Đang tải... (xem toàn văn)
1. Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trang 1 hoctoancapba.com TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng (P): x y z–3 2 –5 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) (Q) có VTPT Pn n AB, (0; 8; 12) 0 Q y z( ) : 2 3 11 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 3 0P x y z( ) : . ĐS: Q x y z( ) : 2 2 0 Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A B(2;1;3), (1; 2;1) và song song với đường thẳng x t d y t z t 1 : 2 3 2 . Ta có BA (1;3;2) , d có VTCP u (1;2; 2) . Gọi n là VTPT của (P) n BA n u chọn n BA u, ( 10;4; 1) Phương trình của (P): x y z10 4 19 0 . Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1( ) và d2( )có phương trình: x y z d1 1 1 2 ( ); 2 3 1 , x y z d2 4 1 3 ( ): 6 9 3 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1 ) và d2( ) . Chứng tỏ (d1) (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x y z x y z2 2 2 2 6 4 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng x y z( ) : 4 11 0 và tiếp xúc với (S). (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1;4;1) . VTPT của (P) là: Pn n v, (2; 1;2) PT của (P) có dạng: x y z m2 2 0 . Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4 m m 21 3 . Vậy: (P): x y z2 2 3 0 hoặc (P): x y z2 2 21 0 . Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y z d1 1 ( ): 1 2 3 và x y z d2 1 4 ( ): 1 2 5 . Chứng minh rằng điểm M d d1 2, , cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. d1 qua M1(0; 1;0) và có u1 (1; 2; 3) , d2 qua M2(0;1;4) và có u2 (1;2;5) . u u1 2; ( 4; 8;4) 0 , M M1 2 (0;2;4) u u M M1 2 1 2; . 0 d d1 2, đồng phẳng. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, (P) có VTPT n (1;2; 1) và đi qua M1 nên có phương trình x y z2 2 0 . Kiểm tra thấy điểm M P(1;–1;1) ( ) .2. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 2 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z3 3 2 2 1 và mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 2 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1) . (P) d, Ox (P) có VTPT n u i, (0;1; 2) PT của (P) có dạng: y z D2 0 . (P) tiếp xúc với (S) d I P R( ,( )) D 2 2 1 4 2 1 2 D 3 2 5 D D 3 2 5 3 2 5 (P): y z2 3 2 5 0 hoặc (P): y z2 3 2 5 0 . Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y2 2 2 2 4 4 0 và mặt phẳng (P): x z 3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT Pn (1;0;1) . PT (Q) đi qua M có dạng: A x B y C z A B C2 2 2 ( 3) ( 1) ( 1) 0, 0 (Q) tiếp xúc với (S) d I Q R A B C A B C2 2 2 ( ,( )) 4 3 () Q PQ P n n A C C A( ) ( ) . 0 0 () Từ (), () B A A B B A AB2 2 2 2 5 3 2 8 7 10 0 A B A B2 7 4 Với A B2 . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 PT (Q): x y z2 2 9 0 Với A B7 4 . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 PT (Q): x y z4 7 4 9 0 Câu hỏi tương tự: a) Với S x y z x y z2 2 2 ( ): 2 4 4 5 0 , P x y z M( ): 2 6 5 0, (1;1;2) . ĐS: Q x y z( ): 2 2 6 0 hoặc Q x y z( ) :11 10 2 5 0 . Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 –2 4 2 –3 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 3 . (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox (P): ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: –2a – b = 0 b = –2a (a 0) (P): y – 2z = 0. Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 2 2 –1 0 và đường thẳng x y d x z 2 0 : 2 6 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 1 . (S) có tâm I( 1;1; 1) , bán kính R = 2. PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2 0 ( 0) . Chọn M N d(2;0; 2), (3;1;0) .3. Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trang 3 hoctoancapba.com Ta có: M P N P d I P R r2 2 ( ) ( ) ( ,( )) a b c a b d a b a b c a b d a b ,2 ( ), 3 (1) 17 7 ,2 ( ), 3 (2) + Với (1) (P): x y z 4 0 + Với (2) (P): x y z7 17 5 4 0 Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z 1 1 : 2 1 1 , x y z 2 1 : 1 1 1 và mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 –2 2 4 –3 0 . Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1. (P): y z 3 3 2 0 hoặc (P): y z 3 3 2 0 Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x y z x y z2 2 2 2 4 6 11 0 và mặt phẳng () có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p 6 . Do () () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17) (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = R r2 2 2 2 5 3 4 Do đó D D D D (loaïi)2 2 2 2.1 2( 2) 3 7 4 5 12 17 2 2 ( 1) Vậy () có phương trình x y z2 2 – –7 0 . Câu hỏi tương tự: a) y z x y zS x 2 2 2 4 6 11 02( ): , x y z( ):2 2 19 0 a , p 8 . ĐS: x y z( ) : 2 2 1 0 b4. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 4 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0 (với A B C2 2 2 0 ). Vì (P) (Q) nên: A B C1. 1. 1. 0 C A B (1) d M P( ,( )) 2 A B C A B C2 2 2 2 2 A B C A B C2 2 2 2 ( 2 ) 2( ) (2) Từ (1) và (2) ta được: AB B2 8 5 0 B A B 0 (3) 8 5 0 (4) Từ (3): B = 0 C = –A. Chọn A = 1, C = –1 (P): x z 0 Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 C = 3 (P): x y z5 8 3 0 . Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : x y z1 3 1 1 4 và điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4. Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz b2 0 (a b c2 2 2 0 ) đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4) Ta có: a b c P a b d A P d a b c2 2 2 4 0 ( ) 5 4( ;( )) a c a c 4 2 . Với a c4 . Chọn a c b4, 1 8 Phương trình (P): x y z4 8 16 0 . Với a c2 . Chọn a c b2, 1 2 Phương trình (P): x y z2 2 4 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với x y z M d 1 : ; (0;3; 2), 3 1 1 4 . ĐS: P x y z( ): 2 2 8 0 hoặc P x y z( ) : 4 8 26 0 . Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x t d y t z ( ): 1 2 1 và điểm A( 1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. (d) đi qua điểm M(0; 1;1) và có VTCT u (1;2;0) . Gọi n a b c( ; ; ) với a b c2 2 2 0 là VTPT của (P) . PT mặt phẳng (P): a x b y c z ax by cz b c( 0) ( 1) ( 1) 0 0 (1). Do (P) chứa (d) nên: u n a b a b. 0 2 0 2 (2) a b c b c d A P b c b c a b c b c 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 ,( ) 3 3 3 5 2 3 5 5 b bc c b c c b 22 2 4 4 0 2 0 2 (3) Từ (2) và (3), chọn b 1 a c2, 2 PT mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0 .5. Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trang 5 hoctoancapba.com Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M N I( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2 0 ( 0) . Ta có: M P N P d I P ( ) ( ) ( ,( )) 3 a b c a b d a b a b c a b d a b ,2 , (1) 5 7 ,2 , (2) . + Với (1) PT mặt phẳng (P): x y z 2 0 + Với (2) PT mặt phẳng (P): x y z7 5 2 0 . Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0), C( 3;4;1) , D(1;2;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 2 0 ( 0) . Ta có: A P B P d C P d D P ( ) ( ) ( ,( )) ( ,( )) a b c d a b d b c d a b c d a b c a b c2 2 2 2 2 2 2 0 3 0 3a 4 2 b a c a d a c a b a d a 2 , 4 , 7 2 , , 4 + Với b a c a d a2 , 4 , 7 (P): x y z2 4 7 0 . + Với c a b a d a2 , , 4 (P): x y z2 4 0 . Câu hỏi tương tự: a) Với A B C D(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1) . ĐS: P x y z( ) : 4 2 7 15 0 hoặc P x z( ): 2 3 5 0 . Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( ) . Vì O (P) nên P ax by cz( ) : 0 , với a b c2 2 2 0 . Do A (P) a b c2 3 0 (1) và d B P d C P b c a b c( ,( )) ( ,( )) 2 (2) Từ (1) và (2) b 0 hoặc c 0 . Với b 0 thì a c3 P x z( ) :3 0 Với c 0 thì a b2 P x y( ): 2 0 Câu hỏi tương tự: a) Với A B C(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3). ĐS: x y z6 3 4 0 hoặc x y z6 3 4 0 . Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C( 1;2; 2) và mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB IC2 . PT ( ) có dạng: ax by cz d 0 , với a b c2 2 2 0 Do A(1;1; 1) ( ) nên: a b c d 0 (1); P( ) ( ) nên a b c2 2 0 (2) IB IC2 d B d C( ,( )) 2 ( ;( )) a b c d a b c d a b c a b c2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Trang 6 a b c d a b c d 3 3 6 0 (3) 5 2 3 0 Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau : TH1 : a b c d a b c b a c a d a a b c d 0 1 3 2 2 0 ; ; 2 23 3 6 0 . Chọn a b c d2 1; 2; 3 ( ) : x y z2 2 3 0 TH2 : a b c d a b c b a c a d a a b c d 0 3 3 2 2 0 ; ; 2 25 2 3 0 . Chọn a b c d2 3; 2; 3 ( ) : x y z2 3 2 3 0 Vậy: ( ) : x y z2 2 3 0 hoặc ( ) : x
Trn S Tựng PP to khụng gian hoctoancapba.com TKG 01: VIT PHNG TRèNH MT PHNG Dng 1: Vit phng trỡnh mt phng bng cỏch xỏc nh vect phỏp tuyn Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(2;4;1), B(1;1;3) v mt phng (P): x 3y z Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mt phng (P) (Q) i qua A, B v vuụng gúc vi (P) (Q) cú VTPT n nP , AB (0; 8; 12) (Q) : y 3z 11 Cõu hi tng t: a) Vi A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x y 3z S: (Q) : x y z Cõu Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im x t A(2;1;3), B(1; 2;1) v song song vi ng thng d : y 2t z 2t Cõu Ta cú BA (1;3;2) , d cú VTCP u (1;2; 2) Gi n l VTPT ca (P) n BA chn n BA, u (10;4; 1) n u Phng trỡnh ca (P): 10 x y z 19 Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d1 ) v (d2 ) cú phng trỡnh: x y z x y z , ( d2 ) : Lp phng trỡnh mt phng (P) cha 3 (d ) v (d2 ) (d1 ); Chng t (d1) // (d2) (P): x + y 5z +10 = Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh: x y2 z2 x 6y 4z Vit phng trỡnh mt phng (P) song song vi giỏ ca vộc t v (1;6;2) , vuụng gúc vi mt phng ( ) : x y z 11 v tip xỳc vi (S) (S) cú tõm I(1; 3; 2) v bỏn kớnh R = VTPT ca ( ) l n (1; 4;1) VTPT ca (P) l: nP n, v (2; 1;2) PT ca (P) cú dng: x y z m m 21 Vỡ (P) tip xỳc vi (S) nờn d (I ,( P )) m Vy: (P): x y z hoc (P): x y 2z 21 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(1; 1; 1) v hai ng thng x y z x y z v (d2 ) : Chng minh rng im M , d1, d2 cung (d1) : nm trờn mt mt phng Vit phng trỡnh mt phng ú d1 qua M1(0; 1; 0) v cú u1 (1; 2; 3) , d2 qua M2 (0;1; 4) v cú u2 (1;2;5) Cõu u1; u2 (4; 8;4) , M1M2 (0;2;4) u1; u2 M1M2 d1 , d2 ng phng Gi (P) l mt phng cha d1 , d2 (P) cú VTPT n (1;2; 1) v i qua M1 nờn cú phng trỡnh x y z Kim tra thy im M (1; 1;1) ( P ) Trang hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng Dng 2: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n mt cu Cõu Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d: x y z v mt cu 2 (S): x y2 z2 x 2y 4z Lp phng trỡnh mt phng (P) song song vi d v trc Ox, ng thi tip xỳc vi mt cu (S) (S) cú tõm I(1; 1; 2), bỏn kớnh R = d cú VTCP u (2;2;1) (P) // d, Ox (P) cú VTPT n u , i (0;1; 2) PT ca (P) cú dng: y 2z D (P) tip xỳc vi (S) d ( I ,( P )) R (P): y 2z hoc D D D 12 22 D (P): y 2z Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S): x y2 z2 x 4y v mt phng (P): x z Vit phng trỡnh mt phng (Q) i qua im M(3;1; 1) vuụng gúc vi mt phng (P) v tip xỳc vi mt cu (S) (S) cú tõm I(1; 2; 0) v bỏn kớnh R = 3; (P) cú VTPT nP (1; 0;1) Cõu PT (Q) i qua M cú dng: A( x 3) B(y 1) C(z 1) 0, A2 B2 C (Q) tip xỳc vi (S) d (I ,(Q)) R A B C A2 B C (Q) (P) nQ nP A C C A (*) (**) T (*), (**) B A A2 B2 8B2 A2 10 AB A B A B Vi A 2B Chn B = 1, A = 2, C = PT (Q): x y z Vi A 4B Chn B = 7, A = 4, C = PT (Q): x y z Cõu hi tng t: a) Vi (S) : x y2 z2 x 4y 4z , ( P ) : x y z 0, M (1;1;2) S: (Q) : x y z hoc (Q) :11x 10 y z Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x y2 z2 x 4y 2z Vit phng trỡnh mt phng (P) cha trc Ox v ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r (S) cú tõm I(1; 2; 1), bỏn kớnh R = (P) cha Ox (P): ay + bz = Mt khỏc ng trũn thit din cú bỏn kớnh bng cho nờn (P) i qua tõm I Suy ra: 2a b = b = 2a (a 0) (P): y 2z = Cõu Cõu Trong khụng gian vi h trc Oxyz, cho mt cu (S): x y2 z2 x 2y 2z x y v ng thng d : Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d v ct mt cu x z (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh r (S) cú tõm I(1;1; 1) , bỏn kớnh R = PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) Chn M (2; 0; 2), N (3;1; 0) d Trang Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian M (P) a b,2c (a b), d 3a b (1) Ta cú: N (P) 17a 7b,2c (a b), d 3a b (2) d (I ,(P )) R2 r + Vi (1) (P): x y z + Vi (2) (P): x 17 y 5z Cõu 10 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng : x y z , 1 x y z v mt cu (S): x y2 z2 x 2y 4z Vit phng trỡnh 1 tip din ca mt cu (S), bit tip din ú song song vi hai ng thng v : (P): y z hoc (P): y z Cõu 11 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S) cú phng trỡnh x y2 z2 x 4y 6z 11 v mt phng () cú phng trỡnh 2x + 2y z + 17 = Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao tuyn l ng trũn cú chu vi bng p Do () // () nờn () cú phng trỡnh 2x + 2y z + D = (D 17) (S) cú tõm I(1; 2; 3), bỏn kớnh R = ng trũn cú chu vi nờn cú bỏn kớnh r = Khong cỏch t I ti () l h = Do ú 2.1 2(2) D R2 r 52 32 D D 12 D 17 (loaùi) 22 22 (1)2 Vy () cú phng trỡnh x y z Cõu hi tng t: a) (S ) : x y2 z2 x y 6z 11 , (a ) : x y z 19 , p S: ( b ) : x y z Trang hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng Dng 3: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n khong cỏch Cõu 12 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) qua O, vuụng gúc vi mt phng (Q): x y z v cỏch im M(1; 2; 1) mt khong bng PT mt phng (P) qua O nờn cú dng: Ax By Cz (vi A2 B2 C ) Vỡ (P) (Q) nờn: 1.A 1.B 1.C C A B (1) A 2B C d (M,(P)) ( A 2B C)2 2( A2 B2 C ) A2 B C (2) B (3) T (1) v (2) ta c: AB 5B2 A 5B (4) T (3): B = C = A Chn A = 1, C = (P): x z T (4): 8A + 5B = Chn A = 5, B = C = (P): x 8y 3z x y z v 1 im M(0; 2; 0) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M, song song vi ng thng , ng thi khong cỏch d gia ng thng v mt phng (P) bng Cõu 13 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ng thng : Phng trỡnh mp (P) i qua M(0; 2; 0) cú dng: ax by cz 2b ( a2 b2 c2 ) i qua im A(1; 3; 0) v cú mt VTCP u (1;1; 4) a b 4c ( P ) a 4c a 5b Ta cú: a c d ( A;( P )) d 2 a b c Vi a 4c Chn a 4, c b Phng trỡnh (P): x 8y z 16 Vi a 2c Chn a 2, c b Phng trỡnh (P): x y z Cõu hi tng t: x y z a) Vi : ; M (0;3; 2), d 1 S: (P ) : x y z hoc ( P ) : x 8y z 26 x t Cõu 14 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d ) : y 2t v im z A(1;2;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng (d) cho khong cỏch t im A n mt phng (P) bng (d) i qua im M(0; 1;1) v cú VTCT u (1;2; 0) Gi n (a; b; c) vi a2 b2 c2 l VTPT ca (P) PT mt phng (P): a( x 0) b( y 1) c( z 1) ax by cz b c (1) Do (P) cha (d) nờn: u.n a 2b a 2b (2) a 3b 2c 5b 2c d A,(P) 5b 2c 5b2 c2 2 2 a b c 5b c 4b2 4bc c2 2b c c 2b (3) T (2) v (3), chn b a 2, c PT mt phng (P): x y z Trang Trn S Tựng PP to khụng gian hoctoancapba.com Cõu 15 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im M (1;1; 0), N (0; 0; 2), I (1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) M (P ) a b,2c a b, d a b (1) Ta cú: N (P ) 5a 7b,2c a b, d a b (2) d (I ,(P )) + Vi (1) PT mt phng (P): x y z + Vi (2) PT mt phng (P): x 5y z Cõu 16 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi A(1; 1;2) , B(1;3; 0) , C(3;4;1) , D(1;2;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) A (P) a b 2c d Ta cú: B ( P ) a 3b d 3a 4b c d d (C ,( P )) d ( D,( P )) a 2b c d a2 b2 c2 a2 b2 c b 2a, c 4a, d 7a c 2a, b a, d 4a + Vi b 2a, c 4a, d 7a (P): x y z + Vi c 2a, b a, d 4a (P): x y 2z Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2;1), B(2;1;3), C (2; 1;1), D(0;3;1) S: ( P ) : x y 7z 15 hoc (P ) : x 3z Cõu 17 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho cỏc im A(1;2;3) , B(0; 1;2) , C(1;1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P ) i qua A v gc ta O cho khong cỏch t B n (P ) bng khong cỏch t C n (P ) Vỡ O (P) nờn ( P ) : ax by cz , vi a2 b2 c2 Do A (P) a 2b 3c (1) v d (B,(P)) d (C ,(P)) b 2c a b c (2) T (1) v (2) b hoc c Vi b thỡ a 3c ( P ) : x z Vi c thỡ a 2b (P ) : x y Cõu hi tng t: a) Vi A(1;2; 0), B(0; 4; 0), C (0; 0;3) S: x 3y z hoc x 3y z Cõu 18 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz , cho ba im A(1;1; 1) , B(1;1;2) , C(1;2; 2) v mt phng (P): x y z Vit phng trỡnh mt phng ( ) i qua A, vuụng gúc vi mt phng (P), ct ng thng BC ti I cho IB 2IC PT ( ) cú dng: ax by cz d , vi a2 b2 c2 Do A(1;1; 1) ( ) nờn: a b c d (1); ( ) ( P ) nờn a 2b 2c (2) IB 2IC d ( B,( )) 2d (C;( )) Trang a b 2c d a2 b2 c 2 a 2b 2c d a2 b2 c hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng 3a 3b 6c d (3) a 5b 2c 3d T (1), (2), (3) ta cú trng hp sau : a b c d TH1 : a 2b 2c b a; c a; d a 2 a b c d Chn a b 1; c 2; d ( ) : x y z a b c d 3 TH2 : a 2b 2c b a; c a; d a 2 a 5b 2c 3d Chn a b 3; c 2; d ( ) : x 3y z Vy: ( ) : x y z hoc ( ) : x 3y z Cõu 19 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1 , d2 ln lt cú phng x y z3 x y z , d2 : Vit phng trỡnh mt phng cỏch u hai ng thng d1 , d2 trỡnh d1 : Ta cú d1 i qua A(2;2;3) , cú ud1 (2;1;3) , d2 i qua B(1;2;1) v cú ud (2; 1; 4) Do (P) cỏch u d1 , d2 nờn (P) song song vi d1 , d2 nP ud1, ud (7; 2; 4) PT mt phng (P) cú dng: x y z d Do (P) cỏch u d1 , d2 suy d ( A,( P )) d ( B,( P )) 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d d d d 69 69 Phng trỡnh mt phng (P): 14 x y 8z Cõu 20 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1 , d2 ln lt cú phng x t x y z trỡnh d1 : y t , d2 : Vit phng trỡnh mt phng (P) song song 2 z vi d1 v d2 , cho khong cỏch t d1 n (P) gp hai ln khong cỏch t d2 n (P) Ta cú : d1 i qua A(1;2;1) v cú VTCP u1 (1; 1; 0) d2 i qua B(2;1; 1) v cú VTCP l u2 (1; 2;2) Gi n l VTPT ca (P), vỡ (P) song song vi d1 v d2 nờn n u1, u2 (2; 2; 1) Phng trỡnht (P): x y z m 7m m ; d (d2 ,(P)) d (B,( P)) 3 17 m 2(5 m) d (d1,( P )) 2d (d2 ,( P )) m m m 3; m m 2(5 m) 17 17 + Vi m (P ) : x y z + Vi m (P) : x y z 3 d (d1,(P )) d ( A;(P )) Trang Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian Cõu 21 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua hai im A(0; 1;2) , B(1; 0;3) v tip xỳc vi mt cu (S): ( x 1)2 (y 2)2 (z 1)2 (S) cú tõm I (1;2; 1) , bỏn kớnh R PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) A (P) a b, c a b, d 2a 3b (1) Ta cú: B ( P ) (2) 3a 8b, c a b, d 2a 3b d (I ,( P )) R + Vi (1) Phng trỡnh ca (P): x y + Vi (2) Phng trỡnh ca (P): x 3y 5z Cõu 22 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(2; 1;1) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im A v cỏch gc ta O mt khong ln nht Ta cú d (O,(P )) OA Do ú d (O,(P ))max OA xy OA (P ) nờn mt phng (P) cn tỡm l mt phng i qua A v vuụng gúc vi OA Ta cú OA (2; 1;1) Vy phng trỡnh mt phng (P): x y z Cõu 23 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im A(10; 2; 1) v ng thng d cú x y z Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d d(d, (P)) = d(H, (P)) Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú AH HI HI ln nht A I Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v nhn AH lm VTPT (P): x y 5z 77 phng trỡnh: Cõu 24 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng (d) cú phng trỡnh tham s x t; y 2t; z 2t Gi l ng thng qua im A(4;0;1) song song vi (d) v I(2;0;2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (d) Vit phng trỡnh ca mt phng cha v cú khong cỏch n (d) l ln nht Gi (P) l mt phng cha , thỡ ( P ) (d ) hoc (P ) (d ) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn (P) Ta luụn cú IH IA v IH AH d (d ,( P )) d ( I ,( P )) IH Mt khỏc H (P ) Trong (P), IH IA ; ú maxIH = IA H A Lỳc ny (P) v trớ (P0) IA ti A Vect phỏp tuyn ca (P0) l n IA 6; 0; , cựng phng vi v 2; 0; Phng trỡnh ca mt phng (P0) l: 2( x 4) 1.( z 1) x z x y z v im 2 A(2;5;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) cha d cho khong cỏch t A n (P) l ln nht Cõu 25 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : PT mt phng (P) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) (P) cú VTPT n (a; b; c) , d i qua im M(1; 0;2) v cú VTCP u (2;1;2) M (P) a 2c d 2c (2a b) Vỡ (P) d nờn Xột trng hp: a b 2c n.u d a b Trang hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng TH1: Nu b = thỡ (P): x z Khi ú: d ( A,( P )) TH2: Nu b Chn b ta c (P): 2ax y (2a 1)z 2a 9 Khi ú: d ( A,(P )) 2 8a 4a 2a 2 1 Vy max d( A,(P)) 2a a Khi ú: (P): x y z Cõu hi tng t: x y z a) d : S: ( P ) : x y z , A(5;1;6) x y z b) d : S: ( P ) : x 13y z 21 , A(1;4;2) 1 Cõu 26 Trong khụng gian to Oxyz, cho hai im M(0; 1;2) v N(1;1;3) Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua M, N cho khong cỏch t im K(0; 0;2) n mt phng (P) l ln nht PT (P) cú dng: Ax B( y 1) C (z 2) Ax By Cz B 2C ( A2 B2 C 0) N (1;1;3) (P ) A B 3C B 2C A 2B C ( P ) : (2 B C ) x By Cz B 2C ; d ( K , ( P )) B 2 B 2C BC Nu B = thỡ d(K, (P)) = (loi) Nu B thỡ d (K ,(P )) B 2 C B Du = xy B = C Chn C = Khi ú PT (P): x y z 4B2 2C 4BC Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc Trang Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian Cõu 27 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng () cha ng thng (): x y z v to vi mt phng (P) : x y z mt gúc 600 Tỡm ta giao 1 im M ca mt phng () vi trc Oz () qua im A(1; 0; 0) v cú VTCP u (1; 1; 2) (P) cú VTPT n (2; 2; 1) Giao im M (0; 0; m) cho AM (1; 0; m) () cú VTPT n AM , u (m; m 2;1) () v (P): x y z to thnh gúc 600 nờn : 1 cos n, n 2m 4m m hay m 2 2m 4m Kt lun : M(0;0;2 2) hay M(0;0;2 2) Cõu 28 Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua giao tuyn d ca hai mt phng (a ) : x y , ( ) : x z v to vi mt phng 2 Ly A(0;1; 0), B(1;3;2) d (P) qua A PT (P) cú dng: Ax By Cz B (P) qua B nờn: A 3B 2C B A (2B 2C ) (P ) : (2B 2C ) x By Cz B (Q) : x y z mt gúc m cos cos 2B 2C 2B 2C (2 B 2C )2 B2 C 2 13B2 8BC 5C 13 + Vi B C ( P ) : x y z + Vi B , C ( P ) : 23 x 5y 13z 13 Chn C B 1; B Cõu 29 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im A(1;2; 3), B(2; 1; 6) v mt phng ( P ) : x y z Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt phng (P) mt gúc tho cos PT mt phng (Q) cú dng: ax by cz d (a2 b2 c2 0) A (Q) a 2b 3c d a 4b, c 3b, d 15b Ta cú: B (Q) 2a b 6c d a b, c 0, d b a 2b c cos a2 b2 c2 Phng trỡnh mp(Q): x y 3z 15 hoc (Q): x y Cõu hi tng t: a) A(0; 0;1), B(1;1; 0) , (P) (Oxy),cos S: (Q): x y z hoc (Q): x y z Trang hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng x y z Vit x y z phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng d v to vi mt phng (Oxy) mt gúc Cõu 30 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : 600 S: (P) : x y z hoc (P) : x y z Cõu 31 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng ( P ) : x y 5z v (Q) : x y 8z 12 Lp phng trỡnh mt phng ( R) i qua im M trung vi gc ta O, vuụng gúc vi mt phng (P) v to vi mt phng (Q) mt gúc a 450 Gi s PT mt phng (R): ax by cz d (a2 b2 c2 0) Ta cú: ( R) ( P ) 5a 2b 5c cos(( R),(Q)) cos 450 (1); a 4b 8c (2) a2 b2 c a c T (1) v (2) 7a2 6ac c c 7a Vi a c : chn a 1, b 0, c PT mt phng ( R) : x z Vi c 7a : chn a 1, b 20, c PT mt phng ( R) : x 20 y 7z Cõu hi tng t: a) Vi (P) : x y 2z 0,(Q) (Oyz), M(2; 3;1),a 450 S: ( R) : x y hoc ( R) : x 3y z 23 Cõu 32 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: : x y z x y z v : Vit phng trỡnh mt phng (P) cha v 1 to vi mt gúc a 300 ỏp s: (P): x 11y z hoc (P): x y z Cõu hi tng t: x y z5 x y2 z , : a) Vi : , a 300 1 1 S: (P): x y z hoc (P): x y z x y z x y z b) : , : , a 300 1 1 S: (P): (18 114) x 21y (15 114)z (3 114) hoc (P): (18 114) x 21y (15 114)z (3 114) Cõu 33 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, vit phng trỡnh mt phng (P) i qua im M(1;2;3) v to vi cỏc trc Ox, Oy cỏc gúc tng ng l 450 , 300 Gi n (a; b; c) l VTPT ca (P) Cỏc VTCP ca trc Ox, Oy l i (1;0;0), j (0;1;0) sin(Ox ,( P )) a b Ta cú: c b sin(Oy,( P )) Trang 10 Trn S Tựng PP to khụng gian hoctoancapba.com Cõu 159 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(2; 1; 2) v ng thng d: x y z Tỡm trờn d hai im A, B cho tam giỏc ABM u 1 Gi H l hỡnh chiu ca M trờn d Ta cú: MH = d ( M , d ) Tam giỏc ABM u, nhn MH lm ng cao nờn: MA = MB = AB = MH x y z3 1 Do ú, to ca A, B l nghim ca h: ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 2)2 2 2 ; ;3 ; ;3 Gii h ny ta tỡm c: A , B2 3 3 Cõu hi tng t: x t 76 10 76 76 76 ; ;1 , B ; ;1 a) Vi M(1; 0; 1) , d : y 2t S: A 15 15 15 15 z 76 10 76 76 76 ; ;1 , B ; ;1 hoc A 15 15 15 15 Cõu 160 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(0; 1; 3) v ng thng d: x t y 2t Tỡm trờn d hai im B, C cho tam giỏc ABC u z d cú VTCP ud (1;2;0) Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn d Gi s H t; 2t;3 AH t;1 2t;0 M AH d nờn AH ud 11 t 2t t AH = H ; ;3 5 AH 15 M ABC u nờn BC = hay BH = 5 15 15 Gi s B(1 s;2 2s;3) thỡ s 2s 25 82 ;3 v C ; ;3 82 ;3 v C ; ;3 25s2 10s s 82 ; Vy: B 82 ; hoc B Cõu 161 Trong khụng gian vi h to Oxyz, tỡm trờn Ox im A cỏch u ng thng (d) : x y z v mt phng (P) : x y z 2 Trang 53 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng 2a Gi A(a; 0; 0) Ox d ( A; (P)) d(A; (P)) = d(A; d) 2a 22 12 22 8a2 24a 36 2a ; d ( A; d ) 3 8a2 24a 36 4a2 24a 36 4(a 3)2 a Vy cú mt im A(3; 0; 0) Cõu 162 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (P): x y z v hai x y z x y z ; : Xỏc nh ta im M 1 2 thuc ng thng cho khong cỏch t M n ng thng v khong cỏch t M n mt phng (P) bng M (1 + t; t; + 6t) 1; qua A (1; 3; 1) cú vộct ch phng a = (2; 1; 2) AM = (t 2; t 3; 6t 8) AM; a = (14 8t; 14t 20; t) ng thng : Ta cú : d (M, 2) = d (M, (P)) 261t 792t 612 11t 20 53 Vy M (0; 1; 3) hay M 35 35t2 88t + 53 = t = hay t = 18 53 ; ; 35 35 35 Cõu hi tng t: a) Vi (P): x y z , : x y z x y z , : 1 1 S: M(2; 4;1) , M(1;1; 4) Cõu 163 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng : x y z v 1 x y z ng vuụng gúc chung ca v ct ti A, ct ti B Tỡnh din tớch OAB cú VTCP u1 (2; 1;1) , cú VTCP u2 (1; 7; 1) : Gi s A(1 2t1; t1; t1 ) , B(1 t2 ;1 7t2 ;3 t2 ) t A(1;0; 2) AB.u1 Ta cú: SOAB OA, OB = t B(1;1;3) 2 AB.u2 Cõu 164 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x y 2z v cỏc ng thng d1 : x y z ; d2 : x y z5 Tỡm cỏc im M d1 , N d cho MN // (P) v cỏch (P) mt khong bng x 2t PTTS ca d1 l: y 3t M d1 nờn ta ca M 2t;3 3t;2t z 2t 2t 2(3 3t ) 4t 12t t 2 Theo : d ( M ;(P )) t 12 (2)2 22 + Vi t = ta c M1 3;0;2 ; + Vi t = ta c M2 1;3;0 Trang 54 Trn S Tựng PP to khụng gian hoctoancapba.com ng vi M1, im N1 d2 cn tỡm phi l giao ca d2 vi mp qua M1 v // (P), gi mp ny l (Q1) PT (Q1) l: ( x 3) y 2( z 2) x y z (1) x 6t PTTS ca d2 l: y 4t (2) z t Thay (2) vo (1), ta c: t = im N1 cn tỡm l N1(1;4;0) ng vi M2, tng t tỡm c N2(5;0;5) Cõu 165 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x y 2z v cỏc ng thng d1 : x y z , d2 : x y z5 Tỡm cỏc im A d1 , B d cho AB // (P) v AB cỏch (P) mt khong bng Gi s: A(2t1 1, t1 3, 2t1) d1 , B(3t2 5,4t2 ,2t2 5) d2 AB (3t2 2t1 4,4t2 t1 3,2t2 2t1 5) AB.nP 2(3t2 2t1 4) 4t2 t1 2(2t2 2t1 5) 6t2 t1 AB (P) d ( AB,(P)) d ( A,(P)) Vi t1 t2 Vi t1 t2 4t1 t1 4t1 t1 t t1 11 A(9; 2;10), B 7; ; 3 17 A(3;4; 2), B 4; ; 3 Cõu 166 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(1; 5; 4), B(0; 1; 1), C(1; 2; 1) Tỡm ta im D thuc ng thng AB cho di on thng CD nh nht x t Ta cú AB (1; 4; 3) Phng trỡnh ng thng AB: y 4t z 3t Gi D(1 a;5 4a; 3a) AB DC (a; 4a 3;3a 3) di on CD ngn nht D l hỡnh chiu vuụng gúc ca C trờn cnh AB AB DC 46 41 21 a 16a 12 9a a Vy: D ; ; 26 26 26 26 Cõu 167 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng d1 : d2 : x y z v 1 x y z Tỡm cỏc im M thuc d1 , N thuc d2 cho ng thng MN song song 1 vi mt phng (P): x y z 2012 v di on MN bng MN (P ) MN nP M (0; 0; 0), N ; ; 7 MN MN Ly M d1, N d2 Ta cú Cõu 168 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d : Trang 55 x y z v cỏc 1 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng im A(1; 0; 0), B(0;1;1), C (0; 0;2) Tỡm im M thuc d cho gúc gia hai mt phng (MAB) v (CAB) bng a 300 S: M(0; 2;1) Cõu 169 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh: x t x y z (1) : y t v (2 ) : Xỏc nh im A trờn v im B trờn z cho on AB cú di nh nht Gi s A(t+1; t 1; 2) 1, B( t'+3; 2t' +1; t') AB (t ' t 2;2t ' t 2; t ' 2) Vỡ on AB cú di nh nht AB l on vuụng gúc chung ca (1) v (2) AB u1 AB.u1 2t 3t ' t t ' A( 1; 1; 2), B(3; 1; 0) 3t 6t ' AB u2 AB.u2 Cõu 170 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(3; 4; 2) v ng x 4t thng d : y 6t Tỡm im I trờn ng thng d cho IA + IB t giỏ tr nh nht z 8t AB (2; 3; 4) AB // d Gi A1 l im i xng ca A qua d Ta cú: IA + IB = IA1 + IB A1B Do ú IA + IB t giỏ tr nh nht bng A1B Khi ú A1, I, B thng hng I l giao im ca A1B v d Vỡ AB // d nờn I l trung im ca A1B 36 33 15 Gi H l hỡnh chiu ca A lờn d Tỡm c H ; ; A i xng vi A qua H nờn 29 29 29 43 95 28 65 21 43 A ; ; I l trung im ca AB suy I ; ; 29 29 29 29 58 29 Cõu hi tng t: 64 45 x y z a) Vi A(1; 1;2), B(3; 4; 2) , d : S: I ; ; 29 29 29 x y z4 b) Vi A(1;2; 1), B(7; 2;3) , d : S: I (2; 0; 4) 2 Cõu 171 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai im A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) v ng x y z Tỡm to im M trờn cho MAB cú din tớch nh nht 2 x t PTTS ca : y t Gi M (1 2t;1 t;2t ) z 2t Din tớch MAB l S AM , AB 18t 36t 216 = 18(t 1)2 198 198 thng : Vy Min S = 198 t hay M(1; 0; 2) Cõu hi tng t: x y z a) Vi A(0;1; 0), B(2;2;2) , : 2 Trang 56 S: M(3; 0; 1) , S 2 Trn S Tựng PP to khụng gian hoctoancapba.com x y z 1 x y z c) Vi A(0;1; 2), B(2; 1;1), : 1 x y z d) Vi A(2; 1;1), B(1; 1; 0), : x y b) Vi A(2; 1;1), B(0;1; 2), : e) Vi A(1;4;2), B(1;2;4), : x y z 1 S: M (5;8; 11),min S 34 S: M(2;5; 5),min S 22 S: M ; ; 12 38 S: M ; ; 7 Cõu 172 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ba im A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C(2;1; 6) v ng thng d : x y z Xỏc nh to im M thuc ng thng d 1 cho MA MB MC t giỏ tr nh nht Gi s M (2t 1;2t 2; t 1) d MA MB MC (2t 1; 2t 4; t ) 10 53 53 MA MB MC = (2t 1) (2t 4) t t 9 11 10 Du "=" xy t M ; ; 9 9 2 Cõu 173 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ( P ) : x y z im A( 2; 3; 4) x y z Gi l ng thng nm trờn (P) i qua giao im ca (d) v (P) ng thi vuụng gúc vi d Tỡm trờn im M cho khong cỏch AM ngn nht x 2t PTTS ca d: y t Gi I l giao im ca (d) v (P) I (1; 0; 4) z t (d) cú VTCP l a (2;1;1) , (P) cú VTPT l n (1;2; 1) a, n (3;3;3) v ng thng (d ) : x u u ( 1;1;1) Gi u l vect ch phng ca : y u z u Vỡ M M (1 u; u; u) , AM (1 u; u 3; u) AM ngn nht AM AM u 1(1 u) 1(u 3) 1.u u 16 Vy M ; ; 3 Cõu 174 Trong khụng gian Oxyz, cho hai im A(1; 1; 2), B(2; 2; 1) v mt phng (P) cú phng trỡnh x 3y z Vit phng trỡnh mt phng (Q) l mt phng trung trc ca on AB Gi l giao tuyn ca (P) v (Q) Tỡm im M thuc cho di on thng OM l nh nht 3 Gi I l trung im ca AB I ; ; ; AB (1; 1; 1) 2 Trang 57 hoctoancapba.com PP to khụng gian PT (Q): x y z Trn S Tựng l giao tuyn ca (P) v (Q) PTTS ca : x 2t; y t; z t 4 15 25 Gi s M 2t; t; t ; OM 6t t 4 OM nh nht t 5 M ; ; 8 Cõu 175 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng (d1): x y z , (d2): 1 x y2 z Mt ng thng () i qua im A(1; 2; 3), ct ng thng (d1) ti im B v ct ng thng (d2) ti im C Chng minh rng im B l trung im ca on thng AC Ly B (d1), C (d2) T : AB k AC k B l trung im ca on thng AC Ta cú th tớnh c B(2; 1; 1), C(3; 4; 1) Cõu 176 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im E (2;1;5), F ( 4; 3; 9) Gi l giao tuyn ca hai mt phng (P ): 2x y z v (Q) : x y z Tỡm im I thuc cho: IE IF ln nht x t x t PTTS ca : y 5t PTTS ca EF: y t z 3t z 2t t t t Xột h: 5t t EF ct ti A(1;0;3) t t t Trong mp( ,EF) mi im I ta cú IE IF EF (hiu cnh tam giỏc nh hn cnh th 3) Du "=" xy I, E, F thng hng, t ú suy I trựng A Vy im I(1;0;3) Cõu 177 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : A(0; 0;3) , B(0;3;3) Tỡm im M d cho: b) MA2 MB2 nh nht a) MA MB nh nht x t a) PTTS ca d: y t Gi M (t; t; t ) d Ta cú: P z t Xột hm s f (t) (t 1)2 (t 2)2 f (t ) f (t ) t (t 1) t 2 (t 2) t (t 1) Trang 58 x y z v hai im 1 c) MA 3MB nh nht (t 1)2 (t 2)2 t (t 1)2 t (t 2)2 (t 2) (t 2) (*) Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian u Ta cú g(u) u2 u u 2 u2 u ( u 2) nờn hm s g ng bin trờn Do ú t (*), ta cú g(t 1) g (t 2) t t t Da vo BBT ca hm s f ta suy f (t ) f Xột hm s g(u) u Vy min( MA MB) 3 t c ti t 3 3 , tc l M ; ; 2 2 b) Tng t cõu 1), ta tớnh c Q MA2 2MB2 9t 30t 45 (3t 5)2 20 5 5 Q 20 t , tc M ; ; 2 c) Theo cõu 1) , ta cú MA (t; t;3 t ) , MB (t;3 t;3 t ) Suy MA MB (t; t 6; t 3) MA 2MB 3t 18t 45 3(t 3)2 18 Vy MA MB t , tc M(3;3;3) Trang 59 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng Dng 3: Xỏc nh im thuc mt cu Cõu 178 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt cu (S): x y2 z2 x 6y m v ng thng (d) l giao tuyn ca mt phng (P): x y z , (Q): x y z v Tỡm m (S) ct (d) ti im M, N cho di MN = (S) tõm I(2;3;0), bỏn kớnh R= 13 m IM (m 13) Gi H l trung im ca MN MH= IH = d(I; d) = m (d) qua A(0;1;-1), VTCP u (2;1;2) d(I; d) = Vy : u; AI u m =3 m = 12 Cõu 179 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x y z v mt cu (S): x y2 z2 x 8y 2z 23 Tỡm trờn (S) im M cho khong cỏch t M n mt phng (P) l ln nht Khi ú hóy vit phng trỡnh mt cu (T) cú tõm M v ct (P) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh bng Mt cu (S) cú tõm I (3; 4;1) , bỏn kớnh R = x t Gi d l ng thng qua I vuụng gúc vi (P) PTTS ca d: y t z t Khi ú M l giao im ca d vi (S) Ta im M l nghim ca h: x t t t y t x x M1(4;5; 0), M2 (2;3;2) z t y y 2 z z x y z x 8y z 23 Ta thy d ( M1,( P )) > d ( M2 ,(P )) Vy M(4;5; 0) l im cn tỡm Mt cu (T) cú R ' MH HE (4 3)2 42 (T ) :( x 4)2 ( y 5)2 z2 64 Cõu 180 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh l (S) : x y2 z2 x 2y 6z 0, (P) : x 2y z 16 im M di ng trờn (S) v im N di ng trờn (P) Tớnh di ngn nht ca on thng MN Xỏc nh v trớ ca M, N tng ng Mt cu (S) tõm I(2;1;3) v cú bỏn kớnh R = 2.2 2.(1) 16 Khong cỏch t I n mt phng (P): d d I , P d R Do ú (P) v (S) khụng cú im chung Do vy, MN = d R = = Trong trng hp ny, M v trớ M0 v N v trớ N0 D thy N0 l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn mt phng (P) v M0 l giao im ca on thng IN0 vi mt cu (S) Gi l ng thng i qua I v vuụng gúc vi (P), thỡ N0 l giao im ca v (P) x 2t ng thng cú VTCP l n P 2;2; v qua I nờn cú phng trỡnh l y 2t z t Ta ca N0 ng vi t nghim ỳng phng trỡnh: Trang 60 Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian 2(2 2t) 2(1 2t) (3 t) 16 9t 15 t 15 13 14 Suy N ; ; Ta cú IM0 IN Suy M0(0;3;4) 3 Cõu hi tng t: a) (S) : x y2 z2 x 4y 2z ; (P ) : x y 2z ; ; 3 S: M(2 2;2 2; 2) , N Cõu 181 Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(0;1;1), B(1; 0; 3), C (1; 2; 3) v mt cu (S) cú phng trỡnh: x y2 z2 x 2z Tỡm ta im D trờn mt cu (S) cho t din ABCD cú th tớch ln nht (S) cú tõm I(1; 0; 1), bỏn kớnh R PT mp(ABC): x y z Ta cú VABCD d (D;( ABC )).SABC nờn VABCD ln nht d (D;( ABC )) ln nht Gi D1D2 l ng kớnh ca (S) vuụng gúc vi mp(ABC) Ta thy vi D l im bt k thuc (S) thỡ d (D;( ABC )) max d (D1;( ABC )); d (D2;( ABC )) Du = xy D trựng vi D1 hoc D2 D1D2 i qua I(1;0;1), v cú VTCP l n ABC (2; 2;1) D1D2 : x 2t; y 2t; z t x 2t t y t Ta D1 v D2 tha: t z t ( x 1)2 y (z 1)2 D1 ; ; ; D2 ; ; 3 3 Ta thy: d ( D1;( ABC )) d ( D2 ;( ABC )) Vy im D ; ; l im cn tỡm 3 Trang 61 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng Dng 4: Xỏc nh im khụng gian Cõu 182 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (): x y z v hai im A(4;0;0) , B(0;4;0) Gi I l trung im ca on thng AB Xỏc nh ta im K cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch u gc ta O v () x y2 z I(2;2;0) PT ng thng KI: Gi H l hỡnh chiu ca I trờn (): H(1;0;1) Gi s K(xo;yo;zo) x0 y0 z0 1 3 Ta cú: KH = KO K ; ; 4 ( x 1)2 y (z 1)2 x y z 0 0 0 Cõu 183 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im A(2;4;1), B(1;4;1), C(2;4;3), D(2;2;1) Tỡm ta im M MA2 MB2 MC MD t giỏ tr nh nht 14 Gi G l trng tõm ca ABCD ta cú: G ; ; 3 Ta cú: MA2 MB2 MC MD 4MG GA2 GB2 GC GD 14 GA2 GB2 GC GD2 Du bng xy M G ; ; 3 Cõu 184 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P): x y z v im A(0; 1; 2) Tỡm to im A i xng vi A qua mt phng (P) (P) cú VTPT n (1;1;1) Gi s A(x; y; z) x y z ; Gi I l trung im ca AA I ; 2 x y z x A i xng vi A qua (P) AA , n cuứng phửụng y z x y z I (P) 2 Vy: A(4; 3; 2) Cõu 185 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0;3;2) v mt phng ( ) : x y Tỡm to ca im M bit rng M cỏch u cỏc im A, B, C v mt phng ( ) Gi s M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( x 1)2 y z2 x ( y 1)2 z2 (1) MA MB 0 0 20 Ta cú: MB MC x0 ( y0 1)2 z02 x02 ( y0 3)2 (z0 2)2 (2) MA d ( M ,(a )) ( x0 y0 2)2 2 (3) ( x0 1) y0 z0 x0 1, y0 1, z0 23 23 14 23 23 14 M(1; 1; 2) hoc M ; ; x0 , y , z0 3 3 Cõu 186 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC, bit Trang 62 Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian A(3; 0; 0), B(0;3; 0), C (0; 0;3) Tỡm to nh S bit th tớch chúp S.ABC bng 36 Phng trỡnh ( ABC ) : x y z Do hỡnh chúp S.ABC u nờn ng thng SG qua G v vuụng gúc vi (ABC) x t Phng trỡnh SG : y t Gi s S (1 t;1 t;1 t ) z t ABC cú trng tõm G(1;1;1) v AB= BC= CA= SABC Ta cú : VS.ABC=36= SG SABC t 8, t Vy: S(9;9;9) hoc S(7; 7; 7) Dng 5: Xỏc nh im a giỏc Cõu 187 Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho ba im A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mp(ABC); (P) qua A v (P) BC; (Q) qua B v (Q) AC 36 18 12 Gii h gm ba phng trỡnh ba mt phng trờn ta c trc tõm H ; ; 49 49 49 Cõu hi tng t: a) Vi A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2) S: Cõu 188 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) Tỡm ta tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Ta cú: AB BC CA ABC u Do ú tõm I ca ng trũn ngoi tip 8 ABC cng l trng tõm ca nú Kt lun: I ; ; 3 Cõu 189 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Ta cú: AB (2; 2; 2), AC (0; 2;2) Suy phng trỡnh mt phng trung trc ca AB, AC l: x y z 0, y z VTPT ca mp(ABC) l n AB, AC (8; 4;4) Suy (ABC): x y z x y z x Gii h: y z y Suy tõm ng trũn l I (0; 2; 1) x y z z Bỏn kớnh l R IA (1 0)2 (0 2)2 (1 1)2 Cõu 190 Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho ba im A(2;3;1) , B(1;2; 0) , C(1;1; 2) Tỡm ta trc tõm H v tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC H ( x; y; z) l trc tõm ca ABC BH AC , CH AB, H ( ABC ) Trang 63 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng BH AC 29 CH AB x ; y ; z 15 15 AB, AC AH 29 ; ; 15 15 H I ( x; y; z) l tõm ng trũn ngoi tip ABC AI BI CI , I ( ABC ) AI BI 14 61 14 61 CI BI x ; y ; z I ; ; 15 30 15 30 AB, AC AI Cõu 191 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A(1; 0;1), B(1;2; 1), C (1;2;3) v I l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC Lp phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi mt phng (Oxz) Phng trỡnh ( ABC ) : x y z Gi I ( x; y; z) I ( ABC ) x y z (2) IA IB IC x y z 0, y z (1) ; T (1) (2) I (0; 2; 1) Bỏn kớnh mt cu l R d (I ,(Oxz)) (S): x (y 2)2 (z 1)2 Cõu 192 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho tam giỏc ABC cú A(3;1; 0) , B nm trờn mt phng (Oxy) v C nm trờn trc Oz Tỡm to cỏc im B, C cho im H(2;1;1) l trc tõm ca tam giỏc ABC Gi s B( x; y; 0) (Oxy), C (0; 0; z) Oz AH BC AH BC H l trc tõm ca ABC CH AB CH AB AB, AC , AH ủong phaỳng AB, AH AC 177 17 177 177 x z ;y ;z x 4 x y 177 17 177 177 x 3y yz z ;y ;z x 4 177 17 177 177 ; ;0 , C 0;0; B 177 17 177 177 ; ;0 , C 0;0; hoc B Cõu 193 Trong khụng gian Oxyz, cho im A(3; 2; 3) v hai ng thng cú phng trỡnh x y z3 x y z v d2 : Chng minh ng thng d1, d2 v 1 2 im A cung nm mt mt phng Xỏc nh to cỏc nh B v C ca tam giỏc ABC bit d1 cha ng cao BH v d2 cha ng trung tuyn CM ca tam giỏc ABC d1 qua M1(2; 3; 3), cú VTCP a (1;1; 2) ; d2 qua M2(1; 4; 3) cú VTCP b (1; 2;1) Ta cú a,b , a, b M M d , d ct d1 : 2 Phng trỡnh mt phng cha d1 , d2 : x y z A mp(d1, d2 ) t5 t5 ; ;3 t Gi s B(2 t;3 t;3 2t ) d1 trung im ca AB l M Trang 64 Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian M d2 t M (2;2; 4) B(1;2;5) Gi s C (1 t; 2t;3 t ) d2 AC a t = C(1;4;2) Cõu 194 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cho tam giỏc ABC cú A(3;2;3), ng cao CH, ng phõn giỏc BM ca gúc B ln lt cú phng trỡnh l x y z3 x y z , d2 : Tớnh di cỏc cnh ca tam giỏc ca d1 : 1 2 tam giỏc ABC Gi (P) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d1 (P): x y z B l giao im ca d2 vi (P) B(1; 4;3) Gi (Q) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi d2 (Q): x y z Gi K l giao im ca d2 vi (Q) K (2;2; 4) Gi E l im i xng ca A qua K E(1;2;5) x Phng trỡnh ng thng BE l y t C l giao im ca BE v CH C(1;2;5) z t Ta cú AB = AC = BC = 2 Tam giỏc ABC u Cõu 195 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thang cõn ABCD vi A 3; 1; , B 1;5;1 , C 2;3;3 , ú AB l ỏy ln, CD l ỏy nh Tỡm to im D Do ABCD l hỡnh thang cõn nờn AD = BC = Gi l ng thng qua C v song song vi AB, (S) l mt cu tõm A bỏn kớnh R = im D cn tỡm l giao im ca v (S) x 2t ng thng cú vect ch phng AB 2;6;3 nờn cú phng trỡnh: y 6t z 3t Phng trỡnh mt cu (S) : ( x 3)2 ( y 1)2 (z 2)2 To im D tho H PT: x 2t t y 6t 49t 82t 33 33 z 3t t 2 49 x y z Vi t = 1, thỡ D(4; 3; 0) : khụng tho vỡ AB = CD = 164 51 48 33 Vi t D ; ; (nhn) 49 49 49 49 Cõu 196 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh thoi ABCD vi A(1;2;1) , B(2;3;2) Tỡm ta cỏc nh C, D v vit phng trỡnh mt phng cha hỡnh thoi ú bit rng tõm I x y z ca hỡnh thoi thuc ng thng d : v im D cú honh õm 1 Gi I (1 t; t;2 t ) d Ta cú IA (t;2 t; t ), IB (3 t;3 t; t ) Do ABCD l hỡnh thoi nờn IA.IB 3t 9t t 1, t Vỡ C i xng vi A qua I v D i xng vi B qua I nờn: Trang 65 hoctoancapba.com PP to khụng gian Trn S Tựng + Vi t I (0;1;1) C (1; 0;1), D(2; 1; 0) + Vi t I (1;2; 0) C (3;2; 1), D(0;1; 2) Do D cú honh õm nờn ta chn c nghim C (1; 0;1), D(2; 1; 0) + Gi (P) l mt phng cha hỡnh thoi ABCD, gi s (P) cú VTPT n n IA (1;1;0) Ta cú cú th chn n IA, IB (1;1; 4) n IB (2;2;1) Suy phng trỡnh mt phng ( P ) : x y z Cõu 197 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, A(1; 0; 0) , C(1;2; 0) , D(1; 0; 0) , S(0;0; 3) Gi M, N ln lt l trung im ca on SB v CD Chng minh rng hai ng thng AM v BN vuụng gúc vi v xỏc nh ta tõm ca ng trũn ngoi tip tam giỏc ONB AB DC B(1; 2; 0) M l trung im SB, N l trung im CD M ;1; , N(1; 1; 0) AM BN Vỡ ONB nm mp(Oxy) nờn tõm I ca 2 ng trũn ngoi tip ONB thuc mp(Oxy) IO IN Gi I ( x; y; 0) Ta cú: I ; ;0 IO IB 6 Cõu 198 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hỡnh vuụng MNPQ cú M(5;3; 1) , P(2;3; 4) Tỡm to nh ( R) : x y z Q bit rng nh N nm mt phng Gi I l tõm hỡnh vuụng I ;3; Gi N (a; b; c) ( R) MP (3; 0; 3) IN a ; b 3; c ; MP IN 2 a b c N ( R) a 2, b 3, c Ta cú: IN MP a c a 3, b 1, c 2 IN a (b 3)2 c 2 2 Nu N(2;3 1) thỡ Q(5;3; 4) Nu N(3;1; 2) thỡ Q(4;5; 3) Cõu 199 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit B(3; 0;8) , D(5; 4;0) v nh A thuc mt phng (Oxy) Tỡm ta im C Ta cú trung im BD l I(1;2; 4), BD = 12 v im A thuc mp(Oxy) nờn A(a; b; 0) AB2 AD 2 2 2 (a 3) b (a 5) (b 4) ABCD l hỡnh vuụng 2 2 (a 1) (b 2) 36 AI BD 17 a b 2a a A(1; 2; 0) hoc A 17 ; 14 ;0 hoc 2 b (a 1) (6 2a) 20 5 b 14 Trang 66 Trn S Tựng hoctoancapba.com Vi A(1; 2; 0) C(3;6; 8) PP to khụng gian 17 14 27 Vi A ; ;0 C ; ;8 5 5 Cõu 200 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hỡnh vuụng ABCD, bit A(1;2; 0), C (2;3; 4) v nh B nm trờn mt phng (Q): x y z Tỡm to ca nh D, bit to ca B l nhng s nguyờn AC AB Gi B( x; y; z) x y z (1) B (Q) Ta cú: AB CB ( x 1)2 ( y 2)2 z2 ( x 2)2 ( y 3)2 ( x 4)2 (2) AB ( x 1)2 ( y 2)2 z2 (3) x 1; y 1; z B(1;1;2) Vy D(4; 4; 6) Chõn thnh cm n cỏc bn ng nghip v cỏc em hc sinh ó c ti liu ny transitung_tv@yahoo.com Trang 67 hoctoancapba.com [...]... PP toạ độ trong không gian Câu 39 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 x y z 2 0 và điểm A(1;1; 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất ĐS: ( P ) : y z 0 hoặc (P ) : 2 x 5y z 6 0 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác Câu 40 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,... 6 d 2 2 Câu 43 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3; 0; 0), B(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 9 2 ĐS: (P ) : x 2 y 2z 3 0 Trang 13 hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương... thẳng d : 7 4 5 2 5 Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác Trang 35 hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Câu 105 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với tọa độ đỉnh C(3; 2; 3) và phương trình đường cao AH, phương trình đường phân giác trong BD lần lượt là: x 2 y 3 z3 x 1 y 4 z 3 , d2 : Lập phương trình đường thẳng chứa d1 : 1 1 2... tại điểm E có hoành độ bằng 3 đường thẳng d1 : d1 có VTCP u1 (2;1;3) , d2 có VTCP u2 (2;3;2) , (P) có VTPT n (2; 1;1) Giả sử có VTCP u (a; b; c) , E d2 có x E 3 E(3; 1;6) ( P ) u.n 0 Ta có: u.u1 0 d1 PT đường thẳng : x 3 t; 2 a b c 0 a c 2a b 3c 0 b c Chọn u (1;1; 1) y 1 t; z 6 t Câu 74 Trong không gian Oxyz,... t 9 3 hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng Câu 90 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z 1 0 và đường thẳng: d: x 2 y 1 z 1 Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường 1 1 3 thẳng nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến bằng h 3 2 (P) có VTPT nP (1;1; 1) và d có VTCP u (1; 1; 3) I d... Câu 92 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x 3y z 1 0 và các điểm A(1; 0; 0) ; B(0; 2;3) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất (nhỏ nhất) Ta có: A(1; 0; 0) ( P ) Gọi VTCP của đường thẳng d là: u (a; b; c), a2 b2 c2 0 Ta có: d ( P ) u.nP 0 c a 2b Trang 30 Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian hoctoancapba.com... là VTCP của Ta có cos(, d1 ) cos30 0 6t 9 6 (t 4)2 (t 1)2 (2t 3)2 Trang 33 3 t 1 2 t 4 hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng x 5 t + Với t 1 thì AB (5; 0; 5) d: y 1 z 5 t x 5 + Với t 4 thì AB (0;5;5) d: y 1 t z 5 t Câu 100 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4),... 9 11t Câu 60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần Trang 18 Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com PP toạ độ trong không gian x 1 y z 1 Lập 2 1 1 phương trình đường thẳng nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d) lượt có phương trình: (P) : x 2 y z 0, (Q) : x 3y 3z 1 0, (d ) : (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP ... PT mặt phẳng (P): PP toạ độ trong không gian hoctoancapba.com 2( x 1) ( y 2) (z 3) 0 hoặc 2( x 1) ( y 2) (z 3) 0 Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x 2 y z 5 0 và đường x 1 y 1 z 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo 2 1 1 với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất thẳng d : PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz ... z 2 t Câu 35 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (1; 1;3), N (1; 0; 4) và mặt phẳng (Q): x 2 y z 5 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất ĐS: (P ) : y z 4 0 Câu hỏi tương tự: a) M (1;2; 1), N (1;1;2),(Q) (Oxy) ĐS: ( P ) : 6 x 3y 5z 7 0 x 1 t Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ... nh nht S: (P ) : x y z Cõu 38 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng d : Trang 12 Trn S Tựng hoctoancapba.com PP to khụng gian Cõu 39 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt phng (Q):... (P ) v vuụng gúc vi ng thng d Cõu 47 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng d : x y z u ud ; nP (2;5; 3) nhn u lm VTCP : Cõu 48 Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng (d)... Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz, cho mt phng ( P ) : x y z v cỏc im A(1;2;1) , B(0;1;2) , C(0; 0;3) Tỡm im M ( P ) cho MA2 3MB2 MC nh nht Gii tng t nh Cõu 10 Cõu 148 Trong khụng gian