BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ BÍCH THỦY ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ THỊ BÍCH THỦY ÁNH XẠ GIẢ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁNH XẠ LIÊN TỤC YẾU LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội-2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội Trước hết, tác giả xin bày tỏ kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng hướng dẫn bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc suốt trình tác giả học tập nghiên cứu luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, trường Đại học sư phạm Hà Nội toàn thể thầy cô giáo trường quan tâm dành cho tác giả điều kiện tốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, tạo điều kiện Ban Giám Hiệu Trường THPT Phúc Yên Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp xác đáng thầy giáo phản biện để luận văn hoàn thiện Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả Vũ Thị Bích Thủy LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi, hoàn thành hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học nghiên cứu với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả Vũ Thị Bích Thủy Mục lục Mở đầu v Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương 1.1.2 Hàm ánh xạ không gian Banach không gian đối ngẫu 1.1.3 Tập lồi 1.1.4 Tính compact 1.1.5 Các định lý điểm bất động Không gian hàm 1.2.1 Hàm liên tục trơn 1.2.2 Hàm khả tích Lebesgue 1.2.3 Không gian Sobolev 1.3 Ánh xạ Nemytskii 1.4 Công thức Green vài bất đẳng thức 1.2 Ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu 2.1 Các khái niệm bản, phương pháp Galerkin 2.2 Một số tính chất ánh xạ giả đơn điệu 2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu 2.4 Phương trình elliptic tựa tuyến tính 2.4.1 Bài toán biên phương trình cấp hai 2.4.2 Công thức nghiệm yếu 2.4.3 Tính giả đơn điệu, tính tồn nghiệm Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 iii BẢNG KÍ HIỆU A Một ánh xạ, C(Ω) C 0,1 (Ω) Không gian hàm liên tục Ω, Không gian hàm liên tục Lipschitz Ω, C(Ω; Rn ) Không gian hàm liên tục với giá trị Rn Ω, cl(·) Bao đóng tập hợp, div Divergence trường vectơ, L(V1 , V2 ) Không gian ánh xạ tuyến tính liên tục A : V1 → V2 , p L (Ω) Không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Ω, Lp (Ω; Rn ) Không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Ω lấy giá trị Rn , measn (·) Độ đo Lebesgue n chiều tập hợp, Na ∇2 Ánh xạ Nemytskii cảm sinh a, ∂ ∂ ∂ Gradient (= grad = i +j + k ), ∂x ∂y ∂z ∂2 ∂2 ∂2 Laplace, = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 , p Số mũ liên quan đến tính giới hạn cấp cao ∇ toán tử vi phân, p = p p−1 Số mũ liên hợp p ∈ [1, +∞], ∗ p∗ Số mũ phép nhúng W 1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), p∗∗ Số mũ phép nhúng W 2,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), p# Số mũ toán tử vết u → u|Γ , W k,p ∗ (Ω) Không gian Sobolev hàm có đạo hàm suy rộng đến cấp k thuộc Lp (Ω), Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng ngày phát triển mạnh mẽ, đem lại ứng dụng thiết thực lĩnh vực khoa học đời sống Có phát triển nhờ tiến quan trọng nghiên cứu môn giải tích hàm, lý thuyết độ đo, không gian hàm, , đặc biệt nhờ tiến vượt bậc khoa học máy tính Cho đến ngày có nhiều toán phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phức tạp giải phương trình Schr¨odinger học lượng tử, phương trình Navier-Stokes thủy động học, Một phương pháp quan trọng hiệu để nghiên cứu toán biên phương pháp lượng Phương pháp dựa đánh giá tiên nghiệm (trong vật lý gọi cận lượng) Để có đánh giá đó, nói chung ta phải dựa tính compact yếu tập bị chặn không gian Banach phản xạ, tính giả đơn điệu hay tính liên tục yếu toán tử vi phân (thực chất tính bị chặn toán tử vi phân từ không gian Banach vào không gian Banach khác) Với lý hướng dẫn thầy giáo tiến sỹ Trần Văn Bằng em chọn đề tài: Ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu, đặt vấn đề nghiên cứu cách có hệ thống hai loại ánh xạ với ứng dụng chúng toán biên phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày tính chất ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu từ ứng dụng để giải số phương trình elliptic tựa tuyến tính, phương trình nửa tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu, ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu tài liệu - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Những đóng góp đề tài - Trình bày cách hệ thống ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên tục yếu - Nghiên cứu ứng dụng ánh xạ việc giải phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính, nửa tuyến tính Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích hàm Phần hệ thống lại số kiến thức Giải tích hàm 1.1.1 Không gian Banach, không gian lồi địa phương Xét không gian tuyến tính (thực) V Phần nêu lại định nghĩa: - Chuẩn, không gian tuyến tính định chuẩn, không gian lồi địa phương - Dãy Cauchy, dãy hội tụ - Tập đóng, tập mở Bao đóng, phần tập hợp Không gian lồi địa phương Hausdorff Tập bị chặn, tập trù mật, không gian tách được, không gian Banach - Tích vô hướng 1.1.2 Hàm ánh xạ không gian Banach không gian đối ngẫu Nêu lại khái niệm nửa liên tục (nửa liên tục trên) Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn V1 , V2 ánh xạ A : V1 −→ V2 Định nghĩa toán tử liên tục, toán tử tuyến tính Tập tất toán tử tuyến tính liên tục từ V1 → V2 kí hiệu L (V1 , V2 ), thân L (V1 , V2 ) không gian tuyến tính định chuẩn phép cộng, phép nhân với vô hướng chuẩn A L(V1 ,V2 ) := sup v V1 Av V2 = sup v=0 Av V2 v V1 (1.1.1) Từ định nghĩa không gian đối ngẫu V , cặp đối ngẫu V1 , V2 số tính chất 1.1.3 Tập lồi Định nghĩa tập lồi, nón, hàm lồi, lồi ngặt số tính chất 2 1.1.4 Tính compact Một khái niệm quan trọng, có nhiều công cụ mạnh dựa vào tính compact Định nghĩa tập compact, tiền compact, compact tương đối Định nghĩa ánh xạ hoàn toàn liên tục, ánh xạ compact nêu lên số tính chất chúng 1.1.5 Các định lý điểm bất động Các định lý điểm bất động Shauder, Brouwer, Kakutani, Banach 1.2 Không gian hàm Ta xét không gian Euclide Rn , n 1, trang bị tôpô Euclide Với Ω ⊂ Rn ta định nghĩa không gian hàm khác Ω → Rm Định nghĩa phép nhúng liên tục, phép nhúng compact, phép nhúng trù mật 1.2.1 Hàm liên tục trơn Kí hiệu C (·) , C (·) C 0,1 (·) tương ứng tập tất hàm liên tục, liên tục bị chặn, liên tục Lipschitz Với k 1, ta định nghĩa không gian hàm trơn, có đạo hàm tới cấp k liên tục đến biên, tức C k Ω; Rm := u ∈ C Ω; Rm ; ∀ (i1 , , in ) ∈ (N ∪ {0})n , n iα k: α=1 1.2.2 ∂ i1 + +in u ∈ C Ω; Rm ∂x1 i1 ∂xn in (1.2.1) Hàm khả tích Lebesgue Độ đo Lebesgue n-chiều measn (.) không gian Euclide Rn , n ∞ ∞ n (bki measn (A) := inf định nghĩa − aki ) ak1 , bk1 × × akn , bkn , :A⊂ k=1 i=1 k=1 (1.2.2) aki bki Từ định nghĩa tập đo Lebesgue, hàm measn : Σ → R ∪ {+∞} (được gọi độ đo Lebesgue), hàm đo Lebesgue, hàm đơn giản Bất đẳng thức Holder |u (x) v (x)| dx Ω |u (x)|p dx p p Ω |v (x)|p dx, Ω (1.2.3) p số mũ liên hợp xác định bởi:    p/ (p − 1) < p < +∞,  p := p = +∞,    +∞ p = (1.2.4) Và số tính chất khác 1.2.3 Không gian Sobolev Lý thuyết đại phương trình vi phân dựa không gian hàm có đạo hàm tồn theo nghĩa suy rộng có tính khả tích Cho hàm u ∈ Lp (Ω) Với k > nguyên, ta định nghĩa k W k,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω; Rm ) ; ∇k u ∈ Lp Ω; Rn , (1.2.5) ∇k u kí hiệu tập tất đạo hàm riêng cấp k u hiểu theo nghĩa suy rộng Chuẩn tắc W k,p (Ω) u W k,p (Ω) = u p Lp (Ω) + ∇k u 1/p p k p n L (Ω;R ) làm cho trở thành không gian Banach ∗ Định lí 1.2.1 (Nhúng Sobolev) Phép nhúng liên tục W1,p (Ω) ⊂ Lp (Ω) với số mũ p∗ xác định  np  , p < n,   n−p p∗ := số thực lớn tùy ý,     +∞ , p > n p = n, (1.2.6) Định lí 1.2.2 (Toán tử vết) Tồn toán tử tuyến tính liên tục T : W1,p (Ω) → L1 (Γ) cho, với u ∈ C Ω , ta có T u = u|Γ (= hạn chế u Γ) Hơn T liên tục (tương ứng compact) ánh xạ # u → u|Γ : W1,p (Ω) → Lp (Γ) , u → u|Γ : W1,p (Ω) → Lp #− tương ứng, (Γ) , ∈ 0, p# − , (1.2.7) với số mũ p# định nghĩa p# := 1.3  np    n−p , p < n số thực lớn tùy ý,     +∞ p = +∞ p=n (1.2.8) Ánh xạ Nemytskii Cho số j, m0 , m1 , , mj ta nói ánh xạ a : Ω × Rm1 × × Rmj → Rm0 ánh xạ Carathéodory a (·, r1 , , rj ) : Ω → Rm0 đo với (r1 , , rj ) ∈ Rm1 × × Rmj a (x, ·) : Rm1 × × Rmj → Rm0 liên tục hầu hết x ∈ Ω Khi ánh xạ Nemytskii Na ánh xạ hàm ui : Ω → Rmi , i = 1, , j thành hàm Na (u1 , , uj ) : Ω → Rm0 xác định [Na (u1 , , uj )] (x) = a (x, u1 (x) , , uj (x)) 1.4 (1.3.1) Công thức Green vài bất đẳng thức Định lí 1.4.1 (Công thức Green) Với υ ∈ W 1,p (Ω) z ∈ W 1,p (Ω; Rn ) ta có (υ (divz) + z · ∇υ) dx = Ω υ (z · ν) dS (1.4.1) Γ Định lí 1.4.2 (Bất đẳng thức kiểu Poincare) Cho p∗ Khi tồn Cp < +∞ q cho u Cho q W 1,p (Ω) Cp ∇u Lp (Ω;Rn ) + u Lq (Ω) (1.4.2) p# , Ω liên thông, cho ΓD , ΓN ⊂ Γ cho measn−1 (ΓD ) > measn−1 (ΓN ) > Khi tồn Cp < +∞ cho u W 1,p (Ω) Cp ∇u Lp (Ω;Rn ) + u|ΓN Lq (ΓN ) (1.4.3) u|ΓD = ⇒ u W 1,p (Ω) Cp ∇u Lp (Ω;Rn ) (1.4.4) Trường hợp đặc biệt (1.4.3) với ΓD = Γ p = q = 2, thường gọi bất đẳng thức Friedrich Chương Ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu 2.1 Các khái niệm bản, phương pháp Galerkin Trong suốt chương này, V không gian Banach phản xạ, tách V ∗ đối ngẫu nó, với · · ∗ tương ứng kí hiệu ngắn gọn chuẩn chúng Định nghĩa 2.1.1 (Các dạng đơn điệu) Cho ánh xạ A : V → V ∗ Ta định nghĩa: (i) A : V → V ∗ đơn điệu ∀u, v ∈ V : A (u) − A (v) , u − v (ii) Nếu A đơn điệu ∀u = v ta có A (u) − A (v) , u − v > 0, A gọi đơn điệu ngặt (iii) Xét hàm tăng d : R+ → R, ta nói A : V → V ∗ d-đơn điệu theo nửa chuẩn |·| A (u) − A (v) , u − v (d (|u|) − d (|v|)) (|u| − |v|) (2.1.1) Nếu |·| chuẩn · V ta nói đơn giản A d-đơn điệu Hơn nữa, A gọi đơn điệu A (u) − A (v) , u − v ς( u−v ) u−v (2.1.2) với hàm tăng, liên tục ς : R+ → R+ Nếu ς (r) = δr với δ > 0, A gọi đơn điệu mạnh (iv) Ánh xạ A : V → V ∗ gọi giả đơn điệu A bị chặn,   uk u ⇒ ∀v ∈ V : A (u) , u − v lim sup A (uk ) , uk − u 0 k→∞ (2.1.3) (2.1.4) lim inf A (uk ) , uk − v k→∞ Định nghĩa 2.1.2 (Các dạng liên tục) (i) A : V → V ∗ bán liên tục (hemicontinuous) ∀u, v, w ∈ V hàm t → A (u + tv) , w liên tục, tức A liên tục yếu có hướng (ii) Nếu với v = w, tức ∀u, v ∈ V : t → A (u + tv) , v liên tục A gọi liên tục xuyên tâm (radially continuous) (iii) A : V → V ∗ 1/2 liên tục (demicontinuous) ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục; tức A liên tục với tư cách ánh xạ V, chuẩn → V ∗ , yếu (iv) A : V → V ∗ liên tục yếu (weak continuous) ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục yếu; tức A liên tục ánh xạ: V, chuẩn → V ∗ , yếu (v) A : V → V ∗ hoàn toàn liên tục (totally continuous) liên tục ánh xạ V, yếu → V ∗ , chuẩn Bổ đề 2.1.1 Mọi ánh xạ giả đơn điệu A 1/2 liên tục Định nghĩa 2.1.3 (Tính bức) A : V → V ∗ ∃ς : R+ −→ R+ A (u) , u ς ( u ) u Nói cách khác, A có nghĩa lim u →∞ A (u) , u = +∞ u (2.1.5) Định lí 2.1.1 (Brezis) Mọi toán tử A giả đơn điệu toàn ánh; nghĩa là, với f ∈ V ∗ , tồn nghiệm phương trình A (u) = f 2.2 (2.1.6) Một số tính chất ánh xạ giả đơn điệu Định lý Brézis 2.1.1 cho thấy vai trò quan trọng toán tử giả đơn điệu Vì cần thiết phải tìm hiểu số trường hợp cụ thể dẫn tới loại toán tử Bổ đề 2.2.1 Mọi ánh xạ đơn điệu liên tục xuyên tâm thỏa mãn (2.1.4) Đặc biệt, ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm bị chặn giả đơn điệu Bổ đề 2.2.2 Mọi ánh xạ 1/2 liên tục, bị chặn A : V → V ∗ thỏa mãn (uk u lim sup A (uk ) − A (u) , uk − u 0) ⇒ uk → u (2.2.1) k→∞ giả đơn điệu Bổ đề 2.2.3 (i) Tổng hai ánh xạ giả đơn điệu giả đơn điệu, tức A1 A2 giả đơn điệu dẫn đến u → A1 (u) + A2 (u) giả đơn điệu (ii) Tịnh tiến ánh xạ giả đơn điệu giả đơn điệu, tức A giả đơn điệu dẫn đến u → A (u + w) giả đơn điệu với w ∈ V Hệ 2.2.1 Nhiễu ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ hoàn toàn liên tục ánh xạ giả đơn điệu 2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu Ánh xạ đơn điệu (với tính bị chặn liên tục xuyên tâm) lớp đặc biệt ánh xạ giả đơn điệu, xem Bổ đề 2.2.1, với lớp ta có kết mạnh chút so với lí thuyết ánh xạ giả đơn điệu nói chung (xem Định lý 2.3.1 Mệnh đề 2.3.2) 7 Bổ đề 2.3.1 (Thủ thuật Minty) Cho A : V → V ∗ liên tục xuyên tâm f − A (v) , u − v với v ∈ V Khi f = A (u) Định lí 2.3.1 Cho A bị chặn, liên tục xuyên tâm, đơn điệu, Khi đó: (i) A toàn ánh; nghĩa là, với f ∈ V ∗ tồn nghiệm u (2.1.6) Hơn tập nghiệm (2.1.6) đóng lồi (ii) Nếu thêm điều kiện, A đơn điệu ngặt A−1 : V ∗ → V tồn tại, đơn điệu ngặt, bị chặn 1/2 liên tục Nếu A d−đơn điệu V lồi A−1 : V ∗ → V liên tục (iii) Nếu thêm điều kiện A đơn điệu (tương ứng mạnh) A−1 : V ∗ → V liên tục (tương ứng Lipschitz) Bổ đề 2.3.2 Mọi ánh xạ đơn điệu A : V → V ∗ bị chặn địa phương theo nghĩa: ∀u ∈ V, ∃ε > 0, ∃M ∈ R+ , ∀v ∈ V : v − u ε ⇒ A (v) ∗ M (2.3.1) Bổ đề 2.3.3 Mọi ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm 1/2 liên tục Mệnh đề 2.3.2 Cho A = A1 + A2 : V → V ∗ bức, A1 liên tục xuyên tâm đơn điệu, A2 hoàn toàn liên tục Khi A toàn ánh Định lí 2.3.3 (Browder-Minty) Mọi A : V → V ∗ đơn điệu, liên tục xuyên tâm toán ánh Định lí 2.3.4 (Lax-Milgram) Cho V không gian Hilbert, A : V → V ∗ toán tử tuyến tính liên tục, xác định dương theo nghĩa Av, v ε v , với ε > Khi A có nghịch đảo bị chặn Mệnh đề 2.3.5 Cho A = A1 + A2 : V → V ∗ bức, A1 đơn điệu, liên tục xuyên tâm thỏa mãn (2.2.1), A2 1/2 liên tục compact Khi A toàn ánh Mệnh đề 2.3.6 (Kỹ thuật điểm bất động Banach) Cho V không gian Hilbert, A : V → V ∗ đơn điệu mạnh, tức có ς (r) = δr từ (2.1.2) với δ > A liên tục Lipschitz, tức A (u) − A (v) ∗ u − v Khi ánh xạ phi tuyến Tε xác định uk = Tε (uk−1 ) := uk−1 − εJ −1 (A (uk−1 ) − f ) , k ∈ N, u0 ∈ V, ánh xạ co với ε > thỏa mãn ε < 2δ/ (2.3.2) điểm bất động Tε , tức Tε (u) = u, tồn hiển nhiên thỏa mãn A (u) = f 2.4 Phương trình elliptic tựa tuyến tính Ta minh họa lý thuyết trừu tượng qua toán biên phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp − div (a (x, u, ∇u)) + c (x, u, ∇u) = g (2.4.1) miền bị chặn, liên thông, Lipschitz Ω ⊂ Rn Ở a : Ω×R×Rn → Rn c : Ω×R×Rn → Rn Nhớ lại ∇u := n − i=1 ∂ u, , ∂x∂n u ∂x1 gradient u Chi tiết hơn, (2.4.1) viết lại: ∂ (x, u (x) , ∇u (x)) + c (x, u (x) , ∇u (x)) = g (x), ∂xi (2.4.2) với x ∈ Ω ta thường sử dụng dạng viết ngắn gọn (2.4.1) Bên cạnh ta hạn chế xét kiện có độ tăng đa thức bậc p ∈ (1, +∞) độ tăng số hạng phi tuyến a (x, u, ·) 2.4.1 Bài toán biên phương trình cấp hai Phương trình (2.4.1) có nhiều nghiệm bỏ qua yêu cầu khác Điều khắc phục điều kiện biên-mô tả thông tin nghiệm biên Γ := ∂Ω miền Ω Điều kiện biên đơn giản cho vết u|Γ u, tức là: u|Γ = uD Γ, (2.4.3) với uD hàm cố định Γ Điều kiện gọi điều kiện biên Dirichlet Đối với phương trình (2.4.1) ta thường xét phương trình địa phương thông lượng biên ν · a, tức là: ν · a (x, u, ∇u) + b (x, u) = h Γ, (2.4.4) ν = (ν1 , , νn ) véctơ pháp tuyến đơn vị Γ h : Γ → R, b : Γ × R → R hàm số cho Ta kết hợp điều kiện (2.4.3) (2.4.4) phần khác Γ Chẳng hạn ta chia Γ (sai khác tập có độ đo 0) thành hai phần rời nhau, mở ΓD ΓN cho measn−1 (Γ\ (ΓD ∪ ΓN )) = xét điều kiện biên hỗn hợp u|Γ = uD ΓD , ν · a (x, u, ∇u) + b (x, u) = h ΓN (2.4.5) (2.4.6) Vì ΓD ΓN rỗng nên (2.4.5), (2.4.6) bao gồm (2.4.4), (2.4.3) Ta nghĩ đến nghiệm cổ điển u nó, tức u ∈ C Ω thỏa mãn đẳng thức khắp nơi Ω Γ Tuy nhiên đòi hỏi này, yêu cầu điều kiện định tính mạnh kiện a, b, c thân Ω Bởi lý thuyết đại thường xét loại nghiệm suy rộng, tự nhiên đặt yêu cầu: Tính phù hợp: nghiệm cổ điển toán biên nghiệm suy rộng Tính chọn lựa: Nếu liệu trơn nghiệm suy rộng thuộc vào C Ω nghiệm cổ điển Hơn ta cần nghiệm suy rộng phải 2.4.2 Công thức nghiệm yếu Ở nghiệm suy rộng bắt nguồn từ gọi công thức nghiệm yếu toán biên, khái niệm thường xuyên sử dụng phù hợp với cách tiếp cận nhờ tính giả đơn điệu Tuy nhiên có khái niệm nghiệm suy rộng khác Để tổng quát ta xét điều kiện biên hỗn hợp (2.4.5), (2.4.6) Công thức yếu toán (2.4.1) với (2.4.5), (2.4.6) dẫn sau: Bước 1: Nhân phương trình vi phân, (2.4.1), với hàm thử υ Bước 2: Lấy tích phân Ω Bước 3: Sử dụng công thức Green (1.4.1), với z = a (x, u, ∇u) Bước 4: Thay điều kiện biên Newton, (2.4.6) vào tích phân biên, tức ΓN υ (z · v) dS = ΓN (v · a (x, u, ∇u)) vdS (1.4.1), nhờ điều kiện υ|ΓD = mà tích phân ΓD không xuất Định nghĩa 2.4.1 Ta gọi u ∈ W 1,p (Ω) nghiệm yếu toán biên hỗn hợp (2.4.1) (2.4.5), (2.4.6) u|ΓD = uD đẳng thức tích phân (??) với υ ∈ W 1,p (Ω), với υ|ΓD = Mệnh đề 2.4.1 (Tính chọn lựa khái niệm nghiệm yếu) Cho a ∈ C Ω × R × Rn ; Rn , c ∈ C Ω × R × Rn , b ∈ C ΓN × R , g ∈ C Ω , h ∈ C (ΓN ) Khi nghiệm yếu u ∈ C Ω nghiệm cổ điển Mệnh đề 2.4.2 (Phép dịch chuyển điều kiện biên Dirichlet không nhất) Phương trình trừu tượng (2.1.6) với A0 có nghiệm u0 ∈ V , tức A0 (u0 ) = f u = u0 +w ∈ W 1,p (Ω) nghiệm yếu toán biên (2.4.1) (2.4.5), (2.4.6) theo Định nghĩa 2.4.1 2.4.3 Tính giả đơn điệu, tính tồn nghiệm Từ Định lý 2.1.1 Mệnh đề 2.4.2 ta cần tính giả đơn điệu A0 : V → V ∗ Để đơn giản ta chứng minh với A ánh xạ từ W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ Khi Bổ đề 2.2.3(ii) dẫn đến tính giả đơn điệu A0 : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ hiển nhiên có tính giả đơn điệu A0 : V → V ∗ Ta chứng minh (2.1.3) (2.1.4) Bổ đề sau: Bổ đề 2.4.1 (Tính bị chặn A) Giả sử ta có (??) (??), (??), (??) Khi ta có (2.1.3), tức A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ bị chặn Bổ đề 2.4.2 (Kiểm tra (2.1.4)) Giả sử ta có (??), (??), (??), (??), (??) ta có ba trường hợp sau: i) c không phụ thuộc vào s, tức có c : Ω × R → R, c (x, r, s) = c (x, r) (2.4.7) ii) c phụ thuộc tuyến tính vào s, tức với c : Ω × R → Rn , c (x, r, s) = c (x, r) · s (2.4.8) iii) c phụ thuộc vào s đơn điệu ngặt theo phần chính, a (x, r, ·) độ tăng c (x, ·.·) bị hạn chế bởi: (a (x, r, s) − a (x, r, s)) · (s − s) = ⇒ s = s (2.4.9) 10 a (x, r, s) · (s − s0 ) = +∞ với r bị chặn, |s|→∞ |s| ∀s0 ∈ Rn : lim ∗ ∃γ ∈ Lp + γ (x) + C|r|p (Ω) , ∃C ∈ R : |c (x, r, s)| ∗− −1 + C|s|(p− )/p (2.4.10) ∗ (2.4.11) với quy ước ?? Khi A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ thỏa mãn (2.1.4) Bổ đề 2.4.3 (Tính (2.1.5)) Giả sử ta có điều kiện sau: ∃ε1 , ε2 , k1 ∈ L1 (Ω) : a (x, r, s) · s + c (x, r, s) r ≥ ε1 |s|p + ε2 |r|q − k1 (x) , (2.4.12) ∃c1 < +∞, ∃k2 ∈ L (r) : b (x, r) r ≥ −c1 |r|q1 − k2 (x) (2.4.13) với < q1 < q ≤ p Khi A : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ Định lí 2.4.3 (Leray-Lions) Cho (??), (??), (??), (??), (??), (??), (??) (??) điều kiện (2.4.7) (2.4.8) (2.4.9), (2.4.10), (2.4.11) thỏa mãn Khi toán biên (2.4.1)-( (2.4.5), (2.4.6)) có nghiệm yếu Tổng quát phương trình cấp ta thường xét phương trình cấp 2k, k Bài toán biên tương ứng có k điều kiện biên Nó gọi toán Dirichlet chúng liên quan tới đạo hàm cấp nhỏ k − 1, gọi toán Newman Newton, chúng liên quan tới đạo hàm với cấp từ k đến 2k − Ta đưa cách ngắn gọn phương trình tựa tuyến tính cấp dạng divergence : div a x, u, ∇u, ∇2 u + c x, u, ∇u, ∇2 u = g, (2.4.14) Ω, với a : Ω × R × Rn × Rn×n → Rn×n c : Ω × R × Rn × Rn×n → R Ở ∇2 u := ∂2 u ∂xi ∂xj n Phương trình (2.4.14) viết cụ thể hơn: i,j=1 n ∂2 aij x, u, ∇u, ∇2 u + c x, u, ∇u, ∇2 u = g ∂x ∂x i j i,j=1 (2.4.15) Mệnh đề 2.4.4 Cho a (x, r, R, ·) : Rn×n → Rn×n đơn điệu ngặt ∃k1 ∈ L1 (Ω) , < q p :a(x, r, R, S) : S + c (x, r, R, S) r ε|s|p (2.4.16) + ε|r|q − k1 (x) , ∃k2 ∈ L1 (Γ) : b (x, r, R) (R · ν (x)) −k2 (x), ∃γ ∈ Lp (Ω) : |a (x, r, R, s)| ≤ γ (x) + C|r|(p ∃γ ∈ Lp ∗∗ p# ∃γ ∈ L + ∗∗ − (Ω) : |c (x, r, R, s)| ≤ γ (x) + C|r|p )/p ∗∗ − (p∗# − )/p# (Γ) : |b (x, r, R)| ≤ γ (x) + C|r| ∗− + C|R|(p −1 )/p + C|S|p−1 , (p∗ − ) p∗∗ + C|R| (p− ) p∗∗ + C|s| , p# − −1 + C|R| với C thuộc R+ ε, > xem lại Qui ước ?? (p∗∗ = +∞, với p > n/2) cho u0D = υ |Γ với υ ∈ W 2,p (Ω), g ∈ Lp (??) có nghiệm yếu ∗∗ # (Ω) h ∈ Lp (Γ) Khi toán biên (2.4.14) 11 sectionÁnh xạ liên tục yếu, phương trình nửa tuyến tính Trong trường hợp A thay tính giả đơn điệu tính liên tục yếu, ta chứng minh tồn nghiệm A (u) = f cách dễ dàng Mặc dù giả thiết tính liên tục yếu chặt loại ánh xạ có ứng dụng nhiều lĩnh vực Ở đây, ta tổng quát khái niệm ánh xạ A : V → Z ∗ với không gian Banach Z ⊂ V trù mật, nên Z ∗ ⊂ V ∗ Nếu Vk ⊂ Z với k ∈ N ta thay đổi (2.1.5) sau Định lý 2.1.1 Mệnh đề 2.4.5 (Sự tồn tại) Nếu ánh xạ liên tục yếu A : V → Z ∗ theo nghĩa điều chỉnh: lim υ V →∞ υ∈Z A (υ) , υ Z ∗ ×Z = +∞ υ V (2.4.17) f ∈ V ∗ phương trình A (u) = f có nghiệm Bổ đề 2.4.4 (Tính liên tục yếu A) Cho (??), (??)-(??), (??), (??) Khi A liên tục yếu* từ W 1,2 (Ω) → W 1,∞ (Ω)∗ ∗ Mệnh đề 2.4.6 (Sự tồn nghiệm yếu) Cho (??), (??)-(??), (??), (??), g ∈ L2 (Ω) , h ∈ # L2 (Γ) với ε > 0, γ1 ∈ L2 (Ω) , γ2 ∈ L1 (Ω) , γ3 ∈ L1 (Ω), với hầu hết x ∈ Ω (tương ứng x ∈ Γ với (2.4.18)) ∀ (r, s) ∈ R1+n , ta có: n n n aij (x, r) sj + ai0 (x, r) si + i=1 j=1 cj (x, r) sj + c0 (x, r) r j=1 ε|s| + ε|r|2 − γ1 (x) |s| − γ2 (x) , b (x, r) r −γ3 (x) (2.4.18) Khi toán biên (2.4.1) (2.4.5), (2.4.6) có nghiệm yếu theo nghĩa Định nghĩa 2.4.1 sử dụng υ ∈ W 1,∞ (Ω) Kết luận Luận văn đề cập đến nghiệm phương trình elliptic phi tuyến phương trình nửa tuyến tính, trình bày cách có hệ thống ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu từ ứng dụng để tìm nghiệm hai loại phương trình Đóng góp luận văn bao gồm: Trình bày hệ thống ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ liên tục yếu số tính chất chúng Nghiệm yếu phương trình elliptic phi tuyến Nghiệm phương trình tựa tuyến tính Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc Hà nội, tháng năm 2012 12 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2007), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư Phạm, Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2005), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [1] Tomas Roubicek (2005), Nonlinear Partial Differential Equation with Applications, Birkhauser Verlag, Berlin [2] K Yosida (1980), Functional Analysis, 6th edition, Springer, Berlin [3] E Zeidler (1985-1990), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I Fixed point theorems, II Monotone operators, III Variational methods and optimization, IV Applications to mathematical physics, Springer, NewYork 13 [...]... hai ánh xạ giả đơn điệu cũng là giả đơn điệu, tức là A1 và A2 là giả đơn điệu dẫn đến u → A1 (u) + A2 (u) là giả đơn điệu (ii) Tịnh tiến ánh xạ giả đơn điệu cũng là giả đơn điệu, tức là A là giả đơn điệu dẫn đến u → A (u + w) là giả đơn điệu với mọi w ∈ V Hệ quả 2.2.1 Nhiễu của ánh xạ giả đơn điệu bởi một ánh xạ hoàn toàn liên tục là ánh xạ giả đơn điệu 2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu Ánh xạ đơn. .. là 1/2 liên tục (demicontinuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục; tức là A là liên tục với tư cách là ánh xạ V, chuẩn → V ∗ , yếu (iv) A : V → V ∗ là liên tục yếu (weak continuous) nếu ∀w ∈ V phiếm hàm u → A (u) , w liên tục yếu; tức là A là liên tục như một ánh xạ: V, chuẩn → V ∗ , yếu (v) A : V → V ∗ là hoàn toàn liên tục (totally continuous) nếu nó liên tục như một ánh xạ V, yếu → V... toán tử giả đơn điệu Vì vậy cần thiết phải tìm hiểu một số trường hợp cụ thể dẫn tới loại toán tử đó Bổ đề 2.2.1 Mọi ánh xạ đơn điệu liên tục xuyên tâm đều thỏa mãn (2.1.4) Đặc biệt, mọi ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm bị chặn đều là giả đơn điệu Bổ đề 2.2.2 Mọi ánh xạ 1/2 liên tục, bị chặn A : V → V ∗ thỏa mãn (uk u và lim sup A (uk ) − A (u) , uk − u 0) ⇒ uk → u (2.2.1) k→∞ là giả đơn điệu Bổ... A−1 : V ∗ → V liên tục đều (tương ứng Lipschitz) Bổ đề 2.3.2 Mọi ánh xạ đơn điệu A : V → V ∗ đều bị chặn địa phương theo nghĩa: ∀u ∈ V, ∃ε > 0, ∃M ∈ R+ , ∀v ∈ V : v − u ε ⇒ A (v) ∗ M (2.3.1) Bổ đề 2.3.3 Mọi ánh xạ đơn điệu, liên tục xuyên tâm đều là 1/2 liên tục Mệnh đề 2.3.2 Cho A = A1 + A2 : V → V ∗ là bức, A1 là liên tục xuyên tâm và đơn điệu, A2 là hoàn toàn liên tục Khi đó A là toàn ánh Định lí... bị chặn, liên tục xuyên tâm, đơn điệu, bức Khi đó: (i) A là toàn ánh; nghĩa là, với mọi f ∈ V ∗ đều tồn tại nghiệm u của (2.1.6) Hơn nữa tập các nghiệm của (2.1.6) là đóng và lồi (ii) Nếu thêm điều kiện, A là đơn điệu ngặt thì A−1 : V ∗ → V tồn tại, đơn điệu ngặt, bị chặn và 1/2 liên tục Nếu A là d đơn điệu và V lồi đều thì A−1 : V ∗ → V là liên tục (iii) Nếu thêm điều kiện A là đơn điệu đều (tương... điệu (với tính bị chặn và liên tục xuyên tâm) là một lớp đặc biệt của ánh xạ giả đơn điệu, xem Bổ đề 2.2.1, với lớp này ta có những kết quả mạnh hơn một chút so với lí thuyết về ánh xạ giả đơn điệu nói chung (xem Định lý 2.3.1 và Mệnh đề 2.3.2) 7 Bổ đề 2.3.1 (Thủ thuật Minty) Cho A : V → V ∗ là liên tục xuyên tâm và f − A (v) , u − v 0 với mọi v ∈ V Khi đó f = A (u) Định lí 2.3.1 Cho A bị chặn, liên. .. R+ và ε, > 0 và xem lại Qui ước ?? (p∗∗ = +∞, với p > n/2) và cho u0D = υ |Γ với một υ ∈ W 2,p (Ω), g ∈ Lp và (??) có nghiệm yếu ∗∗ # (Ω) và h ∈ Lp (Γ) Khi đó bài toán biên (2.4.14) 11 sectionÁnh xạ liên tục yếu, phương trình nửa tuyến tính Trong trường hợp A là bức và thay tính giả đơn điệu bởi tính liên tục yếu, ta có thể chứng minh sự tồn tại nghiệm của A (u) = f một cách dễ dàng hơn Mặc dù giả. .. 2.1.1 và Mệnh đề 2.4.2 ta cần chỉ ra tính giả đơn điệu của A0 : V → V ∗ Để đơn giản ta có thể chứng minh nó với A như ánh xạ từ W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ Khi đó Bổ đề 2.2.3(ii) dẫn đến tính giả đơn điệu của A0 : W 1,p (Ω) → W 1,p (Ω)∗ và khi đó hiển nhiên là có tính giả đơn điệu của A0 : V → V ∗ Ta sẽ chứng minh (2.1.3) và (2.1.4) trong các Bổ đề sau: Bổ đề 2.4.1 (Tính bị chặn của A) Giả sử ta có (??) và. .. Mọi ánh xạ giả đơn điệu A đều 1/2 liên tục Định nghĩa 2.1.3 (Tính bức) A : V → V ∗ là bức nếu ∃ς : R+ −→ R+ và A (u) , u ς ( u ) u Nói cách khác, A bức có nghĩa là lim u →∞ A (u) , u = +∞ u (2.1.5) Định lí 2.1.1 (Brezis) Mọi toán tử A giả đơn điệu và bức đều toàn ánh; nghĩa là, với mọi f ∈ V ∗ , tồn tại ít nhất một nghiệm của phương trình A (u) = f 2.2 (2.1.6) Một số tính chất của ánh xạ giả đơn điệu. .. V ∗ là d -đơn điệu theo nửa chuẩn |·| nếu A (u) − A (v) , u − v (d (|u|) − d (|v|)) (|u| − |v|) (2.1.1) Nếu |·| là chuẩn · trên V thì ta sẽ nói đơn giản A là d -đơn điệu Hơn nữa, A được gọi là đơn điệu đều nếu A (u) − A (v) , u − v ς( u−v ) u−v (2.1.2) với một hàm tăng, liên tục ς : R+ → R+ Nếu ς (r) = δr với δ > 0, thì A được gọi là đơn điệu mạnh (iv) Ánh xạ A : V → V ∗ được gọi là giả đơn điệu nếu ... Nhiễu ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ hoàn toàn liên tục ánh xạ giả đơn điệu 2.3 Phương trình với ánh xạ đơn điệu Ánh xạ đơn điệu (với tính bị chặn liên tục xuyên tâm) lớp đặc biệt ánh xạ giả đơn điệu, ... giả đơn điệu giả đơn điệu, tức A1 A2 giả đơn điệu dẫn đến u → A1 (u) + A2 (u) giả đơn điệu (ii) Tịnh tiến ánh xạ giả đơn điệu giả đơn điệu, tức A giả đơn điệu dẫn đến u → A (u + w) giả đơn điệu. .. nghiên cứu ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày tính chất ánh xạ giả đơn điệu ánh xạ liên tục yếu từ ứng