Chương Cơ s toán h ọc c lý thuy ết m ật mã 2.1 Số học số ngun thuật tốn Euclide Tính chia h ết c s ố nguyên      Cho a, b≠0 số nguyên Ta nói a chia hết cho b tồn số c cho: a=b.c Ký hiệu b|a a bội số b (divisor), b ước số a ( mutiple) Ví dụ: 2| Tính chia h ết c s ố nguyên       Với a, b, c, d, e ∈Z, ta có: - Nếu a|b b|c ⇒ a|c - Nếu a|b, ac|bc ∀c - Nếu c|a c|b, c| da+ be ∀d, e - Nếu a|b b≠0, |a|≤|b| - Nếu a|b b|a, |a|=|b| Đ ịnh lý phép chia c Euclid  Đối với số n, d\{0}, tồn số q, r∈Z cho: n=qd+r với 0=0 thực hiện: r a mod b a b b r Cho kết (a) Thu ật toán Euclid m r ộng   Thuật toán Euclid mở rộng dùng để tìm hai số x, y thỏa mãn phương trình sau: ax + by = gcd(a, b) Euclide m r ộng Ví dụ  Cho a=4864, b= 3458, tìm (d, x, y) (38, 32, -45) Ví dụ L ớp đ ồng dư     Phép tính đồng dư mod m tách tập số nguyên m lớp, lớp tập số nguyên đồng dư với theo mod m Ký hiệu: ℤ/mℤ Mỗi số lớp ℤ/mℤ có số nằm đoạn [0, m-1], số nguyên a đại diện cho lớp Các phép tính lớp thơng qua đại diện lớp 2.3 Đ ịnh lý s ố dư trung hoa x ≡ a1(mod n1) x = a 2(mod n 2)     x = ak (mod nk ) Là hệ thống gồm k phương trình đồng dư với n1,…, nk đôi nguyên tố Hệ thống có nghiệm x ∈Zn Tìm s ố dư trung hoa    Đặt mi =n/ni với i=1,2,…,k yi =m-1i (mod ni ) yi nghịch đảo nhân mi modulo ni Khi nghiệm x tính sau: k x ≡ ∑ mi yi (mod n) i =1 Ví dụ  Cho hệ pt đồng dư sau: x = 5(mod 7)  x = 3(mod 11) x = 11(mod 13)   Hãy tìm nghiệm x??? Ví d ụ(tt)      n1=7, n2=11 n3=13 (tất nguyên tố nhau) n=n1*n2*n3=1001  m1=n/n1=1001/7=143 m2=1001/11=91 m3=1001/13=77 Ví d ụ(tt) Tính y: y1≡143-1 (mod 7)=5 y2≡91-1 (mod 11)=4 y3≡77-1 (mod 13)=12  Tính x: x=a1*m1*y1+ a2*m2*y2+ a3*m3*y3 = 5*143*5+3*91*4+11*77*12 = 14831  2.4 H ệ hai phương trình đ ồng dư      Xét hệ hai phương trình: x ≡ a1(mod n1)  x ≡ a 2(mod n 2) Với gcd(n1,n2)=1 Tính t=n2-1 (mod n1) Khi u≅(a2-a1)t(mod n2) Giải thuật ứng dụng nhiều mật mã RSA x=a 1+un1 2.5 Lũy th ừa modulo    Tính ab (mod n)??? Giải thuật đơn giản nhân a(mod n) b lần Ví dụ: Lũy th ừa modulo The square-and-multiply algorithm  Sử dụng triển khai số mũ b thành phép bình phương phép nhân Ví dụ  Tính 722 (mod 11) ◦ B1: b=(22)10  (10110)2 ◦ B2: áp dụng giải thuật Hàm m ột chi ều    Chúng ta nói hàm: f: XY hàm chiều f(x) tính tốn hiệu với x∈X, f-1(y) khơng thể tính tốn hiệu với y∈RY “tính tốn hiệu quả” nói t ới độ ph ức tạp tính tốn Ví dụ: hàm RSA hàm bình phương modular hàm logarith rời rạc Trapdoor function  A one-way function f : X → Y is a trapdoor function if there is a trapdoor information t and a PPT algorithm I that can be used to efficiently compute x’= I(f(x),t) with f(x’)= f(x) Q&A ... 4 725 = 32 53  Phân tích h ợp s ố thành th ừa s ố nguyên tố      Ví dụ: tìm gcd lcm ( 143, 22 0) 143=11.13 22 0= 2^ 2 11 Gcd(143, 22 0)= 2min (2, 0) 5min(1,0) 11 13min(1, 0) lcm(143, 22 0)= 2max (2, 0)... n nguyên tố nhau) Ví dụ: 8= 22 -1 (mod 25 ) vì: 8 .22 =176=1(mod 25 ) Ví d ụ ngh ịch đ ảo nhân     Cho m=5, a =2 gcd (2, 5)=1, có nghịch đảo nhân modulo  3 =2- 1 (mod 5) 2. 3≡1(mod 5) gcd(4, 15)=1 có... Ví dụ: ɸ(45)= ɸ( 32 5)=(3-1 )2- 1 (5-1)1-1 =24 Euler’s Totient function  Từ ɸ(p.q)=(p-1)(q-1), ta tính p biết ɸ(p.q) theo cơng thức sau:  Cơng thức dùng mã hóa cơng khai RSA 2. 2 Đ ồng dư theo modular