Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương ĐỊNH THỨC Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://lvluyen.wordpress.com/dstt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Nội dung chương Nội dung Chương ĐỊNH THỨC Định nghĩa tính chất Định thức ma trận khả nghịch Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc Sarrus 1.3 Khai triển định thức theo dòng cột 1.4 Định thức phép biến đổi sơ cấp Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu detA hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu detA hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: • Nếu n = 1, nghĩa A = (a), |A| = a Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu detA hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: • Nếu n = 1, nghĩa A = (a), |A| = a • Nếu n = 2, nghĩa A = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) a b c d , |A| = ad − bc Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu detA hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: • Nếu n = 1, nghĩa A = (a), |A| = a a b c d • Nếu n = 2, nghĩa A = , |A| = ad − bc   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   • Nếu n > 2, nghĩa A =    , an1 an2 ann Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu detA hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: • Nếu n = 1, nghĩa A = (a), |A| = a a b c d • Nếu n = 2, nghĩa A = , |A| = ad − bc   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   • Nếu n > 2, nghĩa A =    , an1 an2 ann dòng |A| ==== a11 A(1|1) − a12 A(1|2) + · · · + a1n (−1)1+n A(1|n) A(i|j) ma trận có từ A cách xóa dòng i cột j A Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho A = −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Khi |A| = 4.5 − (−2).3 = 26 Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho A = −2 Khi |A| = 4.5 − (−2).3 = 26 Ví dụ Tính định thức ma trận   −3  A= 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2   −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = ∆3 = Khi hệ phương trình là:  2  −2 −2 Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 27 / 84 Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2   −2 = ∆3 = Khi hệ phương trình là:  2  −2 −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − t) với t tự Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 27 / 84 Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2   −2 = ∆3 = Khi hệ phương trình là:  2  −2 −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − t) với t tự Ví dụ Giải biện   (m − 7)x −10x  −12x Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: + 12y − 6z = m; + (m + 19)y − 10z = 2m; + 24y + (m − 13)z = Chương Định thức lvluyen@yahoo.com (1) 27 / 84 Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2   −2 = ∆3 = Khi hệ phương trình là:  2  −2 −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − t) với t tự Ví dụ Giải biện   (m − 7)x −10x  −12x Giải ∆= luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: + 12y − 6z = m; + (m + 19)y − 10z = 2m; + 24y + (m − 13)z = m−7 12 −6 −10 m + 19 −10 −12 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức (1) = (m − 1)2 (m + 1) lvluyen@yahoo.com 27 / 84 Quy tắc Cramer • Với m = 3, ta có ∆1 = ∆2   −2 = ∆3 = Khi hệ phương trình là:  2  −2 −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − t) với t tự Ví dụ Giải biện   (m − 7)x −10x  −12x Giải ∆= luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: + 12y − 6z = m; + (m + 19)y − 10z = 2m; + 24y + (m − 13)z = m−7 12 −6 −10 m + 19 −10 −12 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức (1) = (m − 1)2 (m + 1) lvluyen@yahoo.com 27 / 84 Quy tắc Cramer ∆1 = m 12 −6 2m m + 19 −10 24 m − 13 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) = m(m − 1)(m − 17) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 28 / 84 Quy tắc Cramer ∆1 = m 12 −6 2m m + 19 −10 24 m − 13 = m(m − 1)(m − 17) ∆2 = m−7 m −6 −10 2m −10 −12 m − 13 = 2m(m − 1)(m − 14) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 28 / 84 Quy tắc Cramer ∆1 = m 12 −6 2m m + 19 −10 24 m − 13 = m(m − 1)(m − 17) ∆2 = m−7 m −6 −10 2m −10 −12 m − 13 = 2m(m − 1)(m − 14) ∆3 = m−7 12 m −10 m + 19 2m −12 24 = 36m(m − 1) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 28 / 84 Quy tắc Cramer ∆1 = m 12 −6 2m m + 19 −10 24 m − 13 = m(m − 1)(m − 17) ∆2 = m−7 m −6 −10 2m −10 −12 m − 13 = 2m(m − 1)(m − 14) ∆3 = m−7 12 m −10 m + 19 2m −12 24 = 36m(m − 1) Biện luận: Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m = Khi hệ có nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 28 / 84 Quy tắc Cramer ∆1 = m 12 −6 2m m + 19 −10 24 m − 13 = m(m − 1)(m − 17) ∆2 = m−7 m −6 −10 2m −10 −12 m − 13 = 2m(m − 1)(m − 14) ∆3 = m−7 12 m −10 m + 19 2m −12 24 = 36m(m − 1) Biện luận: Nếu ∆ = ⇔ m = −1  ∆1   x = =    ∆   ∆2 y = =  ∆    ∆3   =  z = ∆ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) m = Khi hệ có nghiệm m(m2 − 18m + 17) (m − 1)(m2 − 1) m(m2 − 15m + 14) (m − 1)(m2 − 1) −36m(m − 1) (m − 1)(m2 − 1) Chương Định thức = = = m(m − 17) ; m2 − m(m − 14) ; m2 − −36m m2 − lvluyen@yahoo.com 28 / 84 Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 29 / 84 Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 29 / 84 Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 = nên hệ (1) vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 29 / 84 Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 = nên hệ (1) vô nghiệm • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 29 / 84 Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 • Với m = −1, ta có ∆1 = −36 = nên hệ (1) vô nghiệm • Với m = 1, ta có ∆1 = ∆2 = ∆3 = Hệ (1) trở thành   −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = Hệ vô nghiệm Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com 29 / 84 [...]... = a11 a 22 a23 a 32 a33 − a 12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a 22 a31 a 32 = a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 − a13 a 22 a31 − a11 a23 a 32 − a 12 a21 a33 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 6 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a 12 a13 A =  a21 a 22 a23  a31 a 32 a33 |A| = a11 a 22 a23 a 32 a33 − a 12 a21 a23 a31... và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a 12 a13 A =  a21 a 22 a23  a31 a 32 a33 |A| = a11 a 22 a23 a 32 a33 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) − a 12 a21 a23 a31 a33 Chương 2 Định thức + a13 a21 a 22 a31 a 32 lvluyen@yahoo.com 6 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a 12 a13 A =  a21 a 22 a23  a31 a 32 a33... Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 6 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ a❜ ·❜ a··11 · a· 12 11 a❜ 12 ·a 13 · · ·· · · ·· a❜ ···❜ ··a❜ ····a·  ·❜  a21❜❜ · a · 22 23 21 22 · · · ·· ❜ ····· ❜ ····· ❜ ····a 32 a·31 a31 ❜ a 32 · ··❜a33·····❜ · ·· ···· ·❜ ·❜ ❜❜ ❜❜ · · · · · − − − + + + |A| = a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 −(a13 a 22 a31 + a11 a23 a 32 + a 12 a21... Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 7 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ a❜ ·❜ a··11 · a· 12 11 a❜ 12 ·a 13 · · ·· · · ·· a❜ ···❜ ··a❜ ····a·  ·❜  a21❜❜ · a · 22 23 21 22 · · · ·· ❜ ····· ❜ ····· ❜ ····a 32 a·31 a31 ❜ a 32 · ··❜a33·····❜ · ·· ···· ·❜ ·❜ ❜❜ ❜❜ · · · · · − − − + + + |A| = a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 −(a13 a 22 a31 + a11 a23 a 32 + a 12 a21...  1 2 −3 0  A= 2 3 3 2 4 Giải |A| = 1(−1)1+1 3 0 2 4 + 2( −1)1 +2 2 0 3 4 + (−3)(−1)1+3 2 3 3 2 = 12 − 16 + 15 = 11 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 5 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Quy tắc Sarrus Theo định nghĩa định thức, khi n = 3, ta có   a11 a 12 a13 A =  a21 a 22 a23  a31 a 32 a33 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 6 / 84 1 Định. .. a33 − a 12 a21 a23 a31 a33 + a13 a21 a 22 a31 a 32 = a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21 a 32 − a13 a 22 a31 − a11 a23 a 32 − a 12 a21 a33 Từ đây ta suy ra công thức Sarrus dựa vào sơ đồ sau: cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ a❜ ·❜ a··11 · a· 12 11 a❜ 12 ·a 13 ·· · · · · ··a❜ ····a·  ·· a❜ ···❜ ·❜  a21❜❜ · a · 22 23 21 22 · · · ·· ❜ ····· ❜ ····· ❜ ····a 32 a·31 a31 ❜ a 32 ··❜a33·····❜ · · ···· ·❜ ·❜ ❜❜...1 Định nghĩa và các tính chất Ví dụ Cho A = 4 2 3 5 Khi đó |A| = 4.5 − ( 2) .3 = 26 Ví dụ Tính định thức của ma trận   1 2 −3 0  A= 2 3 3 2 4 Giải |A| = 1(−1)1+1 3 0 2 4 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) + 2( −1)1 +2 2 0 3 4 Chương 2 Định thức + (−3)(−1)1+3 2 3 3 2 lvluyen@yahoo.com 5 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Ví dụ Cho A = 4 2 3 5 Khi đó |A| = 4.5 − ( 2) .3 = 26 Ví dụ Tính định thức của... 2 3 4 2 1 3 1 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 7 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất cột1 cột2 cột3 cột1 cột2 ❄ ❄ ❄ ❄ ❄ a❜ ·❜ a··11 · a· 12 11 a❜ 12 ·a 13 · · ·· · · ·· a❜ ···❜ ··a❜ ····a·  ·❜  a21❜❜ · a · 22 23 21 22 · · · ·· ❜ ····· ❜ ····· ❜ ····a 32 a·31 a31 ❜ a 32 · ··❜a33·····❜ · ·· ···· ·❜ ·❜ ❜❜ ❜❜ · · · · · − − − + + + |A| = a11 a 22 a33 + a 12 a23 a31 + a13 a21... a21 a 32 −(a13 a 22 a31 + a11 a23 a 32 + a 12 a21 a33 )  (Tổng ba đường chéo đỏ - tổng ba đường chéo xanh) Ví dụ 1 2 3 4 2 1 3 1 5 = 1 .2. 5 + 2. 1.3 + 3.4.1 − 3 .2. 3 − 1.1.1 − 2. 4.5 = −31 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 7 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất 1.3 Khai triển định thức theo dòng và cột Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 8 / 84 1 Định nghĩa... 0 1 = −4; c 12 = (−1)1 +2 0 Chương 2 Định thức 2 1 3 0 = 3 lvluyen@yahoo.com 8 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Định lý Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij Ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 2 Định thức lvluyen@yahoo.com 9 / 84 1 Định nghĩa và các tính chất Định lý Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Với mỗi i, j, gọi cij là phần bù đại số của hệ số aij Ta có ... dung chương Nội dung Chương ĐỊNH THỨC Định nghĩa tính chất Định thức ma trận khả nghịch Quy tắc Cramer Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Định. .. dụ Tính định thức ma trận   −3  A= 3 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính chất Ví dụ Cho A = −2 Khi |A| = 4.5 − (−2).3 = 26 Ví dụ Tính định thức. .. / 84 Định nghĩa tính chất Định lý Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Với i, j, gọi cij phần bù đại số hệ số aij Ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Định thức lvluyen@yahoo.com / 84 Định nghĩa tính