Đang tải... (xem toàn văn)
Bài tập và bài học môn hình học xạ ảnh
HÌNH H C ỌHÌNH H C ỌX NHẠ ẢX NHẠ ẢHÌNH H C ỌHÌNH H C ỌX NHẠ ẢX NHẠ ẢNhóm 1 NNHHÓÓMM 11 BÀI 16: Trong Pn cho hai cái phẳng phân biệt Pm và P’m, 0 ≤ m ≤ n-1 và một cái phẳng Pn-m-1 không giao với chúng. a/. Gọi M là một điểm của Pm , ta dựng qua M và Pn-m-1 một (n-m)-phẳng.Chứng minh rằng giao của(n-m)-phẳng đó và P’m là một điểm duy nhất. b/. CMR: ánh xạ f : Pm → P’m sao cho f(M)=M’ là một ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng. Bài giải: a/Để Cm: Pn-mP’m =M’⇔ Cm: 'n m mp p− Gọi Pn-m là cái phẳng qua M và chứa Pn-m-1 Ta có: =∩′−− 1mnmPP ( giả thuyết) dim(P’m + Pn-m-1) =dim P’m + dim Pn-m-1 +1 = m + n - m - 1 +1 = n Suy ra: P’m + Pn-m-1 = Pn ⇒ P’m + Pn-m = Pn Thật vậy: giả sử Pq = P’m + Pn-m Do 1n mp− −⊂ n mp− ∅ ≠∅ ≠ ( )dim 0m n mP P−′∩ = Suy ra: q ≥ n Mặt khác : q ≤ n (gt) ⇒ + giả sử : 'n m mP P− =∅ dim('n m mP P−)= dim Pn-m + dim P’m +1 11n n m mn n⇔ = − + +⇔ = + (mâu thuẫn) Vậy : Pn-m P’m ≠∅ ⇒ dim('n m mP P− ) = dim Pn-m + dim P’m – dim(Pn-m + P’m) = n – m + m – n = 0 ⇒ Pn-m-1P’m là một điểm duy nhất ⇒} q = n • Chứng minh ánh xạ: f: Pm P’m M f(M) = M’ là ánh xạ xạ ảnh( M’ P’m Pn-m)Lập tương ứng: : Vm+1 V’m+1 được xác định như sau: Vm+1 Vn+1 = V’m+1 Vn-m aφ1( )x xφ=r raxrxrxrb/ Gọi Vn+1,Vm+1, V’m+1, Vn-m+1 là các kgvt sinh ra Pn, Pm, P’m, Pn-m V’m+1, Vn-msao cho: Đặt là một ánh xạ.• Chứng minh là 1 đẳng cấu tuyến tính•Chứng minh là đồng cấu tuyến tính. Thật vậy: Vm+1 1!x∃�r2xr1 2x x x= +r r r1( )x xφ=r rφφφ,x y∀r r{1 21 2x x xy y y= += +r r rr r r1 1 12 2, ',mn mx y Vx y V+−r rr r φ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )xkxkxkxkxkKkyxyxyyxxyxcóTarrrrrrrrrrrrrrrφφφφφφφ==+=⇒∈∀+=+=+++=+121112121:là đồng cấu tuyến tính •Chứng minh là đơn cấuTa có Ker = { } = { , } = { }= Vm+1 Vn-m = (do PmPn-m-1= )Vậy là đơn cấu.•Chứng minh là toàn cấu:Ta có Im = { } = = = V’m+1 1/ ( ) 0mx V xφ+=�rr r1 2 1 1/ 0mx x V x++ =�rr r r2 1 2/m n mx V x V+ −� �r rφφφφφ1( ) /mf x x V+r r1 1 2 1{ / }mx x x V++r r r1 1 1 2{ / ' , }m n mx x V x V+ −� �r r r0rmnVx−∈2r{}∩φ∩ là toàn cấu.Vậy là đẳng cấu.•Lấy M Pm ,gọi ta cần cm Giả sử Mà Ta có:0, 'dda a Mrr r1 1 1' { }m n ma V V V L a+ − += = < >� � �r r1 2x x x= −r r r1 1m n mx V V+ − += r2 2 1n m n mx V x V− − +� � �r r1 1n mx V− +� �rφφMxđd→←r∈( ) ( )MMfxxđd′=→←=1rrφ màVậy ánh xạ f đã cho là ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng.1 1'mx V+r1 1 1'm n mx V V+ − +� � �r10 /k x ka∃ =� �r rMxđd′→←⇒1r . HÌNH H C ỌHÌNH H C ỌX NHẠ ẢX NHẠ ẢHÌNH H C ỌHÌNH H C ỌX NHẠ ẢX NHẠ ẢNh m 1 NNHHÓÓMM 11 BÀI 16: Trong Pn cho hai. của(n-m)-phẳng đó và P’m là một điểm duy nhất. b/. CMR: ánh xạ f : Pm → P’m sao cho f(M)=M’ là một ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng. Bài