SỞGIÁO GIÁODỤC DỤC&&ĐÀO ĐÀOTẠO TẠO SỞ HẢI DƯƠNG HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016 Ngày thi: 06/04/2016 MÔN THI: TOÁN (Đề thi gồm 01 trang) (Hướng dẫn chấm gồm … trang) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): đường thẳng (d) qua điểm I (0; −1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giả sử A, B có hoành độ 1) Tìm để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung 2) Chứng minh Câu II(3,0 điểm) 1) Giải phương trình:  x + x3 y − xy + xy − y = 2) Giải hệ phương trình:   x + y − xy (2 x − 1) = Câu III(4 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6) , chân 3  đường phân giác kẻ từ đỉnh A điểm D  2; − ÷, tâm đường tròn ngoại 2  tiếp tam giác ABC điểm Viết phương trình đường thẳng BC 2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) diện tích Kí hiệu độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma2 ≥ mb2 + mc2 a) Chứng minh a £ 4S cotA b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm BC Chứng minh góc ∠MGO không nhọn Câu IV(1 điểm) Cho a; b; c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức M = 3 1 + + 2 a + b + b + c + c + a2 + -Hết - Họ tên thí sinh:……………………………… ; Số báo danh:…………… Chữ ký giám thị 1:……………… ; Chữ ký giám thị 2:…………… Câu Nội dung Cho parabol (P): đường thẳng (d) qua điểm I (0; −1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giả sử A, B có hoành độ 1) Tìm để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung + Đường thẳng (d) có pt: y = kx - 2 + PT tương giao (d) (P): - x = kx - Û x + kx - = 0(*) + (*) có nghiệm phân biệt x1; x2 D = k + > 0( " k ) + Trung điểm M AB có hoành độ x1 + x2 −k = ; M nằm trục 2 −k =0⇔k =0 tung Û 2) Chứng minh Theo Vi et có: x1 + x2 = − k , x1 x2 = −1 I 3 2 Ta có: x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = x1 − x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 Có x1 - x2 = ( x1 + x2 ) - x1 x2 = k + ⇒ x13 − x23 = k + 4(k + 1) ≥ , ∀k ∈ R Đẳng thức xảy k = ⇔ ( ) ( 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x ≥ − (1) ⇔ 1,0 1,5 1) Giải phương trình: (1) 3x + − + Điểm ) x + − = 3x − x 0,25 3x 5x = x ( 3x − 1) 3x + + x + +  x = 0(TM ) Û  + = 3x −1 (*)  3x + + 5x + + Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 nghiệm (*) Nếu x>1 VT(*) 0, a, b, c số thực 1,0 Khi a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ x y z x+ y+z a b c Dấu xảy x = y = z 0,25 (*) + Dễ thấy bđt suy từ bđt Bunhia * Vào Ta chứng minh 1 1 + 2 + ≤ 2 a +b +3 b +c +3 c +a +3 1 1  1  1  ⇔ − ÷+  − 2 ÷+  − ÷≥ 2 3 a +b +3 3 b +c +3 3 c +a +3 M= a + b2 b2 + c c2 + a2 + + ≥ 2 2 2 a +b +3 b +c +3 c +a +3 ⇔P= 0,25 Giả sử a ≥ b ≥ c ( a + b) ( a − b) a2 + b2 + Biến đổi a + b + = 2 a + b + a + b2 + ( ) ( ) Biến đổi tương tự với số hạng lại P Sau áp dung bđt (*) ta có: P≥ ( a + b + b + c + c + a) ( + ) a + b + c + 18 ( a − b + b − c + a − c) ⇔P≥ ( ) a + b + c + 18 ( ) a + b + c + 18 ( a + b + c) + ( a − c) 0,25 2 ( a + b + c) + 2( a − c) ⇔ P≥ ( ) a2 + b2 + c2 + Ta chứng minh 2( a + b + c) + 2( a − c) ( ) a +b +c +9 2 2 ≥ 2 ⇔ ( a + b + c ) + ( a − c ) ≥ a + b + c + 27 ( ⇔ ( a + b + c) + ( a − c) ≥ 3( a ( ) ) + ( a + b + c) ⇔ ( a + b + c ) + ( a − c ) ≥ a + b2 + c + ( a + b + c ) 2 2 + b2 + c2 ) 2 ⇔ −b + ab + bc − ca ≥ ⇔ ( a − b ) ( b − c ) ≥ Bđt cuối đúng, suy đpcm Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 ... 2 + b2 + c2 ) 2 ⇔ −b + ab + bc − ca ≥ ⇔ ( a − b ) ( b − c ) ≥ Bđt cuối đúng, suy đpcm Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 ... uuuur b + c uuur uuuur 18 OG GM = − a ≥ ⇒ OG.GM ≥ ( có (**)) Vậy ( ) 0.25 0.25 Cho a; b; c số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c= IV M= 3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + 2 a + b + b + c + c + a2