Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ CỘNG HỒ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM KHOA SƯ PHẠM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc NỘI DUNG ĐÁP ÁNCâu I: (2,0 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”( Thay n = 3) 1.( 1,0 đ )Xây dựng mơ hình aphin.+Xét X = P3 \P2 ≠ φ, P2 là một siêu phẳng của P3 . Chọn mục tiêu xạ ảnh của P3 sao cho phương trình của P2 là x4 = 0. (0,25 đ) + K3 là khơng gian véc tơ 3 chiều trên K. (0,25 đ) + Lập ánh xạ: X x X → K3 (0,25 đ) + Chứng minh ánh xạ trên thỏa 2 tiên đề A1, A2 (0,25 đ) 2.(1,0 đ)+Xét trong P3 (0,5 đ) + Xét trong A3 (0,5 đ) Câu II:. (1,5 đ) Xem Giáo trình “Hình học xạ ảnh”1.(0,50 đ).Phát biểu định nghĩa. (0,5 đ) 2.(1,0 đ ) Chứng minh định lý+ Chứng minh f là đơn ánh. (0,5 đ) + Chứng minh f là tồn ánh. (0,5 đ) Câu III:. ( 2,0 đ )1.(1,5 đ).+ Nêu nội dung định lý. : “ Trong màût phà ng xả a nh Pó í2 cho hai tam giạc ABC va A’B’C’. N u cạc â ng thà ng AA’, BB’, CC’ â ng qu ãú ỉåì ó äư tải O thç cạc âi m P = AB x A’B’, Q = BC x B’C’, R = CA x C’A’ thà ngãø ó ha ng’’.( ënh l Desargues).ì  (0,25 đ) +Xét phép chiếu xun tâm f1:OA → OC có tâm R (0,25 đ) +Xét phép chiếu xun tâm f2: OC → OB có tâm Q(0,25 đ) +Xét ánh xạ xạ ảnh f = f2o f1: OA → OB(0,25 đ) +Ta có f(O) = O và f(A) = B, f(A’) = B’ ⇒f là phép chiếu xun tâm có tâm P = ABxA’B’(0,25 đ) +Gọi A1 =RQxOA, B1 =RQxOB , C1 =RQxOC. Ta có f(A1) = B1 nên P, A1, B1 thẳng hàng hay P, Q, R thẳng hàng (0,25 đ) 2.(0,5 đ) Phát biểu định lý đối ngẫu. Trong màût phà ng xả a nh Pó í2 cho hai tam giạc abc va a’b’c’. N u cạc ì ãú điểm a x a’, b x b’, c x c’ thẳng hàng thç cạc đường thẳng p, q, r đồng quy ; với p đi qua a x b và a’ x b’, q đi qua b x c và b’ x c’, r đi qua a x c và a’ xc’ (0,5 đ).Câu IV: ( 2,0 đ ) +Bài tốn aphin: Trong mặt phẳng aphin A2, cho một tiếp tuyến d bất kỳ của một hyperbol (H) tiếp xúc với (H) tại C và cắt hai tiệm cận d1, d2 của (H) tại A và B. Chứng minh rằng: Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) .( 0,25 đ ) + Xét P2 = A22V∪ = A2∞∆.( 0,25 đ )ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2007-2008Đề thi mơn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317CLỚP TỐN – TỐN TIN – KHỐ 31 + Bài toán xạ ảnh: Trong mặt phẳng xạ ảnh P2, cho một conic (S) cắt∞∆ tại hai điểm P, Q. Gọi 1∆, 2∆ là các tiếp tuyến với (S) tại P, Q cắt nhau tại O và ∆ là một tiếp tuyến bất bỳ của (S) tiếp xúc với (S) tại C; cắt 1∆, 2∆, ∞∆ tại A, B, R. Chứng minh rằng: ( ABCR) = -1.( Hình vẽ). .( 0,5 đ ) * ( 1,0 đ ) Giải bài toán xạ ảnh: + Xét lục giác OPACBQ ngoại tiếp conic (S) ta có AQ, BP, OC đồng quy tại D( Theo định lý Brianchon). .( 0,5 đ ) + Xét hình 4 cạnh toàn phần OPADBQ có A, B là 2 đỉnh đối diện và C, R là hai giao điểm của đường chéo AB và 2 đường chéo còn lại, nên ( ABCR)= -1(đfcm).(0,25đ) Câu V: ( 2,5 đ ) 1.(0.75 đ).+ {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh. .( 0,25 đ ) +{A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh.( 0,25 đ ) + Kết luận phép biển đổi xạ ảnh duy nhất . .( 0,25 đ ) 2.(1.75đ). +Cơ sở sinh ra{A, B, C, D} là 1,2,3{ }iar, trong đó 11 1( , ,0)3 3a =r,22 1( ,0, )3 3a =r, 32 2(0, , )3 3a =r ( 0,5 đ )+ Cơ sở sinh ra{A’, B’, C;’, D’} là '1,2,3{ }iar, trong đó 1' (1,2,1)a =r, 21 1 1' ( , , )2 2 2a = − −r,31 1 1' ( , , )2 2 2a = −r ( 0,5 đ )+Sơ đồ, dạng phương trình .( 0,25 đ )+ Tìm B =6 0 31 1 23 3 0� �� �−� �� �−� � và phương trình [X’] = Bx[X] ( 0,5 đ Giáo viên ra đềPRQC DA∆2B∆∆1O ĐẶNG VĂN THUẬN . đoạn thẳng AB.( Hình vẽ) .( 0,25 đ ) + Xét P2 = A22V∪ = A2∞∆.( 0,25 đ )ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2 007- 2008Đề thi mơn : Hình học xạ ảnh – MS:TL317CLỚP. trình Hình học xạ ảnh ( Thay n = 3) 1.( 1,0 đ )Xây dựng mơ hình aphin.+Xét X = P3 P2 ≠ φ, P2 là một siêu phẳng của P3 . Chọn mục tiêu xạ ảnh