Giỏo trỡnh Trớ tu nhõn to Li núi u Trớ tu nhõn to (hay AI: Artificial Intelligence), l n lc tỡm hiu nhng yu t trớ tu Lý khỏc nghiờn cu lnh vc ny l cỏch ta t tỡm hiu bn thõn chỳng ta Khụng ging trit hc v tõm lý hc, hai khoa hc liờn quan n trớ tu, cũn AI c gng thit lp cỏc cỏc yu t trớ tu cng nh tỡm bit v chỳng Lý khỏc nghiờn cu AI l to cỏc thc th thụng minh giỳp ớch cho chỳng ta AI cú nhiu sn phm quan trng v ỏng lu ý, thm t lỳc sn phm mi c hỡnh thnh Mc dự khụng d bỏo c tng lai, nhng rừ rng mỏy tớnh in t vi thụng minh nht nh ó cú nh hng ln ti cuc sng ngy v tng lai phỏt trin ca minh nhõn loi Ti liu gm cỏc phn sau: - Phn : Tri thc v lp lun - Phn : Gii quyt bng tỡm kim - Phn : Tip cn ký hiu Cũn nhiu khỏc cha cp c phm vi ti liu ny ngh cỏc bn c tỡm hiu thờm sau ó cú nhng kin thc c bn ny Mục lục Phần I Tri thức v lập luận Chơng I Logic mệnh đề I Biểu diễn tri thức II Cú pháp v ngữ nghĩa logic mệnh đề II.1 Cú pháp II.2 Ngữ nghĩa III Dạng chuẩn tắc .11 IV Luật suy diễn 13 V Luật giải, chứng minh bác bỏ luật giải .16 VI Bi tập 18 Chơng II .21 LOGIC Vị Từ CấP MộT .21 I Cú pháp 21 II Ngữ nghĩa 23 III Bi tập 25 Phần II 28 Giải vấn đề tìm kiếm 28 Chơng III .29 Các chiến lợc tìm kiếm mù 29 I Biểu diễn vấn đề không gian trạng thái 29 II Các chiến lợc tìm kiếm .31 III Các chiến lợc tìm kiếm mù 33 III.1 Tìm kiếm theo bề rộng .33 III.2 Tìm kiếm theo độ sâu .35 III.3 Các trạng thái lặp 36 III.4 Tìm kiếm sâu lặp 36 IV Quy vấn đề vấn đề 38 V đồ thị .40 VI Bi tập 44 Chơng IV 45 Các chiến lợc tìm kiếm kinh nghiệm 45 I Hm đánh giá v tìm kiếm kinh nghiệm .45 II Tìm kiếm tốt - .46 III Tìm kiếm leo đồi 48 IV Tìm kiếm beam .49 V Bi tập 50 Chơng V 51 Các chiến lợc tìm kiếm tối u 51 I Tìm đờng ngắn 51 I.1 Thuật toán A* 52 I.2 Thuật toán tìm kiếm nhánh-v-cận 54 II Tìm đối tợng tốt 56 II.1 Tìm kiếm leo đồi 57 II.2 Tìm kiếm gradient 58 II.3 Tìm kiếm mô luyện kim 58 III Tìm kiếm mô tiến hóa Thuật toán di truyền 59 IV Bi tập 63 Chơng VI 65 Tìm kiếm có đối thủ 65 I Cây trò chơi v tìm kiếm trò chơi 65 II Phơng pháp cắt cụt alpha - beta 71 III Bi tập 73 Phần III 75 HC MY (MACHINE LEARNING) 75 Chng VII .77 TIP CN Kí HIU: 77 GII THUT QUY NP CY QUYT NH ID3 77 I Gii thiu 77 II Gii thut ID3 xõy dng cõy quyt nh t trờnxung 80 III Thuc tớnh no l thuc tớnh dựng phõn loi tt nht? .82 III.1 Entropy o tớnh thun nht ca vớ d .82 III.2 Lng thụng tin thu c o mc gim entropy mong i 84 IV Tỡm kim khụng gian gi thuyt ID3 84 V ỏnh giỏ hiu sut ca cõy quyt nh .85 VI Chuyn cõy v cỏc lut 86 VII Khi no nờn s dng ID3 86 Chng VIII 88 TIP CN KT NI: MNG NEURON 88 I Gii thiu 88 II C bn v mng kt ni 89 II.1 Mt neuron nhõn to 89 II.2 Cỏc c trng ca mt mng Neuron 89 II.3 Mng neuron McCulloch-Pitts 90 III Hc perceptron .91 III.1 Gii thut hc perceptron 91 III.2 S dng mng perceptron cho bi toỏn phõn loi 92 III.3 Gii hn ca perceptron tớnh tỏch ri tuyn tớnh ca bi toỏn 95 III.4 Lut Delta .96 IV Hc Lan truyn ngc 98 IV.1 Gii thut hc lan truyn ngc .98 IV.2 Vớ d 1: Mng NetTalk 99 IV.3 Vớ d 2: Exclusiveor 100 V Nhn xột chung v mng neuron 101 Chng IX 102 TIP CN X HI V NI TRI: GII THUT DI TRUYN (GENETIC ALGORITHM - GA) 102 I Gii thut 102 II Vớ d 1: Bi toỏn tha CNF 104 III Vớ d 2: Bi toỏn ngi i bỏn hng TSP 105 IV ỏnh giỏ gii thut 107 Bi 109 Ti liu tham kho 111 Phần I Tri thức v lập luận Chơng I Logic mệnh đề Trong chơng ny trình by đặc trng ngôn ngữ biểu diễn tri thức Chúng ta nghiên cứu logic mệnh đề, ngôn ngữ biểu diễn tri thức đơn giản, có khả biểu diễn hẹp, nhng thuận lợi cho ta lm quen với nhiều khái niệm quan trọng logic, đặc biệt logic vị từ cấp đợc nghiên cứu chơng sau I Biểu diễn tri thức Con ngời sống môi trờng nhận thức đợc giới nhờ giác quan (tai, mắt v phận khác), sử dụng tri thức tích luỹ đợc v nhờ khả lập luận, suy diễn, ngời đa hnh động hợp lý cho công việc m ngời lm Một mục tiêu Trí tuệ nhân tạo ứng dụng l thiết kế tác nhân thông minh (intelligent agent) có khả nh ngời Chúng ta hiểu tác nhân thông minh l nhận thức đợc môi trờng thông qua cảm nhận (sensors) v đa hnh động hợp lý đáp ứng lại môi trờng thông qua phận hnh động (effectors) Các robots, softbot (software robot), hệ chuyên gia, l ví dụ tác nhân thông minh Các tác nhân thông minh cần phải có tri thức giới thực đa định đắn Thnh phần trung tâm tác nhân dựa tri thức (knowledge-based agent), đợc gọi l hệ dựa tri thức (knowledge-based system) đơn giản l hệ tri thức, l sở tri thức Cơ sở tri thức (CSTT) l tập hợp tri thức đợc biểu diễn dới dạng no Mỗi nhận đợc thông tin đa vo, tác nhân cần có khả suy diễn để đa câu trả lời, hnh động hợp lý, đắn Nhiệm vụ ny đợc thực suy diễn Bộ suy diễn l thnh phần khác hệ tri thức Nh hệ tri thức bảo trì CSTT v đợc trang bị thủ tục suy diễn Mỗi tiếp nhận đợc kiện từ môi trờng, thủ tục suy diễn thực trình liên kết kiện với tri thức CSTT để rút câu trả lời, hnh động hợp lý m tác nhân cần thực Đơng nhiên l, ta thiết kế tác nhân giải vấn đề no CSTT chứa tri thức miền đối tợng cụ thể Để máy tính sử dụng đợc tri thức, xử lý tri thức, cần biểu diễn tri thức dới dạng thuận tiện cho máy tính Đó l mục tiêu biểu diễn tri thức Tri thức đợc mô tả dới dạng câu ngôn ngữ biểu diễn tri thức Mỗi câu xem nh mã hóa hiểu biết giới thực Ngôn ngữ biểu diễn tri thức (cũng nh ngôn ngữ hình thức khác) gồm hai thnh phần l cú pháp v ngữ nghĩa Cú pháp ngôn ngữ bao gồm ký hiệu quy tắc liên kết ký hiệu (các luật cú pháp) để tạo thnh câu (công thức) ngôn ngữ Các câu l biểu diễn ngoi, cần phân biệt với biểu diễn bên máy tính Các câu đợc chuyển thnh cấu trúc liệu thích hợp đợc ci đặt vùng nhớ no máy tính, l biểu diễn bên Bản thân câu cha chứa đựng nội dung no cả, cha mang ý nghĩa no Ngữ nghĩa ngôn ngữ cho phép ta xác định ý nghĩa câu miền no giới thực Chẳng hạn, ngôn ngữ biểu thức số học, dãy ký hiệu (x+y)*z l câu viết cú pháp Ngữ nghĩa ngôn ngữ ny cho phép ta hiểu rằng, x, y, z, ứng với số nguyên, ký hiệu + ứng với phép toán cộng, * ứng với phép chia, biểu thức (x+y)*z biểu diễn trình tính toán: lấy số nguyên x cộng với số nguyên y, kết đợc nhân với số nguyên z Ngoi hai thnh phần cú pháp v ngữ nghĩa, ngôn ngữ biểu diễn tri thức cần đợc cung cấp chế suy diễn Một luật suy diễn (rule of inference) cho phép ta suy công thức từ tập no công thức Chẳng hạn, logic mệnh đề, luật modus ponens từ hai công thức A v A B suy công thức B Chúng ta hiểu lập luận suy diễn l trình áp dụng luật suy diễn để từ tri thức sở tri thức v kiện ta nhận đợc tri thức Nh xác định: Ngôn ngữ biểu diễn tri thức = Cú pháp + Ngữ nghĩa + Cơ chế suy diễn Một ngôn ngữ biểu diễn tri thức tốt cần phải có khả biểu diễn rộng, tức l mô tả đợc điều m muốn nói Nó cần phải hiệu theo nghĩa l, để tới kết luận, thủ tục suy diễn đòi hỏi thời gian tính toán v không gian nhớ Ngời ta mong muốn ngôn ngữ biểu diễn tri thức gần với ngôn ngữ tự nhiên Trong ti liệu ny, tập trung nghiên cứu logic vị từ cấp (firstorder predicate logic first-order predicate calculus) - ngôn ngữ biểu diễn tri thức, logic vị từ cấp có khả biểu diễn tơng đối tốt, v l sở cho nhiều ngôn ngữ biểu diễn tri thức khác, chẳng hạn toán hon cảnh (situation calculus) logic thời gian khoảng cấp (first-order interval tempral logic) Nhng trớc hết nghiên cứu logic mệnh đề (propositional logic propositional calculus) Nó l ngôn ngữ đơn giản, có khả biểu diễn hạn chế, song thuận tiện cho ta đa vo nhiều khái niệm quan trọng logic II Cú pháp v ngữ nghĩa logic mệnh đề II.1 Cú pháp Cú pháp logic mệnh đề đơn giản, cho phép xây dựng nên công thức Cú pháp logic mệnh đề bao gồm tập ký hiệu v tập luật xây dựng công thức Các ký hiệu Hai logic True v False Các ký hiệu mệnh đề (còn đợc gọi l biến mệnh đề): P, Q, Các kết nối logic ,, ơ, , Các dấu mở ngoặc (v đóng ngoặc) Các quy tắc xây dựng công thức Các biến mệnh đề l công thức Nếu A v B l công thức thì: (A B) (đọc A hội B A v B) (A B) (đọc A tuyển B A B) ( A) (đọc phủ định A) (A B) (đọc A kéo theo B A B) (A B) (đọc A v B kéo theo nhau) l công thức Sau ny ngắn gọn, ta bỏ cặp dấu ngoặc không cần thiết Chẳng hạn, thay cho ((A B) C) ta viết l (A B) C Các công thức l ký hiệu mệnh đề đợc gọi l câu đơn câu phân tử Các công thức l câu đơn đợc gọi l câu phức hợp Nếu P l ký hiệu mệnh đề P v TP đợc gọi l literal, P l literal dơng, TP l literal âm Câu phức hợp có dạng A1 Am Ai l literal đợc gọi l câu tuyển (clause) II.2 Ngữ nghĩa Ngữ nghĩa logic mệnh đề cho phép ta xác định thiết lập ý nghĩa công thức giới thực no Điều đợc thực cách kết hợp mệnh đề với kiện no giới thực Chẳng hạn, ký hiệu mệnh đề P ứng với kiện Paris l thủ đô nớc Pháp kiện no khác Bất kỳ kết hợp kí hiệu mệnh đề với kiện giới thực đợc gọi l minh họa (interpretation ) Chẳng hạn minh họa kí hiệu mệnh đề P l kiện (mệnh đề) Paris l thủ đô nớc Pháp Một kiện sai Chẳng hạn, kiện Paris l thủ đô nớc Pháp l đúng, kiện Số Pi l số hữu tỉ l sai Một cách xác hơn, cho ta hiểu minh họa l cách gán cho ký hiệu mệnh đề giá trị chân trị True False Trong minh họa, kí hiệu mệnh đề P đợc gán giá trị chân trị True/False (P True/ PFalse) ta nói mệnh đề P đúng/sai minh họa Trong minh họa, ý nghĩa câu phức hợp đợc xác định ý nghĩa kết nối logic Chúng ta xác định ý nghĩa kết nối logic bảng chân trị (xem hình 1.1) P Q ơP PQ PQ PQ PQ False False True False False True True False True True False True True Fasle True False False False True False False True True False True True True Hình 1.1 Bảng chân trị kết nối logic True ý nghĩa kết nối logic , v đợc xác định nh từ v,hoặc l v phủ định ngôn ngữ tự nhiên Chúng ta cần phải giải thích thêm ý nghĩa phép kéo theo P Q (P kéo theo Q ), P l giả thiết, Q l kết luận Trực quan cho phép ta xem rằng, P l v Q l câu P kéo theo Q l đúng, P l Q l sai câu P kéo theo Q l sai Nhng P sai v Q , P sai Q sai P kéo theo Q l hay sai ? Nếu xuất phát từ giả thiết sai, khẳng định kết luận Không có lý để nói rằng, P sai v Q P sai v Q sai P kéo theo Q l sai Do trờng hợp P sai P kéo theo Q l dù Q l hay Q l sai Bảng chân trị cho phép ta xác định ngẫu nhiên câu phức hợp Chẳng hạn ngữ nghĩa câu P Q minh họa {P True , Q False } l False Việc xác định ngữ nghĩa câu (P Q) ơS minh họa đợc tiến hnh nh sau: ta xác định giá trị chân trị P Q v ơS , sau ta sử dụng bảng chân trị để xác định giá trị (P Q) ơS Một công thức l hợp lệ (valid) v minh hoạ chẳng hạn câu P ơP, nguợc lại l không hợp lệ Một công thức đợc gọi l thoả đợc (satisfiable) hay bền vững (consistent) minh họa no Chẳng hạn công thức (P Q) ơS l thoả đợc, có giá trị True minh họa {P True, Q False, S False} Một công thức đợc gọi l không thoả đợc (insatisfiable) hay không bền vững (inconsistent), l sai minh họa (mâu thuẫn), chẳng hạn công thức P ơP Chúng ta gọi mô hình (model) công thức l minh họa cho công thức l minh họa ny Nh công thức thoả đợc l công thức có mô hình Chẳng hạn, minh họa {P False , Q False , S True } l mô hình công thức (P Q) S Bằng cách lập bảng chân trị (phơng pháp bảng chân trị ) l ta xác định đợc công thức có thoả đợc hay không Trong bảng ny, biến mệnh đề đứng đầu với cột, công thức cần kiểm tra đứng đầu cột, dòng tơng ứng với minh họa Chẳng hạn hình 1.2 l bảng chân trị cho công thức (P Q) S Trong bảng chân trị ny ta cần đa vo cột phụ ứng với công thức công thức cần kiểm tra để việc tính giá trị công thức ny đợc dễ dng Từ bảng chân trị ta thấy công thức (P Q) S l thoả đợc nhng không hợp lệ v P Q S PQ (P Q) S False False False True False False False True True True False True False True False False True True True True True False False False False True False True False False True True False True False True True True True True Hình 1.2 Bảng chân trị cho công thức (P Q) S 10 cần lu db đỉnh Do độ phức tạp không gian tìm kiếm theo độ sâu l O(db), tìm kiếm theo bề rộng đòi hỏi không gian nhớ O(bd)! III.3 Các trạng thái lặp Nh ta thấy mục 1.2, tìm kiếm chứa nhiều đỉnh ứng với trạng thái, trạng thái ny đợc gọi l trạng thái lặp Chẳng hạn, tìm kiếm hình 4b, trạng thái C, E, F l trạng thái lặp Trong đồ thị biểu diễn không gian trạng thái, trạng thái lặp ứng với đỉnh có nhiều đờng dẫn tới từ trạng thái ban đầu Nếu đồ thị có chu trình tìm kiếm chứa nhánh với số đỉnh lập lại vô hạn lần Trong thuật toán tìm kiếm lãng phí nhiều thời gian để phát triển lại trạng thái m ta gặp v phát triển Vì trình tìm kiếm ta cần tránh phát sinh trạng thái m ta phát triển Chúng ta áp dụng giải pháp sau đây: Khi phát triển đỉnh u, không sinh đỉnh trùng với cha u Khi phát triển đỉnh u, không sinh đỉnh trùng với đỉnh no nằm đờng dẫn tới u Không sinh đỉnh m đợc sinh ra, tức l sinh đỉnh Hai giải pháp đầu dễ ci đặt v không tốn nhiều không gian nhớ, nhiên giải pháp ny không tránh đợc hết trạng thái lặp Để thực giải pháp thứ ta cần lu trạng thái phát triển vo tập Q, lu trạng thái chờ phát triển vo danh sách L Đơng nhiên, trạng thái v lần đầu đợc sinh Q v L Việc lu trạng thái phát triển v kiểm tra xem trạng thái có phải lần đầu đợc sinh không đòi hỏi nhiều không gian v thời gian Chúng ta ci đặt tập Q bảng băm III.4 Tìm kiếm sâu lặp Nh nhận xét, tìm kiếm chứa nhánh vô hạn, sử dụng tìm kiếm theo độ sâu, ta mắc kẹt nhánh v không tìm nghiệm Để khắc phục hon cảnh đó, ta tìm kiếm theo độ sâu tới mức d no đó; không tìm nghiệm, ta tăng độ sâu lên d+1 v lại tìm kiếm theo độ sâu tới mức d+1 Quá trình đợc lặp lại với d lần lợt l 1, 2, dến độ sâu max no Nh vậy, thuật toán tìm kiếm sâu lặp (iterative deepening search) sử dụng thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế (depth_limited search) nh thủ tục Đó l thủ tục tìm kiếm theo độ sâu, nhng tới độ sâu d no quay lên Trong thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế, d l tham số độ sâu, hm depth ghi lại độ sâu đỉnh procedure Depth_Limited_Search(d); begin Khởi tạo danh sách L chứa trạng thái ban đầu u0; depth(u0) 0; loop 2.1 if L rỗng then 36 {thông báo thất bại; stop}; 2.2 Loại trạng thái u đầu danh sách L; 2.3 if u l trạng thái kết thúc then {thông báo thnh công; stop}; 2.4 if depth(u) d then for trạng thái v kề u {Đặt v vo đầu danh sách L; depth(v) depth(u) + 1}; end; procedure Depth_Deepening_Search; begin for d to max {Depth_Limited_Search(d); if thnh công then exit} end; Kỹ thuật tìm kiếm sâu lặp kết hợp đợc u điểm tìm kiếm theo bề rộng v tìm kiếm theo độ sâu Chúng ta có số nhận xét sau: Cũng nh tìm kiếm theo bề rộng, tìm kiếm sâu lặp luôn tìm nghiệm (nếu bi toán có nghiệm), miễn l ta chọn độ sâu đủ lớn Tìm kiếm sâu lặp cần không gian nhớ nh tìm kiếm theo độ sâu Trong tìm kiếm sâu lặp, ta phải phát triển lặp lại nhiều lần trạng thái Điều lm cho ta có cảm giác rằng, tìm kiếm sâu lặp lãng phí nhiều thời gian Thực thời gian tiêu tốn cho phát triển lặp lại trạng thái l không đáng kể so với thời gian tìm kiếm theo bề rộng Thật vậy, lần gọi thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế tới mức d, tìm kiếm có nhân tố nhánh l b, số đỉnh cần phát triển l: + b + b2 + + bd Nếu nghiệm độ sâu d, tìm kiếm sâu lặp, ta phải gọi thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế với độ sâu lần lợt l 0, 1, 2, , d Do đỉnh mức phải phát triển lặp d lần, đỉnh mức lặp d-1 lần, , đỉnh mức d lặp lần Nh tổng số đỉnh cần phát triển tìm kiếm sâu lặp l: (d+1)1 + db + (d-1)b2 + + 2bd-1 + 1bd Do thời gian tìm kiếm sâu lặp l O(bd) Tóm lại, tìm kiếm sâu lặp có độ phức tạp thời gian l O(bd) (nh tìm kiếm theo bề rộng), v có độ phức tạp không gian l O(biểu diễn) (nh tìm kiếm theo độ sâu) Nói chung, nên áp dụng tìm kiếm sâu lặp cho vấn đề có không gian trạng thái lớn v độ sâu nghiệm trớc 37 IV Quy vấn đề vấn đề Chúng ta nghiên cứu việc biểu diễn vấn đề thông qua trạng thái v toán tử Khi việc tìm nghiệm vấn đề đợc quy việc tìm đờng không gian trạng thái Trong mục ny nghiên cứu phơng pháp luận khác để giải vấn đề, dựa việc quy vấn đề vấn đề Quy vấn đề vấn đề (còn gọi l rút gọn vấn đề) l phơng pháp đợc sử dụng rộng rãi để giải vấn đề Trong đời sống hng ngy, nh khoa học kỹ thuật, gặp vấn đề cần giải quyết, ta thờng cố gắng tìm cách đa vấn đề đơn giản Quá trình rút gọn vấn đề đợc tiếp tục ta dẫn tới vấn đề giải đợc dễ dng Sau xét số vấn đề Vấn đề tính tích phân bất định Giả sử ta cần tính tích phân bất định, chẳng hạn (xex + x3) dx Quá trình thờng lm để tính tích phân bất định l nh sau Sử dụng quy tắc tính tích phân (quy tắc tính tích phân tổng, quy tắc tính tích phân phần ), sử dụng phép biến đổi biến số, phép biến đổi hm (chẳng hạn, phép biến đổi lợng giác), để đa tích phân cần tính tích phân hm số sơ cấp m biết cách tính Chẳng hạn, tích phân (xex + x3) dx, áp dụng quy tắc tích phân tổng ta đa hai tích phân xexdx v x3dx áp dụng quy tắc tích phân phần ta đa tích phân xexdx tích phân exdx Quá trình biểu diễn đồ thị hình 3.5 Hình 3.5 Quy số tích phân tích phân Các tích phân exdx v x3dx l tích phân có bảng tích phân Kết hợp kết tích phân bản, ta nhận đợc kết tích phân cho Chúng ta biểu diễn việc quy vấn đề vấn đề trạng thái v toán tử đây, bi toán cần giải l trạng thái ban đầu Mỗi cách quy bi toán bi toán đợc biểu diễn toán tử, toán tử AB, C biểu diễn việc quy bi toán A hai bi toán B v C Chẳng hạn, bi toán tính tích phân bất định, ta xác định toán tử dạng: (f1 + f2) dx f1 dx, f2 dx v u dv v du Các trạng thái kết thúc l bi toán sơ cấp (các bi toán biết cách giải) Chẳng hạn, bi toán tính tích phân, tích phân l trạng thái kết thúc Một 38 điều cần lu ý l, không gian trạng thái biểu diễn việc quy vấn đề vấn đề con, toán tử l đa trị, biến đổi trạng thái thnh nhiều trạng thái khác Vấn đề tìm đờng đồ giao thông Bi toán ny đợc phát triển nh bi toán tìm đờng không gian trạng thái (xem 3.1), trạng thái ứng với thnh phố, toán tử ứng với đờng nối, nối thnh phố ny với thnh phố khác Bây ta đa cách biểu diễn khác dựa việc quy vấn đề vấn đề Hình 3.6 Giả sử ta có đồ giao thông vùng lãnh thổ (xem hình 3.6) Giả sử ta cần tìm đờng từ thnh phố A tới thnh phố B Có sông chảy qua hai thnh phố E v G v có cầu qua sông thnh phố Mọi đờng từ A đến B qua E G Nh bi toán tìm đờng từ A đến B đợc quy về: 1) Bi toán tìm đờng từ A đến B qua E (hoặc) 2) Bi toán tìm đờng từ A đến b qua G Mỗi hai bi toán lại phân nhỏ nh sau 1) Bi toán tìm đờng từ A đến B qua E đợc quy về: 1.1 Tìm đờng từ A đến E (v) 1.2 Tìm đờng từ E đến B 2) Bi toán tìm đờng từ A đến B qua G đợc quy về: 2.1 Tìm đờng từ A đến G (v) 2.2 Tìm đờng từ G đến B Quá trình rút gọn vấn đề nh biểu diễn dới dạng đồ thị (đồ thị v/hoặc) hình 3.7 bi toán tìm đờng từ thnh phố tới thnh phố khác ứng với trạng thái Các trạng thái kết thúc l trạng thái ứng với bi toán tìm đờng đi, chẳng hạn từ A đến C, từ D đến E, có đờng nối A với C, nối D với E 39 Hình 3.7 Đồ thị v/hoặc vấn đề tìm đờng V đồ thị Không gian trạng thái mô tả việc quy vấn đề vấn đề biểu diễn dới dạng đồ thị định hớng đặc biệt đợc gọi l đồ thị v/hoặc Đồ thị ny đợc xây dựng nh sau: Mỗi bi toán ứng với đỉnh đồ thị Nếu có toán tử quy bi toán bi toán khác, chẳng hạn R : a b, đồ thị có cung gán nhãn từ đỉnh a tới đỉnh b Đối với toán tử quy bi toán số bi toán con, chẳng hạn R : a b, c, d ta đa vo đỉnh a1, đỉnh ny biểu diễn tập bi toán {b, c, d} v toán tử R : a b, c, d đợc biểu diễn đồ thị hình 3.8 Hình 3.8 Đồ thị biểu diễn toán tử R : a b, c, d Ví dụ: Giả sử có không gian trạng thái sau: Trạng thái ban đầu (bi toán cần giải) l a Tập toán tử gồm: R1 : a d, e, f R2 : a d, k R3 : a g, h R4 : d b, c 40 R5 : f i R6 : f c, g R7 : k e, l R8 : k h Tập trạng thái kết thúc (các bi toán sơ cấp) l T = {b, c, e, g} Không gian trạng thái biểu diễn đồ thị v/hoặc hình 3.9 Trong đồ thị đó, đỉnh chẳng hạn a, f, k a1, a2, a3 đợc gọi l đỉnh Lý l, đỉnh a1 biểu diễn tập bi toán {d, e, f} v a1 đợc giải d v e v f đợc giải Còn đỉnh a, ta có toán tử R1, R2, R3 quy bi toán a bi toán khác nhau, a đợc giải a1 = {d, e, f}, a2 = {d, k}, a3 = {g, h} đợc giải Hình 3.9 Một đồ thị v/hoặc Ngời ta thờng sử dụng đồ thị v/hoặc dạng rút gọn Chẳng hạn, đồ thị v/hoặc hình 3.9 rút gọn thnh đồ thị hình 3.10 Trong đồ thị rút gọn ny, ta nói chẳng hạn d, e, f l đỉnh kề đỉnh a theo toán tử R1, d, k l đỉnh kề a theo toán tử R2 Khi có toán tử rút gọn vấn đề, cách áp dụng liên tiếp toán tử, ta đa bi toán cần giải tập bi toán Chẳng hạn, ví dụ ta áp dụng toán tử R1, R4, R6, ta quy bi toán a tập bi toán {b, c, e, g}, tất bi toán ny l sơ cấp Từ toán tử R1, R4 v R6 ta xây dựng đợc hình 1.11a, ny đợc gọi l nghiệm Cây nghiệm đợc định nghĩa nh sau: Cây nghiệm l cây, đó: Gốc ứng với bi toán cần giải Tất l đỉnh kết thúc (đỉnh ứng với bi toán sơ cấp) 41 Nếu u l đỉnh cây, đỉnh u l đỉnh kề u theo toán tử no Các đỉnh đồ thị v/hoặc đợc gắn nhãn giải đợc không giải đợc Hình 3.10 Đồ thị rút gọn đồ thị hình 3.9 Hình 3.11 Các nghiệm Các đỉnh giải đợc đợc xác định đệ quy nh sau: Các đỉnh kết thúc l đỉnh giải đợc Nếu u l đỉnh kết thúc, nhng có toán tử R cho tất đỉnh kề u theo R giải đợc u giải đợc Các đỉnh không giải đợc đợc xác định đệ quy nh sau: Các đỉnh l đỉnh kết thúc v đỉnh kề, l đỉnh không giải đợc Nếu u l đỉnh kết thúc v với toán tử R áp dụng đợc u có đỉnh v kề u theo R không giải đợc, u không giải đợc Ta có nhận xét rằng, bi toán a giải đợc có nghiệm gốc a, v ngợc lại có nghiệm gốc a a giải đợc Hiển nhiên l, bi toán giải đợc có nhiều nghiệm, nghiệm biểu diễn cách giải bi toán Chẳng hạn ví dụ nêu, bi toán a có hai nghiệm hình 3.11 Thứ tự giải bi toán nghiệm l nh sau Bi toán ứng với đỉnh u đợc giải sau tất bi toán ứng với đỉnh u đợc giải 42 Chẳng hạn, với nghiệm hình 3.11a, thứ tự giải bi toán l b, c, d, g, f, e, a ta sử dụng thủ tục xếp topo để xếp thứ tự bi toán nghiệm Đơng nhiên ta giải đồng thời bi toán mức nghiệm Vấn đề l, tìm kiếm đồ thị v/hoặc để xác định đợc đỉnh ứng với bi toán ban đầu l giải đợc hay không giải đợc, v giải đợc xây dựng nghiệm cho Tìm kiếm đồ thị v/hoặc Ta sử dụng kỹ thuật tìm kiếm theo độ sâu đồ thị v/hoặc để đánh dấu đỉnh Các đỉnh đợc đánh dấu giải đợc không giải đợc theo định nghĩa đệ quy đỉnh giải đợc v không giải đợc Xuất phát từ đỉnh ứng với bi toán ban đầu, xuống theo độ sâu, gặp đỉnh u l đỉnh kết thúc đợc đánh dấu giải đợc Nếu gặp đỉnh u l đỉnh kết thúc v từ u không tiếp đợc, u đợc đánh dấu không giải đợc Khi tới đỉnh u, từ u ta lần lợt xuống đỉnh v kề u theo toán tử R no Nếu đánh dấu đợc đỉnh v không giải đợc không cần tiếp xuống đỉnh v lại Tiếp tục xuống đỉnh kề u theo toán tử khác Nếu tất đỉnh kề u theo toán tử no đợc đánh dấu giải đợc u đợc đánh dấu giải đợc v quay lên cha u Còn từ u xuống đỉnh kề theo toán tử gặp đỉnh kề đợc đánh dấu không giải đợc, u đợc đánh dấu không giải đợc v quay lên cha u Ta biểu diễn thủ tục tìm kiếm theo độ sâu v đánh dấu đỉnh trình by hm đệ quy Solvable(u) Hm ny nhận giá trị true u giải đợc v nhận giá trị false u không giải đợc Trong hm Solvable(u), ta sử dụng: Biến Ok Với toán tử R áp dụng đợc u, biến Ok nhận giá trị true tất đỉnh v kề u theo R giải đợc, v Ok nhận giá trị false có đỉnh v kề u theo R không giải đợc Hm Operator(u) ghi lại toán tử áp dụng thnh công u, tức l Operator(u) = R đỉnh v kề u theo R giải đợc function Solvable(u); begin if u l đỉnh kết thúc then {Solvable(u) true; stop}; if u không l đỉnh kết thúc v đỉnh kề then {Solvable(u) false; stop}; for toán tử R áp dụng đợc u (1) {Ok true; for v kề u theo R (2) if Solvable(v) = false then {Ok false; exit}; // thoát for (2) if Ok then 43 {Solvable(u) true; Operator(u) R; stop} } Solvable(u) false; end; Nhận xét Hon ton tơng tự nh thuật toán tìm kiếm theo độ sâu không gian trạng thái (mục III.2), thuật toán tìm kiếm theo độ sâu đồ thị v/hoặc xác định đợc bi toán ban đầu l giải đợc hay không giải đợc, tìm kiếm nhánh vô hạn Nếu tìm kiếm có nhánh vô hạn cha thuật toán dừng, bị xa lầy xuống nhánh vô hạn Trong trờng hợp ny ta nên sử dụng thuật toán tìm kiếm sâu lặp (mục III.4) Nếu bi toán ban đầu giải đợc, cách sử dụng hm Operator ta xây dựng đợc nghiệm VI Bi tập Tính số trạng thái tối đa phải lu duyệt theo bề rộng có độ sâu l v hệ số nhánh l Viết chơng trình minh họa tìm kiếm theo bề rộng v độ sâu bi toán số với yêu cầu sau a) Trạng thái ban đầu bi toán có số vị trí ngẫu nhiên b) Trình by tất trạng thái trình tìm trạng thái đích Viết chơng trình minh họa bi toán nh triệu phú v kẻ cớp với số nh triệu phú v kẻ cớp tuỳ ý Viết chơng trình giải bi toán tích phân (xex + x3) dx 44 Chơng IV Các chiến lợc tìm kiếm kinh nghiệm Trong chơng III, nghiên cứu việc biểu diễn vấn đề không gian trạng thái v kỹ thuật tìm kiếm mù Các kỹ thuật tìm kiếm mù hiệu v nhiều trờng hợp áp dụng đợc Trong chơng ny, nghiên cứu phơng pháp tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic), l phơng pháp sử dụng hm đánh giá để hớng dẫn tìm kiếm I Hm đánh giá v tìm kiếm kinh nghiệm Trong nhiều vấn đề, ta sử dụng kinh nghiệm, tri thức vấn đề để đánh giá trạng thái vấn đề Với trạng thái u, xác định giá trị số h(u), số ny đánh giá gần đích trạng thái u Hm h(u) đợc gọi l hm đánh giá Chúng ta sử dụng hm đánh giá để hớng dẫn tìm kiếm Trong trình tìm kiếm, bớc ta chọn trạng thái để phát triển l trạng thái có giá trị hm đánh giá nhỏ nhất, trạng thái ny đợc xem l trạng thái có nhiều hứa hẹn hớng tới đích Các kỹ thuật tìm kiếm sử dụng hm đánh giá để hớng dẫn tìm kiếm đợc gọi chung l kỹ thuật tìm kiếm kinh nghiệm (heuristic search) Các giai đoạn để giải vấn đề tìm kiếm kinh nghiệm nh sau: Tìm biểu diễn thích hợp mô tả trạng thái v toán tử vấn đề Xây dựng hm đánh giá Thiết kế chiến lợc chọn trạng thái để phát triển bớc Hm đánh giá Trong tìm kiếm kinh nghiệm, hm đánh giá đóng vai trò quan trọng Chúng ta có xây dựng đợc hm đánh giá cho ta đánh giá trạng thái tìm kiếm hiệu Nếu hm đánh giá không xác, dẫn ta chệch hớng v tìm kiếm hiệu Hm đánh giá đợc xây dựng tùy thuộc vo vấn đề Sau l số ví dụ hm đánh giá: Trong bi toán tìm kiếm đờng đồ giao thông, ta lấy độ di đờng chim bay từ thnh phố tới thnh phố đích lm giá trị hm đánh giá Bi toán số Chúng ta đa hai cách xây dựng hm đánh giá Hm h1: Với trạng thái u h1(u) l số quân không nằm vị trí trạng thái đích Chẳng hạn trạng thái đích bên phải hình 4.1, v u l trạng thái bên trái hình 4.1, h1(u) = 4, quân không vị trí l 3, 8, v 45 Hình 4.1 Đánh giá trạng thái u Hm h2: h2(u) l tổng khoảng cách vị trí quân trạng thái u v vị trí trạng thái đích khoảng cách đợc hiểu l số dịch chuyển theo hng cột để đa quân tới vị trí trạng thái đích Chẳng hạn với trạng thái u v trạng thái đích nh hình 2.1, ta có: h2(u) = + + + = Vì quân cần dịch chuyển, quân cần dịch chuyển, quân cần dịch chuyển v quân cần dịch chuyển Hai chiến lợc tìm kiếm kinh nghiệm quan trọng l tìm kiếm tốt - (best-first search) v tìm kiếm leo đồi (hill-climbing search) Có thể xác định chiến lợc ny nh sau: Tìm kiếm tốt = Tìm kiếm theo bề rộng + Hm đánh giá Tìm kiếm leo đồi = Tìm kiếm theo độ sâu + Hm đánh giá Chúng ta lần lợt nghiên cứu kỹ thuật tìm kiếm ny mục sau II Tìm kiếm tốt - Tìm kiếm tốt - (best-first search) l tìm kiếm theo bề rộng đợc hớng dẫn hm đánh giá Nhng khác với tìm kiếm theo bề rộng chỗ, tìm kiếm theo bề rộng ta lần lợt phát triển tất đỉnh mức để sinh đỉnh mức tiếp theo, tìm kiếm tốt - ta chọn đỉnh để phát triển l đỉnh tốt đợc xác định hm đánh giá (tức l đỉnh có giá trị hm đánh giá l nhỏ nhất), đỉnh ny mức mức 46 Hình 4.2 Đồ thị không gian trạng thái Ví dụ: Xét không gian trạng thái đợc biểu diễn đồ thị hình 4.2, trạng thái ban đầu l A, trạng thái kết thúc l B Giá trị hm đánh giá l số ghi cạnh đỉnh Quá trình tìm kiếm tốt - diễn nh sau: Đầu tiên phát triển đỉnh A sinh đỉnh kề l C, D v E Trong ba đỉnh ny, đỉnh D có giá trị hm đánh giá nhỏ nhất, đợc chọn để phát triển v sinh F, I Trong số đỉnh cha đợc phát triển C, E, F, I đỉnh E có giá trị đánh giá nhỏ nhất, đợc chọn để phát triển v sinh đỉnh G, K Trong số đỉnh cha đợc phát triển G tốt nhất, phát triển G sinh B, H Đến ta đạt tới trạng thái kết thúc Cây tìm kiếm tốt - đợc biểu diễn hình 4.3 Hình 4.3 Cây tìm kiếm tốt - Sau l thủ tục tìm kiếm tốt - Trong thủ tục ny, sử dụng danh sách L để lu trạng thái chờ phát triển, danh sách đợc theo thứ tự tăng dần hm đánh giá cho trạng thái có giá trị hm đánh giá nhỏ đầu danh sách 47 procedure Best_First_Search; begin Khởi tạo danh sách L chứa trạng thái ban đầu; loop 2.1 if L rỗng then {thông báo thất bại; stop}; 2.2 Loại trạng thái u đầu danh sách L; 2.3 if u l trạng thái kết thúc then {thông báo thnh công; stop} 2.4 for trạng thái v kề u Xen v vo danh sách L cho L đợc theo thứ tự tăng dần hm đánh giá; end; III Tìm kiếm leo đồi Tìm kiếm leo đồi (hill-climbing search) l tìm kiếm theo độ sâu đợc hớng dẫn hm đánh giá Song khác với tìm kiếm theo độ sâu, ta phát triển đỉnh u bớc tiếp theo, ta chọn số đỉnh u, đỉnh có nhiều hứa hẹn để phát triển, đỉnh ny đợc xác định hm đánh giá Ví dụ: Ta lại xét đồ thị không gian trạng thái hình 2.2 Quá trình tìm kiếm leo đồi đợc tiến hnh nh sau Đầu tiên phát triển đỉnh A sinh đỉnh C, D, E Trong đỉnh ny chọn D để phát triển, v sinh đỉnh B, G Quá trình tìm kiếm kết thúc Cây tìm kiếm leo đồi đợc cho hình 4.4 Trong thủ tục tìm kiếm leo đồi đợc trình by dới đây, ngoi danh sách L lu trạng thái chờ đợc phát triển, sử dụng danh sách L1 để lu giữ tạm thời trạng thái kề trạng thái u, ta phát triển u Danh sách L1 đợc xếp theo thứ tự tăng dần hm đánh giá, đợc chuyển vo danh sách L trạng thái tốt kề u đứng danh sách L Hình 4.4 Cây tìm kiếm leo đồi 48 procedure Hill_Climbing_Search; begin Khởi tạo danh sách L chứa trạng thái ban đầu; loop 2.1 if L rỗng then {thông báo thất bại; stop}; 2.2 Loại trạng thái u đầu danh sách L; 2.3 if u l trạng thái kết thúc then {thông báo thnh công; stop}; 2.4 for trạng thái v kề u đặt v vo L1; 2.5 Sắp xếp L1 theo thứ tự tăng dần hm đánh giá; 2.6 Chuyển danh sách L1 vo đầu danh sách L; end; IV Tìm kiếm beam Tìm kiếm beam (beam search) giống nh tìm kiếm theo bề rộng, phát triển đỉnh mức phát triển đỉnh mức Tuy nhiên, tìm kiếm theo bề rộng, ta phát triển tất đỉnh mức, tìm kiếm beam, ta hạn chế phát triển k đỉnh tốt (các đỉnh ny đợc xác định hm đánh giá) Do tìm kiếm beam, mức no có nhiều k đỉnh đợc phát triển, tìm kiếm theo bề rộng, số đỉnh cần phát triển mức d l bd (b l nhân tố nhánh) Ví dụ: Chúng ta lại xét đồ thị không gian trạng thái hình 4.2 Chọn k = Khi tìm kiếm beam đợc cho nh hình 4.5 Các đỉnh đợc gạch dới l đỉnh đợc chọn để phát triển mức Hình 4.5 Cây tìm kiếm beam 49 V Bi tập Trong tìm kiếm tốt - giá trị hm đánh giá trạng thái thay đổi sau bớc chọn thủ tục tìm kiếm tốt - cần thay đổi nh no ? Viết chơng trình minh họa tìm kiếm tốt - v leo đồi v beam bi toán số với yêu cầu sau a) Trạng thái ban đầu bi toán có số vị trí ngẫu nhiên b) Trình by tất trạng thái trình tìm trạng thái đích Vit gii thut tỡm kim beam (dựng mó gi) Cho đồ thị không gian trạng thái: Để tìm đờng từ A tới K, vẽ tìm kiếm tìm kiếm tốt nhất-đầu tiên, tìm kiếm leo đồi v tìm kiếm beam có k = 50 [...]... gian lớn tới mức no, ta xét trờng hợp nhân tố nhánh b = 10 v độ sâu d thay đổi Giả sử để phát hiện v kiểm tra 10 00 trạng thái cần 1 giây, v lu giữ 1 trạng thái cần 10 0 bytes Khi đó thời gian v không gian m thuật toán đòi hỏi đợc cho trong bảng sau: Độ sâu d Thời gian Không gian 4 11 giây 1 MB 6 18 phút 11 1 MB 8 31 giờ 11 GB 10 12 8 ngy 1TB 12 35 năm 11 1 TB 14 3500 năm 11 PB III.2 Tìm kiếm theo độ sâu Nh... dạng câu đặc biệt quan trọng Luật giải trên các câu tuyển A1 Am C ơC B1 Bn A1 Am B1 Bn trong đó Ai, Bj v C l các literal Luật giải trên các câu Horn Giả sử Pi, Rj, Q v S l các literal Khi đó ta có các luật sau : P1 Pm S Q, R1 Rn S P1 Pm R1 Rn Q Một trờng hợp riêng hay đợc sử dụng của luật trên l : P1 Pm S Q, S P1 Pm Q Khi ta có thể áp dụng luật giải cho hai câu, thì... D m A l F 7 Xem minh ho sau: Min giỏ tr D= {1, 2} Phộp gỏn hng a v b a b 1 2 Phộp gỏn hm f f (1) 2 f(2) 1 Phộp gỏn cho v t P P (1, 1) P (1, 2) P(2 ,1) P(2,2) T T F F Lng giỏ giỏ tr ỳng ca cỏc cụng thc sau theo cỏc phộp gỏn trờn P(a,f(a)) P(b, f(b)) x y P(y,x) x y (P(x,y) P(f(x),f(y))) 8 t 26 F1: x (P(x) Q(x)) F2: ơQ(a) Chng minh rng ơP(a) l h qu logic ca F1 v F2 9 Chuyn cỏc cụng thc sau thnh dng prenex... hiệu mệnh đề (literal dơng) câu ny tơng đơng với câu P1 Pm Q1 Qn p1 pm Q Dạng câu ny đợc gọi l câu Kowalski (do nh logic Kowalski đa ra năm 19 71) Khi n 1, tức l câu Kowalski chỉ chứa nhiều nhất một literal dơng ta có dạng một câu đặc biệt quan trọng đợc gọi l câu Horn (mang tên nh logic Alfred Horn năm 19 51) Nếu m>0, n =1, câu Horn có dạng : P1 Pm Q Trong đó Pi , Q l các literal dơng Các Pi... minh Trong các lĩnh vực nghiên cứu của Trí Tuệ Nhân Tạo, chúng ta thờng xuyên phải đối đầu với vấn đề tìm kiếm Đặc biệt trong lập kế hoạch v học máy, tìm kiếm đóng vai trò quan trọng Trong phần ny chúng ta sẽ nghiên cứu các kỹ thuật tìm kiếm cơ bản đợc áp dụng để giải quyết các vấn đề v đợc áp dụng rộng rãi trong các lĩnh vực nghiên cứu khác của Trí Tuệ Nhân Tạo Chúng ta lần lợt nghiên cứu các kỹ thuật... chỉ nếu cho bất kỳ minh hoạ I no trong đó F1 F2 Fn l đúng thì G cũng đúng, F1, F2, , Fn l tiền đề của G Định lý: Cho các công thức F1, F2, , Fn v công thức G, G l hệ quả logic của F1, F2, , Fn nếu v chỉ nếu công thức (F1 F2 Fn ) G l hợp lệ Định lý: Cho các công thức F1, F2, , Fn v công thức G, G l hệ quả logic của F1, F2, , Fn nếu v chỉ nếu công thức (F1 F2 Fn ơG) l không bền vững Ví dụ: Nếu... Định nghĩa: một công thức F trong logic vị từ cấp một l dạng prenex chuẩn nếu v chỉ nếu F ở dạng thức sau: (Q1 x1)(Qn xn)(M) Trong đó (Qi xi), i =1 n thì hoặc ( xi) hoặc ( xi)v M không chứa lợng tử, (Q1 x1)(Qn xn) gọi l tiền tố v M l ma trận của công thức F Chúng ta có các tơng đơng sau đây: 1 x G(x) y G(y) x G(x) y G(y) Đặt tên lại biến đi sau lợng tử phổ dụng ( tồn tại ), ta nhận đợc công thức... thiết ) v dẫn tới một mâu thuẫn Sau đây ta sẽ trình bầy cơ sở ny Giả sử chúng ta có một tập hợp các công thức G ={G1, ,Gm} ta cần chứng minh công thức H l hệ quả logic của G Điều đó tơng đơng với chứng minh công thức G1 Gm H l vững chắc Thay cho chứng minh G1 Gm H l vững chắc, ta chứng minh G1 Gm ơH l không thỏa mãn đợc Tức l ta chứng minh tập G= (G1, ,Gm,ơH ) l không thỏa đợc nếu từ Gta suy... gian mũ Cook (19 71) đã chứng minh rằng, vấn đề kiểm tra một công thức trong logic mệnh đề có thoả đợc hay không l vấn đề NP-đầy đủ Chúng ta sẽ nói rằng thoả đợc/ không thoả đợc nếu hội của chúng G1 Gm l vững chắc (thoả đợc, không thoả đợc) Một mô hình của tập công thức G l mô hình của tập công thức G1 Gm Định nghĩa: Cho các công thức F1, F2, , Fn v công thức G, G l hệ quả logic của F1, F2, , Fn... thời điểm m thuyền ở bờ ny hoặc bờ kia, k = 1 nếu thuyền ở bờ tả ngạn v k = 0 nếu thuyền ở bờ hữu ngạn Nh vậy, không gian trạng thái cho bi toán triệu phú v kẻ cớp đợc xác định nh sau: Trạng thái ban đầu l (3, 3, 1) Các toán tử Có năm toán tử tơng ứng với hnh động thuyền chở qua sông 1 triệu phú, hoặc 1 kẻ cớp, hoặc 2 triệu phú, hoặc 2 kẻ cớp, hoặc 1 triệu phú v 1 kẻ cớp Trạng thái kết thúc l (3, 3, 0) ... đòi hỏi đợc cho bảng sau: Độ sâu d Thời gian Không gian 11 giây MB 18 phút 11 1 MB 31 11 GB 10 12 8 ngy 1TB 12 35 năm 11 1 TB 14 3500 năm 11 PB III.2 Tìm kiếm theo độ sâu Nh ta biết, t tởng chiến... câu tuyển A1 Am C ơC B1 Bn A1 Am B1 Bn Ai, Bj v C l literal Luật giải câu Horn Giả sử Pi, Rj, Q v S l literal Khi ta có luật sau : P1 Pm S Q, R1 Rn S P1 Pm R1 Rn Q Một... ơP1 ơPm Q1 Qn Pi , Qi l ký hiệu mệnh đề (literal dơng) câu ny tơng đơng với câu P1 Pm Q1 Qn p1 pm Q Dạng câu ny đợc gọi l câu Kowalski (do nh logic Kowalski đa năm 19 71) Khi n 1,