Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là tài liệu chuẩn, đã được chọn lọc, chứng minh, tài liệu bao gồm 5 trang, các định lí về sau càng được áp dụng nhiều trong toán học. Mọi ý kiến đóng góp của bạn đọc xin gửi về địa chỉ email: tnghiem058gmail.com
1.Định lí Menelaus cho tứ giác: Đường thẳng d cắt cạnh AB, BC, CD, DA ABCD M, AM BN CP DQ N, P, Q MB NC PD QA B Q E M A N F P D C Kẻ AF BE CD AM AF MB BE BN BE AM BN CP DQ AF BE CP DP CN CP dpcm CP CP MB NC PD QA BE CP PD AF PD PD DQ DP QA AF Định lí Carnot: ABC H , I, K thứ tự AB,BC,CA x; y; z đg t với AB, BC, CA qua H, I, K x; y; z động quy AH2 HB2 BI2 IC2 CK KD2 A K H G B I C Thuận: x; y; z đồng quy … Ta có: GA GB2 GB2 GC2 GC2 GA AH2 GH2 HB2 GH2 BI2 GI2 IC2 GI2 CK GK KA GK AH2 HB2 BI2 IC2 CK KD2 1 2 2 2 Đảo: Kẻ GI' BC Theo 1 AH HB BI' I'C CK KD Mà AH2 HB2 BI2 IC2 CK KD2 BI2 IC2 BI'2 I'C2 I I' 2 Từ (1), (2) ta có đpcm Đường tròn Euler: Chân đg trung tuyến, đg cao, trung đ đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh điểm thuộc đg tròn tâm I A A9 A1 A7 A2 A8 O I H G A3 A6 B A5 C A4 D Đường thẳng Euler: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp O tam giác thẳng hàng Kẻ đường kính AD (O) BHCD hình bình hành A trung điểm HD trọng tâm G’ AHD có AG' AA Mà AG AA G G' H;G;O thẳng hàng (đpcm) Định lí bướm: Cho (O), dây AB, dây CD, EF di động qua trung điểm I AB DE, CF cắt AB M, N CMR IM = IN D' D F O A M N I B E C' C Kẻ C’D’ đối xứng với CD qua OI CM tứ giác EC’IM nội tiếp C 'MI CNI MI NI (đpcm) 6.Định lí Steiner: ABC nội tiếp (O) K thuộc cung BC nhỏ M; N; P đối xứng với K qua BC, AB, CA CMR M; N; P thẳng hàng A P M O B N K C I H K Định lí Newton: Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) E; F; G; H Khi HG, AC, EF đồng quy M B E A K H I F O D G C Giả sử AC EF M Áp dụng định lí Menelaus cho ABC MEF AE BF CM AE CM AH CM 1 do EB BF do AE AH;CF CG EB FC MA FC MA GC MA AH DG CM do DH DG DH GC MA Áp dụng định lí Menelaus đảo cho ADC C;A;M thẳng hàng hay HG, AC, EF đồng quy Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) E; F; G; H Khi EG, AC, HF, BD đồng quy Đặt AC EG I AI AK AE AI AE hay Kẻ AK DC AKE AEK DGE AE AK IC CG CG IC CG AI' AH Đặt AC FH I' CMTT I' C CF AI AI' I I' AC;HF;EG đồng quy Mà AH=AE; CG=CF IC I' C CMTT ta có đpcm 9 Định lí Desargues: Nếu ABC; A 'B ' C ' có AA’; BB’; CC’ đồng quy; AB A 'B ' P ; BC B ' C ' Q ;CA C ' A ' R P; Q; R thẳng hàng O A C' B' P R Q B A' C AP BQ CR 1(Menelaus cho ABC QPR ) PB QC RA OB ' BQ CC ' OB ' CC ' AP CR ta CM 1 Menelaus cho OBC QB ' C ' B 'B QC C ' O B 'B C ' O PB RA Thật vậy: Áp dụng định lí Menelaus cho: AP BB ' OA ' AR CC ' OA ' ABO;B 'PA ' ACO;C 'RA ' 1 PB B ' O A ' A RC C ' O A ' A AP BB ' AR CC' AP RC CC' B ' O 1 duoc CM PB B ' O RC C' O PB AR C' O BB ' Hay P; Q; R thẳng hàng (đpcm) 10 Định lí Pascal: Lục giác ACEBFD nội tiếp có giao điểm cặp cạnh đối thẳng hàng Để Q; P; R thẳng hàng ... CNI MI NI (đpcm) 6 .Định lí Steiner: ABC nội tiếp (O) K thuộc cung BC nhỏ M; N; P đối xứng với K qua BC, AB, CA CMR M; N; P thẳng hàng A P M O B N K C I H K Định lí Newton: Tứ giác ABCD... Áp dụng định lí Menelaus cho ABC MEF AE BF CM AE CM AH CM 1 do EB BF do AE AH;CF CG EB FC MA FC MA GC MA AH DG CM do DH DG DH GC MA Áp dụng định lí Menelaus... thẳng hàng Kẻ đường kính AD (O) BHCD hình bình hành A trung điểm HD trọng tâm G’ AHD có AG' AA Mà AG AA G G' H;G;O thẳng hàng (đpcm) Định lí bướm: Cho (O), dây AB, dây CD, EF di