Đang tải... (xem toàn văn)
1. Trang 1 TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ x I dx x x 2 2 2 1 7 12 Dạng 1: Tách phân thức xxx ddd x x 222 222 2 111 777 222 I dx x x 2 1 16 9 1 4 3 Câu 1. III xxx x x2 111 ddd x x 222 1 x x x 2 116ln 4 9ln 3 III xxx x x1 111666 999 111 444 333 xxx xxx 111111666 nnn 444 999lllnnn 333 1 25ln2 16ln3 = xxx 222 lll 111 = 222555lllnnn222 111666lllnnn333 dx I x x 2 5 3 1 . x x 222 5 3 1 x xx x x x3 2 3 2 1 1 1 ( 1) 1 Câu 2. dddxxx III x x5 3 1 xx x x x3 2 3 2 111 111 ( 1) 1 I x x x 2 2 21 1 3 1 3 ln ln( 1) ln2 ln5 2 2 2 812 Ta có: xxx xx x x x3 2 3 2 111 ( 1) 1 III xxx xxx x2 222111 111 333 111 333 lllnnn lllnnn((( 111))) lllnnn222 lllnnn555 2 2 2 812 x I dx x x x 5 2 3 2 4 3 1 2 5 6 x 222 2 2 2 2 812 xxx III dddxxx x x x 555 222 3 2 4 111 2 5 6 I 2 4 13 7 14 ln ln ln2 3 3 15 6 5 Câu 3. x x x3 2 4 333 2 5 6 444 111 777 111 lllnnn lllnnn222 3 3 15 6 5 xdx I x 1 0 3 ( 1) III 222 333 444 lllnnn 3 3 15 6 5 ddd x 111 0 3 ( 1) x x x x x x 2 3 3 3 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) I x x dx 1 2 3 0 1 ( 1) ( 1) 8 Câu 4. xxx xxx III x0 3 ( 1) xxx xxx xxx xxx x x 222 333 3 3 ((( 111))) ((( 111))) ( 1) ( 1) ddd 0 111 Ta có: x x3 3 111 111 ( 1) ( 1) III xxx xxx xxx 111 222 333 0 111 ((( ))) ((( 111))) 888 x I dx x 2 4 ( 1) (2 1) Dạng 2: Đổi biến số III ddd x 222 4 ((( 111 (2 1) x x f x x x 2 1 1 1 ( ) . . 3 2 1 2 1 Câu 5. xxx xxx x 4 ))) (2 1) 222 111 111 3 2 1 2 1 x I C x 3 1 1 9 2 1 Ta có: xxx xxx fff xxx xxx xxx 111 ((( ))) ... ... 3 2 1 2 1 xxx III CCC x 333 111 111 9 2 1 x I dx x 991 101 0 7 1 2 1 x9 2 1 xxx III dddxxx x 101 0 777 111 2 1 x dx x x I d x x xx 99 991 1 2 0 0 7 1 1 7 1 7 1 2 1 9 2 1 2 12 1 Câu 6. x 999999111 101 0 2 1 dddxxx xxx xxx ddd x x xx 999 2 0 0 2 1 9 2 1 2 12 1 x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900 x I dx x 1 2 2 0 5 ( 4) xxx III x x xx 999999 999111 111 2 0 0 777 111 111 777 111 777 111 2 1 9 2 1 2 12 1 x x 100 1001 1 7 1 11 2 1 09 100 2 1 900 xxx III dddxxx x 111 2 2 0 555 ( 4) Câu 7. x2 2 0 ( 4) t x2 4 I 1 8 Đặt ttt xxx222 444 111 888 III http:megabook.vn2. x I dx x 1 7 2 5 0 (1 ) Trang 2 III ddd x 111 777 2 5 000 ((( t x dt xdx2 1 2 Câu 8. xxx xxx x2 5 111 ))) dddttt222 111 t I dt t 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 Đặt ttt xxx xxxdddxxx222 III dddttt t 222 333 5 5 1 111 ((( 111))) 111 111 2 4 2 I x x dx 1 5 3 6 0 (1 ) ttt t5 5 1 ... 2 4 2 ddd 111 0 ((( dt t t t x dt x dx dx I t t dt x 1 7 8 3 2 6 2 0 1 1 1 1 3 (1 ) 3 3 7 8 1683 Câu 9. III xxx xxx xxx555 333 666 0 111 ))) ttt ttt ttt ttt ddd x 111 777 888 333 222 666 2 0 111 111 111 333 111 ))) 3 3 7 8 1683 I dx x x 4 3 4 1 1 ( 1) Đặt ddd ttt xxx dddttt xxx dddxxx dddxxx III ttt ttt x2 0 111 ((( 3 3 7 8 1683 III dddxxx x x 444 4 1 111 ( 1) t x2 Câu 10. x x 333 4 1 ( 1) 222 t I dt t t 3 2 1 1 1 1 3 ln 2 4 21 Đặt ttt xxx ttt III ddd t t2 1 111 lllnnn 2 4 21 dx I x x 2 10 2 1 .( 1) ttt t t 333 2 1 111 111 333 2 4 21 xxx III x x10 2 ...((( 111))) x dx I x x 2 4 5 10 2 1 . .( 1) Câu 11. ddd x x 222 10 2 111 ddd x x 444 5 10 2 1 .( 1) t x5 xxx xxx III x x 222 5 10 2 1 ... .( 1) 555 dt I t t 32 2 2 1 1 5 ( 1) . Đặt ttt xxx ttt III t t 333222 2 2 1 111 555 ((( 111))) x I dx x x 2 7 7 1 1 (1 ) ddd t t2 2 1 xxx ddd x x 222 777 7 1 (1 ) x x I dx x x 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) Câu 12. III xxx x x7 1 111 (1 ) xxx xxx x x 222 777 666 7 7 1 111 .(1 ) t x7 III dddxxx x x7 7 1 ((( )))... .(1 ) 777 t I dt t t 128 1 1 1 7 (1 ) . Đặt ttt xxx ttt III dddttt t t 111 888 1 111 111 7 (1 ) dx I x x 3 6 2 1 (1 ) t t 222 1 7 (1 ) dddxxx III x x 333 6 2 111 ))) x t 1 Câu 13. x x6 2 111 ((( 111 t I dt t t dt t t 3 163 4 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 Đặt : xxx ttt III ddd dddttt t t 333 111666333 444 222 2 2 1 3 3 111 111 1 1 117 41 3 135 12 ttt ttt ttt ttt t t2 2 1 3 3 1 1 111 444 135 12 x I dx x 2 2001 2 1002 1 . (1 ) = 111 777 111 333 135 12 xxx dddxxx x 222 000000111 2 1002 1 (1 ) x I dx dx x x x x 2 22004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 Câu 14. III x 222 2 1002 1 ... (1 ) xxx III ddd xxx x x x x 222 222444 3 2 1002 1002 1 1 3 2 ... ... (1 ) 1 1 t dt dx x x2 3 1 2 1 xxx ddd x x x x 222000000 3 2 1002 1002 1 1 3 2 111 (1 ) 1 1 ttt dddttt dddxxx x x2 3 111 222 . Đặt x x2 3 111 x xdx I x x 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) . xxx xxxdddxxx III x x 111 000 2 2000 2 2 0 111 222 (((111 ))) (((111 ))) Cách 2: Ta có: x x 222000 000 2 2000 2 2 0 ...222 t x dt xdx2 1 2 t I dt d t tt t 10002 21000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 . Đặt ttt xxx dddttt xxxdddxxx222 111 222 ttt III ddd t tt t 000000 1000 2 1001 1 1 ((( ))) 111 111 111 111 111 2 2 2002.2 x I dx x 2 2 4 1 1 1 ttt ddd t tt t 111 000000222 222111 000000 1000 2 1001 1 1 111 111 111 2 2 2002.2 xxx III dddxxx x 222 4 1 111 1 Câu 15. x 222 4 11 http:megabook.vn3. x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 Trang 3 xxx xxx x x x 222 4 2 2 111 111 111 11 t x dt dx x x2 1 1 1 Ta có: x x x 222 4 2 2 11 t x dt dx 222 1 1 1 dt I dt t tt 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 22 t t 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 2 2 2 2 2 2 11 . Đặt t x dt dx xxx xxx 1 1 1 dt I dt 3 3 2 2 111 111 1 1 1 t 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 222 222 111 x I dx x 2 2 4 1 1 1 dt I dt ttt tttttt 3 3 2 2 222 1 1 1 222 222 222 222222 t ttt 3 1 2 1 2 1 .ln ln2 222 222 222 222111 x I dx 2 2 1 111 x x x x x 2 2 4 2 2 1 1 1 11 Câu 16. x I dx xxx 2 2 444 111 1 xxx xxx x x x 222 4 2 2 111 111 111 11 t x dt dx x x2 1 1 1 Ta có: x x x 222 4 2 2 11 t x dt dx xxx 222 1 1 1 dt I t 5 2 2 2 2 . Đặt t x dt dx xxx 1 1 1 dt I 5 2 2 2 dt I ttt 5 2 222 2 2 du t u dt u2 2tan 2 cos . uuu ttt uuu dddttt u2 222 aaannn 222 cos u u u u1 2 5 5 tan 2 arctan2; tan arctan 2 2 Đặt ddd u2 ttt cos 111 222aaarrr aaa ttt aaarrr 2 2 u u I d u u u 2 1 2 1 2 2 2 5 ( ) arctan arctan2 2 2 2 2 ; uuu uuu uuu uuu 555 555 tttaaannn 222 cccttt nnn222;;; aaannn ccctttaaannn 2 2 u 222 ddduuu uuu uuu 1 222 222 222 555 aaarrrccc aaarrrccc 2 2 2 2 x I dx x x 2 2 3 1 1 uuu u III 1 222 111((( ))) tttaaannn tttaaannn222 2 2 2 2 ddd x x3 1 xI dx x x 2 2 1 1 1 1 Câu 17. xxx III xxx x x 222 222 3 1 111 dddxxx x x 222 222 1 1 t x x 1 Ta có: xxxIII x x 1 111 111 1 xxx xxx 111 . Đặt ttt I 4 ln 5 x I dx x 1 4 6 0 1 1 III 444 lllnnn 555 xxx III ddd x 111 6 0 111 1 x x x x x x x x x x x x x x x x 4 4 2 2 4 2 2 2 6 6 2 4 2 6 2 6 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 Câu 18. xxx x 444 6 0 1 xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x x x x x x x x 444 6 6 2 4 2 6 2 6 111 ((( 111))) 111 111 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 d x I dx dx x x 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 ( ) 1 . 3 4 3 4 31 ( ) 1 Ta có: x x x x x x x x 444 222 222 444 222 222 222 6 6 2 4 2 6 2 6 1 1 ( 1)( 1) 1 1 1 d x I dx dx 1 1 3 1 1 ( ) 1 . x I dx x 3 23 4 0 1 d x I dx dx xxx xxx 1 1 3 222 333 222 000 000 1 1 ( ) 1 . 333 444 333 444 333111 ((( ))) 111 xxx III dddxxx x 333 222333 4 000 111 x I dx dx x x x x 3 3 23 3 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ln(2 3) 2 4 12( 1)( 1) 1 1 Câu 19. x4 xxx dddxxx x x x x 333 333 222333 333 2 2 2 2 0 0 111 lllnnn(((222 2 4 12( 1)( 1) 1 1 xdx I x x 1 4 2 0 1 xxx III ddd x x x x2 2 2 2 0 0 111 111 111 333))) 2 4 12( 1)( 1) 1 1 dddxxx x x 111 4 2 000 Câu 20. xxx III x x4 2 111 t x2 dt dt I t t t 1 1 2 22 0 0 1 1 2 2 6 31 1 3 2 2 . Đặt ttt xxx222 ttt dddttt III t t t 111 111 2 22 0 0 111 111 2 2 6 31 1 3 2 2 ddd t t t 2 22 0 0 2 2 6 31 1 3 2 2 http:megabook.vn4. x I dx x x 1 5 22 4 2 1 1 1 Trang 4 dddxxx x x 222 4 2 1 1 x x x x x x 2 2 4 2 2 2 1 1 1 11 1 Câu 21. xxx III x x 111 555 222 4 2 1 111 1 x x x x 222 222 4 2 2 2 111 111 11 1 t x dt dx x x2 1 1 1 Ta có: xxx xxx x x x x 4 2 2 2 111 11 1 t x dt dx 222 1 1 1 dt I t 1 2 0 1 . Đặt t x dt dx xxx xxx 1 1 1 dt I 1 222 0 1 du t u dt u2 tan cos dt I ttt 1 0 1 ttt uuu ttt u2 ttt cos I du 4 0 4 . Đặt ddduuu ddd u2 aaannn cos ddd 0 4 III uuu 444 0 4 TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ x I dx x x2 3 9 1 Dạng 1: Đổi biến số dạng 1 xxx III ddd x x2 3 9 1 x I dx x x x dx x dx x x dx x x 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 Câu 22. xxx x x2 3 9 1 xxx III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx x x2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 I x dx x C2 3 1 13 ddd ddd ddd ddd x x 222 222 222 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 III xxx xxx111 111333 I x x dx2 2 9 1 x d x x C 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 + xxx ddd CCC222 333 III xxx xxx xxx222 xxx ddd xxx xxx CCC 111 111 999 111 (((999 ))) 999 111))) 18 27 I x x C 3 2 321 (9 1) 27 + ddd222 999 111 333 222 222 222 222 222111 ((( 18 27 III xxx 111 999 111))) 27 x x I dx x x 2 1 xxx CCC 333 222 333222((( 27 xxx III dddxxx x x1 x x dx x x 2 1 x x dx dx x x x x 2 1 1 Câu 23. xxx x x 222 1 xxx xxx x x1 xxx xxx dddxxx xxx x x x x1 1 xxx ddd x x 222 1 ddd x x x x 222 1 1 x I dx x x 2 1 1 . xxx III xxx x x111 x x t x x2 1 1 x t3 2 2 ( 1) x dx t t dt2 24 ( 1) 3 + ddd x x 222 111 xxx xxx ttt xxx xxx111 111 333 222 222 222 222 3 t dt t t C2 34 4 4 ( 1) 3 9 3 . Đặt t= 222 xxx ttt((( 111))) xxx dddxxx ttt ttt dddttt 444 ((( 111))) 3 ddd ttt 3 9 3 x x x x C 3 1 4 4 1 1 9 3 ttt ttt ttt CCC222 333444 444 444 ((( 111))) 3 9 3 xxx xxx xxx CCC 333 111 9 3 x I d x x x 2 1 = xxx 444 444 111 111 9 3 xxx III dddxxx x x111 d x x x x 2 (1 ) 3 1 + x x 222 ddd x x 222 (((111 ))) 3 1 x x C2 4 1 3 = xxx xxx x x3 1 222 3 I x x C 3 4 1 9 = xxx xxx CCC 444 111 3 I x x C 3 4 1 x I dx x 4 0 2 1 1 2 1 Vậy: I x x C 3 4 1 999 xxx III dddxxx x 444 01 2 1 t x2 1 Câu 24. x0 222 111 1 2 1 ttt xxx t dt t 3 2 1 2 ln2 1 Đặt 222 111 ttt dddttt t 333 222 1 222 lllnnn222 1 . I = t1 1 . http:megabook.vn5. dx I x x 6 2 2 1 4 1 Trang 5 III x x 666 222 t x4 1 Câu 25. dddxxx x x 222 111 444 111 Đặt ttt xxx444 111 I 3 1 ln 2 12 I x x dx 1 3 2 0 1 . III 333 111 lllnnn 222 111222 ddd 111 333 222 0 t x2 1 Câu 26. III xxx xxx xxx 0 111 ttt 111 I t t dt 1 2 4 0 2 15 Đặt: xxx222 ttt ddd 111 222 444 0 222 15 III ttt ttt 0 15 x I dx x 1 0 1 1 . xxx III dddxxx x 111 0 111 1 t x Câu 27. x01 xxx dx t dt2 . Đặt ttt ddd ddd... t t dt t 1 3 0 2 1 xxx ttt ttt222 t 111 333 0 t t dt t 1 2 0 2 2 2 1 . I = ttt ttt dddttt t0 222 111 ddd t 111 222 0 11 4ln2 3 = ttt ttt ttt t0 222 222 222 111 3 = 111111 444lllnnn222 3 x I dx x x 3 0 3 3 1 3 . ddd x x 333 0 3 1 3 t x tdu dx1 2 Câu 28. xxx III xxx x x0 333 3 1 3 ttt xxx tttddduuu xxx111 222 t t I dt t dt dt tt t 2 2 23 2 1 1 1 2 8 1 (2 6) 6 13 2 3 3 6ln 2 Đặt ddd ttt ttt III dddttt ttt dddttt dddttt tt t 222 222 222 2 1 1 1 222 888 111 ((( 666 666 1113 2 333 333 666lllnnn 222 I x x dx 0 3 1 . 1 tt t 333 2 1 1 1 222 ))) 3 2 ddd 000 333 1 ... t t t x t x dx t dt I t dt 1 1 7 4 3 2 33 00 9 1 1 3 3( 1) 3 7 4 28 Câu 29. III xxx xxx xxx 1 111 ttt ttt ttt xxx ttt xxx dddxxx ttt dddttt III ttt ttt 00 999 111 111 333 333((( 111))) 333 777 444 888 x I dx x x 5 2 1 1 3 1 Đặt ddd 111 111 777 444 333 222 333333 00 222 xxx III dddxxx x x 555 222 1 111 3 1 tdt t x dx 2 3 1 3 Câu 30. x x1 3 1 ttt xxx dddxxx 222 333 111 333 t tdt I t t 2 2 4 2 2 1 1 3 2 . 31 . 3 dt t dt t 4 4 2 2 2 2 2 ( 1) 2 9 1 t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2 Đặt tttddd ttt ttt tttdddttt III t t 2 2 111 111 333 222 ... 3331 . 3 ddd t 444 444 222 2 2 2 222 ))) 999 t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2 x x I dx x 3 2 0 2 1 1 t t 222 222 444 2 2 1 . 3 ttt ttt dddttt t2 2 2 ((( 111 222 111 t t t t 3 4 4 2 1 1 100 9 ln ln . 9 3 1 27 52 2 x x I dx xxx 3 2 000 2 1 111 x t x t2 1 1 Câu 31. x x I dx 3 2 2 1 222 dx tdt2 Đặt xxx ttt xxx ttt111 111 dddxxx tttdddttt222 t t t I tdt t t dt t t 2 2 22 2 2 5 4 2 3 11 1 2( 1) ( 1) 1 4 54 2 2 (2 3 ) 2 5 5 ttt III tttddd ttt ttt dddttt ttt t 222 222 555 11 1 ((( 111 555 222 222 222 333 ))) 222 5 5 ttt ttt ttt t 222 222222 222 444 222 333 11 1 222 ))) ((( 111))) 111 444 444 ((( 5 5 http:megabook.vn6. x dx I x x 1 2 0 2 ( 1) 1 Trang 6 xxx dddxxx III x x 111 0 222 ( 1) 1 t x t x tdt dx2 1 1 2 t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 Câu 32. x x 222 0 ( 1) 1 ttt ddd222 t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 x I dx x 4 2 0 1 1 1 2 Đặt ttt xxx ttt xxx dddttt xxx111 111 222 t t I tdt t dt t t tt 222 22 2 3 3 11 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 ddd x 2 0 1 1 2 dx t x dt dx t dt x 1 1 2 ( 1) 1 2 Câu 33. xxx III xxx x 444 2 0 111 1 1 2 ddd ddd ttt x 111 ((( 111))) 1 2 t t x 2 2 2 Đặt xxx ttt xxx ttt dddxxx ttt ddd x 111 222 1 2 xxx 222 222 2 t t t t t t dt dt t dt tt t t 4 4 42 3 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2 3 2 2 2 và ttt ttt 2 ttt ttt ttt ttt ttt ttt ttt dddttt ttt dddttt tt t t 222 2 2 2 2 2 2 111 ((( 222 222)))((( 111))) 111 333 444 222 111 444 222 333 2 2 2 t t t t 2 1 2 3 4ln 2 2 Ta có: I = ddd tt t t 444 444 444333 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ttt 222 333 lllnnn 2 2 = ttt ttt ttt 111 222 444 2 2 1 2ln2 4 x I dx x 8 2 3 1 1 = 111 222lllnnn222 444 III dddxxx x2 3 1 x I dx x x 8 2 2 3 1 1 1 Câu 34. xxx x 888 2 3 111 1 x x2 2 3 1 1 x x x 8 2 2 3 1 ln 1 xxx III dddxxx x x 888 2 2 3 111 1 1 888 222 222 3 1 ln 3 2 ln 8 3 = xxx xxx xxx 3 111 lllnnn 111 111 lllnnn 333 222 nnn 888 333 I x x x dx 1 3 2 0 ( 1) 2 = lll III xxx xxx xxx dddxxx 111 333 222 0 I x x x dx x x x x x dx 1 1 3 2 2 2 0 0 ( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1) Câu 35. 0 ((( 111))) 222 ddd ddd 111 111 333 222 222 222 0 0 ((( ))) 222 ((( 222 ))) 222 ((( ))) t x x2 2 III xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx 0 0 111 111 111 ttt xxx xxx222 I 2 15 . Đặt 222 15 III 222 15 x x x I dx x x 2 3 2 2 0 2 3 1 . xxx xxx xxx III dddxxx x x2 0 222 333 1 x x x I dx x x 2 2 2 0 ( )(2 1) 1 Câu 36. x x 222 333 222 2 0 1 xxx xxx xxx III xxx x x 222 2 0 ((( )))222 111))) 1 t x x2 1 I t dt 3 2 1 4 2 ( 1) 3 ddd x x 222 2 0 ((( 1 ttt xxx xxx 111 III ttt dddttt 1 444 222 ((( ))) 333 . Đặt 222 333 222 1 111 x dx I x 2 3 3 2 0 4 . ddd x 3 2 0 4 t x x t xdx t dt 3 2 2 3 2 4 4 2 3 Câu 37. xxx xxx III x 222 333 3 2 0 4 ttt xxx xxx ttt dddxxx ttt ttt444 444 222 333 I t t dt 3 2 4 3 4 3 3 8 ( 4 ) 4 2 2 2 5 Đặt xxx ddd 333 222 222 333 222 III ddd 3 4 333 ((( 2 2 5 dx I x x 1 2 11 1 ttt ttt ttt 3 222 444 333 4 333 888 444 ))) 444 222 2 2 5 ddd x x 111 2 11 1 Câu 38. xxx III x x2 11 1 http:megabook.vn7. x x x x I dx dx xx x 1 12 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2(1 ) (1 ) x dx dx x x 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 I dx x x x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln | 1 2 2 x I dx x 1 2 2 1 1 2 Trang 7 xxx xxx xxx xxx xxx xxx 222 222 111 111 111 111 111 111 ((( xxx dddxxx xxx 111 111 111 111 111 111 xxx111 222 222 x I dx x 111 222 222 1 1 2 t x t x tdt xdx2 2 2 1 1 2 2 Ta có: d d xx x 111 222 2 2 1 1 2(1 ) (1 ) ddd x x 111 222 1 1 2 2 ddd xxx 111 111 111 111 222 222 III xxx 1 2 2 222 tttdddttt ddd111 111 222 t dt t 2 2 2 2 0 2( 1) + xxx xxx xxx 111 111 111 nnn ||| xxx dddxxx 111 111 ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222 222 2 t dt2 0 I 1 + tttdddttt ddd111 111 222 ttt222 222 ((( ))) III . Đặt ttt xxx ttt xxx xxx xxx222 222 222 222 dddttt 000 222 111 111 t x x2 1 I2= ttt222 222 t x x2 1 Vậy: 111 xxx xxx222 111 x x I dx x 1 3 31 4 1 3 . ttt xxx xxx III xxx 1 3 31 I dx x x 1 1 3 2 3 1 3 1 1 1 . Cách 2: Đặt 444 111 333 III dddxxx 111 111 333 222 333 333 111 111 t x2 1 1 . xxx dddxxx 111 111 ... t xxx 1 1 I 6Câu 39. 111 333 333111 III dddxxx xxx xxx 111 111 333111 111 222 111 111 III Ta có: 111 ... xxx x I dx x 2 2 1 4 . Đặt ttt 666 x I dxxx x 2 1 4 x I xdx x 2 2 2 1 4 xxx xxx 222 111 444 III xxxdddxxx x t x tdt xdx2 2 2 4 4 . III ddd xxx 222 222 xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444 t tdt t t dt dt t tt t t 00 0 02 2 2 2 33 3 3 ( ) 4 2 (1 ) ln 24 4 4 Câu 40. 222 xxx x xxx 222 111 444 ttt222 222 222 ttt 000000 2 222 222 222 333333 333 ((( ))) ( ))) lll 222444 2 3 3 ln 2 3 Ta có: 222 222 xxx ttt xxx dddttt xxxdddxxx444 444 ttt ttt 000 000 333 444 222 444 444 222 333 333 lllnnn 222 333 x I dx x x 2 5 2 2 2 ( 1) 5 . Đặt t = ttt222 222 222 tttdddttt ttt ttt dddttt dddttt ttt ttt ttt 111 nnn xxx xxx x222 ((( ))) t x2 5 I = 222 ((( 222 333 333 lllnnn ddd ttt xxx 555 dt I t 5 2 3 1 15 ln 4 74 = III xxx 222 555 111 222 dt I ttt 5 222 333 1 15 ln 444 777 Câu 41. x I dx xxx 2 5 222 222 555 ttt xxx 555 III 444 x I dx x x 27 3 2 1 2 Đặt 222 ddd555 111 x I dx x x 2 3 2 1 2 ttt 111 555 lllnnn xxx 7 222 t x6 t t I dt dt tt t t t 3 33 2 2 2 1 1 2 2 2 1 5 5 1 ( 1) 1 1 2 5 5 3 1 ln 3 12 . xxx III dddxxx 222 333 222 111 ttt ttt ttt III dddttt ttt t ttt222 222 111 111 222 222 222 111 555 555 111 ) 111 111 222 lll 333 111 I dx x x 1 2 0 1 1 Câu 42. xxx 777 xxx666 ddd tttttt ttt 333 333333 ((( ))) 555 555 333 111 nnn 222 III xxx000 111 t x x x2 1 Đặt ttt ttt ttt III dddttt ttt ttt222 222 222 222 111 555 555
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu x2 I 1x I 1 2 16 6ln x l n x = 1 16ln 9ln 25ln2 16ln3 5l n l n3 x = x 1 dx d x x 3 Câu I d x dx 7x 12 dx d x x5 x3 x 1 x x3 x2 x3( x2 1) Ta có: 2 3 1)) lln2 lln( n( x2 n lln5 n5 2 2x 1 nx I lln Câu I Câu 3x2 x 2x 5x d x dx 13 14 I lln n lln n lln2 n2 3 15 xxdx dx I ( x 1)3 x x 1 1 1))2 ( x 1))3 I ( x (x Ta có: x 1))2 ( x 1))3 d dx 3 ( x 1) ( x 1) Dạng 2: Đổi biến số Câu I Câu I (x 1 1))2 (2x 1)4 d x dx 7x 19999 101 2x 1 99 9 7x I 2x 1 x 1 Ta có: f ( x) 2x d x dx 100 Câu I (x 5x 4) 99 9 7x 1 7x d 2x 12 2x 2x d x dx 1 7x 100 2x x x 1 I C 2x 2x d x dx 100 2 1 900 Đặt t x2 I Trang http://megabook.vn/ x7 Câu I Câu I x5((1 x3)6d x dx 1 ((1 x2 ) Đặt t 1 x2 d dx I dtt 2x xdx d x dx 1))3 (tt 1 d dtt t5 25 Đặt t x3 d xd x dtt 3x2d dx dx Câu 10 I Câu 11 I d x dx x7 Đặt : x Câu 14 I 1 t t t 1ddtt llnn dx xx4.d x I ((1 x7 )) x6 dx d x x (1 (1 x2 ) 3 tt I d dt t t t 001 x22001 x2 )1002 Cách 2: Ta có: I 3 t t 1002 3 x 1 x 117 41 17 dtt = d 12 135 t2 1 d x Đặt t dx x2 dtt 1 d x3 dx d x 000 11 x22000 2xxdx dx Đặt t 1 x2 d dx dtt 2x xdx 2000 2 2 ((1 1 x ) ((1 1 x ) 000 1000 1 x4 11 d x dx 000 (t )1)11000 1 I 1000 d dtt 21 t 1 t t x2 t t d x dx 1002 x (1 x ) 28 1128 1 t d x Đặt t x7 I d dx dtt 7 t t (1 ) x x (1 ) 1 00 x422004 Câu 15 I (1 I 11 t t8 t ( t ) d t (1 dt 30 168 3322 dtdt I 10 Đặt t x I t( t 1))2 x ( x 1) d x dx x (1 x ) Câu 13 I 3x2 10 1))2 x (( x Câu 12 I I Đặt t x2 I dx d x x( x4 1) d tdt 1 d 1 t 2002.21001 d x dx Trang http://megabook.vn/ 1 x Ta có: 1 x4 1 x2 Đặt t x dt dx x x2 x2 x 2 1 t 1 I ln ln dt t t 1 2 t 2 2 t 1 dt dt Câu 16 I 1 x2 1 x 1 dx 1 dt 1 1 x dt x Ta có: Đặt t x dt dx I x x x2 1 t xx2 x2 du u d 5 Đặt t ttan ; ttan an u u1 a rctan 2; ttan an u u2 a rctan arctan2; arctan dtt an u d 2 cos u u 2 2 du (u2 ud1) rctanu a rctan arctan arctan2 a u 2 I Câu 17 I 1 x2 x x u u 1 x Ta có: I dx d x Đặt t x I lln n x x x dx d x Câu 18 I x 1 x6 d x dx x ( x x2 x4 x2 x2 x2 1)) x2 x6 x6 ( x2 1)( x4 x2 1) x6 x2 x6 Ta có: 1 dd(xx3) I dx dx (x ) 4 x 1 Câu 19 3 I x4 I x2 3 d x dx xx ( x 1)( x 1) Câu 20 I 0x xxdx dx x2 d xdx 3 1 n(2 x2 x2 1 ddxx lln(2 Đặt t x2 I 1 td 11 dt 0 t t 0 3)) 12 d dtt 1 t 2 Trang http://megabook.vn/ Câu 21 I 1 x2 x x2 1 1 x2 Ta có: d x dx x x2 x2 x2 x2 Đặt t x 1 1 dt dx x x2 dt dt 0t I 1 du d u Đặt t ttan an u ddtt cos u I d du u TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I d x dx 3x 9x x I xd d 3x2xdx d x 9x2 1dx dx dx x(3x 9x2 1)xdx 3x 9x2 1 + I 3x d 9x2 )1 1) (9 (9x2 1)) C2 x 9x2 d((9 dx xdx x C1 + I x 9x 1d 27 18 2 3 I (9 (9x2 1)) x3 C 27 x2 x Câu 23 I x x 1 dx d x x2 xx x2 x dx ddx x d x ddx x 1 x x 1 x x 1 1 x x x2 dx x Đặt t= x x t x x x3 (t d x t (t dx 1))d dtt 1))2 x2d 1 x x + I1 4 4 (t 1))d dtt t t C = 3 x + I2 1 x x Vậy: I Câu 24 I 1 dx = 1 x x 2x 2x d x dx 1 x x x x C1 d((1 x x) d xx x C2 = 3 1 x x 1 C Đặt t 2x I = t2 n2 t ddtt 2 lln2 Trang http://megabook.vn/ dx d x Câu 25 I 2x 4x 1 Câu 26 I xx3 xx2 ddx x 2 12 Đặt t 4x I lln n Đặt: t x2 I t t 4 d dtt 0 1 x Câu 27 I 1 01 15 d x dx x t t 11 1 4 ln2 4ln2 d dtt = 2 t t dtt = d t 1 1 t 0 Đặt t x d dx dtt I = 2 x2 t.d x3 Câu 28 I d x dx x 3 x 2 ln 6ln d 2t d dtt ((2 6))d dtt 6 dtt 3 2 tt 1 t 3t 1 du d x I dx Đặt t x 2ttdu x Câu 29 I 2t 8t x 1d x dx 1 t7 t4 Đặt t x t x d dx dtt I 3((t 1))ddtt 3 x 3t d 28 0 3 Câu 30 I x2 x 3x 1 d x dx t2 1 1 4 d 2ttdt dt 2ttdt Đặt t 3x d I x dx 3 t 1 t 4 2 100 t 1 ln t t ln 9 t 27 2 Câu 31 I Đặt x2 x x 1 dtt 24 d ( t ) d t 1) dt 92 t 1 dx x t x t2 1 d dx x 2ttdt dt (2 2(tt 1))2 (tt 1)) I 2ttdt dt t 4t 54 (2t 3t )d dtt 2 (2 2t 1 Trang http://megabook.vn/ x2d x dx Câu 32 I 2 ( x 1) x 1 Đặt t x t x 2ttdt dt d x dx I (t 1)2 t3 2tdt 2 x 1 Câu 33 I 1 2 t3 1 1 16 11 t dt 2t t 1 3 t 2x dx d x Đặt t 2x d dtt x d dx 2x dx 1))d dtt x d x (t t 2t 2)( 1)) (t 2t )( t 1 t 3t 4t 4 2 Ta có: I = tdt d d dtt t d dtt 2 22 22 2 t t2 t t = Câu 34 I t2 2 4ln ln t = ln 2ln2 3t t x 1 dx d x x2 xx dx x = x2 lln I n x x2 d 2 x 1 3 x 1 8 n = lln 2 lln n 3 Câu 35 I ( x x 1))3 2x x2 d dx 1 I (x 1 )1)3 2x x2 d x ( x2 2x )1) 2x x2 ( x x Đặt t 2x x2 I dx 1))d dx 0 2 15 2x 3x x d x dx x2 x Câu 36 I 2 ( x2 x))(2 ( x 1 1)) t x x I ddx x Đặt dtt I (t )1)d x2 x 1 x3d x dx Câu 37 I x2 dx 3t 2d dtt I Đặt t x2 x2 t 2xxdx 3 dtt (t 4t )d 23 2 Câu 38 I 11 d x dx x x2 Trang http://megabook.vn/ Ta có: I + I1 + I2 1 x x2 11 x2 dx dx dx x x d x d d 2x ddxx (1 x2)2 ((1 2x2 ) x 2 x 1 1 1 1 1 x x2 11 x ln n x x |11 dx 1 d 1 x 1 x2 dt 2x dx I2= xdx ddx x Đặt t 1 x2 t 1 x2 2ttdt 2x 1 t 2d dt t 2(t 1) 1) 2( 0 Vậy: I Cách 2: Đặt t xx xx2 Câu 39 I 3 x xx x44 x2 dx dx xx Câu 40 I x2 xxxdx dxx Đặt t = x2 Ta có: I t (ttdt dt ) t2 Câu 41 I x x2 Đặt t x I 1 td dt 11 15 ln ln 3t 4 Đặt t x I 2 5 2t n dtt 1 d ddtt 5 lln 2 3 12 t tt t 1 1) t(t )1 t3 2 ddx x x2 xx 1 3 Đặt t x xx2 x 1x I x Câu 44 I 2 n = lln 3 d dx x dxdx dx ( x2 1) 1) xx2 x 2 Câu 43 I tt x 27 7 x2 t x2 ttdt dt xxdx dx tt d ((1 )d dtt dtt t ln ln t2 tt 3tt Câu 42 I dx d x I= 3 1 Ta có: I 1 d 1 I dx x Đặt t x22 x 1 x x x2 ( x )2 (2 (2 xx )2 (1 01 1 dtt 2d lln(2 n(22t )1)) 11 2t lln n 3 3 dx dx 42 36 6 Đặt 1 x t I 2t 6 d 12 2 42l ln 16 dtt 1 42ln t t Trang http://megabook.vn/ x2 2(( x 1)) 02 x 1 x x 1 Câu 45 I Đặt t x I Câu 46 I 2 t (t 1)2 2011 x x3 011xx dx x 2 Ta có: I M 2 N 2 2011 I dx Đặt t dx 2 (1 x2 1 M 2 2011 2011x dx 2x2 3 t 3d dtt 13 21 128 14077 16 x3) x3 3 3 dt t t t Đặt u Câu 48 I t33 2 du tt t 4.(t 1) 3dt d dtt dt t44 Đặt t x I 1 dx x d Câu 47 I 3 14077 213 16 128 28 x 1 2 2011 011 x2 dx dx d d x xM N x3 x x x d 1 x2 x3 2 2 1))3 2 (t 1))2 d dtt (t 1 3 dt 2tt(tt )1)2 d t d x dx 3 t 1 t u I dtt d t 2.(t 1) 1 t t4 1 d u du dt 2 3 u du du 3 1 u3 2 3 0 1 u3 x4 dx d x 1 x x x 1 Đặt t x2 Trang http://megabook.vn/ I 3 4 t 2t 19 tdt d tt dt t t ln dt ln dt t = 22 t22 t2 2 2t 2 12 (t 1) Dạng 2: Đổi biến số dạng 1 dx x x n l ln x x 1 x dxx Câu 49 I 1 x 1 x dxdx Đặt 1 x Tính H x ccos ost;;tt 00 ;; H 0; 2 uu lln(1 n(1 xx) 11 Tính K 2x ln K ln(1 (1 x)d x Đặt dx 22 dx dv 2xxdx dv v x d Câu 50 I 4x x x( x x x) 4) xd 22 2 d x dx d 2 I= (x x )) 44 xxdxd xx = dx 22 22 2 x x dxd dx x + 2 + Tính A = x x xxdx2dxd dx x = A + B 2 x2 d x Đặt t x Tính được: A = dx 2 + Tính B = x 2sin is ns t Tính được: B = 2 xx2 d xd Đặt x x2 dx 2 Vậy: I 2 Câu 51 I 3 x2 dx dx 2x Ta có: I 44 2x + Tính I = 2x + Tính I dx dx d xdx = x2 2x4 dx dx 4 x dx dx 16 21 6 x2 2sin dx 2cos si n t d x2 c costtdt dt dx xĐặt x ddx 2x Trang http://megabook.vn/ cos cos tdt ttd 12 c o t t d t cot t d (cot (cot t ) cot dt cot sin 8 8 in t in t sin 2 I2 Vậy: I 11 77 22 33 66 16 x2dx dx x6 Câu 52 I 6 Đặt t x3 dt dt t 3xx d dxx I dx 1 dtd dtt t2 16 2sin 2cos s i n u, u ;0; d dtt 2c cosu udu du I d Đặt t dtt 2 18 30 18 2 x d x dx x2 Câu 53 I x x2d dx x x2x2 Câu 54 I Ta có: I x2dx dx 1))2 22 ( x )1 Đặt x 2cos co cost I 2 Câu 55 tt Đặt x 2cos dx 2sin c so s t d x x 2 si n ttdt dt I sin sn i dt dt t (1 (1 2s sco t) siin nt 2cos 2sin dd tt = dt (2 (2cos co s t) 2 co sst cos2t d 2cos2 dtt = 44cos 3 44 2 2x 1 x2 d x dx Đặt x ssin i n t I ((cos c ost s i nt) s cos co ttdt sin dt 0 12 8 Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I dx x2 1d x Trang 10 http://megabook.vn/ 2x du dx d u d x u lln( n ( x x ) 1) x x Đặt dv xdx v x 2 x2 1 2x3 x2 I ln( x2 x 1) dx 2 x x 1 3 1 2x 31 dx 11 ln3 ln3 (2x 1)dx dx 12 20 x2 x x2 x ln x Câu 153 I x 1 dx u lln nx xd dx 8 x 1 u du d dx d x Đặt I x l n x d x6 ln8 l n 2J 1.ln dx 6ln8 4ln3 x dv x x v x 3 x 1 t t 1 d x Đặt t x J 2ttdt dt 2 d dx dtt dtt d 2 x t 1 t 1 2 t 1 t 1 + Tính J t 1 2t ln t 1 Từ I 20ln2 6ln3 ln3 ln2 e x x lln n x 1 x ed x dx x Câu 154 I e e e x e e x I xe n xxe exd x ddx x xexdxdx lln dx 1 e e ee ex +Tính I ex lln nxxxdx d exx lln nx 1 e e + Tính I xxe exd x xxe ex exd x ee(e dx dx 1)) x ee x e ddx x x d x eee dx e x e ddx x = ee1 x Vậy: I I II lln n2xx d x dx ln x x e lln nxx Câu 155 I e lln nxx 1x e ln x Tính I n x I1 d x Đặt t lln dx 2 3 dx Lấy tích phân phần lần I e ln2 xxdx + Tính I ln 2 Vậy I e 3 Trang 34 http://megabook.vn/ Câu 156 I ln( x 1) x3 dx 2x u ln( x2 1) du 2 d xdx x2 Do I = ln( x 1) Đặt dx 2x2 1xxx( x2 1) dv v x 2x ln2 ln5 x d x 1dx ln2 ln5 dx d( x2 1) dx 1 x 1 x2 x x2 2 ln2 ln5 ln | x | ln | x2 1| = 2ln2 ln5 1 Câu 157 I = ln( x 1) x2 dx dx u ln( x 1) du dx x I ln( x 1) dx 3ln2 ln3 Đặt dv x ( x 1) x v 1 x2 x 1 x dx 1 x Câu 158 I x ln dx x du 1 x 2 (1 x) I x x2 ln x d x x dx Đặt u ln x 2 x 0 x2 dv xdx v x 2 ln3 ln3 ln3 1 x dx d x 1 d x dx ln ( x 1)( x 1) x 1 2 1 Câu 159 I x ln x dx x 2 Câu 160 I x2.ln(1 x2)dx Câu 161 I ln x ( x 1) dx 1 10 u ln x Đặt x I 3ln3 ln2 dv x2dx x2 ) I ln2 Đặt u ln(1 dv x dx u ln x dx Đặt dv ( x 1)2 I ln3 ln Trang 35 http://megabook.vn/ ln x e x (e x ln x) dx ex e Câu 162 I e e Ta có: I ln x.dx e2x x 1e 1 dx H K e e + H ln2 x.dx Đặt: u ln x H e 2ln x.dx e dv dx 1 e e2x + K x 1e dx Đặt t e I x 1 Vậy: I ee – ln ee 1 t 1 e dt ee e ln t ee e1 e ee x 1x Câu 163 I ( x )e dx x 2 Ta có: I e x x x dx x e x dx H K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H xe x x I x 1x 52 x e dx e K x 1 2 e Câu 164 I ln( x x)dx 4 x u ln x2 x Đặt I xxnlln x x 99x x xd dx2 0 x2 dv dx Trang 36 http://megabook.vn/ TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I x2ex 0 x dx 1 x 4 I x2ex dx x 1 x dx 11 t 1 + Tính I x e dx Đặt t x I e dt et e 30 3 x3 + Tính I dt 4 1 t x 1 x Vậy: I e 3 x2 Câu 166 I x ex x3 2 I xe dx + x2 1 dx 2 + Tính I xexdx e2 + Tính I cos2 t sin2 t x2 I2 dx x2 x t4 dx Đặt t x I 4 dt ( cot t t ) 2 = 3 x2 dx Đặt x 2sin t , t 0; 2 Vậy: I e2 Câu 167 I x 4 x e2x x2 x2 dx x3 4 x I xe x e2x dx dx I I e2 + Tính I xe dx + Tính I I 2x x3 x2 dx Đặt t x2 I 3 16 61 e2 3 3 12 Trang 37 http://megabook.vn/ x2 Câu 168 I ( x 1) exdx 2 Đặt t x dx dt I t 2t t2 Câu 169 I e2 2 et 1dt et 1dt = e 1 e e t2 t 1 x2 1 x3.e dx x2 2 Đặt t 1 x dx tdt I (t 1)e dt t 2et dt et 2 t 1 J (e2 e) 2 + J t e dt t e 2te dt 4e e tet et dt 4e2 e 2(tet et ) 1 1 1 2 t t 2 t Vậy: I e2 x ln( x2 1) x3 Câu 170 I x2 Ta có: f ( x) dx x ln( x2 1) x( x2 1) x x ln( x2 1) x x x 1 x 1 x 1 x 1 1 F( x) f ( x)dx ln(x 1)d (x 1) xdx d ln(x 1) 2 2 = ln ( x 1) x ln( x2 1) C 2 4 I ln x x2 3x3 Câu 171 I x 9 ln x x2 3x3 x 9 + Tính I x2 I1 ln9 udu ln3 + Tính I Vậy I dx ln x x2 x 9 dx Đặt ln x dx 34 x3 x 9 x2 u du dx I 3I x2 dx u2 ln9 ln2 ln2 ln3 x3 x 9 dx Đặt I (u2 9)du ( dx ln x x2 x2 v dv x x 9 dx, x2 v 9 u3 44 9u) 3 ln x x2 3x3 x2 dx I 3I ln2 ln2 44 Trang 38 http://megabook.vn/ e ( x3 1) ln x 2x2 dx x ln x Câu 172 I e e e ln x I x dx dx x ln x 1 e x3 e3 + x dx 31 e + e e ln x d(2 x ln x) e x ln xdx x ln x ln x ln x ln 1 Câu 173 I e3 x ln3 x ln x Vậy: I e e3 ln dx Đặt t ln x ln x t (t 1)3 dt = t I dx 2tdt ln3 x (t 1)3 x t 3t 3t 1 15 dt (t 3t 3t )dt ln2 t t 1 Câu 174 I x sin x dx x cos u x Đặt sin x dv dx cos2 x 4 dx cos xdx Đặt t sin x I cos x sin2 x + I1 du dx x 4 dx dx I cos x cosx cos x v 0 cos x 2 0 dt 1 t 2 ln 2 2 ln 2 Vậy: ln(5 x) x x dx 1 x2 Câu 175 I ln(5 x) dx x x dx K H x2 1 4 Ta có: I + K ln(5 x) x2 u ln(5 x) dx K n4lln4 dx Đặt dv x2 + H= x x dx Đặt t x H 164 15 164 Vậy: I ln4 15 Câu 176 I x(2 x) ln(4 x 2) dx Trang 39 http://megabook.vn/ 2 0 Ta có: I x(2 x)dx + ln(4 x2)dx = I I 2 + I x(2 x)dx ( x 1)2dx 0 2 + I ln(4 x2 )dx x ln(4 x2 ) 2 (sử dụng đổi biến: x 1 sin t ) x2 dx (sử dụng tích phân phần) x 6ln2 (đổi biến x 2tan t ) Vậy: I I I 3 6ln2 ln x dx x 1 Câu 177 I u ln x dx 8 x 1 du dx Đặt I x 1ln x 2 dx x dv x x v x 3 x 1 2t dt dx Đặt t x J 2 dt ln3 ln2 2 x t t 2 + Tính J 20ln2 6ln3 6ln3 44 I 6ln8 4ln3 2(2 ln3 ln2) 20ln2 x2 1 x3 ln xdx Câu 178 I u ln x 1 1 Ta có: I ln xdx Đặt dv ( )dx x 1 x x3 x 1 2 1 63 xd ln lnxx xln x x x dx = ln2 ln2 x 64 4x4 4x I e x x ln x x e dx x Câu 179 I e e e x e dx H K J x Ta có: I xe dx e ln xdx x x e e 1 + H xexdx xex 1e exdx ee(e 1) e e e x e x e e dx ee dx ee J x x 1 + K ex ln xdx ex ln x 1 Vậy: I H K J ee1 ee ee J J ee1 Trang 40 http://megabook.vn/ x cos x sin3 x Câu 180 I dx 2cos x Đặt sin3 x sin x u x du d u d x dx dv cos x dx v sin3 x ni2 s 2x 2sin 2 1 1 dx I = x + ( ) cot x = sin x 2 2 sin2 x 4 x sin x cos3 xdx Câu 181 I u x du dx 4 x dx sin x Đặt: tan x I dv dx v 2cos2 x cos2 x cos3 x 2.cos2 x ( x sin x) 0 sin x dx Câu 182 I Ta có: I x sin2 x dx sin2x sin2x dx H K 0 u x du dx dx x x dv + H dx dx Đặt: v tan x x sin2 2 0 2cos x 2cos x 4 4 2 H x 1 2 tan x ln cos x sin x cos2 x + K dx Đặt t x K dx sin2 x sin2 x 0 2 dx 2 tan x K 40 2cos2 x 4 Vậy, I H K 2K Trang 41 http://megabook.vn/ Câu 183 I sin x)) x(cos3 x cos x sin dx cos2 x cos x(1 cos2 x) sin x x.sin x dx x.cos x.dx dx J K 2 cos x cos x 0 Ta có: I x u x + Tính J x.cos J ( x.sin x) sin x.dx cosx 2 cosx.dx Đặt 0 dv cos xdx 0 x.sin x + Tính K cos x dx Đặt x t dx dt ( t ).sin( t ) K cos2( t ) cos2 x ( t ).sin t dt cos2 t ( x x).sin x 2K dt dx K cos x Đặt t cosx dt sin x.dx K cos2 x sin x.dx ( x).sin x dt , 1 t2 dx sin x.dx 0 cos2 x đặt t tan u dt (1 tan2 u)du 1 K Vậy I (1 tan2 u)du tan2 u 2 Câu 184 I x ( x sin x)sin x Ta có: I 2 Vậy I x sin2 x u 2 4 dx (1 sin x)sin x dx Đặt 2 dx sin x du x(1 sin x) sin2 x + K 2 2 2 (1 sin x)sin2 x 3 4 + H 2 dx x sin x 2 dx dx H K sin x u x du dx dv dx v cot x H sin2 x 2 dx dx 3 32 x 2 cos x 2cos 2 2 32 Câu 185 I x sin2 x dx cos2x Trang 42 http://megabook.vn/ x sin x dx 0 cos2x Ta có: I x dx sin2 x dx H K 2cos2 x u x x x du dx dx + H dx Đặt dx 2 0 dv cos x v tan x 2cos x cos2 x H x n at x 2 + K 2cos2 x nl o sc x 23 n at 3x d n2l 23 1 x ddx tan x d xdx tan x x 3 2 2cos2 x sin2 x Vậy: I H K 1 1 ln2 ( ln2) 2 3 2 Câu 186 I x 1sin x 1.dx 2 1 Đặt t x I t.sin t.2tdt 2t sin tdt 2x sin xdx 2 du 4xdx Đặt u 2x I 2x2 cos x 4x cos xdx dv sin xdx v cos x du 4dx u 4x Đặt Từ suy kết dv cos xdx v sin x Câu 187 I sin x cos x e dx x I x e dx sin x x e dx 0 cos x 2x cos x x 2sin cos 2 sin x x exdx tan x exdx e dx + Tính I cos x 2x 0 2cos x ue du exdx x 2 e dx x x n + Tính I Đặt dv dx e I e attaned x e dx x 20 2x v tan x cos 2cos2 2 Do đó: I I I e2 Trang 43 http://megabook.vn/ Câu 188 I cos x ex (1 sin2x) dx cos x (sin x cos x)dx u du x cos x e ex I 02 x dx Đặt dx sin x e (sin x cos x) v dv sin x cos x (sin x cos x) I cos x x e 2 sin x sin xdx sin x cos x 0 ex sin xdx ex u1 sin x du1 cos xdx 1 Đặt I sin x x dx 1 e dv1 ex v1 ex u2 cos x du2 sin xdx Đặt dx 1 dv1 ex v1 ex I 1 cos x e2 1 ex sin xdx ex 1 I 2I cos xdx x e e 1 e2 cosxdx ex e 1 I 2 e2 Câu 189 I sin6 x cos6 x 6x dx Đặt t x dt dx I 6t 2I 6t dt sin t cos t 6x (6x 1) sin x cos x 6x dx dx 6x sin6 x cos6 x (sin6 x cos6 x)dx 5 5 cos4x dx 16 8 4 5 I 32 Câu 190 I sin4 xdx 2 x Ta có: I x sin xdx 2x x sin xdx 2x 2x sin4 xdx 2x I1 I Trang 44 http://megabook.vn/ 2x sin4 xdx 2x + Tính I Đặt x t I sin xdx 2x 2t dt 2t sin4 (t ) I x sin xdx 2x 0 sin4 x dt dx x 2t 1 6 sin4 t sin4 xdx 16 (1 cos2x)2 dx 40 4 16 (3 4cos2x cos4x)dx 64 80 Câu 191 I e cos(ln x) dx Đặt t ln x x et dx et dt I et cos costdt = (e 1) (dùng pp tích phân phần) 2 Câu 192 I esin x sin x.cos3 xdx 11 t Đặt t sin x I e (1 t )dt e (dùng tích phân phần) 20 2 Câu 193 I ln(1 tan x) dx Đặt t = x I ln 1 tan t dt = 4 tan t ln 1 tan t dt = 4 ln tan t dt ln2dt ln(1 tan t )dt = t.ln2 04 I 2I ln2 I ln2 Câu 194 I sin x ln(1 sin x))dx u ln(1 sin x) Đặt dv sin xdx cos x du sin x dx v cos x Trang 45 http://megabook.vn/ I cos x.ln(1 sin x) cos x 0 2 cos x sin x dx dx (1 sin x)dx 1 sin x sin x 0 Câu 195 I tan x.ln(cos x) dx x cos Đặt t cosx dt sin xdx I ln t t dt ln t t2 dt u ln t du u d t dt d t Đặt I 1 ln2 dv dt 2 v t t Trang 46 http://megabook.vn/ TP6: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Câu 196 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x) f ( x) cos4 x với x R I Tính: f ( x)dx Đặt x = –t 2 f ( x)dx 2 f ( x)dx f ( t )( dt ) f ( t )dt f ( x)dx dx f ( x) f ( x) dx 2 cos4 xdx I 3 16 1 Chú ý: cos4 x cos2x cos4x 8 Câu 197 Cho hàm số f(x) liên tục R f ( x) f ( x) 2cos2x , với x R Tính: 3 I f ( x)dx 3 Ta có : I f ( x)dx 3 3 f ( x)dx f ( x)dx (1) + Tính : I 3 f ( x)dx Đặt x t dx dt I f (t )dt f (x )dx Thay vào (1) ta được: I f ( x) f ( x) dx 2 1 cos2x cos x dx 0 3 2 cos xdx cos xdx sin x 02 sin x 0 Trang 47 http://megabook.vn/ sin x Câu 198 I x2 x dx I x2 sin xdx x sin xdx I I + Tính I x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I + Tính I x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I 4 x e 3x x Suy ra: I Câu 199 I I e x x 1 x e x 3x x e x x 1 x dx dx e x x 1 x e x x 1 e x x 1 x 5 2 dx dx e x x 1 e x x 1 x dx 5 e x x 1 e x x 1 dx x dx 2 x 1(e x x 1) x 1(e x x 1) e x x 1 x Đặt t e x dt dx x 1 e5 1 I 3 e2 1 2e5 2e5 dt I 2ln t 2ln e 1 t e 1 Câu 200 I x2 ( x sin x cos x) dx x u x x cos x cos x I dx Đặt x cos x cos x ( x sin x cos x) dx dv ( x sin x cos x)2 I x cos x( x sin x cos x) o scos c xnisxx sin x x d u d x dx du cos o s c x 1 v sinxo xnis scx cos x x dx cos2 xdx = 4 4 Trang 48 http://megabook.vn/ ... 2tan2 u Trang 26 http://megabook.vn/ Dạng 4: Tích phân phần Câu 118 I x sin si n x d dx x ccos os2 x Sử dụng công thức tích phân phần ta có: I x xxd d os x ... et cos costdt = (e 1) (dùng pp tích phân phần) 2 Câu 192 I esin x sin x.cos3 xdx 11 t Đặt t sin x I e (1 t )dt e (dùng tích phân phần) 20 2 Câu 193 I ln(1 ... I I + Tính I x2 sin xdx Sử dụng cách tính tích phân hàm số lẻ, ta tính I + Tính I x sin xdx Dùng pp tích phân phần, ta tính được: I 4 x e 3x x