50 đề thi học sinh giịi tốn Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn LỜI NĨI ĐẦU Quyển sách “50 đề thi học sinh giỏi toán 6” mà bạn cầm tay, sách soạn thảo kỹ lưỡng chúng tơi Nó trích lọc thơng qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tác giả Do đó, có chưa loại tốn phương pháp giải đặc trưng Những phương pháp giải mang tính chất tư cao độ chương trình tốn Mà cịn chưa kỹ lý luận lớp để kiến thức toán mang tầm cao Hiểu rõ vấn đề này, giới thiệu đến bạn đọc sách để bổ sung bước chuẩn bị cho em học sinh giỏi đến đường từ sáng tạo tốn học Cũng điều này, học sinh tự học hỏi toán dạng toán cách tự động lĩnh hội Cũng sách chúng tơi thiết kế tinh thần kích thích tính tự học học sinh Nên đề thi chúng tơi bố trí phần hướng dẫn giải bên cạnh Hơn nữa, tập có phần khó khăn giải học sinh chúng tơi bố trí phần ghi bổ sung kiến thức Dù cố gắng nhiều, sách chắn tránh khỏi vài sai lầm Mong quý bạn đọc gần xa chân thành góp ý Liên hệ tác giả để giải đáp sở hữu sách Điện thoại: 0905671232 - Email : quoctuansp@gmail.com Trân trọng! Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn A= b) Tính 7.9  14.27  21.36 21.27  42.81  63.108 B = c) So sánh 10 10 10 10     56 140 260 1400 2009 2010  2009 2009 với Câu 2: Cho phân số A= 10n 5n  2010 2010 ( n Z ) a) Tìm n để A có giá trị ngun b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó? Câu3: a) Tìm x  Z biết 10  131313 131313 131313 131313  x  70 :       5 11  151515 353535 636363 999999  b) Chứng minh a, b  N a + 5b  10a + b chia hết cho c) Chứng tỏ 6n + 2n + nguyên tố Câu 4: Cho  AMC  600 Tia Mx tia đối tia MA, My tia  phân giác CMx, MT tia phân giác xMy a) Tính  AMy   900 b) Chứng minh rằng: CMT Câu 5: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giòi toán a) Cho S = 15 24 2499      16 25 2500 Chứng tỏ S số tự nhiên b) Có 64 người tham quan hai loại xe, loại 12 chỗ loại chỗ ngồi Biết số người vừa đủ số ghế ngồi Hỏi loại có xe? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) Ta có biến đổi: A= 7.9  14.27  21.36 7.9(1  2.3  3.4) 7.9    21.27  42.81  63.108 21.27(1  2.3  3.4) 21.27 b) Ta có biến đổi: B = 10 10 10 10      56 140 260 1400 B= 5 5     28 70 130 700 5 5     4.7 7.10 10.13 25.28 B= B= 3 3 (     ) 4.7 7.10 10.13 25.28 B= ( 1 1 1 1 1         )  (  )   7 10 10 13 25 28 28 28 14 Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn c) Ta có biến đổi: 2009 2010  2009 2009 = 2009 2009 (2009  1)  2009 2009.2010 = 2010 2010  2010 2009.2010 Vì: 2009 2009  2010 2009  2009 2010  2009 2009  2010 2010 Câu Ta có biến đổi: a) A 2(5n  3)  6  2 5n  5n  Biểu thức A  Z Khi  Z  5n   Ư(6) = 5n  1, -1; 2;-2;3;-3;6; -6 Ta có bảng thống kê sau: 5n - -1 -2 -3 -6 5n -3 N b) Ta có biến đổi: A  2(5n  3)  6  2 5n  5n  A có giá trị lớn Khi có giá trị lớn 5n  Do đó: 5n – số nguyên dương nhỏ Nên: 5n – =  5n =  n = Khi GTLN A Câu 3: a) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn 780 13 13 13 13 780 13 2 2  x :(    )  5  x  : (    )  5 11 15 35 63 99 11  3.5 5.7 7.9 9.11  780 13 1  780 13 2  x :  (  )  5  x  : ( )  5  x  45  5  x  40  x  60 11  11  11 33 3 b) Ta có biến đổi: Xét hiệu 5(10a + b) – (a + 5b) = 49a  Mà a + 5b  nên 5(10a + b)  Do (5;7) = suy 10a + b  (đpcm) c) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d Khi đó: 6n +5  d 2n +  d Suy ra:6n + – 3(2n + 1)  d  d Mặt khác: Do d ước số lẻ Suy ra: d = nên (2n + 1; 6n +5) = Câu 4:  góc CMA  hai góc kề bù a) Vì góc xMC xMC = 180  60  120 Nên:   Vì My tia phân giác góc xMC Do đó:  = 60 mà góc xMy  kề bù với xMy  AMy Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn Nên:  AMy = 180  60  120 b) Do MC ti phân giác góc AMy MT tia phân giác yMx Mà góc AMy góc yMx hai góc kề bù Suy ra: My năm tia MC MT   CMY    + CMT yMT =   1 AMy + yMx = 120 + 60 = 90 2 2 Câu 5: a) Ta có biến đổi : S 1 1 1 1 1 1    16 25 2500       ( 1 1      ) 2 50 49 s/h B = 49 – B B= 1 1 1 1          1 1 1.2 2.3 3.4 49.50 50 50 Ta lại có: B= 1 1 1 1 1 49 49              50.51 51 102 147 3 50 2.3 3.4 4.5 Suy ra:  B   48 < S < 49 (đpcm) b) Gọi x loại số xe 12 chỗ y loại số xe loại chỗ ( ĐK x , y  N * ) Ta có 12x + 7y = 64 (1) Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn Ta thấy 12x  , 64  => 7y  mà (4;7) =1 => y  4.(2) Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; Với y = => 12x +28 = 64 => x = (TM) Với y = => 12x + 56 = 64 => 12x = Không thoả mãn Vậy có xe loại 12 chỗ xe loại chỗ Hết - ĐỀ SỐ Bài 1: Tìm phân số lớn , nhỏ có mẫu số 20 17 17 Bài Tìm cặp số tự nhiên thảo mãn: Tổng chúng 240 ước chung lớn chúng 12 Bài 3: Một người cắt từ sợi dây dài mét lấy đoạn dây dài 25 cm mà dùng thước để đo Hỏi người làm Bài : Cho dãy số m+1, m+2, , m+10, với m số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên m để dãy số chứa nhiều số nguyên tố Bài 5: Hội khoẻ Phù Đổng tỉnh Hà Nam lần thứ có 495 vận động viên học sinh toàn tỉnh tham gia thi đấu môn thể thao Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giòi tốn Chứng minh có vận động viên có số người quen (Người A quen người B người B quen người A) HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi phân số phải tìm a , a số tự nhiên 20 a < < 17 20 17 80 < 17a < 120 < a < => a = Bài 2: Gọi số phải tìm a, b Giả sử a ≤ b ƯCLN (a,b) = 12 ta có a = 12a1 b = 12b1 Trong ƯCLN (a1,b1) = Ta có: a + b = 240 = 12 (a1 + b1) a1 + b1 = 20 Kết hợp với ƯCLN (a1,b1) = ta có: a1 b1 19 17 13 11 Thay vào ta tính được: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 50 đề thi học sinh giịi tốn A 12 36 84 108 B 228 204 156 132 Kết luận: Bài 3: - Nhận xét được: Mà - 1   1   Nhận xét được: - Nhận xét 1   2 phép chia dơi sợi dây - Nhận xét 25 cm 0,25 m = sợi dây - Kết luận Bài 4: + m = ta có dãy số: 1; 2; 3; 4; ; 10 Trong dãy có số nguyên tố + m = ta có dãy số: 2; 3; 4; ; 11 Trong dãy có số nguyên tố + m = ta có dãy số: 3; 4; 5; ; 12 Trong dãy có số nguyên tố + m ≥ dãy chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên phải có số lẻ bội khơng số ngun tố Vậy m ≥ dãy có số nguyên tố Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 10 50 đề thi học sinh giịi tốn 1 1 1 < , < < 2 1.2 2.3 2010 2009.2010 Ta có: Nên M < 1 1 + + + + 1.2 2.3 2008.2009 2009.2010 = 1 1 1 1 - + - + + + 2 2008 2009 2009 2010 Hay M < - Vậy M < 2010 Hết - ĐỀ SỐ Câu 3   x 8  a) Tìm x, biết 16 :   9   21  10   1 1  b) Tính giá trị biểu thức A         10 15 120 Câu a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn  x  1 y    b) Tìm giá trị nguyên n để B  6n  có giá trị 3n  số nguyên Câu 3: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 30 50 đề thi học sinh giịi tốn a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a, b) =300; ƯCLN(a, b) = 15 b) So sánh hai số 5566 6655 Câu : Cho điểm O nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB vẽ ba tia OC, OD, OE cho   380 ; AOD   980 ; AOE   540 BOC  BOE ? a) Tính số đo góc BOD; b) Chứng tỏ OD tia phân giác góc COE Câu 5: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức S = 6n +1 đạt giá 2n + trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó? HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 3   x 8  a) Tìm x, biết 16 :   9  ;  21  10   1 1 b) Tính giá trị biểu thức A          10 15 120 a) Ta có biến đổi: Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 31 50 đề thi học sinh giịi tốn 3   x 8  16 :   9   21  10   x8 5   16 : 21 10 x8 160  9  21 x  160 5  9 21 x  97 5  21 97  x    21  x   291  x  291   x  283  x  283 : 1415 x b) Ta có biến đổi : 1 1 1 1 A        (Nhân hai vế với ) 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 15.16 Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 32 50 đề thi học sinh giịi tốn 1 1 1 1 1 1 15 A                  2 3 4 5 15 16 16 16 Suy A  15 30 15 :   16 16 Câu a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn  x  1 y  5  b) Tìm giá trị nguyên n để B  6n  có giá trị số 3n  nguyên a) Vì x, y số nguyên thỏa mãn  x  1 y    Nên y  thuộc ước 8, Mà y  số lẻ nên y  =  Nếu y  = x + = => x = y = (Thỏa mãn) Nếu y  = -1 x + = -8 => x = -9 y = (Thỏa mãn) Vậy cặp số nguyên (x, y) cần tìm (7; 3); (-9; 2) b) Ta có biến đổi: B 6n  3n  6n   3n   3n  1  B 3n  B 2 3n  B Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 33 50 đề thi học sinh giịi tốn Với n số nguyên, để B có giá trị số nguyên 3n + ước + Nếu 3n + = n = 0; thử lại B nhận giá trị nguyên -3 + Nếu 3n + = -1 loại; + Nếu 3n + = loại; + Nếu 3n + = -5 n = -2; thử lại B nhận giá trị nguyên Vậy n = n = -2 B nhận giá trị nguyên Câu a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a, b) =300; ƯCLN(a, b) = 15 b) So sánh hai số 5566 6655 a) Không tính tổng quát, giả sử a > b > Ta có: ab = BCNN(a, b) ƯCLN(a, b) = 300.15 = 4500 Vì ƯCLN(a, b) = 15 Nên a = 15m; b = 15n với m > n (m, n) = với m n số tự nhiên Do 15m 15n = 4500, suy mn = 20 Lập bảng M 20 A 300 75 N B 15 60 Vậy (a, b) = (300, 15) ; (15, 300) ; (75, 60) ; (60, 75) Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 34 b) Ta có: 50 đề thi học sinh giịi tốn 11 11 5566  556 ; 6655  665     Vì 556  56.116  15625.11.115 ; 665  65.115  7776.115 nên 556  665 Suy 5566 > 6655 Câu Cho điểm O nằm hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB vẽ ba tia OC, OD, OE cho   380 ;  BOC AOD  980 ;  AOE  540  ; BOE ? a) Tính số đo góc BOD D E C A O B b) Chứng tỏ OD tia phân giác góc COE Hướng dẫn giải a) Vì góc AOD BOD góc kề bù   1800  980  BOD   1800  BOD   820 Nên  AOD  BOD Vì góc AOE BOE góc kề bù   1800  540  BOE   1800  BOE   1260 Nên  AOE  BOE   BOD  b) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có góc BOC Nên tia OC nằm tia OB OD (1) ta có   COD   BOD   380  COD   820  COD   440 (2) BOC Nguyễn Quốc Tuấn-Tổng biên tập Website: Xuctu.com Trang 35 50 đề thi học sinh giịi tốn Trên nửa mp bờ AB có góc AOE < AOD Nên tia OE nằm tia OA OD (3) ta có     980  EOD   440 (4) AOE  EOD AOD  540  EOD   COD  (5) Từ (2) va (4) suy EOD Từ (1) (3) mà góc AOD góc BOD kề bù Nên tia OD nằm hai tia OE OC (6) Từ (5) (6) suy OD tia phân giác góc COE Câu Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức S = 6n +1 đạt giá trị lớn 2n + nhất? Tìm giá trị lớn đó? HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có S = 6n +1  2n    14 14   3 2n + 2n  2n  Để S nhận giá trị lớn 14 số nhỏ 2n + + Nếu 14 >0 S< (1) 2n + + Nếu 14 14 66 55 Câu Cho điểm O nằm hai điểm A B Trên...    50 50 50 50 50 50 50 50 50 (     )        49 48 47 50 49 48 47 1 1    50       50 49 48   1 1      S 49 50    1  50 P 1 1 50        49 50  2... 51 52 53 100 2 2 Bài 4: Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I số lại Cuối năm có thêm học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi số lại Tính số học sinh lớp 6A Bài 5: Cho đoạn thẳng AB trung