Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN Tọa độ vectơ điểm: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Cho   M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B )  → AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) Vectơ Tọa độ vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ Khi mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22  → AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) + ( z A − z B )2  x1 = x2  u = v ⇔  y1 = y2 z = z  Hai vectơ phương:  x2 = kx1 x y z  Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔  y2 = ky1 hay = = x1 y1 z1  z = kz  Tích vô hướng hai vectơ: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ( ) Tích vô hướng hai véc tơ cho u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) Từ suy cos u , v = u.v u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x + y12 + z12 x22 + y22 + z22  → u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = Ví dụ 1: [ĐVH] Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − j − k , d = i a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) phương với a b) Xác định số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc c) Tính a ; b ; a + 2b Hướng dẫn giải: −1 a) Để u phương với a ⇔ = ⇔k =− 2k − b) c = i − j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0) Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  m=   ma = (m; −m;0) m + n + p =     → d = ma − nb + pc ⇔  −m − n − p = ⇔  n = Ta có  nb = (−n; n;2n)    −2n − p =  = − − pc ( p ; p ; p )   p = −1    c) a = 12 + (−1)2 = 2; b = (−1)2 + 12 + 22 = a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4)  → a + 2b = (−1) + 12 + 42 = 18 = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3) a) Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật ABCD b) Tính cosin góc tam giác ABC c) Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB Hướng dẫn giải: a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD hình bình hành → AB.BC ⇔ ABC = 900 Vậy ABCD hình chữ nhật Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 =  S ABCD = AB BC = 12 + 12 + 22 22 + 12 = 30 b) Gọi góc cạnh tam giác ABC φ1; φ2; φ3 Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc đường thẳng không vượt 900 nên ta có: 1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 + 12 12 + 22 1.3 + 2.1 + 1.1 cos φ = cos AB; AC = = 2 2 2 66 + +1 +1 + 2.3 − 1.1 + 0.1 cos φ3 = cos BC ; AC = = 2 2 55 +1 +1 + ( ) ( ) ( ) c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ I(0, y, 0)  → IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2) I cách A B IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ 12 + (1 + y ) + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y = −7  −7   → I  0; ;0    Ví dụ 3: [ĐVH] Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; ) Tìm toạ độ vectơ u với: a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c e) u = a − b − 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) Tìm: d) u = 3a − b + 5c b) a ( b c ) a) ( a.b ) c c) u = −4b + c 3 f) u = a − b − c c) a b + b c + c a Ví dụ 5: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) Tìm m để a) a + 2b − 3c = 69 ( (Đ/s: m = 2) ) b) a + 3c b = ( ) 22 (Đ/s: m = 1) 3045 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; 3; ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) Tìm m để c) cos a + b; b − 2c = a) 2a + c = 74 ( )( (Đ/s: m = 1) ) b) b + 2c 2a − c = (Đ/s: m = –2) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  a = 4, b = a)   X = a − b  a = (2; −1; −2), b = 6, a − b = b)  Y = a + b Ví dụ 8: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm điểm M Oy cách điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1)  11  Đ/s: M  0; ;0    BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tìm tọa độ chân đường vuông góc H tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0)  96 80 192  Đ/s: H  − ; ;   41 41 41  Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3) Bài 3: [ĐVH] Tìm điểm C Ox cho tam giác ABC vuông C với A(1;1;2), B (−1;2;5) Đ/s: D(2;2;2;)   Đ/s: M  1; ;0    Đ/s: C ( −2;0;0 ) Bài 4: [ĐVH] Tìm điểm C Oy cho tam giác ABC vuông B với A(2; −1;0), B (1; −1;1) Đ/s: C ( 0;3;0 ) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − MB + MC = MD, với D(4; 3; 2) Đ/s: S = Bài 5: [ĐVH] Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz cho M cách điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1) 7 5 Đ/s: M  ;0; −  6 6 Bài 6: [ĐVH] Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1) a) Chứng minh A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Bài 7: [ĐVH] Trong không gian Oxyz, cho điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điểm G, H, I thẳng hàng Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! ... = 30 b) Gọi góc cạnh tam giác ABC φ1; φ2; φ3 Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc đường thẳng không vượt 900 nên ta có: 1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 +...  → I  0; ;0    Ví dụ 3: [ĐVH] Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; ) Tìm to độ vectơ u với: a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c e) u = a − b − 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ba