn thành xong làm với điểm số tuyệt đối, 85/671.149 người điểm tối đa Vậy sử dụng cho hiệu ? Hãy đến với chuyên đề Kỹ Năng Sử Dụng CASIO Trong Giải Toán Chuyên đề chưa phải tất Thủ Thuật mà đưa tới cho bạn đọc Tuy không nhiều thủ thuật mang tới kỳ diệu mà máy tính CASIO mang lại Chuyên đề giới thiệu thủ thuật CASIO hay dùng việc giải toán :  Thủ thuật sử dụng CASIO để rút gọn biểu thức  Thủ thuật sử dụng CASIO để giải phương trình bậc  Thủ thuật sử dụng CASIO để tìm nghiệm phương trình  Thủ thuật sử dụng CASIO để phân tích đa thức thành nhân tử ẩn  Thủ thuật sử dụng CASIO để phân tích đa thức thành nhân tử hai ẩn  Thủ thuật sử dụng CASIO để giải hệ phương trình  Thủ thuật sử dụng CASIO để tích nguyên hàm, tích phân  Thủ thuật sử dụng CASIO để giải bất đẳng thức http://fb.com/groups/dethithu THỦ THUẬT : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ RÚT GỌN BIỂU THỨC Bài 1: Giải Phương trình: 2x   x2  3x   (đề thi Đại Học khối D năm 2006) 1  Điều kiện xác định: x   ;   2  Thông thường với dạng toán này, ta bình phương đặt ẩn để đưa phương trình bậc  Hướng : Bình phương hai vế : 2x   x  3x    2x   ( x  3x  1)2    x  6x3  11x  8x   t2  Hướng : Đặt ẩn phụ : Đặt t  2x    x  ta : 2x   x  3x    t2    t2    t   3  1      t4   t2  t   4 ❓ Làm để rút gọn biểu thức cách nhanh chóng : 2x   (x2  3x  1)2  x4  6x3  11x2  8x  2  t2    t2   t4 t    t t    4     Nếu bạn chưa biết Thủ Thuật Sử Dụng Casio Để Rút Gọn Biểu Thức, hẳn bạn phải kỳ công ngồi nháp Và bạn gặp sai sót Tuy nhiên, bạn sử dụng CASIO, chuyện đơn giản bạn nghĩ ▶ Ý tưởng : Ta xét biểu thức x  1000 Dựa vào chữ số hàng đơn vị, hàng nghìn, hàng triệu, hàng tỷ, ta tìm hệ số tương ứng với hệ số tự do, hệ số x , hệ số x , hệ số x , Ví dụ xét : f(x)  ax3  bx2  cx  d f (1000)  a00b00c00d  109 a Suy a  f 1000  109 ❓ Làm để tính giá trị biểu thức x  1000 Cách nhanh sử dụng phím CALC để gán giá trị Ví dụ ta nhập biểu thức ẩn X , ta ấn CALC cho X  1000 ấn “=” máy tính hiển thị kết biểu thức X  1000 Để hiểu rõ hơn, vui lòng xem cách làm ▶ Thực : a) Ta muốn rút gọn biểu thức f(x)  2x   (x2  3x  1)2 , ta tính sau: Ta có : f 1000   9 , 94010992 1011  1012  x f 1000   x  5989007998  109  6x3 f 1000   x  6x3  10992002  11 106  11x f 1000   x  6x3  11x  7998  103  8x f 1000   x  6x3  11x  8x  2  f  x   x  6x3  11x  8x    Vậy đáp số: 2x   x  3x   x  6x3  11x  8x   x2    x2   b) Ta muốn rút gọn biểu thức f  x   x        , ta     nhân biểu thức với để hệ số f ( x) số nguyên Ta có : 4f 1000   9, 99996004 1011  1012  x 4f 1000   x  3996001  4  106  4x 4f 1000   x  4x  3999   103  4x 4f 1000   x  4x  4x  1  4f  x   x  4x  4x   f  x  x4  x2  x  4  x2    x2   x4     x2  x  Vậy đáp số: x      2 4     ▶ Phân tích hướng giải: ❓ Làm để giải nốt toán ? Hãy từ từ, đọc hết chuyên đề xem lại toán trên, chắn bạn đọc có nhìn hoàn toàn khác tập dạng Hãy thử xem qua lời giải sau : ▶ Cách : Nhân liên hợp hoàn toàn: Ta có : 2x   x  3x     x  1 x      2x        x  1  x   0 2x      2x      x  1  x     x       2    x  1 1  0    2x     ▶ Cách : Nhân liên hợp không hoàn toàn: Ta có :  2x   x  3x     x  1 x                   2x       2x   2x    x    x     2x   2x    x      2x   2x    x  1  2x    2    2x    x  1  2x    0 2x      2x    x  1 2x    2x     ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử không hoàn toàn:        2x   x  3x      2x   x    2x   x  ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử hoàn toàn: 2x   x  3x    2x   x  2x    ▶ Cách : Bình phương hai vế: 2x   x  3x         2x   x  3x      x  x   x  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ hoàn toàn: t2 1 Vậy ta có : Đặt t  x   x   t2    t2   2x   x  3x    t     3  1       t  t   t  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ không toàn toàn:   Đặt t  x  Vậy ta có : 2x   x  3x    x2  t  x  t   t  x  t  x  1  ▶ Cách : Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: Đặt y  x  Ta có hệ phương trình :  x  3x   y    y  x   Lấy PT (1)  PT (2) ta : x     3x   y  y2  2x     x  y  1 x  y   cách làm có khác cách trình bày chất giống Đó xuất phát từ thứ gọi “nhân tử” Khi có nhân tử, biết biểu thức cần nhóm để đặt ẩn phụ, nhân liên hợp, phân tích nhân tử Để hiểu rõ hơn, bạn đọc đọc thủ thuật quay lại xem toán thử làm tập tương tự Một số tập tương tự : x2  2x   x x   2 x  15 x    x  11 x  x  24 x  35  4 x   x  4 x  13 x  14  4 x   x  Bài 2: Giải phương trình:  x  2  x3  3x  13 (đề thi thử Đại Học lần khối B THPT Ngô Gia Tự – Bắc Ninh năm 2013) Điều kiện xác định: x  0,   ▶ Ý tưởng : Tương tự 1, ta sử dụng máy tính CASIO để rút gọn phương trình bậc sau :  f  x    x    13  36 x3  3x    ▶ Thực : Ta làm bước : Ta có : f 1000   9, 8006994  1011  1012  x f 1000   x  1, 993005999  1010  20  109  20x3 f 1000   x  20x3  69940009  70  106  70x f 1000   x  20x3  70x  59991  60  103  60x f 1000   x  20x3  70x  60x   f 1000   x  20x3  70x  60x    Kết luận :  x    13  36 x3  3x  x  20x3  70x  60x    ▶ Phân tích hướng giải : Vậy toán cho đơn giản việc giải phương trình bậc : x4  20x3  70x2  60x   Cách giải phương trình bậc máy tính cầm tay thủ thuật Ngoài có cách giải khác tương tự Tuy nhiên nên để ý cách giải phương trình việc phân tích nhân tử ý tưởng đề nhiều toán khó ▶ Cách : Bình phương hai vế: Ta có :  x  2  x3  3x  13     x    13  36 x3  3x     x  20x  70x  60x       x  1 x  3 x  16x   ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Ta có :  x  4      x x   13 x2   x  x2   x  Một số tập tương tự : x  15 x   x  x x  x   x3  x x2  13 x   x  x   4x2  6x   x2  x2  x Bài 3: Giải phương trình: x5  x  x3  29 x  16 x   Điều kiện xác định: x  ▶ Ý tưởng : Thông thường tập giải phương trình kiểu thường có hướng giải nhanh gọn Đó “Phân Tích Thành Nhân Tử” Muốn phân tích ta phải biết nhân tử toán ❓ Làm để tìm nhân tử toán ? Bằng thủ thuật CASIO, ta dễ dàng tìm nhân tử toán x   x  Nhưng để tìm bạn đọc đợi tới thủ thuật sau Tóm lại ta muốn tìm nhân tử lại toán, thương phép chia : x5  x  x3  29 x  16x  f  x  x  6x  ▶ Thực hiện: x5  x  x3  29 x  16 x  đa thức ẩn x x  6x  làm tương tự : Ta coi biểu thức f 1000   999995001  109  x3 f 1000   x3  4999  5  103  5x f 1000   x3  5x  Vậy ta : x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x2  6x  ▶ Phân tích hướng giải: Sau chia đa thức, ta :   x5  x  x3  29 x  16 x   x3  5x  x  x   Để giải phương trình bậc : x3  5x   đón xem thủ thuật giải phương trình bậc Vậy ta có lời giải sau : ▶ Lời giải : Ta có : x5  x  x3  29 x  16 x       x3  5x  x  x   Xét đa thức : g  x   x3  5x  Vì g ( x) bậc nên g ( x)  có tối đa nghiệm Chỉ nghiệm :    1  15   15cos  arccos     3  50    1  15  2 x2  15cos  arccos     3    1  15  2 x3  15cos  arccos     3  50   x1          Bài toán giải hoàn toàn Hy vọng qua toán trên, bạn đọc hình dung lợi ích việc sử dụng máy tính cầm tay việc rút gọn biểu thức giải toán Một số tập tương tự : x  x3  x  x   x5  x4  3x2  x   x5  x4  x3  x2  x   x6  x5  x4  24 x3  72 x2  64 x  16  THỦ THUẬT : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ TÌM NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải Bất Phương Trình: 300x  40x   10x    10x 0 1 x  1 x  (đề thi thử Đại Học lần THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An năm 2013) 1 3 Điều kiện xác định: x   ;  / 0  10 10  ▶ Ý tưởng : 1 3 Ta có :  x   x  1  x   x   2x   ;  10 10  Quan trọng giải bất phương trình : 300x2  40x   10x    10x  Thông thường với dạng toán này, ta nhân liên hợp với nghiệm toán ❓ Làm để tìm nghiệm phương trình : 300x2  40x   10x    10x  Sử dụng phím SOLVE để tìm nghiệm, có lẽ với số bạn, phím SOLVE cho ta nghiệm toán Vậy với toán có nhiều nghiệm ? Làm để biết toán có nghiệm ? Để hiểu rõ hơn, bạn đọc xem cách làm : ▶ Thực :  Ta viết biểu thức 300x2  40x   10x    10x  lên máy tính Ấn SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ?  Nhập  1 để tìm nghiệm gần 10 10  Máy cho nghiệm x  0.2   Ấn SOLVE để tìm nghiệm, máy hỏi X ?  Nhập  3 để tìm nghiệm gần 10 10 Máy cho nghiệm x  0.2  Vậy ta kết luận : Phương trình 300x2  40x   10x    10x  có nghiệm x  ▶ Phân tích hướng giải: Khi biết x  nghiệm phương trình, ta chắn sử dụng phương pháp nhân liên hợp Ngoài ra, bạn đọc thủ thuật giải phương trình vô tỷ CASIO, ta có thêm cách làm khác ▶ Cách : Nhân liên hợp hoàn toàn: Ta có : 300x  40x   10x    10x  1    10x    30x    0 10x    10x      10x  1  10x    30x    0 10x    10x    ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Ta có : 300x  40x   10x    10x   300x  40x    10x      10 x  30x  2   10x       10 x  30 x     30 x    10 x  30 x    10x     0     10 x 10 x       30 x  1  10 x  30 x  10x    10x     0     10 x 10 x     Một số tập tương tự : x2  x   2 x 1   x   10x     Khi x   y :  2  x  y  x  y  xy   y  1 y    x x2  y  12  9x   y  1 y     Suy 2PT(1)  PT(2)   Kết luận : Ta lấy 2PT(1)  PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta sử dụng thủ thuật phân tích thành nhân tử ẩn để giải toán ▶ Lời giải : Phân tích thành nhân tử: Lấy 2PT(1)  PT(2) ta được: (x  y  3)(x  xy  x  2y  4)  xy3 Vì :  x  xy  y  x  y  2 y  7  10   x  xy  x  y    x      y     2  4 7  Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 5: Giải Hệ Phương Trình: xy  x  y   3 4x  12x  9x  y  6y    ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm :  3  17  17  (x, y)   ,    y  Mối liên hệ x y x   y  Khi x   : 2  xy  x  y   y  y   4x3  12x  9x  y3  y    y  1 y  y        Suy 3(y  1)PT(1)  PT(2) Kết luận : Ta lấy 3(y  1)PT(1)  PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước : ▶ Lời giải : Phân tích thành nhân tử: Lấy 3(y  1)PT(1)  PT(2) ta được: (x  y  1)( 2x  y  2)2  Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 6: Giải Hệ Phương Trình: x3  y3  91  2 4x  3y  16x  9y ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm : (x, y)  ( 4, 3);(3, 4)  Mối liên hệ x y x   y  Khi x   y :  3  x  y  91  21 y   y  3  2  4x  3y  16x  9y   y   y  3 Suy PT(1)  3PT(2)  Kết luận : Ta lấy PT(1)  3PT( 2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự toán trước : ▶ Cách : Hàm đặc trưng: Lấy PT(1)  3PT( 2) ta được: x3  12x  48x    y   12   y   48   y  Xét hàm đặc trưng: f  t   t  12t  48t  f '  t    t    Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Lấy PT(1)  3PT( 2) ta được: x3  12x  48x  (  y)3  12(  y)2  48(  y)     x  y   x  xy  y  5x  y  13  2  y 5  y 3    x  y     x     3      2  2    Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc Bài 7: Giải Hệ Phương Trình: 3x2  xy  9x  y  9y  2x  x y  20x  20y ▶ Ý tưởng : Ta làm tương tự ▶ Thực :  Tìm nghiệm hệ phương trình CASIO ta nghiệm : (x, y)  (0, 0);(2, 1)  Mối liên hệ x y x  2y  Khi x  2y :  3x2  xy  9x  y  9y  9y  y  1   2x  x y  20x  20y  20y  y  1 y  1   Suy 20(y  1)PT(1)  9PT(2)      Kết luận : Ta lấy 20(y  1)PT(1)  9PT(2) phân tích thành nhân tử ▶ Phân tích hướng giải: Ta phải làm thêm hệ phương trình nữa: ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Lấy 20(y  1)PT(1)  9PT(2) ta được: (x  y)(18x  10 y  15xy  60x  80 y)  Lấy 8PT(1)  PT(3) ta được:     3x  xy  9x  y  9y  18x  10y  15xy  60x  80y    2x  y   3x  2y   Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc ▶ Cách : Phân tích thành nhân tử: Lấy  2x  y  5 PT(1)  9PT(2) ta được:  2y  x3x  2y  2x  y  4  Lời giải chi tiết dành cho bạn đọc THỦ THUẬT : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Bài 1: Tính Tích Phân: I  x 2dx x  1 ▶ Ý tưởng : Ta cần viết dạng: f  x   x x2  1 2  a  x  1  b c d với   x   x  1 x 1 a,b,c,d Khi ta tìm a, b, c, d lim ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  a  lim f  x  x  1   x 1    a   f x    x  1   b  lim x 1   x  1      c  lim f  x  x  1  x 1    c     x  1   d  lim f x      x 1   x  1    Kết luận : Ta : x2 x  1   x  1  1    x  1  x  1  x  1 ▶ Phân tích hướng giải: Công việc đơn giản Chúng ta tách tính tích phân phần ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có : I  3 x 2dx x  1  1 1 dx        x  1  x  12  x  1    x  1   1 1     ln x    ln x    ln   x 1 x 1  48 Bài 2: Tính Tích Phân:  I tan xdx   cos x  2 (đề thi thử Đại Học lần THPT Kim Thành – Hải Dương năm 2013) ▶ Ý tưởng : Đặt t  cosx dt   sin xdx Đổi cận ta được: I  tan xdx dt   cos x  2  t  t  2  2 Ta cần viết dạng : f t  t  t  2  a  t  2  b c  t2 t ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  a  lim f  t  t      t 2    a   f t   t  2   b  tlim  2   t  2      c  lim f  t  t  t 0  Kết luận : Ta : 1 1    4t  t    t   t  t  2 ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta đặt t  cosx dt   sin xdx Khi : I  tan xdx 1 dt  1  dt       t t    t    1    cos x    t  t     2 1  1   ln t  ln t     ln  2 t    30 4 Bài 3: Tính Tích Phân: 1  x  dx I x 1  x  5 ▶ Ý tưởng : 1  x  dx  1  t  dt  dt  5x dx Vậy: I    t 1  t  x 1  x  Đặt t  x Đặt f  t   32 1 t t 1  t   a 1  t   2 b c  với a,b,c 1 t t Ta tìm a,b,c ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  a  lim f  t 1  t   2 t 1    a    f t    t   1 b  lim  t 1   t       c  lim f  t  t   t 0  Kết luận : Ta : 1 t 1    2 t 1  t  1  t   t t ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta đặt t  x5  dt  5x4dx Khi : 1  x  dx  1  t  dt    I  t 1  t    1  t  x 1  x   32 32 1    ln  t  ln  t 1  1   dt 1 t t   32 64 31  t   ln  33 165 1 Bài 4: Tính Tích Phân: I x  33   x  3  x  1  x  1dx ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)  x2  33  a  x  3  x  1  x  1  x  3 3  b  x  3  c d e f    x   x  1 x 1 x 1 ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau : 3  a  lim f  x  x  3    x 3    a   x  3  b  lim  f  x     x 3   x  3       a b   f x    x  3  2  c  lim x 3   x  33  x  32     d  lim f  x  x  1   x 1    d  15   x  1  e  lim  f  x    x 1   x  1      f  lim f  x  x  1  x 1  Kết luận : Ta : x2  33 3 2 15       3 2  x  3  x  1  x  1  x  3  x  3 x   x  1  x  1  x  1 ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có : I   x  3 x  33 dx  x  12  x  1 5 3 2 15  dx        2  x   x  1  x  1  x  1   x  3   x  3     15     ln x    ln x   ln x    x  32  x  3  x 1 8  4 15 35  ln  ln  ln  8 48 Bài 5: Tính Tích Phân: I   x  1  x 2 dx  1 ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)   x  1 x  1  a  x  1  b c  x 1 x 1 ▶ Thực :  Ta tìm lim biểu thức sau :  f  x  x  1  a  lim x 1     b  lim  f  x   a   x  1   x 1    x  12     Ta tìm c sau : Xét x  1000 :  a b  x c   x   500  2   x  1 x   x  1 x 1   Kết luận : Ta : 1 x    2  x  1 x   x  1  x  1 x2    ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau :       ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có : I   x  1  2 3 1 x dx     2   x  1 x  x 1   x  1      dx     1 1 ln     ln|x  1| ln|x2  1|   4   x  1 2 Bài 6: Tính Tích Phân:  x I x3  2x  x    x  2x  dx  ▶ Ý tưởng : Đặt : f(x)  x x3  2x  x    x  2x    a b  x  x  2x  ▶ Thực :  Ta biết i , 1  2i nghiệm x2  2x    Ta tìm lim biểu thức sau : a  lim f  x  x   0, 25  0, 25i  x i  b  lim f  x  x  2x    1, 060660172i x   i  1 1  x  a    i   b   i    x  1  3x   4 Kết luận : Ta : x  2x  x  x 1 3x    2 2 x  x  2x  x  x  x       ▶ Phân tích hướng giải: Ta trình bày sau : ▶ Lời giải : Tích phân tổng: Ta có :       x2   , I  1 3x   x 1  dx  2 2  x  x  2x  x  2x   x 1 x3  2x  x          dx   1     ln x   arctan x  ln x  x   arctan  x  1    8           ln 2 2   arctan  arctan 16 2 2 THỦ THUẬT : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Cho a,b,c  a  b  c  Tìm GTLN của: P 4a  4b2  4c    a3  b 1 c 1 ▶ Ý tưởng : 4a   ka  m với a  a3  Dấu a  a0  Để tổng quát vấn đề, ta cần tìm k,m cho Ta cần tìm k,m cho: f(x)  mg(x)  k f(x)  mg(x)  k với x Khi k , m nghiệm hệ phương trình sau : f  x0   kg  x0   m  f '  x0   k 'g  x0  Với x  x0 điểm rơi ▶ Thực :  Ta tìm k cách nhanh chóng cách : d  4x   k    dx  x   x 1  Và m tìm cách : 4a  m  03  ka0  a0  Với a0  điểm rơi toán  4a  a  để chứng minh  a3  Ta phân tích thành nhân tử không dương với a  Kết luận : Ta có: (a  11a  5)(a  1)2 4a  a      0a  a3  a3    ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự với b, c cộng lại đáp án : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có : (a  11a  5)(a  1)2 4a  a  4a  a       a    4 a3  a3  a3    4b  b  4c  c    , suy ra: 4 b3  c3  4a  4b2  4c2  a  b  c  15 P       4 a 1 b 1 c 1 15 a  b  c   2 Chứng minh tương tự ta có Vậy Pmax Bài 2: Cho a,b,c  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a ▶ Ý tưởng : a  b3 x3   ka  mb   kx  m với Ta cần tìm k,m cho: 2a  ab  b2 2x  x  a  xb ▶ Thực :  Ta tìm k , m cách : d  x3   k   dx  x  x    x 03  19 15  m  kx0   16 16 x0  x0  x 1 Ta phân tích thành nhân tử Kết luận : Ta có: a  b3 19a  15b  2 16 2a  ab  b a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b   2 16 2a  ab  b 16 2a  ab  b2    2a  b 19a  15b  2 16 2a  ab  b 3 ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm tương tự với b, c cộng lại đáp án : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có : a  b3  6a  b  a  b   0a, b  19a  15b   2 16 2a  ab  b 16 2a  ab  b2    2a  b 19a  15b  2 16 2a  ab  b 3 Chứng minh tương tự ta có : c3  a b3  c 19c  15a 19b  15c   2 2 16 16 b  bc  c c  ca  a Suy ra: a  b3 b3  c3 c3  a abc    2 2 2 2a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bài 3: Cho a,b,c  thỏa mãn abc  Tim GTNN của: P a2  b2  c2    a(a  1)2 b(b  1)2 c(c  1)2 ▶ Ý tưởng : Ta thấy lnabc  lna  ln b  ln c nên ta tìm k,m cho : a2   k ln a  m a(a  1)2 Dấu đẳng thức a  ▶ Thực :   1 m  2 a 1 1  ln a   0a  Ta cần chứng minh f(a)  2 a(a  1) Tương tự toán trước, ta tìm k   Kết luận : Ta chứng minh f(a)  a2  1  ln a   0a  2 a(a  1) ▶ Phân tích hướng giải: Ta chứng minh đạo hàm cách tốt nhất: ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Ta có bổ đề : a2  1 f(a)   ln a   0a  2 a(a  1) Chứng minh : f '(a)   a3  a  3a   a  1 a   a  1 a  2a  7a    2a  a  1 a  Vậy f '(a)   a  f'(a) đổi dấu từ âm sang dương qua Suy f(a)  f(1)  (đpcm) Chứng minh tương tự, suy ra: a2  b2  c2  3 ln abc P      ln a  ln b  ln c     2 2 2 2 a(a  1) b(b  1) c(c  1) Vậy Pmin   a  b  c  Bài 4: Cho a,b,c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 a2  b2  c2    a b c ▶ Ý tưởng : Ta cần tìm k,m cho a   ka  m a2 ▶ Thực :  Tương tự toán trước, ta tìm k  4,m  4  Ta cần chứng minh f(a)  a   4a  a   a  2a   a  1 0  Tuy nhiên a   4a   a a2  BĐT  a   Kết luận : Ta chia trường hợp để áp dụng : 2   a  2a   a  1 a   4a   0 a a2 ▶ Phân tích hướng giải: Ta làm sau : ▶ Lời giải : Bất đẳng thức: Không tính tổng quát giả sử a  b  c TH1: a  b  c   vô lý TH2: a  b    c vô lý 2 TH3: a    b  c 2c  b  c   a   suy c  2 Còn b  b  c  3  2 Dễ thấy f(a) đồng biến (0, ) nên ta có:    80 f(a)  f(b)  f(c)  f(3)  f   f   10          a  2a   a  1  TH4:   a  b  c a   4a   a a2 Vậy f(a)  f(b)  f(c)  4(a  b  c)  12  Tóm lại BĐT chứng minh 2 Bài 5: Cho x, y,z  thỏa mãn 2x  4y  7z  2xyz Tìm GTNN của: P xyz ▶ Ý tưởng : Nếu bạn đọc xem đáp án thức, lời giải toán khó để thực Tuy nhiên, có cách khác dễ dàng nhiều cần sử dụng máy tính CASIO Ta tìm điểm rơi toán Cách tìm điểm rơi phương pháp nhân tử Lagrange ▶ Thực :  Xét hàm f(x, y,z)  x  y  z  k( 2x  4y  7z  2xyz) Ta có hệ:  7k   xy  2k    k(  2yz)   yz   2k   k(  2xz)   2k     4k   k(  2yx)   zx  k 2x  4y  7z  2xyz    2    yz xz xy 4k 8k 14k    2k   2k  4k  k  Từ ta xy  15   , yz  5,zx  hay (x, y,z)   3, ,      Kết luận : Điểm rơi toán (x, y,z)   3, ,    ▶ Phân tích hướng giải: Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy với điểm rơi có sẵn : ▶ Lời giải : Phương pháp nhân tử Lagrange: Ta có : 7 105   5 15   3 15  15 P  x y  x z   y z 10 8xy   12 2xz   10 4yz   12  33 7 105 5 15 3 15 15 15 x y  33 x  z   33 y  z    12 10 8xy 12 2xz 10 4yz Vậy Pmin  15    (x, y,z)   3, ,    Tài liệu chia sẻ hợp tác Bùi Thế Việt Lễ Tân Mọi hành vi chép phải chịu trách nhiệm trước pháp luật [...]... hiện :  Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta được các nghiệm như sau : A  2.414213562   B  1.618033988  C  0.414213562   A  B  2 Thành thử thấy  nên nhân tử của bài toán này là : AB  1 y    2y  1 Sử dụng Thủ Thuật Rút Gọn Biểu Thức ta được : 3 2 y 2  1  3 y 2  1  4 y 2  1  4  y    y 4  y3  4y 2  y  1 2 y  2y  1   2      Sử dụng Thủ Thuật Giải Phương... 6  0 THỦ THUẬT 6 : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 1: Giải Hệ Phương Trình:  x3  y3  6y 2  12x  16  0  2 2 2 x 4  x  3 4y  y  3y  10  x  0 (đề thi thử Đại Học – Bà Rịa Vũng Tàu năm 2014) ▶ Ý tưởng : Tuy là một hệ phương trình trong Thủ Thuật Giải Phương Trình Vô Tỷ, nhưng nó lại mang ý nghĩa lớn về việc quan trọng của phương pháp giải phương trình vô tỷ Chắc... 4y  2     2x  y  1 4x2  2xy  y 2  2x  2y  2  ▶ Phân tích hướng giải: Ta giải quyết nốt 4x 2  2xy  y 2  2x  2y  2  0 bằng cách : 1 3 2 2  4x  y  1   y  1  1  0 4 4 Sau đó sử dụng Thủ Thuật Giải Phương Trình Vô Tỷ để giải quyết phương trình vô tỷ còn lại Ta cũng có thể xét hàm đặc trưng với bài toán này ▶ Cách 1 : Phân tích thành nhân tử: Ta có : 8x3  2x  y3  3y 2  4y... luận : x3  ( 2m  1)x 2  (m 2  2m  1)x  m 2  1   x  1 x  m  1 x  m  1 ▶ Phân tích hướng giải: Khi biết 3 nghiệm của phương trình bậc 3, ta tìm được tọa độ của 3 điểm Căn cứ theo giả thiết, ta sẽ có lời giải của bài toán Sử dụng Thủ Thuật Rút Gọn Biểu Thức là một lợi thế ▶ Lời giải : Phân tích thành nhân tử: Ta có : x3  ( 2m  1)x 2  (m 2  2m  1)x  m 2  1  0   x  1 x ... hiện :  Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta được 2 nghiệm là : A  3  B  2  Vậy nhân tử của bài toán sẽ là :  x  3 x  2   Ta cần tìm thương của biểu thức : x f  x  2  169x  34  2  2500  4x  1 3x  2   x  3 x  2  Tuy nhiên, sử dụng Thủ Thuật Rút Gọn Biểu Thức lại không được ổn vì hệ số của đa thức quá to Nếu không gán giá trị cho x  1000 được thì ta sử dụng lim... số ví dụ trên Thủ Thuật Giải Phương Trình Vô Tỷ sẽ giúp bạn hiểu được phần nào cách giải phương trình vô tỷ bằng máy tính CASIO Đối với bài toán trên, sử dụng Thủ Thuật Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử Hai Ẩn ta được : x3  y3  6y 2  12x  16  0  x3  12x   y  2   12  y  2  3 xy2  yx2 (vì 2  x  2 và 0  y  4 ) Vấn đề của chúng ta là ở phương trình sau khi thế y  x  2 :  x  3... bài toán này là  4  x2  x  ❓ Làm thế nào để tìm được nhân tử còn lại? Có khá nhiều cách để chia biểu thức chứa căn bằng CASIO Nếu bạn đọc chưa có kinh nghiệm, hãy cứ bình tĩnh nhóm hợp lý theo cách cách mà chuyên đề này hoặc nhiều tài liệu khác gọi là “nhân liên hợp không hoàn toàn” Nếu bạn đọc đã quen với việc giải phương trình vô tỷ, bạn đọc hãy đợi cuốn sau của tác giả để nâng cao khả năng sử dụng. .. BẬC 4 Bài 1: Giải Phương Trình: 4x2  8x  2x  3  1 (đề thi thử Đại Học THPT Lưu Hoàng – Ưng Hoàng – Hà Nội năm 2013)  3  Điều kiện xác định: x    ;    2  ▶ Ý tưởng : Ta cần giải phương trình bậc 4 sau : (4x2  8x  1)2  2x  3  0 ▶ Thực hiện :  Sử dụng Thủ Thuật Rút Gọn Biểu Thức ta được :  4x    2  2  8x  1  2x  3  0  16x 4  64x3  56x 2  14x  2  0 Sử dụng Thủ Thuật...  x  2 :  x  3 4  x 2  x 2  3x  4 ❓ Làm thế nào để phân tích phương trình này? Giả sử phương trình có nhân tử   4  x 2  ax  b với a,b Nhân tử này chứa nghiệm của bài toán Ta chắc chắn tìm được a, b nếu như ta biết được :  Một nghiệm vô tỷ dạng m n p  Hoặc hai nghiệm hữu tỷ Các ví dụ sau sẽ làm rõ vấn đề của bài toán ▶ Thực hiện :  Sử dụng Thủ Thuật Tìm Nghiệm Phương Trình ta thấy... bài toán được giải quyết hoàn toàn ▶ Cách 2 : Phân tích thành nhân tử: Ta có : 2   x 4x 2  1   x  3  5  2 x  0     5  2 x  2x 2 x 2  x  3  x 5  2 x  0 Sau đó tương tự làm như cách 1 Một số bài tập tương tự : 1 4 x2  2 x  3  4 x 2 x  3 2 2 x3  16 x 2  48 x  13 x 2  5 x  15 3 4 x3  3 x 2  6 x  2 2 x 2  x  1     x 3 x2 THỦ THUẬT 3 : THỦ THUẬT SỬ DỤNG CASIO ĐỂ GIẢI ... 50   x1          Bài toán giải hoàn toàn Hy vọng qua toán trên, bạn đọc hình dung lợi ích việc sử dụng máy tính cầm tay việc rút gọn biểu thức giải toán Một số tập tương tự : x  x3... biết nhân tử  x  y   , ta có nhiều cách giải cho toán Nhưng việc giải nốt nhân tử lại khó khăn : x  xy  y  x  y  11  Thủ Thuật Sử Dụng CASIO Để Giải Hệ Phương Trình giúp bạn ▶ Cách : Phân... hướng giải: Ta giải nốt 4x  2xy  y  2x  2y   cách : 2  4x  y  1   y  1   4 Sau sử dụng Thủ Thuật Giải Phương Trình Vô Tỷ để giải phương trình vô tỷ lại Ta xét hàm đặc trưng với toán