Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ ĐƯỢC THẨM ĐỊNH ( PHẦN 5)
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Đề thi gồm câu, trang) Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = x x+2 + + x − x x + x ( x − 1)( x + x ) a) Rút gọn P b) Tính P x = + 2 c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình x − 3x + m = (1) (x ẩn) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x12 + + x22 + = 3 b) Giải phương trình: x − 10 x + 27 = − x + x − Bài (2,0 điểm) a) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 x −1 − 2x x 1 + + ÷ b) Cho x > 1; y > Chứng minh: ÷ + ≥ 3 ( x − 1) y y x −1 y Bài (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 c) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM Chứng minh NI = KB Bài (1,0 điểm) Trong tháng gồm 30 ngày, đội bóng chuyền thi đấu ngày trận chơi không 45 trận Chứng minh tìm giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 1) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN :TOÁN Thời gian làm : 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm trang) Bài (2 điểm) Đáp án Điểm a (0.75 điểm) P= x x+2 + + x ( x − 1) x ( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x( x + 2) + 2( x − 1) + x + x x + x + x − + x + = x ( x − 1)( x + 2) x ( x − 1)( x + 2) = x x + 2x + x + x = x ( x − 1)( x + 2) x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1) = x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1) 0.25 0.25 0.25 b (0.5 điểm) x = + 2 ⇔ x = + 2 + = ( + 1) = + P= ( x + 1) +1+1 2+2 = = = 1+ ( x − 1) +1−1 c (0.75 điểm) ĐK: x > 0; x ≠ : 0.25 0.25 x −1+ 2 = 1+ x −1 x −1 Học sinh lập luận để tìm x = x = P= 0.25 ( x + 1) = ( x − 1) 0.25 0.25 a (1 điểm) (1) Theo định lí Viet x1 + x2 = 3, x1 x2 = m Bình phương ta 0.25 x12 + x22 + + ( x12 + 1)( x22 + 1) = 27 0.25 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = − 4m > ⇔ m < ⇔ x12 + x22 + x12 x22 + x12 + x22 + = 25 Tính x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = − 2m đưa hệ thức (2 điểm) dạng m − 2m + 10 = m + (2) ⇒ m − 2m + 10 = m + 16m + 64 ⇔ 18m = −54 ⇔ m = −3 0.25 Thử lại thấy m = −3 thỏa mãn pt (2) điều kiện (1) b (1 điểm) ĐK: ≤ x ≤ : VT = x − 10 x + 27 = ( x − 5) + ≥ , dấu “=” xẩy ⇔ x = 0.25 VP = − x + x − ≤ (12 + 12 )(( − x ) + ( x − 4) ) ⇔ VP ≤ , Trang 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) = 6− x dấu “=” xảy ⇔ ⇒ 6− x = x−4 ⇔ x = x−4 0.25 VT = VP ⇔ x = (TMĐK) Vậy nghiệm phương trình: x = 0.25 a (1 điểm) x > 1; y > ⇔ x − > 0; y > ⇔ x −1 > 0; > 0; > ( x − 1) y y Áp dụng BĐT Côsi cho số dương: 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ −2 3 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) x −1 3 (1) 0.25 x −1 x −1 x − 3( x − 1) −2 ÷ +1+1 ≥ 33 ÷ 1.1 ⇔ ÷ ≥ y y y y 1 + + ≥ 3 1.1 ⇔ ≥ − y y y y (2) 0.25 (3) Từ (1); (2); (3): 0.25 3 (2 điểm) x −1 1 3( x − 1) + −6+ + ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y y x −1 1 − x + 3x − 2x x ⇔ + + = 3( + ) ÷+ 3≥ ( x − 1) y y x −1 y x −1 y 0.25 b (1 điểm) Với n = ta có A(0) = 19 M 19 Giả sử A chia hết cho 19 với n = k nghĩa là: A(k) = 7.52k + 12.6k M 19 Ta phải chứng minh A chia hết cho 19 với n = k + nghĩa phải chứng minh: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + M19 Ta có: A(k + 1) = 7.52(k + 1) + 12.6k + = 7.52k.52 + 12.6n = 7.52k.6 + 7.52k 19 + 12.6n = 6.A(k) + 7.52k 19 M19 Vậy theo nguyên lý quy nạp A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 với số tự nhiên n (3 điểm) Trang 0.25 0.25 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) a (0.75 điểm) Ta có : ·AKB = 900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) · · = 900 ; HCB = 900 ( gt ) hay HKB · · Tứ giác BCHK có HKB + HCB = 900 + 900 = 1800 ⇒ tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b (0.75 điểm) Chứng minh ΔACH ∽ ΔAKB ( g.g ) AC AH = AK AB ⇒ AK AH = AC AB R = ×2 R = R 2 0.25 0.25 0.25 0.25 ⇒ 0.25 0.25 c (1.5 điểm) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ∆OAM có OA = OM = R ( gt ) ⇒ ∆OAM cân O ( 1) ∆OAM có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt) 0.25 ⇒ ∆OAM cân M ( ) ( 1) & ( ) ⇒ ∆OAM tam giác 0.25 · · · ⇒ MOA = 600 ⇒ MON = 1200 ⇒ MKI = 600 · ∆KMI tam giác cân (KI = KM) có MKI = 600 nên tam giác ⇒ MI = MK ( 3) 0.25 1· · = MON = ×1200 = 600 nên Dễ thấy ∆BMK cân B có MBN 2 tam giác ⇒ MN = MB ( ) 0.25 Gọi E giao điểm AK MI · · NKB = NMB = 600 · · Dễ thấy ⇒ NKB = MIK ⇒ KB // MI (vì có ·MIK = 600 cặp góc vị trí so le nhau) mặt khác AK ⊥ KB ( cmt ) · · nên AK ⊥ MI E ⇒ HME = 900 − MHE · HAC = 900 − ·AHC · · · · HME = 90 − MHE cmt = HME ( ) ⇒ HAC Ta có : ·AHC = MHE · ( dd ) · · » ) mặt khác HAC (cùng chắn KB = KMB · · · · = KMB hay NMI ⇒ HME = KMB ( 5) ( 3) , ( ) & ( 5) ⇒ ∆IMN = ∆KMB ( c.g.c ) ⇒ NI = KB (đpcm) Gọi aj số trận mà đội chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j Khi ≤ a1 < a2 < < a30 < 45 (1 điểm) 15 ≤ a1+14 < a2+14 < < a30+14 < 59 Sáu mươi số nguyên a1, a2, , a30, a1+ 14, a2 + 14, , a30+14 nằm 59 Do theo nguyên lý Dirichlet có 60 số Vì tồn i j cho = aj + 14 (j < i) Điều có nghĩa từ ngày j + đến hết ngày i đội chơi 14 trận Trang 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) - Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (2 điểm) : a +1 a a −1 a2 − a a + a −1 với a > 0, a ≠ + + a a− a a −a a Chứng minh M > Cho biểu thức: M = Cho x = + − − Tính giá trị biểu thức f ( x ) = x + 3x Câu (2 điểm) 1/ Cho phương trình : x − 3x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + 1 y2 = x1 + x1 x2 2/ Giải phương trình : − x + x −1 = Câu (2 điểm) 1/Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương 2/ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 A = 1 + ÷ 1 + ÷ 1 + ÷ a b c Câu (3 điểm) Cho AB đường kính đường tròn (O;R) C điểm thay đổi đường tròn (C khác A B), kẻ CH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm AC, OI cắt tiếp tuyến A đường tròn (O;R) M, MB cắt CH K 1) Chứng minh MC tiếp tuyến (O;R) 2) Chứng minh K trung điểm CH 3) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Câu (1điểm) Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Có Nhà Toán học nam , Nhà toán học nữ , Nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam , nữ , nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách lập đoàn công tác? -Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 2) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi.10điểm Câu Đáp án 1.1(1 điểm) Điểm a a − ( a − 1)(a + a + 1) a + a + = = a− a a ( a − 1) a Do a > 0, a ≠ nên: 0,25đ a − a a + a − (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − = = = a −a a a (1 − a) a (1 − a) a a +1 +2 a Do a > 0; a ≠ nên: ( a − 1) > ⇔ a + > a ⇒ M= (2điểm) ⇒ M> 0,25đ 0,25đ a +2=4 a 0,25đ 1.2(1 điểm) Ta có x = ( 5+2 − x = + − + − 33 x3 = − 3 − ( 5−2 ( 5+2 (2điểm) )( 5−2 ) )( + − − = − 3x ⇒ f ( x) = − 3x + 3x = ) 5+2− 5−2 ) 0,5đ 0,25đ 0,25đ 2.1 (1 điểm) Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó: S = y1 + y2 = x2 + 1 1 1 x +x + x1 + = ( x1 + x2 ) + + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + 0,25đ = x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) P = y1 y2 = ( x2 + 1 1 )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 y − Sy + P = Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y2 − 0,25đ 9 y + = ⇔ y2 − y + = 2 0,5đ 2.2(1 điểm) TXĐ: x ≥ Đặt − x = a x − = b(b ≥ 0) Theo pt cho ta có a + b = (1) Mặt khác : a + b2 = ( 2− x ) 0,25đ + ( x − 1) = (2) 0,25đ a + b = Từ (1) (2) ta có hệ pt: a + b = a = a = ; ; Giải hệ pt ta nghiệm : b = b = Vậy phương trình cho có nghiệm : x1 = 2; x2 3.1(1 điểm) Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ 2p.2q = (a+48)(a-48) a+48 = 2p (Với p, q 0,25đ 0,25đ 0,25đ N) 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) ⇒ a = −2 b = = 1; x3 = 10 ∈ N ; p+q = n p > q ) ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3 a - 48 = 2q ⇒ q = p-q = ⇒ p = ⇒ n = 5+7 = 12 0,25đ 0,25đ 0,25đ 3.2(1 điểm) Biến đổi A = + ( 1 1 1 + + 3)+( 3 + 3 + 3)+ 3 3 a b c a b b c c a a b c 0,25đ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta có 1 1 + 3+ ≥ ; 3+ 3+ 3 ≥ 2 abc a b a b c b c c a a b c 3 1 + + = 1 + Suy A ≥ + abc a b c a b c abc 1 a+b+c ≥ Ta có a+b+c=6 ⇒ abc ≤ =8⇒ abc Trang 0,25đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) 0,25đ 3 (2điểm) 729 1 ⇒ A ≥ 1 + = 512 8 0,25đ 729 Giá trị nhỏ A a = b = c = 512 M C I A K O H B 4.1(1 điểm) (3điểm) · · - Chứng minh AOM = COM - Chứng minh ∆ AOM = ∆ COM - Chứng minh MC ⊥ CO ⇒ MC tiếp tuyến (O; R) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 4.2(1 điểm) ∆ MAB có KH//MA (cùng ⊥ AB) ⇒ KH HB AM.HB AM.HB = ⇒ KH = = (1) AM AB AB 2R · · Chứng minh cho CB // MO ⇒ AOM (đồng vị) = CBH C/m ∆ MAO đồng dạng với ∆ CHB ⇒ MA AO AM.HB AM.HB = ⇒ CH = = (2) CH HB AO R Từ (1) (2) suy CH = KH ⇒ CK = KH ⇒ K trung điểm CH 4.3(1 điểm) Chu vi tam giác ACB PACB = AB + AC + CB = 2R + AC + CB Ta lại có ( AC − CB ) ≥ ⇒ AC + CB ≥ 2AC.CB ⇒ 2AC + 2CB ≥ AC + CB + 2AC.CB Trang 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ( ) AC + CB ≥ ( AC + CB ) ( ) ⇒ AC + CB ≤ AC + CB (Pitago) ⇒ AC + CB ≤ 2AB AC + CB ≤ 2.4R ⇒ AC + CB ≤ 2R Đẳng thức xảy AC = CB ⇔ M điểm cung AB ( ) Suy PACB ≤ 2R + 2R = 2R + , dấu "=" xảy M điểm cung AB ( 0.25đ 0.25đ ) Vậy max PACB = 2R + đạt M điểm cung AB (1điểm) Chỉ có cách lập đoàn công tác sau : - Gồm nhà vật lí nam , nhà toán học nữ Theo quy tắc nhân , số C42 C31 = 6.3 = 18 cách chọn : - Gồm nhà vật lí nam , nhà toán học nữ Theo quy tắc nhân , số cách chọn : C4 C3 = 4.3 = 12 - Gồm nhà vật lí nam , nhà toán học nữ , 1nhà toán học nam Theo quy tắc nhân , số cách chọn : C41 C31.C51 = 4.3.5 = 60 Theo quy tắc cộng số cách lập đoàn cộng tác : 18+12+60= 90 Vậy có 90 cách lập đoàn công tác 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ -Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 Trang 10 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) điểm) ⇒ ( a + b ) c ( a + b + c ) = − ab ( a + b ) ⇒ ( a + b) ( a + c) ( b + c) = 0,25 a + b = a = −b ⇒ a + c = ⇒ a = −c b + c = b = −c 0,25 Thế vào tính Q = 0,25 b (1,0 điểm) Ta có: 2012 = ( abc + bcd + cda + dab − a − b − c − d ) = ( ( ab − 1) ( c + d ) + ( cd − 1) ( a + b ) ) 2 0,25 0,25 2 2 ≤ ( ab − 1) + ( a + b ) ( cd − 1) + ( c + d ) = ( a 2b + a + b + 1) ( c d + c + d + 1) = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) 2 2 Suy ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) ≥ 2012 0,25 0,25 (2,0 điểm) E D I H F C A O M B a (0,5 điểm) · · · · EMF = MBA = CFA = MFE 0,25 0,25 Suy tam giác EMF tam giác cân E b (1,0 điểm) · DIF · Gọị H trung điểm DF Suy IH ⊥ DF DIH = Trang 46 (3) BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) · · Trong đường tròn ( I ) ta có: DMF DIF góc nội tiếp góc 1· · = DIF tâm chắn cung DF Suy DMF (4) 0,25 · · · · Từ (3) (4) suy DMF hay DMA = DIH = DIH 0,25 · · » ) Trong đường tròn ( O ) ta có: DMA (góc nội tiếp chắn DA = DBA · · Suy DBA = DIH Vì IH BC vuông góc với EC nên suy IH // BC · · · · Do DBA + HIB = 180o ⇒ DIH + HIB = 180o ⇒ Ba điểm D, I, B thẳng hàng 0,25 0,25 (3,0 điểm) c (0,5 điểm) · · Vì ba điểm D, I, B thẳng hàng ⇒ ABI = ABD = Mà C cố định nên D cố định ⇒ » sđ AD C » không sđ AD đổi S3 B Do góc ABI có số đo khôngH đổi M thay đổi cung BD S1 (1,0 điểm) A 0,25 S2 I S4 K D a (0,5 điểm) Gọi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S = S AID Kẻ AH ⊥ BD; CK ⊥ BD Trang 47 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Ta có: S AIB = S BI 1 (1) AH BI ; S AID = AH DI ⇔ = S4 DI 2 SCID = CK DI ; Từ (1) (2) suy ra: S3 BI = (2) S BIC = CK BI ⇔ S2 DI S1 S3 = ⇔ S1.S2 = S3 S (3) S4 S2 Ta có: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 0,25 ≥ S1 + S2 + S3 S (4) Từ (3) (4) ta suy ra: S ≥ S1 + S + S1.S2 = ( S1 + S ) ⇔ S ≥ S1 + S 0,25 b (0,5 điểm) Khi tứ giác ABCD hình thang ta xét: * Nếu AB // CD ta có: S ACD = S BCD suy ra: S = S 0,25 ⇒ S = S1 + S * Nếu BC // AD ta có: S ABC = S CAD S suy ra: S = S ⇒ ≥ S1 = S 2 Dấu xảy S1 = S = S = S = ⇔ ABCD hình bình hành S 0,25 Trang 48 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Xét tất số dạng abcd gồm bốn chữ số 1, 2, 3, Trước hết chữ số a chọn bốn chữ số 1, 2, 3, Khi chữ số b chọn ba chữ số lại, chữ số c chọn hai chữ số sau chọn a b, có tất 4.3.2 = 24 số gồm bốn chữ số 1, 2, 3, (1 điểm) Xét hàng 24 số, số lần có mặt chữ số hàng nhau, nên chữ số có mặt (ở hàng đó) 24:4 = lần Từ tổng chữ số hàng 6(1 + + + 4) = 60 Tổng 24 số (không có phần thập phân) gồm bốn chữ số (4 hàng) 60.60.1000 + 60.100 + 60.10 + 60 = 66660 Khi tính tổng số có k chữ số (k = 1,2,3) phần thập phân, ta phải lùi dấu phảy sang trái k chữ số, nghĩa tổng giảm 10 lần, 100 lần, 1000 lần, tổng tất số thập phân lập là: 6666 + 666,6 + 66,6 = 7399,2 0,25 0,25 0,25 0,25 -Hết - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 MÔN:Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 5câu,1.trang) Câu (2điểm) 3 a) Cho − ≤ x ≤ ; x≠0 + 2x − − 2x = a Tính giá trị biểu thức P = + − 4x theo a x b) Cho số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện 3 2 x 1− y2 + y 1− z + z 1− x2 = chứng minh x + y + z = 2 Câu (2 điểm) a) Cho phương trình x + 2mx + = (*) Tìm giá trị tham số m để phương trình 4 4 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ; x3 ; x4 thoả mãn x1 + x2 + x3 + x4 = 32 Trang 49 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) x + y = yz y + z = xz b) Giải hệ phương trình z + x = xy 2 x + y + z = 12 Câu (2điểm) a) Tìm số nguyên tố p cho số p − 1; p + 3; p + số nguyên tố b) Cho a, b, c > chứng minh a b c + + < a+b b+c c+a a b c + + b+c c+a a+b Câu (3điểm) Cho điểm A , B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi qua B C (O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn b Chứng minh điểm K cố định đường tròn tâm O thay đổi c Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Câu (1điểm) Tìm cạnh hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông chứa đường tròn có bán kính đường tròn đôi điểm chung -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ ) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán Chú ý: - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Điểm thi: 10 Câu Đáp án Điểm 3 a ( điểm) Cho − ≤ x ≤ ; x≠0 + 2x − − 2x = a Tính giá trị biểu thức ( 2) 2 Trang 50 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) + − 4x theo a x P= + 2x+2 P= = ( + 2x ) ( − 2x ) + − 2x x ( + 2x + − 2x ) 0,25 x + 2x + − 2x = x 4x = = a x + 2x − − 2x ( 0,25 0,25 0,25 ) b (1điểm) Cho số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện 3 2 x 1− y2 + y 1− z + z 1− x2 = chứng minh x + y + z = 2 +Áp dụng BĐT Cô-si cho cặp sô không âm ta có x +1 − y y +1 − z 2 2 x 1− y + y 1− z + z 1− x ≤ + + 2 z +1 − x + = 2 0,25 x = 1− y2 y = 1− z z = − x x2 = − y Đẳng thức xảy : ⇔ y = 1− z2 z = − x2 ⇒ x + y + z = ( dpcm) 0,25 0,25 0,25 Trang 51 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) a.( điểm) ( 2đ) Đặt x = t > phương trình (*) trở thành t + 2mt + = (1) Phương trình (*) có nghiệm phân biệt nên phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 nghĩa là: ∆ ' = m2 − > t1 + t2 = −2m > t t = 1 m >2 ⇔ m < t t = 1 0,25 m > ∧ m < −2 ⇔ m < ⇒ m < −2 Khi m ⇒ p − 1; p + & p + > 0,25 2 Nếu p chia cho dư p + chia hết trái GT Nếu p chia cho dư p − chia hết trái GT Nếu p chia cho dư p + chia hết trái GT 2 +) Xét p=2 p + =16 (loại) +) Xét p=7k, p nguyên tố nên p=7 nguyên tố, có: p − = 97; p + = 101; p + = 151 số nguyên tố Vậy p =7 b(1điểm) Cho a, b, c > chứng minh a b c a b c + + < + + a+b b+c c+a b+c c+a a+b Áp dụng BĐT Cô - si Trang 53 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) a + ( b + c) ≥ a( b + c ) > 2 ⇒ ≤ ⇒ a+b+c a( b + c ) ⇒ a ≥ a( b + c ) 2a a+b+c a 2a ≥ b+c a+b+c b 2b ≥ c+a a+b+c 0,25 c 2c ≥ a+b a+b+c Tương tự 0,25 a b c + + ≥ 2(1) b+c c+a a+b a a+c − bc − = ab +bc +ca Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC a) Chứng minh MA = MB + MC MD.MA b) Gọi D giao điểm MA BC Chứng minh có giá trị không MB.MC đổi M di chuyển cung nhỏ BC c) Tính tổng MA + MB2 + MC2 theo R Câu (1 điểm) Cho a,b,c số dương thoả mãn a+b+c=1 Tính GTNN P P= a b c + + + a + b + c + 9abc Chú ý: - Cán coi thi không giải thích thêm - Thí sinh không sử dụng MTBT -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ (ĐỀ SỐ 10 ) Trang 57 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Lớp - Năm học 2015 - 2016 MÔN: Toán Câu Đáp án a, ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠ Biểu thức rút gọn : x + 16 x +3 b) Ta thấy x = − ∈ ĐKXĐ Suy P= ( 2điểm) c) P = x + 16 = x +3 Điểm 0.25 0.25 103 + 3 22 0,5 x − + 25 25 25 = x −3+ = x + 3+ −6 x +3 x +3 x +3 0.5 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương x + 25 Pmin= x=4 x +3 1a.( 0,5 đ) 0.5 x − + x − + 11 + x + x − = ⇔ x −5+ x −5 + + x − + 2.4 x − + 16 = ⇔ (2 + x − 5) + (4 + x − 5) =8 ⇔ + x − + 4+ x − =8 ( 2điểm) (ĐK: x ≥ 5) 0,25 ⇔ x−5 = ⇔ x −5 =1 ⇔ x −5 =1 ⇔ x = 6(TMDK ) Vậy phương trình cho có nghiệm x= 1b.(0,75 đ) Ta có: xy+ 4y - 4x = 32 y(x+4)- 4(x+4)=16 (x +4)(y -4) = 16 Nêu x + ước 16 x + 4> => x + ∈{8; 16} x+ 4= => x = ; y = x+ 4= 16=> x = 12 ; y = Kết luận: (x; y) = (6; 6), (12; 5) m 2.( 0,75 đ) V=(2m +3) −4( m −3m) =9 >0∀ ⇒phương trình có hai nghiệm phân biệt với m Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = m-3; x2 = m Với m ta có m-3< m nên ta cần tìm m để 1< m-3< m< 6 Trang 58 ⇔4< m< 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) a.Từ gt ta có: a( c2+ b2 ) = c ( a2+ b2) ⇔ac2+ ab2= ca2+cb2 ⇔(b2-ac) (a-c) = ( 2điểm) Mà a-c ≠0 ⇒b2 = ac Mặt khác a,b,c số nguyên tố ⇒a = b = c ⇒a2+b2+c2 số nguyên tố b Bất đẳng thức 0,25 0,25 0,25 0,25 a2 a2 0,25 ⇔b +c + −ab −ac +2bc + −3bc >0 12 a a2 0,25 ⇔(b +c − ) + −3bc >0 12 0,25 Mà abc = ⇒bc = a a a −36 ⇒(b +c − ) + >0 ( a3 > 36 nên a>0) ⇒ 0,25 12a đpcm 2 ( 3điểm) c) Trên đoạn MA lấy điểm I cho MI = MB · · · C/m ∆MBI ⇒ IBM = 600 ⇒ ABI = CBM C/m ∆ABI = ∆CBM ( c.g.c ) ⇒ AI = MC Do MA = MI + AI = MB + MC · · b) ∆MCD ∆MAB có MCD ( hai góc nội tiếp chắn cung = MAB BM), · · CMD = AMB = 60 nên ∆MCD ∆MAB đồng dạng ⇒ MD MC MD MB MD MD MC MB MB + MC = , = ⇒ + = + = =1 MB MA MC MA MB MC MA MA MA Trang 59 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) MD.MA MD ( MB + MC ) MD MD = = + = MB.MC MB.MC MB MC MD.MA Vậy, có giá trị không đổi M di chuyển cung nhỏ BC MB.MC c) Đặt MA = x, MB = y Ta có : Do MA + MB2 + MC = x + y + ( x − y ) = ( x + y − xy ) (1) 0,25 0,25 2 y y 3y · Kẻ BH ⊥ AM Do BMH = 600 nên MH = , BH = y − ÷ = 2 y 3y AB = AH + BH = x − = x + y − xy (2) Do ÷ + 2 Từ (1) (2) suy MA + MB2 + MC2 = 2AB2 Ta lại có AB = R Do MA + MB2 + MC2 = 6R 2 P= a+ a + b+ b + c+ c + 9abc + 1 9abc a+ +b+ +c+ a b c ≥ + 10 9abc 243abc 243abc = + 10 9abc 39 243abc = + ≥ ÷+ 30abc 90abc 10 10 ≥ ( 1điểm) Min( P) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 39 ⇔ a =b =c = 10 -Hết - Trang 60 0,25 [...]... đều thẳng hàng Chứng minh rằng 2000 điểm đã cho đều thẳng hàng -Hết - ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 6) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Chú ý: - Thí sinh làm bài theo cách khác vẫn cho điểm tối đa - Điểm bài thi làm tròn đến số thập phân thứ hai Bài Đáp án 1.1 (1,0 điểm) Trang 29 Điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT(... 22 0.25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1) 0.25 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình Hết ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm... ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD Bài 5 (1,0 điểm) Cho 2014 số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng trong số các số đó có một số chia hết cho 2014 hoặc có một số số mà tổng của các số ấy chia hết cho 2014 -Hết - Trang 11 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN:TOÁN HỌC... điểm) Trang 17 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a,b sao cho : a + b2 chia hết cho a2b – 1 Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 4) Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 MÔN: TOÁN TT Ý a Nội dung a/ Rút gọn biểu thức A = Điểm 2 x 9 x + 3 2 x +1 − − x −5 x +6 x −2 3− x 0.25 ĐKXĐ: x ≠ 4; x ≠ 9 A= Câu 1 (2.0 điểm ) ( 2 x 9 x −2 ( = (... S j − Si M2014 ⇒ ai +1 + L + a j M2014 điều phải chứng minh -Hết - ĐỀ SỐ 4 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9 - Năm học 2015-2016 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Trang 16 0,25điểm BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Câu 1: ( 2.0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = 2 x 9 x + 3 2 x +1 − − x −5 x +6 x − 2 3− x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1 Hãy... a3 + a4 + a5 - Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong 0,25 - Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số Trang 27 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) dư khi chia cho 5 ( vì 5 tổng mà chỉ có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4) 0,25 Hiệu của hai tổng này chia hết cho 5 Gọi hai tổng đó là sm và sn ( 0 ≤ n < m ≤ 5), thì sm - sn M 5... 2015-2016 Trang 34 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) MÔN: Toán Thời gian làm bài : 150 phút ( Đề thi gồm 5 câu,01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1.1 Rút gọn biểu thức sau: 5 − 3 − 29 − 12 5 ; 1 2x + x − 1 2x x + x − x 1 − + ÷ ÷: x 1− x 1+ x x 1− x 1.2 Cho biểu thức A = Với x > 0; x ≠ 1 ; x ≠1 4 a) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2 b) So sánh A với A Câu 2 (2,0...BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 05 câu 01 trang) Bài 1 (2,0 điểm) ( )( ) 2x −1+ x 2x x + x − x x − x 1− x + −1 ÷ ÷ 1 − x 1 + x x 2 x − 1 1.1 Cho biểu thức A = a... MHK = 450 + 90 0 = 1350 · · Tứ giác DMHK có MDK + MHK = 450 + 1350 = 1800 Do đó tứ giác DMHK nội tiếp ¼ ) · · Suy ra DMK (góc nội tiếp cùng chắn DK = DHK · · Mà DHK = 90 0 nên DMK = 90 0 ∆ BDK có 3 đường cao DH, BC, KM mà DH và BC cắt nhau tại E nên 0,25 E là trực tâm của tam giác BDK Do đó 3 điểm M, E, K thẳng hàng 0,25 0,25 0,25 Trang 32 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Câu... Trang 18 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) c c/Từ a= 3 16 − 8 5 + 3 16 + 8 5 ( )( ) ⇒ a 3 = 32 + 3 3 16 − 8 5 16 + 8 5 3 16 + 8 5 + 3 16 − 8 5 = 32 − 12a nên a3 + 12a 0,25 = 32 Vậy f(a) = 1 0,25 a Phương trình (x2-1)(x+3)(x +5) = m (1) (1) ⇔ (x2+4x+3)(x2+4x -5) = m (2) đặt y = x2+4x+4=(x+2)2 ≥ 0 Khi đó, (2) trở thành : (y-1)(y -9) = m ⇔ y2-10y +9- m = 0 (3) (1) có 4 nghiệm ... Trang BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) Có Nhà Toán học nam , Nhà toán học nữ , Nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam , nữ , nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách... - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP - Năm học 2015-2016 Trang 10 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm... - ĐỀ SỐ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 9- Năm học 2015-2016 Trang 34 0,25 BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 4) MÔN: Toán Thời gian làm : 150 phút ( Đề thi gồm