TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN  RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG WEBSITE WOLFRAM ALPHA TRONG VIỆC TÌM HIỂU VỀ MA TRẬN Sinh viên lớp 3B thực hiện: Nguyễn Thị Hải Khánh Huế, 2013 LỜI NÓI ĐẦU Wolfram Alpha website có công cụ tiện lợi, đắc lực hiệu việc dạy học toán Wolfram Alpha không hữu ích cho bạn học toán rèn luyện khả tiếng Anh mà giúp giáo viên, giảng viên tìm nguồn học liệu phong phú phục vụ cho việc giảng dạy Chúng có đầy đủ tài nguyên cho người bắt đầu đến người thông thạo nhất, dù trình độ bạn mức nào, bạn tìm học phù hợp cho Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học vi phân Lý thuyết biểu diễn nhóm, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật,… Vì thế, trở thành môn học sở cho việc đào tạo giáo viên trung học, giáo viên bậc Đại học Đại học thuộc chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường Đại học Ma trận phần vô quan trọng Đại số tuyến tính Việc đưa Wolfram Alpha vào việc dạy học toán ma trận, hữu ích tiện lợi Bởi vì, Wolfram Alpha chọn lọc thông tin, hình ảnh chi tiết ma trận để có câu trả lời nhanh xác thông tin liên quan ma trận Đưa website vào việc dạy học ma trận không giúp cho bạn sinh viên có nhìn khái quát hiểu rõ ma trận, mà giúp sâu vào việc nghiên cứu ma trận sinh viên, giáo viên bậc Đại học Đại học Tôi nghiên cứu đề tài “Sử dụng website Wolfram Alpha việc tìm hiểu ma trận” hi vọng giúp ích cho bạn sinh viên trình học tập nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên MỤC LỤC I GIỚI THIỆU VỀ WOLFRAM ALPHA II ỨNG DỤNG CỦA WOLFRAM ALPHA TRONG TOÁN HỌC III TÌM HIỂU VỀ MA TRẬN THÔNG QUA WEBSITE WOLFRAM ALPHA KHAI NIỆM MA TRẬN GIỚI THIỆU VỀ MỘT SỐ LOẠI MA TRẬN a Ma trận đơn vị b Ma trận vuông c Ma trận tam giác 10 d Ma trận đối xứng 11 e Ma trận trực giao 12 f Ma trận Hilbert 13 g Ma trận Hankel 14 CAC PHEP TOAN MA TRẬN 15 a Cộng hai ma trận 15 b Nhân vô hướng với ma trận 16 c Nhân hai ma trận 17 CHUYỂN VỊ CỦA MA TRẬN 18 MA TRẬN KHẢ NGHỊCH 19 MA TRẬN LIEN HỢP 21 VẾT CỦA MA TRẬN 22 ĐỊNH THỨC 24 HẠNG CỦA MA TRẬN 26 10 XAC DỊNH HỆ DỘC LẬP TUYẾN TINH QUA MA TRẬN 27 11 DUNG MA TRẬN DỂ TIM CƠ SỞ VA CHIỀU CỦA KHONG GIAN VECTƠ 28 a Chiều không gian vectơ 28 b Cơ sở không gian vectơ 28 12 GIA TRỊ RIENG, VECTƠ RIENG VA DA THỨC DẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN 30 a Giá trị riêng 30 b Vectơ riêng 31 c Đa thức đặc trưng 32 13 CHEO HOA 33 14 MA TRẬN XAC DỊNH DƯƠNG 34 KẾT LUẬN 35 TAI LIỆU THAM KHẢO 36 I Giới thiệu Wolfram Alpha Wolfram Alpha máy trả lời Wolfram Research phát triển Đây dịch vụ trực tuyến có nhiệm vụ trả lời câu hỏi nhập vào trực tiếp cách tính toán câu trả lời từ liệu có cấu trúc, không cung cấp danh sách tài liệu trang web chứa câu trả lời cách máy tìm kiếm thường làm Website Stephen Wolfram công bố vào tháng năm 2009, phát hành cho công chúng ngày 15 tháng năm 2009 Wolfram Alpha viết triệu dòng mã Mathematica Stephen Wolfram Wolfram Alpha máy tìm kiếm thông minh, mang lại đáp án cụ thể, xác cho câu hỏi người dùng, đặc biệt lĩnh vực khoa học tự nhiên “Động điện toán tri thức” thuật ngữ xác mà Stephen Wolfram dùng để gọi công cụ tìm kiếm trực tuyến Wolfram Research công ty tiếng với sản phẩm Mathematica - ứng dụng điện toán sử dụng phổ biến cộng đồng nhà toán học, khoa học chuyên gia kỹ thuật khác Tận dụng lợi Wolfram Research tập trung nghiên cứu, phát triển thành công cụ tìm kiếm Wolfram Alpha Mục tiêu công cụ tìm kiếm không đơn giản dừng lại việc tìm kiếm mà cung cấp đường liên kết đến trang web cho người dùng Công cụ tìm kiếm tiến hành phân tích từ khóa tìm kiếm mà người dùng nhập vào, tìm kiếm tổng hợp thông tin cuối trình bày trước mắt người dùng câu trả lời đường liên kết Nói cách khác Wolfram Alpha làm thay cho người dùng nhiệm vụ phải truy cập đến đường liên kết có thông tin cần thiết Trong trình diễn Trung tâm Internet Xã hội Berkman thuộc Đại học Harvard, Tiến sĩ Wolfram cho biết: “Mục tiêu làm cho kiến thức chuyên môn truy cập ai, nơi đâu, lúc nào” Công cụ web tự động hóa việc trả lời câu hỏi ngẫu nhiên nhờ lấy liệu từ sở liệu công cộng liệu có quyền, nguồn cấp liệu trực tiếp Người dùng vào website để tìm kiếm thông tin đơn giản - ví dụ chiều cao núi Everest - thông tin phức tạp đòi hỏi phải trộn lẫn nhiều liệu với nhau, chẳng hạn GDP cập nhật quốc gia Các chức khác trang web giúp giải toán phức tạp, số liệu khoa học vẽ biểu đồ kiện tự nhiên Tiến sĩ Wolfram cho biết “Cũng giống tương tác với chuyên gia, trang web hiểu bạn nói, thực tính toán, sau trình bày với bạn kết quả” Nhưng điều dẫn đến kết phần lớn liệu mang tính khoa học, có thông tin văn hóa thông tin nhạc pop diễn viên điện ảnh Về tiến trình triển khai dự án này, Tiến sĩ Wolfram tiết lộ “hàng nghìn tỉ mẫu liệu” lựa chọn quản lí nhóm chuyên gia Trung tâm nghiên cứu Wolfram Những chuyên gia tiến hành chuẩn hóa thông tin để đảm bảo hệ thống đọc hiển thị Không câu trả lời mà Wolfram Alpha đưa tổ chức theo cấu trúc rõ ràng với hình ảnh biểu đồ, đồ họa… rõ ràng dễ hiểu Người dùng tải câu trả lời dạng tệp tin PDF để phục vụ cho mục đích riêng Có thể thấy tính tuyệt vời thay lần mò đến đường liên kết trang kết tìm kiếm Google với Wolfram Alpha người dùng thấy thông tin cần thiết dễ đọc theo dõi đối chiếu Wolfram Alpha cung cấp dạng trang web địa www.wolframalpha.com Ngoài ra, bạn tải sử dụng Wolfram Alpha add-ons trình duyệt hay gadget hình Desktop Slogan Wolfram Alpha bạn nhập thứ muốn “biết tính toán” vào ô tìm kiếm Wolfram Alpha có sở liệu đồ sộ, qua hai năm phát triển, mang mác Alpha Khác với máy tìm kiếm xuất (Google, Bing, Yahoo!,…), Wolfram Alpha cho kết tìm kiếm cụ thể hình đường dẫn đến trang web hãng thứ ba Đặc biệt “trí thông minh nhân tạo” Wolfram Alpha giúp giải toán cao cấp, giải pháp hữu hiệu cho giáo viên, học sinh, sinh viên học tập II Ứng dụng Wolfram Alpha toán học Tính đến thời điểm Wolfram Alpha có tay 10 nghìn tỉ liệu khác nhau, 50.000 thuật toán mô hình tổ chức thông tin, khả ngôn ngữ xử lý thông tin 1.000 lĩnh vực khác Ngoài công cụ tìm kiếm tích hợp ứng dụng điện toán tiếng Mathematica mà Wolfram Research phát triển 20 năm qua Nhờ vận hành tảng sở siêu máy tính bó (cluster) nên Wolfram Alpha tận dụng hết lực công nghệ hệ web điện toán song song webMathematica hay gridMathematica Wolfram Alpha có hầu hết chức tính toán môn toán từ sơ cấp đến cao cấp Wolfram Alpha coi công cụ chuyên thực nhiều phép toán phức tạp mà Google đôi lúc phải bó tay Tìm đáp án cho toán đạo hàm, tích phân, giải phương trình hay vẽ đồ thị,…thì Wolfram Alpha công cụ thiếu Wolfram Alpha nhận biết phép toán bạn nhập vào, thông qua ký tự, từ ngữ quy ước trước Theo đó, gõ phép toán đơn giản ứng dụng Microsoft Office Excel thường dùng: +, -, *, /, sqrt(x) - tính x, sqr(x) - tính bình phương x,… công thức lượng giác, chẳng hạn , Với phép toán đơn giản, bạn nhận kết khung nhập liệu, bên cạnh kèm theo số thông tin liên quan Điểm đặc biệt công cụ thông minh suy luận logic tìm quy luật dãy số Tất người dùng cần làm truy cập vào địa www.wolframalpha.com để sử dụng công cụ tính toán mà Các chức chính: - Equation Solving (Giải phương trình, hệ phương trình) - Polynomials (Tính toán tính chất đa thức nhiều biến, phân tích đa thức thành nhân tử) - Rational Functions (Tính toán tính chất hàm hữu tỉ) - Vectors (Thực phép toán vector tính độ dài, chuẩn hóa vector, tích có hướng, chuyển đổi hệ tọa độ) - Matrices & Linear Algebra (thực phép toán ma trận, tính vết, hạng, ma trận nghịch đảo, vector riêng, giá trị riêng, định thức, phép biến đổi tuyến tính ) - Finite Groups (tìm số nhóm hữu hạn với bậc cho trước, thông tin số nhóm hữu hạn đặc biệt) - Finite Fields (tính toán số tính chất trường hữu hạn) Bảng tóm tắt phép toán sử dụng Wolfram Alpha III Tìm hiểu ma trận thông qua website Wolfram Alpha Khái niệm ma trận Đầu tiên, ta tìm hiểu ma trận Như học môn “ Đại số tuyến tính ”, ma trận định nghĩa sau : “ Ma trận cấp hệ thống gồm m.n phần tử xếp m dòng, n cột : [ kí hiệu ] ” Vào địa website www.wolframalpha.com , nhập “ what is matrix? ” ta có khái niệm ma trận cách rõ ràng đầy đủ Là đường ngắn gọn hữu ích việc biểu diễn làm việc với phép biến đổi tuyến tính Đặc biệt, phép biến đổi tuyến tính, tồn xác ma trận tương ứng, tất ma trận tương ứng với phép biến đổi tuyến tính Ma trận khái niệm vô quan trọng đại số tuyến tính Giới thiệu số loại ma trận a Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị ma trận đường chéo không tầm thường đơn giản nhất, định nghĩa sau: 𝐼 𝑋 ≡ 𝑋, với vectơ 𝑋 Ma trận đơn vị kí hiệu 1, 𝑋 𝐸 (sau chữ viết tắt thuật ngữ Đức “ Einheitsmatrix”, p.7) Ma trận đơn vị biết ma trận unit Ma trận cấp 𝑛 𝛿𝑖𝑗 , với 𝑖, 𝑗 𝑛 đưa cách rõ ràng 𝐼𝑖𝑗 1, , cách rõ ràng, 𝐼 , 𝑛, 𝛿𝑖𝑗 Kronecker delta Viết [0 ⋯ ⋯ 0] 0 ⋯ Vết ma trận Ví dụ: Tìm vết ma trận sau: [−9 −8 −6 −6 0] B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ trace {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}} ”, hay ta nhập ngắn “ tr {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}}”, có kết hình dưới: Ta tìm vết ma trận tổng quát, lấy ví dụ ma trận cấp sau : 22 Wolfram Alpha vẽ cho thấy cách rõ ràng chi tiết ma trận tổng quát không gian 23 Định thức Ví dụ 1: Tìm định thức ma trận sau: B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “determinant of {{3,4},{2,1}}”, ta có kết hình dưới: Ta nhập vào web Wolfram Alpha cách sau “det {{3,4},{2,1}}” Ví dụ sau cho ta thấy rõ Ví dụ 2: Tìm định thức ma trận sau: [−6 −1 24 −9 −8 7] Ta tìm định thức ma trận tổng quát Lấy ví dụ ma trận cấp sau [ ] Ta có kết hình 25 Hạng ma trận Ví dụ 1: Tìm hạng ma trận sau: [1 −5 1] B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ rank {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta có kết hình dưới: Ví dụ 2: Tìm hạng ma trận sau: [1 1 1 26 1 0 0] 0 10 Xác định hệ độc lập tuyến tính qua ma trận Ví dụ: Cho không gian vectơ 〈⃗ , −1 , ⃗⃗ 4, 〉 Hãy xác định xem hệ có độc lập tuyến tính hay không? B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “Are (2,-1) and (4,2) linearly independent? ”, hay ta nhập “linearly independent of {(2,-1),(4,2)}” “linearly independent {(2,-1),(4,2)}”, cho kết hình dưới: Ta tìm hệ có tham số không gian vectơ có độc lập tuyến tính hay không Lấy ví dụ không gian vectơ sau Ví dụ: Cho không gian vectơ 〈⃗ Tìm h để hệ độc lập tuyến tính 27 1,3, −1 , ⃗⃗ −1, −5,5 , ⃗ 4,7, 〉 11 Dùng ma trận để tìm sở chiều không gian vectơ Ví dụ : Tìm sở chiều không gian vectơ sau: 〈⃗⃗⃗⃗⃗ 3,0,4 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 1, −5,1 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 3, ,1 〉 a Chiều không gian vectơ B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ dim {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta có kết hình dưới: b Cơ sở không gian vectơ B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ basis {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta có kết hình dưới: Ngoài ra, Wolfram Alpha vẽ không gian vectơ đó, giúp cho có nhìn trực quan sinh động 28 Như hình dưới, ta thấy vectơ tọa độ không gian vectơ cho ví dụ Với: - Đường kẻ màu xanh biểu thị vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ 3,0,4 - Đường kẻ màu hồng biểu thị vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ 1, −5,1 - Đường kẻ màu hồng biểu thị vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ 3, ,1 29 12 Giá trị riêng, vectơ riêng đa thức đặc trưng ma trận Ví dụ: Cho ma trận sau: −1 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng đa thức đặc trưng a Giá trị riêng B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ eigenvalues {{4,1},{2,-1}} ”, ta có kết hình dưới: 30 b Vectơ riêng B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ eigenvectors {{4,1},{2,-1}} ”, ta có kết hình dưới: Ngoài ra, ta thấy đồ thị biểu diễn vectơ riêng ma trận Ở hình dưới, đường màu xanh biểu thị vectơ hồng biểu thị vectơ ( − √33 ,1) 31 ( √33 ,1) đường màu c Đa thức đặc trưng B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ characteristic polynomial {{4,1},{2,-1}} ”, ta có kết hình dưới: Đồ thị biểu diễn đa thức đặc trưng 32 13 Chéo hóa Ví dụ: Cho ma trận sau: Tìm ma trận chéo B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ diagonalize {{1,2},{3,4}} ”, ta có kết hình dưới: 33 14 Ma trận xác định dương Wolfram Alpha cho thấy ma trận có xác định dương hay không Ta làm rõ điều qua ví dụ sau Ví dụ: Xác định ma trận sau có phải ma trận xác định dương hay không? −3 −3 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ Is {{3,-3},{-3,5}} positive definite? ”, ta có kết hình dưới: Ma trận ma trận xác định dương 34 Kết luận Wolfram Alpha cỗ máy trả lời câu hỏi tốt nhu cầu thông thường bạn Nó cung cấp cách thức tìm kiếm web mà người dùng không cần thiết phải nhấp liên tục vào liên kết để tìm thông tin cần thiết, Wolfram Alpha tự thực việc cho bạn Nếu Wolfram Alpha sử dụng đan xen việc dạy học toán ma trận tạo thích thú cho sinh viên, giúp dạy học giáo viên hiệu hơn, đồng thời giúp sinh viên hiểu cách sâu sắc hơn, dễ tiếp thu Sinh viên đối chiếu, so sánh, quan sát, nhận xét để từ khái quát vấn đề ma trận từ đơn giản đến phức tạp cách rõ ràng nhất, đặc biệt sinh viên nghiên cứu ma trận muốn sâu vào việc tìm hiểu ma trận Wolfram Alpha cho câu trả lời nhanh xác toán ma trận phức tạp, mà tính toán thông thường làm thời gian gây khó khăn việc giải toán ma trận Tuy nhiên Wolfram Alpha mức thử nghiệm kết trả không xác dẫn đến khó khăn cho người sử dụng, điều không làm giảm thích thú người dùng cỗ máy Wolfram Alpha xứng đáng công cụ để người tìm hiểu sử dụng 35 Tài liệu tham khảo [1] Internet: http://www.wolframalpha.com/about.html [2] Internet: http://en.wikipedia.org/wiki/Wolfram Alpha [3] Internet: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)#Diagonal_and_triangular_matrices [4] Đại số tuyến tính, Nguyễn Hữu Việt Hưng (Chủ biên), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2000 [5] Linear algebra, Cao Huy Linh (Chủ biên), NXB Đại học Huế 36 [...]... cũng có thể tìm được ma trận khả nghịch một cách tổng quát Lấy ví dụ ma trận vuông cấp 2 sau đây: Hay ví dụ ma trận vuông cấp 3 sau: [ ] 20 6 Ma trận liên hợp Ví dụ 1: Tìm ma trận liên hợp của ma trận sau: 8 [6 −6 7 9 9 7 ] − B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ adjugate {{8,7,7},{6,9,2},{-6,9,-2}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ví dụ 2: Tìm ma trận liên hợp của ma trận sau: 3...b Ma trận vuông Là một ma trận mà kích thước ngang và dọc đều giống nhau (ví dụ, một 𝑛 𝑛 ma trận) Trong các phiên bản của Mathematica prior đến 6, một ma trận có thể được đánh giá là vuông nếu sử dụng SquareMatrixQ[m] sau khi tải các gói LinearAlgebra “MatrixManipulation” Xem xét các con số của 𝑛 𝑛 ma trận trên 𝑛 biểu tượng riêng biệt Số lượng ma trận phân biệt modulo quay... phép toán ma trận a Cộng hai ma trận Ví dụ 1: Cộng hai ma trận sau: 1 −1 0 1 và 3 1 0 −5 4 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ {{1,-1,0},{2,2,1}}+{{3,0,4},{1,-5,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ví dụ 2: Cộng hai ma trận sau: 1 [1 1 1 1 0 1 0] 0 và 15 1 [0 0 0 1 0 0 0] 1 b Nhân vô hướng với ma trận Ví dụ 1: Cho ma trận 1 −1 0 và 1 − Tính B1: Vào trang web www.wolframalpha.com... c Ma trận tam giác Một hình tam giác trên ma trận 𝑈 được xác định bởi: 𝑈𝑖𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑣ớ𝑖 𝑖 ≤ 𝑗 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 > 𝑗 Viết một cách rõ ràng, 𝑈 𝑎 0 0 10 𝑎 𝑎 0 ⋯ 𝑎 ⋯ 𝑎 𝑛 𝑛 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 d Ma trận đối xứng Một ma trận đối xứng là một ma trận vuông thỏa mãn 𝐴𝑇 𝑎𝑖𝑗 𝐴, trong đó 𝐴𝑇 biểu thị hoán vị, vì vậy 𝑎𝑗𝑖 Điều này cũng có nghĩa 𝐴− 𝐴𝑇 đó 𝐼 là ma trận đơn vị Ví dụ, 𝐴 trận đối xứng 11 4 1 1 − 𝐼, trong là một ma e Ma trận trực... 24 3 −9 −8 5 7] 1 Ta cũng có thể tìm được định thức của một ma trận tổng quát Lấy ví dụ ma trận cấp 3 sau [ ] Ta sẽ có kết quả như hình dưới đây 25 9 Hạng của ma trận Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận sau: 3 [1 3 0 −5 4 1] 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ rank {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau: 1 [1 1 1 1 1 1 0 26 1 1... trận Ví dụ 1: Chuyển vị ma trận sau: 1 −1 0 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ transpose {{1,-1,0},{2,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ví dụ 2: Chuyển vị ma trận sau: 3 [1 3 0 −5 18 4 1] 1 5 Ma trận khả nghịch Ví dụ: Tìm ma trận khả nghịch của ma trận sau: 3 [1 3 0 −5 4 1] 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ inverse {{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ” ( ta cũng... trực giao Một 𝑛 𝑛 ma trận 𝐴 là một ma trận trực giao nếu 𝐴 𝐴𝑇 𝐼, trong đó 𝐴𝑇 là chuyển vị của 𝐴 và 𝐼 là ma trận đơn vị Đặc biệt, một ma trận trực giao luôn luôn là khả nghịch, và 𝐴− 𝐴𝑇 Ở dạng thành phần, 𝑎− 𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 Mối quan hệ này làm cho ma trận trực giao tính toán dễ dàng, kể từ khi tính toán hoán vị là đơn giản hơn nhiều so với tính toán một nghịch đảo 12 f Ma trận Hilbert 13 g Ma trận Hankel 14 3... 3 1 21 0 −5 7 Vết của ma trận Ví dụ: Tìm vết của ma trận sau: 9 [−9 −8 −6 4 −6 7 0] 4 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ trace {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}} ”, hay ta cũng có thể nhập ngắn ngọn hơn là “ tr {{9,-6,7},{-9,4,0},{-8,-6,4}}”, sẽ có được kết quả như hình dưới: Ta có thể tìm được vết của một ma trận tổng quát, lấy ví dụ ma trận cấp 2 sau : 22 Wolfram Alpha còn vẽ cho chúng... rõ ràng và chi tiết nhất về ma trận tổng quát trên trong không gian 23 8 Định thức Ví dụ 1: Tìm định thức của ma trận sau: 3 4 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “determinant of {{3,4},{2,1}}”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ta cũng có thể nhập vào web Wolfram Alpha bằng cách sau “det {{3,4},{2,1}}” Ví dụ sau sẽ cho ta thấy rõ Ví dụ 2: Tìm định thức của ma trận sau: 9 [−6 −1 24 3... dụ 2: Cho ma trận 1 [1 1 1 1 0 1 0] và 0 16 −1 Tính c Nhân hai ma trận Ví dụ 1: Nhân hai ma trận sau: 1 −1 0 1 và 3 [1 3 0 −5 4 1] 1 B1: Vào trang web www.wolframalpha.com B2: Nhập “ {{1,-1,0},{2,2,1}}*{{3,0,4},{1,-5,1},{3,2,1}} ”, ta sẽ có được kết quả như hình dưới: Ví dụ 2: Nhân hai ma trận sau: 1 [1 1 1 1 0 1 0] 0 và 17 1 [0 0 0 1 0 0 0] 1 4 Chuyển vị của ma trận Ví dụ 1: Chuyển vị ma trận sau: