GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Chuyên Đề Lượng Giác Luyện Thi Đại Học Phần 1: Hàm số lượng giác A Kiến thức cần nhớ Các đẳng thức b) tan x  a) sin x  cos x  sin x cos x c) cot x  cos x sin x 1 e)  cot x  f) tan x cot x  cos x sin x Giá trị hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt a) Hai cung đối b) Hai cung bù c) Hai cung khác  cos( x)  cos x sin(  x)  sin x sin( x  2 )  sin x sin( x)   sin x cos(  x)   cos x cos( x  2 )  cos x tan( x)   tan x tan(  x)   tan x tan( x  2 )  tan x cot( x)   cot x cot(  x)   cot x cot( x  2 )  cot x d) Hai cung khác  e) Hai cung phụ sin(  x)   sin x     sin   x   cos x ; cos  x   sin x cos(  x)   cos x 2  2  tan(  x)  tan x     tan  x   cot x ; cot   x   tan x cot(  x)  cot x 2  2  B Bài tập Tìm giá trị  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ 1 A ; B  sin   cos  Xét dấu biểu thức sau: a) sin 123o  sin 132 o b) cot 304 o  cot 316 o Rút gọn biểu thức sau: a) tan 540 o  cos 1170 o  sin 990 o  cos 540 o 25 13 19 b) sin  tan  cos o o o c) sin 15  sin 35  sin 55  sin 75o d) cos 15o  cos 35o  cos 55o  cos 75o  3 5 7 9 11  sin  sin  sin  sin  sin e) sin 12 12 12 12 12 12  3 5 7 9 11  cos  cos  cos  cos  cos f) cos 12 12 12 12 12 12    3  g) sin(  a)  cos  a   cot(2  a)  tan  a 2    2 h) A  sin a  cos a  sin a cos a a a   sin  cos   2 i) B   a a a tan  sin cos 2 2 o cos 696  tan(260 o ) tan 530 o  cos 156 j) C  tan 252 o  cot 342 o d)  tan x   17  7   13   tan  b   cot  cot 7  b  k)  tan 4      -1- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC   sin x  sin x   cos x  cos x    l)       sin x   cos x  cos x    sin x m) sin a(1  cot a)  cos a(1  tan a) tan b n) tan b  cot b  cos a  sin a o) cos a sin( x   ) cos( x  2 ) sin(2  x) p)    3  sin   x  cot(  x) cot   x 2    2      3    q) sin  x   sin(  x)  cos  x   cos(2  x)    2        2   5   3  r) sin  a  tan  a  cos  a   tan(  a) tan  a 3        cot(5,5  a)  tan(b  4 ) s) cot(a  6 )  tan(b  3,5 ) t) tan 50 o tan190 o tan 250 o tan 260 o tan 400 o tan 700 o Cho A, B, C ba góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin( A  B)  sin C; cos(B  C)  -cosA c) tan( A  C)   tan B; cot(A  B)  -cotC AB C BC A AC B AB C b) sin d) tan  cos ; cos  sin  cot ; cot  tan 2 2 2 2  cos x Tìm giá trị lớn hàm số: y  sin x  cos x  cos x  sin x  Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số khoảng    x   : y  cos x  sin x  Gọi a, b, c cạnh đối diện với góc tương ứng tam giác ABC a) Cho sin B  sin C  sin A Chứng minh A  60o b) 2(a cos A  b cos B  c cos C )  a  b  c  ABC c) Chứng minh:  sin A  sin B  sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA  Phần 2: Các công thức lượng giác I Công thức cộng A Kiến thức cần nhớ 1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b 3) tan(a  b)  2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b  tan a tan b B Bài tập Chứng minh công thức sau:     a) cos a  sin a  cos  a   sin  a  4  4      b) cos a  sin a  cos  a   sin  a  4  4  Rút gọn biểu thức:   cos a  cos  a  4  a)    sin a  sin   a  4  -2- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC b) cos10o  cos11o.cos 21o  cos 69o.cos 79o c) (tan a  tan b).cot(a  b)  tan a tan b Chứng minh tam giác ABC ta có: A B B C C A b) tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 A B C A B C c) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  d) cot  cot  cot  cot cot cot 2 2 2   tan b  tan a a) Cho a  b  , chứng minh:  tan a   tan b  tan a  tan b a) tan A  tanB  tanC  tanA.tanB.tanC b) Cho a  b   , chứng minh: (1  tan a)(1  tan b)  (1  cot a)(1  cot b)  tan( x  a)  m a b c) Cho Chứngminh: tan( x  y )  tan(a  y )  n  ab d) Cho tan a  , tan b  (0  a, b  1v) Tìm a + b   e) Cho tan a   (  a   ) tan b  (0  b  ) Tìm a + b 2 2 f) Cho tan a  , tan b  (0  a, b  1v) Tìm a - b g) Cho tan a  , tan b  , tan b  Chứng minh a + b + c = 45o 12  5 Tìm giá trị hàm số lượng giác góc: 15o 75o 12 12 Cho  ,  ,  thoả mãn điều kiện:        Tìm giá trị lớn biểu thức: A   tan tan    tan  tan    tan  tan Chứng minh góc tam giác A, B, C thoả mãn đẳng thức sau tam giác ABC cân: cos A  cos B sin B  (cot A  cot B)  cos A a) b) 2 sin C sin A  sin B A c) a  b  tan (a tan A  b tan B) d) tan A  tan B  tan A tan B II Công thức nhân đôi nhân ba A Lý thuyết cần nhớ sin 2a  sin a cos a cos 2a  cos a  sin a   sin a  cos a  tan a tan 2a   tan a sin 3a  sin a  sin a cos 3a  cos a  cos a B Bài tập Rút gọn biểu thức sau:     sin   a .sin   a  4  4  a) sin 3a cos a  cos 3a sin a o o c) cos 20 cos 40 cos 80 o tan b)  1 tan  d) sin a cos a(cos a  sin a) -3- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC a a cos 2 o o h) cos10 cos 20 cos 40o j) sin 4a  sin 2a f) cos a  sin e) cos a  sin a cos a  sin a g) 1 sin a cos a i) sin a cos 3a  cos a sin 3a  2 k) cos cos l) cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o 5 m) tan a  tan 2a  tan 4a  tan 8a  16 tan16a  32 tan 32a sin a  sin 3a cos a  cos 3a n) o) sin a  sin 3a cos a  cos 3a Chứng minh:      a) sin a sin   a  sin   a   sin 3a Áp dụng với a  3  3  b) 8sin 18  8sin 18  c)  tan   tan   tan   cot  16 32 32 d) tan 36o tan 72o   5 7     e) cos a cos  a  cos  a   cos 3a Tính: cos cos cos 18 18 18 3  3  3 tan a  tan a f) tan 3a   tan a 1     g) tan a tan  a  tan  a   tan 3a Chứng minh: tan o tan 54 o tan 66 o  3  3  10  ab (a, b  0) Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 ab 2a b) Cho cos   Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 1 a2 c) Cho sin   cos   Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 4 Tìm giá trị nhỏ lớn hàm số sau:     a) y  sin x   sin x   b) y  cos x  sin x 4  4  a) Cho sin   c) y  1 sin x cos x III Công thức hạ bậc Công thức viết hàm lượng giác theo t  tan A Lý thuyết cần nhớ  cos 2a  cos a sin a   cos 2a  sin a B Bài tập Chứng minh biểu thức sau: sin a  sin 2a a  tan a) sin a  sin 2a 2 2t 1 t c) (sin a  sin b)  (cos a  cos b)  cos e)  sin a  a   cot     sin a  2 cos a  a 1 t2 1 t2 2t 1 t tan a   sin 2a  cos 2a    tan  a   sin 2a  cos 2a 4  a a d) tan  cot  cot a 2 b) ab f) tan o 30'  a b -4- g) sin a(sin a  sin b)  cos a(cos a  cos b)  cos  3   1 GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC a b h) (sin a  sin b)  (cos a  cos b)  sin 2  a   a  sin    sin         (0  a   ) i)  sin a  sin a Rút gọn biểu thức sau: 1 1   cos  (0     ) 2 2 a cot c) a  cot 2 a a tan tan  e) a a  tan  tan 2  cos   cos 2 g) sin 2  sin  Tìm giá trị biểu thức sin a a a) biết tan   cos a Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) y  cos x  sin x a)   c) y  sin   x   (sin x  cos x) 4  IV Công thức biến đổi tổng tích A Lý thuyết cần nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng sin a cos b  sin( a  b)  sin( a  b) cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b) sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b) 2 Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b sin a  sin b  sin cos 2 ab a b sin a  sin b  cos sin 2 ab a b cos a  cos b  cos cos 2 ab a b cos a  cos b  2 sin sin 2 1 1   cos  (0     ) 2 2 a a cot  tan 2 d) a a cot  tan 4 b) f) 1  tan a  1  tan a h) sin 2 cos   cos 2  cos  b) tan a  sin a a Biết tan  tan a  sin a 15 b) y  sin x  cos x sin( a  b) cos a cos b sin( a  b) tan a  tan b  cos a cos b sin( a  b) cot a  cot b  sin a sin b sin( a  b) cot a  cot b   sin a sin b tan a  tan b  B Bài tập Rút gọn biếu thức -5- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC a) cos a  cos(a  b)  cos(a  2b)   cos(a  nb) (n  N) cos a  cos 3a  cos 5a  cos 7a cos a  cos 2a  cos 3a b) c) sin a  sin 3a  sin 5a  sin 7a sin a  sin 2a  sin 3a         cos a    cos a   cos 2a    cos 2a   3 3 6 6     d) cos a  e) a cos a cot a  cot 1 f) cos 2a cos a  cos 4a  cos 2a g) cos  cos  cos cos o o o h) sin1  sin 91  sin 203 (sin112o  sin158o ) i) cos 35o  cos125o  sin185o (sin130o  sin140o ) j) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o k) tan 20o tan 40o tan 60o tan 80o Chứng minh: a) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o  16 sin a  sin 3a  sin 5a   sin(2n  1)a b)  tan na cos a  cos 3a  cos 5a   cos(2n  1)a na (n  1)a sin sin 2 c) sin a  sin 2a  sin 3a   sin na  a sin na (n  1)a sin cos 2 d) cos a  cos 2a  cos 3a   cos na  a sin Chứng minh tam giác ABC ta có: A B C a) sin A  sin B  sin C  cos cos cos 2 A B C b) cos A  cos B  cos C   sin sin sin 2 2 2 c) sin A  sin B  sin C  2(1  cos A cos B cos C ) d) cos A  cos B  cos C   cos A cos B cos C A B C e) sin A  sin B  sin C  sin sin cos 2 A B C f) cos A  cos B  cos C  cos cos sin  2 g) sin A  sin 2B  sin 2C  sin Asin B sin C h) cos A  cos 2B  cos 2C  1  cos A cos B cos C i) sin A  sin B  sin C  sin Asin B cos C x y  (sin x  sin y ) với  x, y   Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 Tính giá trị biểu thức sau:  3 5 7  sin  sin a) sin  sin 16 16 16 16 o o o b) tan 67 5' cot 67 5' cot 5' tan o 5' c) cos 5o cos 55o cos 65o -6- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363  3 5 7 9 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC  cos  cos  cos  cos 11 11 11 11 11 Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 3  x  a) sin x  sin 2 x  cos    với   x   2 2 b) cos x  cos x  cos x cos x     c) cos x  cos   x   cos   x  3  3   2   2  d) sin x  sin   x   sin   x     d) cos sin B  sin C cos A  cos B Chứng minh góc ABC thoả mãn: cos A  cos B  cos C  tam giác bc Chứng minh cạnh góc ABC thoả mãn hệ thức: cos A  cos B  a tam giác tam giác vuông A B 10 Cho tam giác ABC tan tan  Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) 2 Phần 3: Phương trình lượng giác I Phương trình lượng giác A Lý thuyết cần nhớ x    k 2 Phương trình: sin x  sin   Phương trình: cos x  cos   x    k 2 x      k 2 Phương trình: tan x  tan    k Phương trình: cot x  cot     k B Bài tập Giải phương trình sau:     a) sin  3x    b) sin(3x - 2) = -1 c) cos x    6 5   Điều kiện cần đủ để tam giác vuông A là: sin A   d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tan g) sin3x - cos2x = 2   h) sin x    cos 3x   j) cos x   cos(2 x  30 o )    m) sin x     12  p) cos(  5x)  1 k) cos2x = cosx   n) sin12 x    6  q) tan(3  x)     5  s) tan  x   t) cot   12 x   3 4    v) sin 12  3x   w) cos2 x  a   sin 3x    5   x y) tan  x   cot  4    II Phương trình bậc hàm số lượng giác A Lý thuyết cần nhớ -7- f) cot(45o - x) = 3 5     i) sin 3x    cos 3x     4       l) sin  x   sin x   4 4     o) cos x    2  r) tanx  6   3  12   5x   u) cot    x) sin(3x  b)  cos 5x  7   7x  z) cot 3  x   tan  12  GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Là phương trình bậc hay bậc hai hàm sinx, cosx, tanx hay cotx Phương pháp: Đặt ẩn phụ t giải phương trình bậc hay bậc với t B Bài tập Giải phương trình sau: a) sin 2 x  cos x   b) cos x  sin x   c) cos x  sin x   d) cos x  cos x   e) sin 3x  cos 12 x  14 f) sin x  12 cos x  g) sin x  cos x  Giải phương trình lượng giác:     a) cot  x    b) tan  x    5 4   c) tan x  cot x  12 d) cot x  (  1) cot x   III Phương trình bậc sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c Điều kiện để phương trình có nghiệm: a  b  c a b Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a  b đặt: cos   ; sin   a2  b2 a2  b2 Đưa phương trình dạng: cos  sin x  sin  cos x  sin   sin( x   )  sin  Giải tìm x B Bài tập Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: a) y  (2  ) sin x  cos x b) y  (sin x  cos x)  cos x  sin x cos x cos x  sin x  c) y  (sin x  cos x)(2 sin x  cos x)  d) y  cos x  sin x  Giải phương trình sau: a) sin x  cos x  b) cos x  sin x  c) sin x  cos x  d) sin x  cos x  13 sin 14 x e) sin x  cos x  f) sin x  cos x   3  Tìm giá trị x    ;   thoả mãn phương trình sau với m:   2 m sin x  m sin x  m cos x  m cos x  cos x  sin x Tìm giá trị  để phương trình: a) (cos   sin   3) x  ( cos   sin   2) x  sin   cos    có nghiệm x = b) (2 sin   cos   1) x  ( sin  ) x  cos   (3  3) sin   có nghiệm x = Giải phương trình: 8  a) 12 cos x  sin x  12 cos x  sin x  14 b) (4 sin x  cos x)  13(4 sin x  cos x)  42  6 c) cos x  sin x  cos x  sin x  IV Phương trình sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a sin x  b sin x cos x  c cos x  d - Nếu cosx = Thế vào phương trình thử nghiệm - Nếu cos x  Chia vế phương trình cho cos x tiến hành giải phương trình bậc hai tanx: (a  d ) tan x  b tan x  c  d  B Bài tập -8- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Giải phương trình sau: a) sin x  sin x cos x  cos x  b) sin x  sin x cos x  cos x  c) sin x  sin x  cos x d) sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x     3  e) sin x cos x    sin(  x) cos x  sin  x  cos(  x)  2    f) sin x  sin x cos x  cos x  2 Giải phương trình sau: a) sin x  cos x  sin x x x x x x  3 x  x  b) sin cos    sin cos  sin cos  sin    2 2  2 2 2 Số đo độ góc tam giác vuông ABC nghiệm phương trình: sin x  sin x sin x  cos x  Chứng minh tam giác ABC vuông cân V Phương trình đối xứng sinx cosx A Lý thuyết cần nhớ Dạng phương trình: a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c Cách giải: Đặt t  sin x  cos x , ta có: | t |  t   sin x cos x   sin x Thay vào phương trình giải t B Bài tập Giải phương trình sau: a) cot x  tan x  sin x  cos x b) sin x  cot x  sin 2x  3 c) cos x  sin x  1 d) | sin x  cos x | 4 sin x  e)  sin x  cos x  sin x f) (1  cos x)(1  sin x)  2 VI Một số dạng phương trình lượng giác khác Giải phương trình lượng giác sau: sin x  cos x 3x  (tan x  cot x) a) cos x  cos   b) sin x 2 c) cos x  tan x  cos x  tan x   d)  sin x   sin x  cos x  x  e) sin x cos x  sin 2 x  sin     f) tan x   0 cos x  2 g) (4  6m) sin x  3(2m  1) sin x  2(m  2) sin x cos x  (4m  3) cos x  (Biện luận theo m) h)  tan x  tan x tan x i) sin x  cos x  j) cos x  cos x  k)  cos x  sin x  cos n) tan x  cot x  4(sin x  cos x) p) sin x  tan x m) tan x  tan x  sin 3x cos x r) 3(cot x  cos x)  5(tan x  sin x)  s) cos x  sin x   t) tan x  2 sin x  u) cos x  sin 3x l) sin 2 x  sin x  v) tan x   cos x  sin x x o) sin x  cos x  cos x q) sin x  sin x  (cos x  cos x)  w) sin x  cos x  (sin x  cos x) -9- GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 sin x  cos x x)  cos 4 x     tan  x  tan  x  4  4  z) cos x  sin x  cos x   Giải phương trình lượng giác sau:  tan x a)   sin x  tan x c) sin x  cos x  3sin 2x  cos 2x  sin x e) 1 sin x 4 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC sin x  cos x y)      tan  x  tan  x  4  4  1   b) 2 sin  x    4  cos x sin x d) (cos x  cos x)   sin 3x x 3x x 3x f) cos x cos cos  sin x sin sin  2 2   g) sin x  cos x  sin(10,5  10 x) Tìm nghiệm thuộc khoảng  0;   2 h) sin x  cos x  2(sin10 x  cos10 x)  cos x i) sin x  cos x  2  cos x j) sin x  sin 2 x  sin 3x  k) sin x  cos x  cos x x x x 1 l) cot  tan  tan m) cos x  sin10 x   cos 28x sin x n) sin 2x  cos 2x   sin x  cos x o) sin x  tan x  (cos x  sin x)  p) (  cos x  cos x ) cos x  sin x q) tan x  cot x cot x    r) sin   x   sin x s) cos x  2 sin x sin 3x  cos x   4  t) cos x  sin x  sin x  sin x  cos x u)  cos x  sin x(2 sin x  1) v) sin x cos x cos x  sin 8x w) tan x cot 2 x cot 3x  tan x  cot 2 x  cot 3x 4x cos  cos x     0 x) y) sin 3x    sin x sin  x  4  4   tan x z) sin x  cos x  cos x Giải phương trình lượng giác sau: a) 9cot x  3cot x   b) cos x  sin x   c) sin 3x  cos 2x   d) sin 3x  sin x  sin 2x  e) cos x  cos x   f) cos x  cos 3x  g)  3cos x  cos 2x  cos 3x  sin x sin 2x h) tan x  tan 2x   sin 3x cos 2x  cos x i) tan x  j)  sin x  cos x  sin x cos x k) tan x  cot x  2(sin x  cos x) l) 2 (sin x  cos x) cos x   cos x   sin x  cos x  m) sin x  sin ( x  )  sin ( x  )  n) 4  sin x o) cos x  sin x  3sin x cos x  p) sin x  cos x  sin x q)  cos x   cos x  r) sin x cos x  sin x  cos x  s) cos x cos x cos x cos x  t) sin x  sin 3x  cos 2 x  cos x 16 u) sin 3x(cos x  sin 3x)  cos 3x(1  sin x  cos 3x)  3(1  sin x)  x   cos     v) tan x  tan x  cos x  2 - 10 - GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 w) cos x  sin 3x x) y) cos x  cos x  tan x z) Giải phương trình sau:   a) tan x  sin x  cos x  2 cos x  b) 0 cos x   c) cos x  sin x cos x  sin x cos x  2(sin x  cos x) d) tan x sin x  sin x  3(cos x  sin x cos x) e) f) 48  g)  (1  cot x cot x)  cos x sin x CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC cos x  sin x  sin x  cos x   cot x  2 sin x  (2  ) cos x 4(sin 3x  cos x)  5(sin x  1) sin x(cot x  tan x)  cos x sin x  cos x  cos x x h) cos x  cos x  sin x   i)  cos x  tan j) cos 3x   cos 3x  2(1  sin 2 x) l) cot x  tan x  sin x  cos x n) cos x  cos x   cos x p) sin x  cos x  3sin 2x  cos 2x  k) sin x  sin 2x  sin 3x  m) sin 3x  cos 2x   sin x cos 2x o) cos 3x cos x  sin 3x sin x  cos x  q) sin x cos 3x  cos x sin 3x  sin x r) sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x sin 2 x  cos x  s) sin x  sin x cos x  cos x  1 t) 0 sin x cos x u) sin x  cos x  cos x  v)  cos x  sin x  sin x w)  cos x  cos 2x  cos 3x  x) cos x  cos 2x  cos 3x  cos 4x  y) cos x  sin x  cos x  z) cos x sin x | cos x  sin x | Giải phương trình sau: a)  cos x  5 sin x b) sin x  cos x  2(sin x  cos x) c) sin x  cos 2 x  cos 3x e) | sin x  cos x |  | sin x  cos x | 13 g) cos x  sin x  cos 2 x i) sin 3x  cos x cos x(tan x  tan x) k) cos x  sin x  cos x   d) cos  x    cos 3x 3  f) sin x  cot x  sin 2x  h)  tan x  sin x j) 9sin x  9cos x  10 2 x2  cos x sin 3x sin x  n) l)    m) sin  x    sin x 4  VII Hệ phương trình lượng giác Giải hệ phương trình lượng giác sau: 1 tan x tan y  sin x cos y  a) b)  tan x  tan y x y  sin x  cos x cos y sin x  sin y  d) e) cos x  sin x sin y cos x  cos y  - 11 - x y z  c) tan x tan y  tan y tan z  f) tan y  tan x  tan x tan y  cos y  cos x  1 GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363   CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC tan x  cot x  sin   y  sin x  cos y  4  g) h)    tan y  cot y  sin  x   cos x  sin y  4  VIII Các dạng tập khác Tìm tất nghiệm phương trình  sin x  cos x  thoả mãn cos x  Tìm giá trị lớn hàm số y  sin x cos x  cos x sin x Chứng minh tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin A  sin B  sin C  m Nếu m = tam giác ABC vuông, m > ba góc A, B, C nhọn m < tam giác có góc tù A B C Cho góc tam giác ABC thoả mãn: sin A  sin B  sin C  sin sin  sin Chứng minh 2 o số đo góc C 120 A B C Hai góc tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan  tan  Chứng minh rằng:  tan  2 Biện luận theo tham số a số nghiệm PT:  x sin x   x cos x | a  |  | a  | Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC có hệ thức: 1    (cot A  cot B  cot C )  sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos A  cos 2B  cos 2C   tam giác tam giác vuông Chứng minh tam giác có: (b  c ) sin(C  B)  (c  b ) sin(C  B) tam giác vuông cân    10 Tìm giá trị lớn hàm số: y  cos x  cos 5x  ;   4 m sin x  m cos x   11 Cho phương trình: m  cos x m  sin x a) Giải phương trình m = b) Khi m  m   , phương trình có nghiệm nằm đoạn [20 ,30 ] A C 12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b  a  c  cot cot  2 A B 13 Cho tam giác ABC có: tan tan  Chứng minh rằng: 3c  2(a  b) 2 14 Tìm giá trị nhỏ hàm số sau: f ( x)  sin x  sin x cos x  15 Tìm giá trị x  (0,2 ) cho cos x  sin x  cos 2x  sin x  t 16 Tìm t để phương trình sau có nghiệm x  [0,  ] : sin x  a2  b2  c2 17 Cho tam giác ABC Chứng minh: cot A  cot B  cot C  4S 18 Chứng minh với  x   thì: 2 sin x  tan x  2 x 1 a cos A  b cos B  c cos C  Chứng minh tam giác ABC abc 20 Tìm giá trị lớn hàm số: y  2(1  sin x cos x)  (cos x  cos x) cot x cot x 21 Giải phương trình sau:    19 Cho tam giác ABC thoả mãn: - 12 - GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC b c a 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: Chứng minh tam giác ABC vuông   cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn có: cos A  cos B  cos C  24 Chứng minh tam giác ABC vuông cân a cos B  b cos A  a sin A  b sin B C 25 Chứng minh tam giác ABC có: tan A  tan B  cot tam giác ABC cân 26 Tìm giá trị lớn bé hàm số đoạn: y  sin x  cos x  2 (n ) 27 Cho y  sin 5x Tính y sin x 28 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y    cos x 2x 4x 29 Tìm giá trị lớn bé hàm số: y  sin  cos  1 x 1 x2   30 Xác định m để phương trình sau có nghiệm  0;  : m cos 2 x  sin x cos x  m    4 31 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  cot a  cot b  tan a tan b  32 Với giá trị a phương trình:  sin na  cos x có nghiệm   33 Tìm m để bất phương trình: sin x  m cos x   nghiệm x   0;   2 34 Tính góc tam giác ABC góc thoả mãn: cos A  (cos B  cos 2C )   AB 35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A  btanB  (a  b)tan Chứng minh tam giác ABC cân 36 Chứng minh tam giác ABC tù cos A  cos B  cos C  bc 37 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn cos B  cos C  tam giác ABC vuông a 38 Cho phương trình: cos x  sin x  k sin x cos x a) Giải phương trình với k  b) Với giá trị k phương trình có nghiệm 39 Giải biện luận phương trình: 2m(cos x  sin x)  2m  cos x  sin x  2 40 Cho phương trình: cos x  m(cos x)  tan x a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm đoạn  1  6 41 Chứng minh x  (0; ) ta có: cos x  sin x  tan x  cot x  sin x cos x 42 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y  sin 20 x  cos 20 x A B C A C 43 Chứng minh cot , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng cot cot  2 2 1    44 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  với x   0;  sin x cos x  2 C 45 Chứng minh tam giác ABC thoả mãn a  b  tan (a tan A  b tan B) cân 46 Tìm m để hàm số sau xác định với x: f ( x)  sin x  cos x  2m sin x cos x - 13 - [...]... Chứng minh tam giác ABC đều abc 2 1 20 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y  2(1  sin 2 x cos 4 x)  (cos 4 x  cos 8 x) 2 cot x cot x 21 Giải phương trình sau: 9  3  2  0 19 Cho tam giác ABC thoả mãn: - 12 - GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC b c a 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: Chứng minh tam giác ABC vuông   cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng... trình lượng giác 1 Giải các hệ phương trình lượng giác sau: 1 1 tan x tan y  sin x cos y  3 a) b) 4  3 tan x  tan y x y  3 sin 2 x  cos x cos y sin x  sin y  2 d) e) cos 2 x  sin x sin y cos x  cos y  2 - 11 - x y z  c) tan x tan y  3 tan y tan z  6 f) tan y  tan x  tan x tan y  1 cos 2 y  3 cos 2 x  1 1 4 GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363   CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC 3... | 7 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức: 1 1 1    (cot A  cot B  cot C )  3 sin A sin B sin C 8 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  0 thì tam giác đó là tam giác vuông 9 Chứng minh rằng trong tam giác có: (b 2  c 2 ) sin(C  B)  (c 2  b 2 ) sin(C  B) thì tam giác đó vuông hoặc cân    10 Tìm giá trị lớn...  cos x sin x 3 Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  m Nếu m = 2 thì tam giác ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù A B C 4 Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A  sin B  sin C  2 sin sin  2 sin Chứng minh 2 2 2 o rằng số đo của góc C là 120 A B 3 C 5 Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan  tan...  0;   2 5 34 Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A  3 (cos 2 B  cos 2C )   0 2 AB 35 Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A  btanB  (a  b)tan Chứng minh tam giác ABC cân 2 36 Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 bc 37 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B  cos C  thì tam giác ABC vuông a 38 Cho phương trình: cos... cos x   c) 2 cos 2 x  sin 2 x cos x  sin x cos 2 x  2(sin x  cos x) d) tan x sin 2 x  2 sin 2 x  3(cos 2 x  sin x cos x) e) 1 2 f) 48  g)  2 (1  cot 2 x cot x)  0 4 cos x sin x 3 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  4  0 3 cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2 ) cos x 4(sin 3x  cos 2 x)  5(sin x  1) sin 2 x(cot x  tan 2 x)  4 cos 2 x sin 6 x  cos 6 x  cos 4 x...   cos B cos C sin B sin C 23 Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A  cos B  cos C  1 24 Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B  b cos A  a sin A  b sin B C 25 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A  tan B  2 cot thì tam giác ABC cân 2 1 26 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y  sin x  cos 2 x  2 2 (n ) 27 Cho y  sin 5x Tính... Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: 2b  a  c  cot cot  3 2 2 A B 13 Cho tam giác ABC có: 5 tan tan  1 Chứng minh rằng: 3c  2(a  b) 2 2 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f ( x)  2 sin 2 x  4 sin x cos x  5 15 Tìm các giá trị x  (0,2 ) sao cho cos x  sin x  cos 2x  0 2 sin x  1 t 16 Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x  [0,  ] : sin x  2 a2  b2  c2 17 Cho tam giác. .. rằng nếu cot , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì cot cot  3 2 2 2 2 2 1 1    44 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  với x   0;  sin x cos x  2 C 45 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a  b  tan (a tan A  b tan B) thì nó cân 2 46 Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f ( x)  sin 4 x  cos 4 x  2m sin x cos x - 13 - ... trình sau:    19 Cho tam giác ABC thoả mãn: - 12 - GIÁO VIÊN: LÊ VĂN NAM - ĐT: 0981.929.363 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC b c a 22 Cho tam giác ABC thoả mãn: Chứng minh tam giác ABC vuông   cos B cos... sin x  cos x   Giải phương trình lượng giác sau:  tan x a)   sin x  tan x c) sin x  cos x  3sin 2x  cos 2x  sin x e) 1 sin x 4 CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC sin x  cos x y)      tan... tam giác bc Chứng minh cạnh góc ABC thoả mãn hệ thức: cos A  cos B  a tam giác tam giác vuông A B 10 Cho tam giác ABC tan tan  Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b) 2 Phần 3: Phương trình lượng giác