Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lượng tử nghiên cứu chuyển động đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động lượng xung lượng vật có kích thước nhỏ bé, có thể rõ rệt lưỡng tính sóng hạt Lưỡng tính sóng hạt tính chất vật chất, học lượng tử coi học Newton cho phép mô tả xác đắn nhiều tượng vật lý mà học Newton giải thích Chính đời học lượng tử giúp giải khó khăn mà học cổ điển bế tắc Việc học tập nghiên cứu học lượng tử mà đối tượng thiếu cần thiết nghiên cứu vật lý đặc biệt với sinh viên khoa Vật Lý Việc học tập cần thiết sinh viên để hoàn thành tốt chương trình học tập ngành khoa đề Với môn học có hệ thống kiến thức chuyên biệt học lượng tử Do nhằm giúp cho sinh viên học tập tốt học phần học lượng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Nhằm đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn vấn đề “Hệ thống, giải tập tích phân chuyển động định luật bảo toàn” làm đề tài nghiên cứu II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Hệ thống hóa sở lý thuyết - Xây dựng ví dụ tập minh họa cho phần chương “Sự phụ thuộc đại lượng động lực theo thời gian” - Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phương pháp giải tập, phương pháp nghiên cứu khoa học III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” IV NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Xây dựng số tập tập nâng cao liên quan minh họa cho phần chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp chủ yếu phương pháp lý thuyết VI BỐ CỤC TIỂU LUẬN Tiểu luận gồm phần: - Phần 1: Phần mở đầu: Gồm: Lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu - Phần 2: Phần nội dung Gồm chương:  Chương 1: Cơ sở lý thuyết  Chương 2: Bài tập A Bài tập B Bài tập nâng cao - Phần 3: Phần kết luận SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Đạo hàm toán tử theo thời gian Đạo hàm trị trung bình đại lượng động lực A trung bình đạo hàm đại lượng động lực A theo thời gian d dA A= dt dt Biểu thức đạo hàm theo thời gian toán tử A: ˆ ∂A ˆ i dA ˆ ˆ = + [H,A] dt ∂t h Phương trình gọi phương trình chuyển động Heisenberg, số hạng thứ hai ta ký hiệu sau: i ˆ ˆ ˆ} ˆ ,A [H, A] = {H  Trong trường hợp đại lượng động lực A không phụ thuộc tường minh vào thời gian, đạo hàm toán tử A theo thời gian ˆ dA i ˆ ˆ ˆ ˆ = [H,A] = {H,A} dt h Tích phân chuyển động Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy A tích phân chuyển động khi: ˆ i ∂A ˆ]= ˆ ,A + [H ∂t  ⇔ ˆ ∂A = 0, ˆ ˆ [H,A] = ∂t Điều kiện để đại lượng động lực tích phân chuyển động đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian toán tử tương ứng giao hoán với toán tử Hamilton Tính đối xứng không gian, thời gian định luật bảo toàn SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Cơ học lượng tử có tất định luật bảo toàn học cổ điển Ngoài ra, bao gồm định luật bảo toàn tiền lệ học cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin… Khi đại lượng động lực tích phân chuyển động tuân theo định luật bảo toàn Ta xét định luật sau: a Định luật bảo toàn xung lượng Định luật liên quan đến tính đồng không gian Vì không gian đồng nên tính chất vật lý hệ kín không thay đổi qua phép biến đổi tịnh tiến hệ coi tổng thể Vì tính chất hệ lượng tử xác định toán tử Hamilton nó, nên tính đồng không gian thể chỗ toán tử Hamilton bất biến phép biến đổi tịnh tiến Nếu ta xét phép biến đổi tịnh tiến khoảng nhỏ gọi toán tử tịnh tiến Tˆδr Hˆ ˆ , Tˆ ] = [H δr toán tử giao hoán với toán tử , nghĩa b Định luật bảo toàn mômen xung lượng Định luật liên quan đến tính đẳng hướng không gian Vì không gian đẳng hướng nên tính chất vật lý hệ không đổi theo phương Về mặt vật lý, điều có nghĩa Hamiltonian hệ giao hoán với toán tử δϕ quay góc nhỏ c Định luật bảo toàn lượng Định luật liên quan đến tính đồng thời gian Điều có nghĩa định luật chuyển động hệ không phụ thuộc vào việc chọn gốc thời gian d Định luật bảo toàn chẵn lẻ Định luật bảo toàn chẵn lẻ liên quan đến tính nghịch đảo không gian Đây phép biến đổi làm thay đổi dấu tọa độ không gian hạt: x → − x; y → − y; z → − z Như phép biến đổi không gian hệ tọa độ phải biến thành hệ tọa độ trái Định luật bảo toàn chẵn lẻ phát biểu theo cách khác: Khi hệ kín có số chẵn, lẻ xác định số chẵn, lẻ không thay đổi theo thời gian SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức CHƯƠNG II: BÀI TẬP Trong chương làm tập áp dụng số tính chất giao hoán từ sau để dễ dàng tính toán, (1) Các tính chất: (1.1) Phản đối xứng: [ Aˆ , Bˆ ] = −[ Bˆ , Aˆ ], (1.2) Giao hoán với số vô hướng a: (1.3) Phân phối phép cộng: (1.4) Phân phối phép nhân: (1.5) Đồng Jacobi: [ Aˆ , a ] = 0, [ Aˆ + Bˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ] + [ Bˆ , Cˆ ], ˆ ˆ , Cˆ ] = [ Aˆ , Cˆ ]Bˆ + Aˆ[ Bˆ , Cˆ ], [ AB [ Aˆ [ Bˆ , Cˆ ]] + [ Bˆ ,[Cˆ , Aˆ ]] + [Cˆ ,[ Aˆ , Bˆ ]] = (2) Các hệ thức giao hoán: (2.1) (2.2)  xˆ j , xˆk  = 0,  pˆ j , pˆ k  = 0, [ pˆ , xˆ ] = −i δ j (2.3) k jk [ f ( x), pˆ x ] = ih (2.4) (2.5) (2.6) (2.7) (với 1 j = k  δ jk =  ÷, 0 j ≠ k  ∂f ( x ) , ∂x  Lˆ j , xˆk  = i hε jkl xˆl ,    Lˆ j , pˆ k  = i hε jkl pˆ l ,    Lˆ j , Lˆk  = i hε jkl lˆl ,    Lˆ j , lˆ2  = 0,   (2.8) SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức ε jkl với bằng: 0, có số j, k, l trùng nhau, hay +1, hoán vị j, k, l chiều kim đồng hồ, hay - 1, hoán vị j, k, l ngược chiều kim đồng hồ A BÀI TẬP CƠ BẢN Bài tập Chứng minh đạo hàm theo thời gian tổng tích hai toán tử tuân theo quy luật giống đạo hàm tổng tích hai số thông thường Lời giải: + Chứng minh đạo hàm tổng hai toán tử theo thời gian Sử dụng hệ thức đạo hàm tổng hai toán tử theo thời gian, ta có d ˆ ˆ ∂ ( Aˆ + Bˆ ) i ˆ ˆ ˆ ( A + B) = + [ H , A + B] dt ∂t h (1) Ta cần chứng minh d ˆ ˆ dAˆ dBˆ ( A + B) = + dt dt dt sử dụng công thức tính đạo hàm theo thời gian hai toán tử dAˆ dBˆ ∂Aˆ i ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ + = + ( H , A) + + [ H , B] dt dt ∂t  ∂t  = Aˆ Bˆ = ∂Aˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ + ( HA − A H ) + + ( HB − B H ) ∂t  ∂t  = ∂ Aˆ + Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + ( H A − AH + H B − B H ] ∂t  = ∂ Aˆ + Bˆ i ˆ ˆ ˆ + ( H ( A + B ) − ( Aˆ + Bˆ ) Hˆ ) ∂t  ( ) ( ) ( ∂ Aˆ + Bˆ SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương ∂t ) + i [ Hˆ , Aˆ + Bˆ ] h (2) , ta có Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Cách khác từ (1), áp dụng tính chất toán tử ta được: ( ∂ Aˆ + Bˆ ∂t ) + i [Hˆ , Aˆ + Bˆ ] = ∂Aˆ + i [ Hˆ , Aˆ ] + ∂Bˆ + i [ Hˆ , Bˆ ] ∂t h h ∂T h (3) Từ (1) (2) (3) ta suy hệ thức cần chứng minh là: d ˆ ˆ dAˆ dBˆ ( A + B) = + dt dt dt + Chứng minh đạo hàm tích hai toán tử theo thời gian: Sử dụng hệ thức đạo hàm tích hai toán tử theo thời gian, ta có ˆ ˆ) i d ˆˆ ∂ ( AB ˆ Bˆ ] ( AB) = + [ Hˆ , A dt ∂T h (4) Ta cần chứng minh rằng: d ˆˆ dAˆ ˆ ˆ dBˆ ( AB ) = B+ A , dt dt dt từ (4), ta ∂ ( Aˆ Bˆ ) i ˆ ˆ ˆ  ∂Aˆ i ˆ ˆ  ˆ ˆ  ∂Bˆ i ˆ ˆ  + ( H , AB ) =  + [ H , A]  B + A + [ H , B ]  ∂t  ∂ t  ∂ t      (5) Cách khác từ dAˆ ˆ ˆ dBˆ ∂Aˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ ˆ i ˆ ˆ B+ A = B + ( H , A) B + A + A [ H , B] dt dt ∂t  ∂t  = ∂Aˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂Bˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ B + ( HA − AH ) B + A + A ( HB − BH ) ∂t  ∂t  = ∂Aˆ ˆ ˆ ∂Bˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ B+ A + ( HAB − AHB + AHB − ABH ) ∂t ∂t  = ∂ Aˆ Bˆ i ˆ ˆ ˆ + H , AB ∂t  ( ) [ ] (6) Từ (4) (5) (6) ta suy hệ thức cần chứng minh là: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức d ˆˆ dAˆ ˆ ˆ dBˆ ( AB) = B+ A dt dt dt Bài tập Một hạt dao động điều hòa có điện tích q > khối lượng m, đặt điện trường a) Tính E0 cos(ωt ) d p x / dt d E / dt b) Giải phương trình cho Lời giải: Ta có: d x / dt x(t ) , từ tìm biết x(0) = x0 d px d ¶px d Px = ψ ψ dt dt dt [ a) Sử dụng phương trình chuyển động Heisenberg: thức giao hoán, ta có: Hamiltonian có dạng: ˆ2 Hˆ = p x dpˆ x i ˆ = H , pˆ x dt  ] hệ + kx + qxE0 cos(ωt ) 2 Do ) d ¶px i  p 2x )  =  + kx + qxE0 cos(ωt ), px  dt h  2m  i ) ) ) ) = (  p 2x , px  + [kx ), px + [qxE0cos(ωt ), p x ] h 2m = − qxE0 cos(ω t ) Ta tính d px = − ψ kx + qE0cos (ω t ) ψ = −kx − qE0 cos (ωt ) dt SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử d E= dt GVHD: PGS TS Trương Minh Đức i  ) )  ∂H H,H + − qE0ω xsin (ωt )  ∂t h ) dpx / dt d x / dt b) Đạo hàm theo thời gian biểu thức sử dụng biểu thức ta qE d2 d k x= px = − x − cos(ωt ) m dt m m dt Phương trình cho nghiệm  k  qE0 x(t ) = x (0)cos  t÷ ÷− mω sin(ω t ) + A, m   ới A số xác định từ điều kiện đầu, v A = , từ x (0) = x0 nên ta  k  qE0 x(t ) = x0 cos  t÷ ÷ − mω sin(ω t ) m   Bài tập Đối với hạt chuyển động tự chiều theo trục x, đại lượng sau tích phân chuyển động: lượng, xung lượng, hình chiếu momen xung lượng trục x (Lx)? Lời giải: Vì đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên để chứng minh chúng tích phân chuyển động ta cần chứng minh toán tử tương ứng giao hoán với toán tử Hamilton, nghĩa là: ) ) ) ) ) )  H , H  = 0;  H , Px  = 0;  H , Lx  = ) p) H= x 2m , Với: ta có: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức - Về Năng lượng hạt chuyển động tự chiều theo trục x: ( ) 1  Hˆ , Hˆ  =  p) 2x , p) 2x  = p) x  p) 2x , p) x  +  p) 2x , p) x  p) x = p) 2x [ p) x , p) x ] + [ p) x , p) x ] p) 2x =  4m       4m  2m ( ) nên Năng lượng tích phân chuyển động - Về Xung lượng hạt chuyển động tự chiều theo trục x:  Hˆ , p) x  =  p) 2x , p) 2x  = ( p) x [ p) x , p) x ] + [ p) x , p) x ] p) x ) =  2m   4m  , nên xung lượng tích phân chuyển động - Về hình chiếu mômen xung lượng trục x hạt chuyển động tự chiều theo trục x: ) )) )) ) )) ) ))  Hˆ , Lx  =  p) 2x , yp  − zp = z y  2m  p x , ypz  −  p x , zp y  = 0,   2m  ( tính ) )) ) )  p 2x , ypz  = y  p 2x , pz  = ) )) ) )  p 2x , zp y  = z  p 2x , p y  = ) ta ) )  H , Lx  = nên Lx tích phân chuyển động Bài tập 4: (Cơ sở áp dụng cho số tập tiếp theo) Cho toán tử Hamilton hạt có dạng ) )2 )2 )2 H= ( p x + p y + p z ) + U ( x, y , z ) 2m Hãy xét bình phương momen xung lượng có phải đại lượng bảo toàn hay không? Lời giải: Một đại lượng động lực A gọi bảo toàn thỏa mãn điều kiện sau ) ∂A i ) ) +  H , A = 0, ∂t h  SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 10 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức  Hˆ , Lˆz  = Tˆ ( r , θ , ϕ ) + Uˆ ( r , θ , ϕ ) , Lˆz  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ z  + Uˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ z          [ ( = Uˆ ( r ,θ ,φ ) , Lˆ z )] Muốn cho giao hoán tử không phải không phụ thuộc θ U = U ( r ,θ ) nghĩa  Hˆ , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) + Uˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , ϕ ) , Lˆ2  + Uˆ ( r ,θ ,ϕ ) , Lˆ2          [( = Uˆ ( r ,θ ,φ ) , Lˆ2 )] Muốn cho giao hoán tử không phải không phụ thuộc vào θ φ nghĩa U = U (r) Lˆ z Lˆ2 Như vậy, hạt chuyển động trường xuyên tâm tích phân chuyển động Bài tập 4: Toán tử Hamiiton hạt mang điện chuyển động từ trường có dạng  ˆ e r r ˆ H=  P − A÷ + U ( r ) 2m  c   A Trong vectơ, m khối lượng hạt a) Tìm toán tử vận tốc hạt b) Thiết lập hệ thức giao hoán toán tử thành phần Lời giải: a) Thay toán tử Hamilton vào công thức tính toán tử vận tốc ta sau   dr i ˆ  i   ˆ e     v= = H , r =   P − A  + U ( r ), r  dt    2m  c   [ ] i    ˆ e r  r r r  =    P − A ÷ , r  + U ( r ) , r  ÷ ÷ h   2m  c    SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 19 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức i  ˆ e r  r  =  P − A ÷ , r  2mh  c   = i   ˆ e   ˆ e    ˆ e   ˆ e     P − A   P − A , r +  P − A , r  P − A   2m   c   c    c   c   =  ˆ e r  P − A ÷ m c  b) Tính hệ thức giao hoán thành phần vận tốc công thức sau  e  e  v x , v y =  pˆ x − Ax ,  pˆ y − Ay  c  c  m  [ ] =  e  e e   e   pˆ , pˆ y  +  A x , Ay  −  A x , pˆ y  −  pˆ x , A y  ÷  x c  c m  c   c  = r i he  ∂Ax ∂Ay  i he − + = rot A  ÷ z m2 c  ∂y ∂x  m2 c [v , v ] = m1 y z [ vz , vx ] =  e  e   pˆ y − c Ay ,  pˆ z − c Az     =  e  e e   e   pˆ , pˆ z  +  A y , Az  −  A y , pˆ z  −  pˆ z , A y  ÷  y c  c m  c   c  = r i he  ∂Ay ∂Az  i he − + = rot A  ÷ x m c  ∂z ∂y  m c  e  e  pˆ − Az ,  pˆ x − Ax   z m  c  c  =  e  e e   e  pˆ , pˆ x ] +  A z , Ax  −  A z , pˆ x  −  pˆ z , A x  ÷ [ z c  c m  c   c  = r ihe  ∂Az ∂Ax  ihe − + = rot A y m c  ∂x ∂z ÷ m c Bài tập 5: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 20 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Dùng phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, chứng tỏ trị trung bình xung lượng hạt trạng thái dừng không Lời giải: Trị trung bình xung lượng hạt trạng thái dừng xác định công thức sau: p x = ψ ( x ) pˆ xψ ( x ) (1) Từ phương trình chuyển động Heisenberg cho tọa độ, ta có pˆ x = m [ ] ( dxˆ i i = m Hˆ , xˆ = m Hˆ xˆ − xˆHˆ dt   ) (2), thay (2) vào (1), ta  i ˆ  ˆ − xH ˆ ˆ ψ ( x ) ÷ = m i ψ ( x ) Hx px = ψ  x m Hx ˆ ˆψ ( x ) − ψ ( x ) xH ˆ ˆ ψ ( x) h   h ( ) { Áp dụng tính chất Hermite toán tử px = m { i ˆ Hψ ( x ) xˆψ ( x ) − Hˆψ ( x ) xˆψ ( x ) h Hˆ , ta có } = 1h{ Sử dụng phương trình riêng toán tử px = m } { Hˆ Hˆψ ( x ) xˆψ ( x ) − Hˆψ ( x ) xˆψ ( x ) } là: Hˆ ψ = Eψ iE ψ ( x ) xˆψ ( x ) − ψ ( x ) xˆψ ( x ) h , } = Như ta có điều phải chứng minh Bài tập 6: Hàm Hamilton dao động tử điều hòa chiều có dạng Hˆ = pˆ x + mω xˆ 2m Hãy kiểm tra đại lượng sau, đại lượng tích phân chuyển động a) Năng lượng b) Các hình chiếu xung lượng c) Các hình chiếu momen xung lượng d) Bình phương momen xung lượng Lời giải: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 21 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Áp dụng điều kiện để đại lượng động lực A tích phân chuyển động dựa vào công thức sau: d ∂Aˆ i A = +  Hˆ , Aˆ  dt ∂t h Hˆ Với hàm Hamilton Vì đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên đạo hàm theo thời gian đại lượng không Do đó, ta cần tính giao hoán tử toán tử tương ứng với toán tử Hamilton, ta có:  Hˆ , Hˆ  =  pˆ x2 + mω xˆ , pˆ x2 + mω xˆ      2m 2m ω2 m2ω 2 2 2  pˆ , pˆ  +  pˆ x , xˆ  +  xˆ , pˆ x  +  xˆ , xˆ  = 4m   ( 2m )  x x ( ) = ω2 pˆ x  pˆ x , x  +  pˆ x , x  pˆ x + pˆ x  x , pˆ x  +  x , pˆ x  pˆ x 4m = ω2 2h2 − 2i hpˆ x − 2h2 + 2i hpˆ x ) = ( 4m ( ) Do đó, lượng tích phân chuyển động pˆ x pˆ y pˆ z b) Các hình chiếu xung lượng tương ứng với toán tử: , ,  )2 1 )2 )  ) )  pˆ x2 , pˆ x  +  mω x , pˆ x  = imhx  H , p x   m px + mω x , px  2m = =  )2 1 )2 )  ) )  pˆ x2 , pˆ y  + mω x , pˆ y  =  H , p y   m px + mω x , p y  2m = = ) )  H , p z   )2 ) )  px + mω x , pz   m  1  pˆ x2 , pˆ z  + mω x , pˆ z  = 2m = = Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục x tích phân chuyển động, hình chiếu xung lượng lên trục y z tích phân chuyển động Lˆx , Lˆ y , Lˆz , c) Các hình chiếu momen xung lượn tương ứng với toán tử: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 22 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức 1 1  Hˆ , Lˆx  =  pˆ x2 + mω xˆ , Lˆx  =  pˆ X2 , Lˆ x  + mω x , Lˆx   2m     m  2  = ( ) 1 ˆ ˆ z − zp ˆ ˆ y  pˆ x  pˆ x , Lˆx  +  pˆ x , Lˆx  pˆ x +  mω x , yp 2m mω 2 ˆ ˆ z  −  x , zp ˆ ˆ y  + y  x , pˆ z  − z  x , pˆ y  ) = = (  x , yp 1 1  Hˆ , Lˆ y  =  pˆ x2 + mω xˆ , Lˆ y  =  ˆ   2 ˆ   2m  pˆ x , Ly  + mω x , Ly     m = ( ) mω 2  x , zˆ pˆ x − xp ˆˆ z  pˆ x  pˆ x , Lˆ y  +  pˆ x , Lˆ y  pˆ x + 2m  ih mω  x , zˆ pˆ x  −  x , xp ˆˆ z  = ( pˆ x pˆ z + pˆ z pˆ x ) + 2m ( ih mω = pˆ x pˆ z + z  x , pˆ x  − x  x , pˆ z  m ( = ) ) ih pˆ x pˆ z + mω xi hz m 1 1  Hˆ , Lˆz  =  pˆ x2 + mω xˆ , Lˆ z  =  ˆ   2 ˆ   2m  pˆ x , Lz  +  mω x , Lz     m = ( ) mω 2  x , xˆ pˆ y − yp ˆ ˆ x  pˆ x  pˆ x , Lˆz  +  pˆ x , Lˆz  pˆ x + 2m  ih mω  x , xˆ pˆ y  −  x , yˆ pˆ x  =− pˆ x pˆ y + pˆ y pˆ x ) + ( 2m ( ih mω ˆ ˆ = px p y + x  x , pˆ y  − y  x , pˆ x  m ( = ih pˆ x pˆ y − i hymω x m SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 23 ) ) Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Do đó, hình chiếu momen xung lượn trục x tích phân chuyển động, lên trục y z d) Bình phương momen xung lượng có toán tử tương ứng Lˆ2  Hˆ , Lˆ2  =  pˆ x2 / 2m + Uˆ ( x ) , Lˆ2  =  pˆ x2 , Lˆ2  + Uˆ ( x ) , Lˆ2      2m     Áp dụng tập số ta có: ( )  pˆ x2 , Lˆ2  = 2ih Lˆ y pˆ x pˆ z + pˆ x pˆ z Lˆ y − Lˆ y pˆ x pˆ y − pˆ x pˆ y Lˆ y   ∂U ( x ) ∂U ( x ) ˆ ˆ ∂U ( x ) ∂U ( x ) ˆ   Uˆ ( x ) , Lˆ2  = ih Lˆ y z +z Ly − Lz y −y Lz ÷   ∂x ∂x ∂x ∂x    ∂ 2U ( x ) ∂U ( x ) ∂U ( x ) ˆ ∂U ( x ) h2  z −x +z L/ y − xy ∂x ∂x ∂x ∂x  + y2 ∂ 2U ( x ) ∂U ( x ) ˆ  −y Lz ÷ ∂x ∂x   Hˆ , Lˆ2  ≠   Từ đó, ta kết quả: Do đó, bình phương momen xung lượng tích phân chuyển động Bài tập 7: Những đại lượng động lực sau đây: lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu momen xung lượng bảo toàn hạt chuyển động trường biến thiên U(z,t) = a(t)z Lời giải: Muốn biết đại lượng động lực A có phải đại lượng bảo toàn ta phải áp dụng công thức sau: ∂Aˆ i  ˆ ˆ  + H , A = ∂t h  Trước hết ta xét toán tử Hamilton có dạng: pˆ 2 2 Hˆ = + a( t) z = ( pˆ x + pˆ y + pˆ z ) + a ( t ) z 2m 2m SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 24 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Ta có: ∂Hˆ ∂ ∂ = pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z = z a ( t ) ( ∂t ∂t 2m ∂t ,  i ˆ ˆ i  pˆ pˆ  H , H  =  + a ( t ) z, + a ( t ) z   h 2m h 2m    i i  pˆ pˆ  i  pˆ pˆ  =  ,  +  , a(t) z  + a (t) z,  h  2m 2m  h  2m 2m   h ( i i +  a ( t ) z , a ( t ) z  = a ( t )  pˆ , z  + a ( t )  z , pˆ  h mh ( = ) ) i a ( t )  pˆ z2 , z  + a ( t )  z, pˆ z2  = mh Do đó,năng lượng đại lượng bảo toàn Đối với đại lượng động lực khác không phụ thuộc tường minh vào thời gian ta cần tính giao hoán tử toán tử tương ứng với toán tử Hamilton Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục có toán tử tương ứng là: Ta có: pˆ x + pˆ y + pˆ z  Hˆ , pˆ x  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , pˆ x      2m = 2  pˆ x + pˆ y + pˆ z , pˆ x  +  a ( t ) z, pˆ x  2m  =  pˆ 2x , pˆ x  +  pˆ y , pˆ x  +  pˆ 2z , pˆ x  + a ( t ) [ z , pˆ x ] = 2m ( SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương ) 25 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức  Hˆ , pˆ y  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , pˆ y      2m = 2  pˆ x + pˆ y + pˆ z , pˆ y  + a ( t ) z, pˆ x  2m  =  pˆ 2x , pˆ y  +  pˆ y , pˆ y  +  pˆ 2z , pˆ y  + a ( t )  z, pˆ y  = 2m ( )  Hˆ , pˆ z  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , pˆ z       2m = 2  pˆ x + pˆ y + pˆ z , pˆ z  + a ( t ) z, pˆ z  2m  =  pˆ 2x , pˆ z  +  pˆ y , pˆ z  +  pˆ z , pˆ z  + a ( t ) [ z , pˆ z ] = iha ( t ) 2m ( ) Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục có toán tử Lˆx , Lˆ y , Lˆz tương ứng là: Ta có:  Hˆ , Lˆx  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , Lˆx      2m = 2 ˆ  pˆ x + pˆ y + pˆ z , Lx  +  a ( t ) z , Lˆx     2m  =  pˆ 2x , Lˆx  +  pˆ y , Lˆx  +  pˆ 2z , Lˆx  + a ( t )  z , Lˆx         2m  = pˆ y  pˆ y , Lˆx  +  pˆ y , Lˆx  pˆ y +  pˆ z , Lˆx  pˆ z + pˆ z  pˆ z , Lˆx  − i ( t ) y 2m ( =− ) ( ) ih ( pˆ y pˆ z − pˆ z pˆ y ) − iha ( t ) y = −iha ( t ) y m SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 26 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức  Hˆ , Lˆ y  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , Lˆ y      2m = 2 ˆ  pˆ x + pˆ y + pˆ z , Ly  +  a ( t ) z , Lˆ y     2m  ( ) =  pˆ 2x , Lˆ y  +  pˆ y , Lˆ y  +  pˆ 2z , Lˆ y  + a ( t )  z , Lˆ y         2m  = pˆ x  pˆ x , Lˆ y  +  pˆ x , Lˆ y  pˆ x +  pˆ z , Lˆ y  pˆ z + pˆ z  pˆ z , Lˆ y  − i ( t ) x 2m ( =− ) ih ( pˆ x pˆ z − pˆ z pˆ x ) − iha ( t ) x = −iha ( t ) x m  Hˆ , Lˆz  =  ( pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 ) + a ( t ) z , Lˆz      2m =  2 ˆ  pˆ x + pˆ y + pˆ z , Lz  + a ( t ) z , Lˆz   2m =  pˆ 2x , Lˆz  +  pˆ y , Lˆz  +  pˆ 2z , Lˆz  + a ( t )  z , Lˆz         2m  = pˆ x  pˆ x , Lˆz  +  pˆ x , Lˆz  pˆ x +  pˆ y , Lˆz  pˆ y + pˆ y  pˆ y , Lˆz  2m = ih ( pˆ y pˆ x − pˆ x pˆ y ) = m ( ) ( ) Như vậy, đại lượng bảo toàn: hình chiếu xung lượng lên trục x lên trục y, hình chiếu momen xung lượng lên trục z Bài tập Những đại lượng động lực sau đây: lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu momen xung lượng bình phương momen xung lượng bảo toàn hạt chuyển động trường đối xứng xuyên tâm Lời giải: Vì đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên ta cần tính giao hoán tử tương ứng đại lượng với toán tử Hamilton SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 27 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Dạng toán tử Hamilton tường xuyên tâm là: Hˆ = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , h2 h2  ∂  ∂   ˆ T ( r ,θ , φ ) = − ∆ = −   r ÷+ ∆θφ  2m 2m  r ∂r  ∂r  r  với: đó: phần góc toán tử laplace có dạng ,  ∂  ∂  ∂2  ∆θφ =  sin θ  sin θ ÷+ ÷ sin θ  ∂θ  ∂θ  ∂φ  Toán tử tương ứng hình chiếu xung lượng lên trục là: pˆ x = −i h  ∂ ∂ ∂ sin φ ∂  = −i h sin θ cos φ + cosθ cos φ − ÷ ∂x ∂ r r ∂ θ r sin θ ∂ φ   pˆ y = −ih  ∂ ∂ ∂ sin φ ∂  = −i h sin θ cos φ + cosθ cos φ − ÷ ∂y ∂ r r ∂ θ r sin θ ∂ φ   pˆ z = −ih ∂ ∂ ∂   = −ih cos θ + sin θ ÷ ∂z ∂r r ∂θ   Các toán tử hình chiếu momen xung lượng lên trục là:  ∂ ∂ Lˆx = ihsin φ + s cot gθ cos φ  ∂ ∂θ ∂φ    ∂ ∂ Lˆ y = ihcos φ − cot gθ cos φ  ∂θ ∂φ   ∂ Lˆz = −ih , ∂φ Lˆ2 = −h2 ∆θφ Ta tính giao hoán tử toán tử tương ứng với toán tử Hamilton Trước hết ta tính cho lượng có toán tử tương ứng là: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 28 Hˆ , ta có Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức  Hˆ , Hˆ  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r )      = Tˆ ( r ,θ , φ ) , Tˆ ( r ,θ ,φ )  + Tˆ ( r ,θ , φ ) , Uˆ ( r )  + Uˆ ( r ) , Tˆ ( r ,θ , φ )  + Uˆ ( r ) , Uˆ ( r )  Thay dạng toán tử lượng vào phương trình trên, ta h2 ∂  ∂U ( r )  h2 ∂  ∂U ( r )   Hˆ , Hˆ  = − r ÷+ r ÷ =   2m r ∂r  ∂r  2m r ∂r  ∂r  Như lượng đại lượng bảo toàn * Đối với hình chiếu xung lượng lên trục, ta có:  Hˆ , pˆ x  = Tˆ ( r ,θ ,φ ) + Uˆ ( r ) , pˆ x  = Tˆ ( r ,θ , φ )  + U ( r ) , pˆ x        ∂U ( r )  ∂ ∂   = U ( r ) , −ih cos θ + sin θ ÷ = ihsin θ cosφ ∂r r ∂θ   ∂r    Hˆ , pˆ y  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , pˆ y  = Tˆ ( r ,θ , φ )  + U ( r ) , pˆ y            ∂ ∂ cosφ ∂   = U ( r ) , −ih sin θ sin φ + cosθ sin φ −  ∂ r r ∂ θ r sin θ ∂φ ÷    = ihcos θ ∂U ( r ) ∂r  Hˆ , pˆ z  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , pˆ z  = Tˆ ( r ,θ , φ )  + U ( r ) , pˆ z          ∂ ∂ cosφ ∂  = U ( r ) , −ih sin θ sin φ + cosθ sin φ − ÷ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ    = ihsin θ sin φ ∂U ( r ) ∂r SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 29 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục đại lượng không bảo toàn * Đối với hình chiếu momen xung lượng lên trục , ta có:  Hˆ , Lˆ x  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , Lˆ x  = Tˆ ( r ,θ , φ ) , Lˆx  + U ( r ) , Lˆ x            ∂ ∂  = U ( r ) , Lˆ x  = U ( r ) , −ihcosφ − cot gθ cosφ  ∂θ ∂φ     ∂U ( r ) ∂U ( r )  = i hcosφ − cot gθ cos φ  = ∂θ ∂φ    Hˆ , Lˆ y  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , Lˆ y  = Tˆ ( r ,θ , φ ) , Lˆ y  + U ( r ) , Lˆ y            ∂ ∂  = U ( r ) , Lˆ y  = U ( r ) , ihsin φ + s cot gθ cosφ   ∂θ ∂φ      ∂U ( r ) ∂U ( r )  = i hsin φ + s cot gθ cos φ  = ∂ θ ∂ φ    Hˆ , Lˆz  = Tˆ ( r , θ , φ ) + Uˆ ( r ) , Lˆz  = Tˆ ( r ,θ , φ ) , Lˆz  + U ( r ) , Lˆz          ∂U ( r )  ∂  = U ( r ) , Lˆ y  = U ( r ) , −ih  = ih =0 ∂φ  ∂φ  Do đó, hình chiếu momen xung lượng lên trục đại lượng bảo toàn * Đối với bình phương momen xung lượng ta có:  Hˆ , Lˆ2  = Tˆ ( r ,θ , φ ) + Uˆ ( r ) , Lˆ2  = Tˆ ( r ) , Lˆ2  + U ( r ) , Lˆ2  = U ( r ) , Lˆ2              ∂  ∂ = U ( r ) , − h2  sin θ  sin θ sin θ  ∂θ  ∂θ   ∂  + ÷ ÷  ∂φ   ∂U ( r )  ∂ 2U ( r )   ∂  =h  sin θ ÷ =  sin θ ÷+ sin θ  ∂θ  ∂θ  ∂φ ÷  Vậy bình phương momen xung lượng đại lượng bảo toàn SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 30 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương GVHD: PGS TS Trương Minh Đức 31 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức PHẦN III: KẾT LUẬN Dựa vào mục đích nghiên cứu đề tài giải số vấn đề sau đây: - Hệ thống hóa kiến thức chương “sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” - Xây dựng hệ thống tập chương, chủ yếu phần tích phân chuyển động bảo toàn đại lượng - Trình bày cách giải tập hỗ trợ cho công việc học tập tốt chương hệ thống tập môn học lượng tử - Sử dụng nhuần nhuyễn cách tính giao hoán tử với toán tử Hamilton Nhìn chung, chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” tương đối tập Tuy nhiên, chương góp phần giúp ta hiểu rõ vấn đề đại lượng động lực Trong trình thực không tránh khỏi sai sót, mong GVHD thông cảm SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 32 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Tài Liệu Tham Khảo Giáo trình Cơ Học Lượng Tử (Lê Đình – Trần Công Phong), NXB ĐH Huế năm 2012 Bài tập Vật lý lý thuyết – tập (Nguyễn Hữu Mình (cb) – Tạ Duy Lợi – Đỗ Đình Thanh – Lê Trọng Trường), NXB Giáo Dục – 2007 Cơ học lượng tử (Phạm Quý Tư – Đỗ Đình Thanh), NXB ĐHQG Hà Nội Bài tập lượng tử (Vũ Văn Hùng), NXB ĐH Quốc Gia – 2006 Bài tập học lượng tử (Hoàng Dũng), NXB Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh – 2002 SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 33 [...]... được hệ thống bài tập cơ bản nhất của chương, chủ yếu là phần tích phân chuyển động hay là sự bảo toàn của một đại lượng - Trình bày được cách giải bài tập hỗ trợ cho công việc học tập tốt chương này trong hệ thống bài tập môn cơ học lượng tử - Sử dụng nhuần nhuyễn cách tính các giao hoán tử với toán tử Hamilton Nhìn chung, chương “Sự thay đổi đại lượng động lực theo thời gian” tương đối ít bài tập. .. lượng không bảo toàn 5 Bài tập 5 Hạt chuyển động trong một môi trường thế năng phụ thuộc vào x hay U=U(x) hãy tìm trong các đại lượng động lực sau đại lượng nào là tích phân chuyển động: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu của momen xung lượng và bình phương momen xung lượng Lời giải: Do các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên ta chỉ cần tính các giao... quả: Do đó, bình phương momen xung lượng không phải là tích phân chuyển động 7 Bài tập 7: Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu momen xung lượng được bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường thế biến thiên U(z,t) = a(t)z Lời giải: Muốn biết được đại lượng động lực A có phải là đại lượng bảo toàn ta phải áp dụng công thức sau: ∂Aˆ i  ˆ ˆ  + H... pˆ x + pˆ x ÷ = VP ∂x ∂x   3 Bài tập 3 Với điều kiện nào thì Lời giải: Lz Lz và L2 là những tích phân chuyển động? L2 Vì và được biểu diễn qua tọa độ và xung lượng nên chúng không phụ thuộc tường minh vào thời gian Vì vậy, để chứng minh chúng là tích phân [Hˆ , Lˆ ] = 0 [ Hˆ , Lˆ ] = 0 2 chuyển động ta chỉ cần chứng minh cầu, trong đó các toán tử Hˆ , Lˆ z , Lˆ2 z và Ta sẽ sử dụng tọa độ có dạng:... 0 m ( ) ( ) Như vậy, các đại lượng được bảo toàn: hình chiếu của xung lượng lên trục x và lên trục y, hình chiếu momen xung lượng lên trục z 8 Bài tập 8 Những đại lượng động lực nào sau đây: năng lượng, các hình chiếu của xung lượng, các hình chiếu của momen xung lượng và bình phương momen xung lượng được bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm Lời giải: Vì các đại lượng không phụ... không phụ thuộc vào θ và φ nghĩa là U = U (r) Lˆ z Lˆ2 Như vậy, hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì và là những tích phân chuyển động 4 Bài tập 4: Toán tử Hamiiton của hạt mang điện chuyển động trong từ trường có dạng 2 1  ˆ e r r ˆ H=  P − A÷ + U ( r ) 2m  c   A Trong đó là thế vectơ, m là khối lượng của hạt a) Tìm toán tử vận tốc của hạt b) Thiết lập hệ thức giao hoán giữa các toán tử... 2 m  1 1  pˆ x2 , pˆ z  + mω 2 x 2 , pˆ z  = 0 2m 2 = = Như vậy, hình chiếu xung lượng lên trục x không phải là tích phân chuyển động, còn hình chiếu xung lượng lên trục y và z là tích phân chuyển động Lˆx , Lˆ y , Lˆz , c) Các hình chiếu momen xung lượn tương ứng với các toán tử: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 22 Tiểu luận: Cơ Học Lượng Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức 1 1 1 1  Hˆ , Lˆx  =... vậy: Năng lượng, hình chiếu của xung lực lên trục y, lên trục z, và hình chiếu momen xung lượng lên trục x đều là tích phân chuyển động B BÀI TẬP NÂNG CAO 1 Bài tập 1: Chứng minh trị trung bình của đạo hàm theo thời gian của một đại lượng vật lý không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong trạng thái dừng của phổ gián đoạn thì bằng 0 Lời giải: Gọi A là đại lượng vật lý đang xét, ta có trị trung bình... ) h , thì } = 0 Như vậy ta có điều phải chứng minh 6 Bài tập 6: Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa một chiều có dạng 1 2 1 Hˆ = pˆ x + mω 2 xˆ 2 2m 2 Hãy kiểm tra trong các đại lượng sau, đại lượng nào là tích phân chuyển động a) Năng lượng b) Các hình chiếu của xung lượng c) Các hình chiếu momen xung lượng d) Bình phương momen xung lượng Lời giải: SVTH: Nguyễn Thị Anh Phương 21 Tiểu luận: Cơ Học... Tử GVHD: PGS TS Trương Minh Đức Áp dụng điều kiện để một đại lượng động lực A là tích phân chuyển động dựa vào công thức sau: d ∂Aˆ i A = +  Hˆ , Aˆ  dt ∂t h Hˆ Với là hàm Hamilton Vì các đại lượng động lực không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên đạo hàm theo thời gian của các đại lượng đó bằng không Do đó, ta chỉ cần tính các giao hoán tử của toán tử tương ứng với toán tử Hamilton, ta có: ... định luật bảo toàn học cổ điển Ngoài ra, bao gồm định luật bảo toàn tiền lệ học cổ điển như: bảo toàn chẵn lẻ, bảo toàn tính đối xứng, bảo toàn spin… Khi đại lượng động lực tích phân chuyển động. .. Tích phân chuyển động Theo phương trình chuyển động Heisenberg ta thấy A tích phân chuyển động khi: ˆ i ∂A ˆ]= ˆ ,A + [H ∂t  ⇔ ˆ ∂A = 0, ˆ ˆ [H,A] = ∂t Điều kiện để đại lượng động lực tích phân. .. chuyển động tuân theo định luật bảo toàn Ta xét định luật sau: a Định luật bảo toàn xung lượng Định luật liên quan đến tính đồng không gian Vì không gian đồng nên tính chất vật lý hệ kín không thay