SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … TRƯỜNG THPT … SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐA THỨC CHEBYSHEV Môn: Toán Tên tác giả: … Giáo viên môn Toán NĂM HỌC … Chương 1: MỞ ĐẦU I/ Lý chọn đề tài Một vấn đề đổi chương trình giáo dục phổ thông đổi phương pháp dạy học, có đổi phương pháp dạy học Toán Việc đổi phương pháp dạy học Toán nhằm phát huy tính tích cực học sinh qua khai thác vận dụng khả vốn có, tự có, phát huy trí lực học sinh Trong trình giảng dạy trường phổ thông thân dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp, trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, song nhận thấy việc phát huy trí lực cho học sinh nhiều hạn chế Nhiều toán kì thi học sinh giỏi cụm, thi vào trường đại học, đặc biệt tập sách giáo khoa không đến khó, nhiều học sinh không làm học sinh làm quen dạng toán qua giảng thầy, qua sách Đại đa số em trọng vào việc tìm lời giải toán mà nghĩ tới lời giải xuất phát từ đâu? Tại lại ? Nguồn gốc, cội nguồn toán ? Đứng trước vấn đề vậy, làm để đáp ứng nhu cầu đổi nay, làm cho học sinh có hứng thú học tập, không bị động trước toán khó Làm giúp học sinh tìm cội nguồn toán hàm số xác định miền [-1;1] với miền giá trị [-1;1] Tôi chọn nghiên cứu đề tài “ Đa thức Chebyshev” II/ Giả thiết khoa học Tôi thấy dạy toán hàm số xác định miền [-1;1] với miền giá trị [-1;1] với hệ thống lí thuyết đầy đủ đa thức Chebyshev, tập xếp cách hợp lí, khoa học góp phần rèn luyện khả vận dụng linh hoạt, khả sáng tạo, khả tư thao tác trí tuệ quan trọng giải toán học sinh phổ thông III/ Nhiêm vụ nghiên cứu - Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp toán hàm số xác định miền [-1;1] với miền giá trị [-1;1] Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh biết cách nhận dạng đa thức Chebyshev - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng, lôgíc, có sáng tạo đổi không rườm rà phù hợp với đội tượng học sinh giỏi trường THPT Giới thiệu dạng đa thức Chebyshev điển hình số ví dụ minh hoạ - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh Khá, Giỏi khối 10, 11 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy môn Toán IV/ Những vấn đề - Xây dưng hệ thống lí thuyết tập có tác dụng tốt việc phát triển rèn luyện trí tuệ cho học sinh - Các kết đề tài thiết thục góp phần nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông V/ Phương pháp nghiên cứu Phối hợp phương pháp nghiên cứu sau: • Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu số giáo trình phương pháp dạy học toán, tuyển tập đề thi dại học Việt Nam, tài liệu mạng, tạp trí giáo dục tài liệu có liên quan • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với đồng nghiệp để từ xây dựng hệ thống lí thuyết , tập đa thức Chebyshev nhằm rèn luyện hoạt động trí tụê cho học sinh • Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm giảng dạy chuyên đề cho đối tượng học sinh Khá, Giỏi trường trung học phổ thông để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi tính hiệu nội dung viết đề tài VI/ Cáu trúc đề tài: Đề tài bao gồm hai chương: - Chương 1: Mở đầu - Chương 2: Đa thức Chebyshev Chương 2: ĐA THỨC CHEBYSHEV I/ Các định nghĩa tính chất: Xét Tn ( x) = cosnϕ , x = cosϕ , ϕ ∈ [ 0;π ] , n ∈ ¥ Ta có T0 ( x) = cos0 = T1 ( x) = cosϕ = x T2 ( x) = cos2ϕ = 2cos 2ϕ − = x − T3 ( x) = cos3ϕ = 4cos 3ϕ − 3cosϕ = 4x − x T4 ( x) = cos4ϕ = 2cos 2ϕ − = 2(2 x − 1) − = x − x + … 1) Định nghĩa Với x ≤ , x = cosϕ Tn ( x) = cosnϕ , ϕ ∈ [ 0;π ] , n ∈ ¥ đa thức bậc n x gọi đa thức Chebyshev 2) Tính chất Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, sử dụng nhiều việc giải toán đa thức Sau số tính chất quan trọng mà việc chứng minh chúng đơn giản: Tính chất 1: Tn ( x) = cosnϕ , x = cosϕ , ϕ ∈ [ 0;π ] , n ∈ ¥ có tập xác định x ≤ , tập giá trị Tn ( x) ≤ Tính chất 2: Tn ( x) = cosnϕ , x = cosϕ , ϕ ∈ [ 0;π ] , n ∈ ¥ đa thức bậc n với hệ số x n 2n−1 Tính chất 3: Tn ( x) hàm số chẵn bậc Tn ( x) bậc chẵn hàm số lẻ bậc Tn ( x) bậc lẻ Tính chất 4: Tn ( x) = cosnϕ = có n nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;1] Tính chất 5: Tn ( x) = có n+1 nghiệm phân biệt đoạn [-1;1] kπ , k ∈ [ 0; n ] , k ∈ ¢ Các nghiệm có dạng x = cosϕk với ϕk = n Thậtvậy: kπ cosnϕ = ⇔ cos 2nϕ = ⇔ sin nϕ = ⇔ nϕ = kπ , k ∈ ¢ ⇔ ϕ = , k ∈¢ n Vì ≤ ϕ ≤ π nên ≤ kπ ≤ π ⇔ ≤ k ≤ n (Đpcm) n Chẳng hạn : T1 ( x) =1 có hai nghiệm phân biệt x = cosϕk với ϕk = kπ , k ∈ [ 0;1] , k ∈ ¢ hay x = ±1 kπ T2 ( x) =1 có ba nghiệm phân biệt x = cosϕk với ϕk = , k ∈ [ 0;2] , k ∈ ¢ tức có ba nghiệm x=0 x = ±1 kπ T3 ( x) =1 có bốn nghiệm phân biệt x = cosϕk với ϕk = , k ∈ [ 0;3] , k ∈ ¢ tức có bốn nghiệm x = ± ; x = ±1 Tính chất 6: Tn ( x) = cosnϕ Tn+1 ( x) = xTn ( x) − Tn−1 ( x) thỏa mãn hệ thức truy hồi: Thật vậy: Với Tn ( x) = cosnϕ Tn−1 ( x) = cos ( n-1) ϕ   ⇒ Tn−1 ( x) + Tn+1 ( x) = 2cosnϕ.cosϕ Tn+1 ( x) = cos ( n+1) ϕ  Hay Tn−1 ( x) + Tn+1 ( x) = x.cosnϕ = x.Tn ( x) ⇒ (đpcm) Chẳng hạn: Ta cần tính T5 ( x) Ta có: T5 ( x) = x.T4 ( x) − T3 ( x) = x(8 x − x + 1) − x − x = 16 x5 − 16 x + x − x − x = 16 x − 20 x − x II/ Các ứng dụng Một dấu hiệu để nhận biết toán đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev hay không miền giá trị đa thức Các toán miền [-1;1] gợi cách giải phương pháp sử dụng tính chất đa thức Chebyshev Sau ta xét lớp toán đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev Bài 1: Cho hàm số y = x + ( a + 3) x + ax Tìm a để y ≤ x ≤ Giải: Vì y ≤ x ≤ nên ta có :  y ( 1) ≤  + 2a ≤     y ( −1) ≤ −1 ≤ + 2a ≤  −1 ≤ −1 ≤ + 2a ≤   a  1  a + a    y ÷ ≤1 ⇔  − + − ≤ ⇔  − ≤ − + ≤ ⇔  −4 ≤ − a + ≤ 4 4  2    −4 ≤ 3a + ≤  3a   a+3 a  − ≤ + ≤  y−  ≤1  +  + ≤1 4    ÷     −4 ≤ a ≤  ⇔  −3 ≤ a ≤ ⇔ a = −  −3 ≤ a ≤  Ngược lại, a=-3 y = x − 3x Đặt x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] y = cos3ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Bình luận: Nếu xem lời giải không hiểu rõ nguồn gốc, cội nguồn toán học sinh thấy lời giải tự nhiên việc ta xét giá trị hàm số giá trị x ±1; ± mà giá trị khác Thực chất việc xét giá trị hàm số điểm ±1; ± xét giá trị hàm số nghiệm đa thức Chebyshev bậc ba Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx Tìm m để y ≤ x ≤ Giải: Vì y ≤ x ≤ nên ta có :  y ( 1) ≤     y ( −1) ≤  + m ≤1  −1 ≤ + m ≤  −5 ≤ m ≤ −3   1  ⇔ m = −3  y  ÷ ≤ ⇔  −4 − m ≤ ⇔  − ≤ m + ≤ ⇔  − ≤ m ≤   2   3a m   + ≤1 −1 ≤ + ≤1  4  y  −  ≤  2   ÷  x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] Ngược lại, m=-3 y = x3 − 3x Đặt y = cos3ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Bài 3: Tìm a, b, c để x3 + ax + bx + c ≤ 1, với x thỏa mãn x ≤ Giải: Cách 1: Điều kiện cần: Vì y ≤ x ≤ nên ta có :  y ( 1) ≤  −5 ≤ a + b + c ≤ −3 ( 1)  y ( −1) ≤   ( 2) 3 ≤ a − b + c ≤  1 ⇔ I ( )  y ÷ ≤1   2  −6 ≤ a + 2b + 4c ≤ ( 3)   −2 ≤ a − 2b + 4c ≤ ( )    y − ≤1  ÷    a − b + c ≥ ⇒ −2b ≥ ⇔ b ≤ −3 Từ (1) (2) ta có:  a + b + c ≤ −3 ( 5) a + 2b + 4c ≥ −6 ⇒ 4b ≥ −12 ⇔ b ≥ −3 ( ) Từ (3) (4) ta có:  a − 2b + 4c ≤ Từ (5) (6) ta b=-3 Thế b=-3 vào hệ (I) ta có: −2 ≤ a + c ≤ 0 ≤ a + c ≤ a + c =  ⇒ ⇔ a = c =  − ≤ a + c ≤ a + c =   0 ≤ a + 4c ≤ Điều kiện đủ: Khi a=c=0, b=-3 y = x3 − 3x Đặt x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] y = cos3ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Cách 2: Giả sử tồn số a, b, c thỏa mãn điều kiện toán Đặt f ( x) = x + ax + bx + c, M = Max f(x) x∈[ −1;1] Ta có f (1) = + a + b + c , f ( −1) = −4 + a − b + c , 1 a b f  ÷= + + +c , 2 a b  1 f − ÷ = − + − + c  2 1  1 6M ≥ f (1) + f (−1) + f  ÷ + f  − ÷ ≥ f (1) − f (−1) − f 2  2 ≥ + a + b + c + −a + b − c − − 1  ÷+ f 2  1 − ÷  2 a a − b − 2c + − − b + 2c 2 ≥ − = Vậy M ≥ 1  1 Dấu “=” xảy f (1) = f (−1) = f  ÷ = f  − ÷ = M = , đồng 2  2 1  1 thời f (1), − f ( −1), − f  ÷, f  − ÷ đôi có tích không âm Điều tương 2  2 đương với  4 + a + b + c =   4 − a + b − c =  a b  − − − − c =   1  1  a b f (1) = − f ( − 1) = − f = f − =  ÷  ÷   − + − + c = 2 2    ⇔  1  1   + a + b + c = −1 f (1) = − f ( − 1) = − f = f − = −  ÷  ÷   4 − a + b − c = −1 2  2     a b   − − − − c = −1    − + a − b + c = −1   2b + = a + c =  b = −3 ⇒ a − 2b + 4c − = ⇒  a = c =  a + 4c + − =  a + 4c = Mặt khác, từ giả thiết M ≤ , phải có M=1 xảy dấu bất đẳng thức tức a=c=0, b=-3 Ngược lại, a=c=0, b=-3 y = x3 − 3x Đặt x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] y = cos3ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Bài 4: Tìm a, b để x + ax + b ≤ 1, ∀x ∈ [ −1;1] Giải: Cách 1: Điều kiện cần: Vì y ≤ x ≤ nên ta có :  y ( 1) ≤ 1, y ( −1) ≤   y ( 0) ≤    2  y ÷ ≤1     2   y −  ÷       b ≤1  ⇔ 8 + a + b ≤1 ⇔   + a + b ≤  −1 ≤ b ≤   −1 ≤ a + b + ≤ −2 ≤ a + 2b + ≤  −1 ≤ b ≤  ⇔ ( I )  −9 ≤ a + b ≤ − −6 ≤ a + 2b ≤ −2   a + b ≤ −7 ⇒ b ≥ Lại b ≤ nên b=1 Từ  a + b ≥ −  −9 ≤ a + ≤ −7 −10 ≤ a ≤ −8 ⇔ ⇒ a = −8 Thế b=1 vào hệ (I) ta có  −6 ≤ a + ≤ −2 −8 ≤ a ≤ −4 Điều kiện đủ: Khi a=-8, b=1 y = x − 8x + Đặt x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] y = cos4ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Cách 2: Giả sử tồn số a, b thỏa mãn điều kiện toán ax f(x) theo giả thiết M ≤ Đặt f ( x) = x + ax + b, M = xM ∈[ −1;1] Ta có f (0) = b ,  2 a f (1) = + a + b , f  ÷ = + + b      M ≥ f (0) ax f(x) nên  M ≥ f (1) Do M = xM Từ ∈[ −1;1]  M ≥ f ( )    2  2 ≥ 4M ≥ f (0) + f (1) + −2 f  ÷ ≥ f (0) + f (1) − f  ÷ = Vậy M = 2      2 Dấu “=” xảy f (0) = f (1) = f  ÷ = , đồng thời    2 f (0), f (1), − f  ÷ đôi dấu Điều tương đương với     2  f (0) = f (1) = − f  ÷ = −1 a = −8    ⇔     b =  f (0) = f (1) = − f =1  ÷     Ngược lại: Khi a=-8, b=1 y = x − 8x + Đặt x = cosϕ với ϕ ∈ [ 0;π ] y = cos4ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤ x ≤ Bình luận: Các giá trị x mà ta xét nghiệm đa thức Chebyshev bậc bốn, nghiệm 0; ±1; ± Bài 5: Chứng minh với x ∈ [ −1;1] ta có ax + bx+c ≤ h a + b + c ≤ 4h Giải: Đặt f ( x ) = ax + bx+c , theo giả thiết f ( x) ≤ h ta có f (1) = a + b + c, f (1) ≤ h , f ( −1) = a − b + c, f (−1) ≤ h , f (0) = c, f (0) ≤ h Từ ta có f (1) + f (−1) f (1) + f (−1) a= − f (0), b = , c = f (0) 2 Vậy: a+b+c= f (1) + f (−1) f (1) + f (−1) − f (0) + + f (0) 2 f (1) f ( −1) f (1) f ( −1) + + f (0) + + + f (0) 2 2 h h h h ≤ + + h + + + h = 4h 2 2 Như ta có điều phải chứng minh a + b + c ≤ 4h ≤ Bài6: Cho f ( x ) = ax + bx+c thỏa f (−1) ≤ 1, f (0) ≤ 1, f (1) ≤ Chứng minh f ( x) ≤ x ≤ mãn điều A+ B A− B − c, b = 2 f (0) = c ≤ kiện Giải: Đặt A = a + b + c, B = a − b + c , a = Theo giả thiết: f (1) = A ≤ 1, f ( −1) = B ≤ 1, Ta có  A+ B   A− B  f ( x) = ax + bx + c =  − c ÷x +  ÷x + c 2     A B = ( x2 + x ) + ( x2 − x ) + c ( − x2 ) 2 1 f ( x) ≤ x + x + x − x + 1-x Vậy 2 a) Với ≤ x ≤ , ta có 1 1 f ( x) ≤ x + x + x − x + 1-x = ( x + x ) + ( x − x ) + ( 1-x ) 2 2 =1+x − x − ≤ x ≤ b) Với , ta có 1 1 f ( x) ≤ x + x + x − x + − x = − ( x + x ) + ( x − x ) + ( − x ) 2 2 =1 − x − x x ≤1 Các kết chứng tỏ với  1 f ( x) ≤ + x − x = -  x − ÷ ≤  2 Bài 7: Cho đa thức hệ số thực f ( x) = ax + bx + cx + d > Biết với x ∈ [ −1;1] ta có f ( x) ≤ α Tìm giá trị lớn a , b , c , d Giải: Đặt  A = f ( −1) = − a + b − c + d   B = f  − ÷ = − a + b − c + d   2   1 a b c , C = f  ÷ = + + + d     D = f (1) = a + b + c + d   E = f (0) = d  4  a = − A + B − C + D  b = A + D − E 2   8 c = A − B + C − D 6 6  d = E Theo giả thiết: f (−1) = A ≤ α , f (1) = D ≤ α ,  1 f  − ÷ = B ≤ α,  2 f (0) = d ≤ α 1 f  ÷ = C ≤ α, 2 Ta có 4 2 4 a = − A+ B− C + D ≤ A + B + C + D 3 3 3 3 4 ≤ α + α + α + α = 4α 3 3 Hay a ≤ 4α Tương tự b ≤ 2α , c ≤ 3α , d ≤ α  Max a = 4α   Max b = 2α Vậy  M ax c = α   Max d = α  Bài 8: Cho f ( x) = x + ax+b Chứng minh với a, b ba số f (0) , f (1) , f ( −1) có số lớn Lời giải tương tự KẾT LUẬN Qua hệ thống lí thuyết tập đa thức Chebyshev cho ta thấy không nên áp đặt học trò tìm lời giải toán Đơn giản áp đặt có nghĩa áp đặt tư người thầy cho học sinh, dẫn đến học sinh khó vượt qua người thầy mặt tư hạn chế phát triển trí tụê học trò.Chúng ta nên kích thích sáng tạo, tìm tòi học sinh thông qua chuyên đề mà qua học trò tìm nguồn gốc toán sở sáng tạo toán khác Trên kinh nghiệm nhỏ mà ghi nhận trình giảng dạy, mong nhận đóng góp bạn đồng nghiệp để dạy cho học sinh chuyên đề có hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn …, ngày … tháng … năm … XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác … Kết luận Trong trình giảng dạy cho đối tượng học sinh giỏi đưa chuyên đề nêu vào giảng Tôi nhân thấy phần đa em hiểu thấy thích thú với vấn đề mẻ đó, em biết linh hoạt sử dụng phương pháp nêu để giải tương tự, đồng thời sáng tạo toán Trên kinh nghiệm nhỏ trình giảng dạy mà ghi nhận được, mong nhận đóng góp bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn [...]... trong ba số f (0) , f (1) , f ( −1) có ít nhất một 1 số lớn hơn hoặc bằng 2 Lời giải tương tự như bài 6 KẾT LUẬN Qua hệ thống lí thuyết và bài tập về đa thức Chebyshev ở trên cho ta thấy rằng không nên áp đặt học trò khi tìm lời giải của một bài toán Đơn giản bởi vì nếu áp đặt như vậy có nghĩa là áp đặt tư duy của người thầy cho học sinh, dẫn đến học sinh khó có thể vượt được qua người thầy về mặt... nguồn gốc của các bài toán và trên cơ sở đó sáng tạo ra những bài toán khác Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi mà tôi đã ghi nhận được trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để tôi có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn Tôi xin chân thành cảm ơn …, ngày … tháng … năm … XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,... + x + x 2 − x + 1 − x 2 = − ( x 2 + x ) + ( x 2 − x ) + ( 1 − x 2 ) 2 2 2 2 2 =1 − x − x x ≤1 Các kết quả trên chứng tỏ rằng với thì 2 5  1 5 f ( x) ≤ 1 + x − x = -  x − ÷ ≤ 4  2 4 2 Bài 7: Cho đa thức hệ số thực f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d > 0 Biết rằng với mọi x ∈ [ −1;1] ta có f ( x) ≤ α Tìm giá trị lớn nhất của a , b , c , d Giải: Đặt  A = f ( −1) = − a + b − c + d   B = f  − 1 ÷... dạy cho đối tượng là học sinh khá giỏi tôi đã đưa chuyên đề nêu trên vào bài giảng của mình Tôi nhân thấy phần đa các em đều hiểu và thấy thích thú với những vấn đề mới mẻ đó, các em đã biết linh hoạt sử dụng phương pháp nêu trên để giải các bài tương tự, đồng thời còn sáng tạo ra các bài toán mới Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình giảng dạy mà tôi đã ghi nhận được, tôi rất mong nhận ... biết toán đa thức có sử dụng tính chất đa thức Chebyshev hay không miền giá trị đa thức Các toán miền [-1;1] gợi cách giải phương pháp sử dụng tính chất đa thức Chebyshev Sau ta xét lớp toán đa thức. .. x) = cosnϕ , ϕ ∈ [ 0;π ] , n ∈ ¥ đa thức bậc n x gọi đa thức Chebyshev 2) Tính chất Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, sử dụng nhiều việc giải toán đa thức Sau số tính chất quan trọng... trước toán khó Làm giúp học sinh tìm cội nguồn toán hàm số xác định miền [-1;1] với miền giá trị [-1;1] Tôi chọn nghiên cứu đề tài “ Đa thức Chebyshev II/ Giả thiết khoa học Tôi thấy dạy toán