A Mở ĐầU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học nghiên cứu số, cấu trúc, không gian phép biến đổi Nói cách khác, ngời ta cho môn học " Hình Số" theo quan điểm thống, môn học nghiên cứu cấu trúc trừu tợng định nghĩa từ tiền đề, cách sử dụng luận lý học (lôgic) ký hiệu toán học Các quan điểm khác đợc miêu tả tiết học toán Do khả ứng dụng rộng rãi nhiều khoa học, toán học đợc mệnh danh "ngôn ngữ vũ trụ" Hình học phần toán học, hình học ngành toán học nghiên cứu liên hệ không gian Trong hình học ngời ta chia nhiều nhánh khác có hình học vi phân Hình học vi phân nhánh hình học sử dụng công cụ phơng pháp phép tính vi phân tích phân nh đại số tuyến tính đại số đa tuyến tính để nghiên cứu vấn đề hình học Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu kỷ XIX Gauss nhà toán học tiên phong lĩnh vực Cuối kỷ XIX tất nghiên cứu đợc tập hợp hệ thống hoá lại nhà toán học Jran Gastan Dar boux Luigi Bian chi Lý thuyết đờng cong mặt phẳng không gian nh mặt cong không gian Euclid ba chiều trở thành sở cho phát triển hình học vi phân Việc xây dựng hệ thống tập môn học giúp em hiểu rõ chất hình học vi phân Trong khuôn khổ có hạn khóa luận tốt nghiệp, em dừng lại việc "Xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu việc xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E Trên sở xây dựng đợc hệ thống tập cách khoa học, rõ ràng xác qua thấy đợc ý nghĩa việc học tập môn học này, hiểu sâu nắm vững kiến thức nh lý thuyết trình giải tập Nhiệm vụ nghiên cứu a Trình lý thuyết sở lý thuyết mảnh tham số b Trình bày ví dụ dể hiểu lý thuyết c Trình bày hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết mảnh tham số không gian E Phạm vi đối tợng nghiên cứu - Về khách thể nghiên cứu: Do khuôn khóa luận cho phép em nghiên cứu lý thuyết tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài " Xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E " giúp em hiểu thêm hình học vi phân biết cách áp dụng giải tập có nhìn đắn môn học Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách giáo trình, tài liệu tham số tạp chí toán học, giảng chuyên đề, giáo trình hình học, tài liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu, kiến thức thực hành đặc biệt nhiệt tình giúp đỡ góp ý thầy giảng viên hớng dẫn b nội dung Chơng 1: kiến thức chuẩn bị 1.đại cơng lý thuyết mảnh tham số không gian e 1.1.định nghĩa mảnh tham số không gian e Giả sử U tập mở khác R2, ánh xạ r từ tập mở U vào không gian Euclid chiều E3 : r : U E3 (u,v) a r(u,v) Là mảnh tham số E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết ) tập U gọi miền tham số hay miền xác định mảnh 1.2 định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc Với điểm (u0,v0) U tập hợp A = { u | (u, v0 ) U } , B = { v | (u , v ) U } tập mở R ánh xạ : r1 : A E u a r1(u) = r(u,v0) r1 : B E v a r2(v) = r(u0,v) Là cung tham số E3, cung tham số u a r(u,v0) E3 (u thay đổi khoảng J R đó, u0 J) gọi đờng toạ độ v = v0; cungtham số v a r2(v) = r(u0,v) E3 gọi đờng toạ độ u = u0.theo định nghĩa đạo hàm ru : u ru(u, v0 ) trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r ; v rv(u0 , v ) trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo cung r2 1.3 định nghĩa điểm quy, điểm kì dị, mảnh tham số quy Cho mảnh tham số : r : U E3 (u,v) a r(u,v) Điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi điểm quy r hai véc tơ ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính điểm không quy r gọi điểm kì dị r điểm U điểm quy r gọi mảnh quy 1.4 định nghĩa tiếp diện mảnh tham số r điểm, phơng trình tiếp diện r điểm, pháp tuyến mảnh Tại điểm quy (u0,v0) mảnh tham số r, gọi - phẳng E3 qua r(u0,v0) với không gian véc tơ phơng ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 ) mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện r điểm ( u0,v0) ; đờng thẳng qua r(u0,v0) thẳng góc với tiết diện (u0,v0) pháp tuyến r (u0,v0) Trong toạ độ afin ( x,y, z) E3 viết : r( u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) (trong (u,v) a x(u,v), y(u,v), z(u,v) hàm số U) phơng trình tiếp diện r (u0,v0) : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) Và toạ độ descartes vuông góc phơng pháp tuyến r (u0,v0) : X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 ) = = yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 ) 1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho hai mảnh tham số E3 : r : U E3 r% : U% E Nếu có vi phôi :U U% ( ánh xạ đồng phôi khả vi ánh xạ ngợc :U% U khả vi) cho r = r%. ta nói r tơng đơng với r% gọi phép tham số U U% ( hay từ r sang r% ) có phép đổi tham số nh từ U% = (U ) , r = r% o ta có r (U ) = r% (U% ) sơ đồ: U U% r r% r (U ) r% (U% ) Giả sử r : U E (u,v) a r(u,v) Ta đặt (u, v) = (u% (u, v), v% (u, v)) U% u% : U R , v% : U R hai hàm khả vi định thức : u% u = v% u u% v v% v Nếu > (u,v) U ta nói r tơng đơng bảo hớng với r% Nếu < (u,v) U ta nói r tơng đơng đảo hớng với r% * ta suy tính chất từ hai mảnh tham số tơng đơng : quan hệ tơng đơng mảnh tham số E quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng lớp tơng đơng gọi mảnh Vậy mảnh ta cần cho mảnh tham số đại diện cho E3 r gọi tham số hoá mảnh quan hệ tơng đơng bảo tồn hớng mảnh tham số E (định thức > ) quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng lớp tơng đơng theo quan hệ gọi mảnh định hớng mảnh định hớng ta cần cho mảnh tham số đại diện cho 1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng Cho U tập mở mặt phẳng R = {( xi , x j ), i j} Giả sử E3 cho hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3) Khi mảnh tham số : r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ), , xi , , f3 ( xi , x j )) nghĩa r ( xi , x j ) = ( f1 ( xi , x j ), ., f ( xi , x j )) f i ( xi , x j ) = xi , f j ( xi , x j ) = x j , đợc gọi mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy làm hai tham số) 1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( hệ toạ độ E dùng hệ toạ độ trực chuẩn): ur ur Ví dụ 1.1: không gian E3 cho vectơ , điểm O E3, ánh xạ : r : R2 E3 ur ur (u,v) a r(u,v) = O + u. + v. Là mảnh tham số ur ur Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính r mảnh tham số quy ảnh r - phẳng E3 ur ur Khi hệ vectơ { , } phụ thuộc tuyến tính điểm cua mảnh điểm kì dị Ví dụ 1.2 : ánh xạ r : R E (u,v) a r (u,v) = (a.cos u, b.sin u, v) ( a > 0, b > ) Là mảnh tham số quy, ảnh mặt trụ eliptic x2 y2 + = Cung a b2 x2 y2 toạ độ v = v0 có ảnh vĩ tuyến elip { + = 1, z = v0 } Cung toạ độ u = u0 có ảnh a b kinh tuyến thẳng {x = a.cos u0 , y = b.sin u0 , z = v} Ví dụ 1.3 : ánh xạ : r : R E , (u,v) a (a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a > ) mảnh tham số điểm (u,v) mà u + k ảnh mặt cầu tâm O bán kính a cung toạ độ r1 (v = v0 ) có ảnh kinh tuyến tròn lớn {x + y + z = a , y = (tan v0 ) x} trừ cực bắc (0, ,1) cực nam (0 , ,-1) Cung toạ độ r2 (u = u0 ) có ảnh vĩ tuyến tròn {x + y = a.cos u0 , z = a.sin u0 } Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ : r : R E , (u,v) a ( u, v, u + v ) mảnh tham số quy ảnh mặt parabolôit tròn xoay z = x + y Cung toạ độ v = v0 có ảnh parabol { y = v0 , z = x + v0 } Cung toạ độ u = u0 có ảnh parabol {x = u0 , z = y + u0 } Vì ru(u0 , v0 ) = (1, 0, 2u0 ) rv(u0 , v0 ) = (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ mảnh p = r (u0 , v0 ) lấy là: r ur ur n = ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) = (2u0 , 2v0 ,1) Vậy tiếp diện mảnh p có phơng trình : 2u0 ( x u0 ) + 2v0 ( y v0 ) ( z u0 v0 ) = Hay 2u0 x + 2v0 y z (u0 + v0 ) = Pháp tuyến l mảnh p có phơng trình : x u0 y v0 z (u02 + v02 ) = = 2u0 2v0 Ví dụ 1.5 : Mảnh tham số r : R E , (x, y) a r ( x, y ) = ( x, y, ax + by + c) mảnh tham số kiểu đồ thị ảnh r ( R ) mặt phẳng Chơng 2: hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay sau E3: a) Mặt elipxôit tròn xoay b) Mặt hypebôlôit tầng tròn xoay c) Mặt hypebôlôit hai tầng tròn xoay d) Mặt parabôlôit tròn xoay Bài 1.2 : Trong E cho hệ toạ độ đề vuông góc Oxyz, đờng cong nằm mặt phẳng Oxy thuộc phía trục Ox Giả sử quay quanh Oz quét thành mặt tròn xoay (S) a) Cho biết phơng trình tổng quát , viết phơng trình tổng quát (S) b) Cho biết phơng trình tham số , viết phơng trình tham số (S) Bài 1.3 : Trong mặt phẳng E cho hệ toạ độ đề vuông góc Oxyz Viết phơng trình tham số mặt tròn xoay S trục quay Oz, đờng sau quay quanh Oz tạo thành : u a) Đờng dây xích ( u ) = a.ch , 0, u ữ a b) Đờng truy tích ( u ) = a.sin u, 0, a ln tan + cos u ữữ u c) Đờng tròn không cắt Oz ( u ) = ( a + b.cos u, 0, b.sin u ) (0 < b < a) Bài 1.4 : Giả sử S mặt E tạo đờng thẳng vừa quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz hệ toạ độ đề vuông góc Oxyz Viết phơng trình tham số mặt S trờng hợp sau : a) Tốc độ quay , tốc độ tịnh tiến k ( k > ) , đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi mặt đinh ốc ( tổng quát) b) Tốc độ quay , tốc độ tịnh tiến k ( k > ) , đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz Mặt S tạo thành gọi mặt đinh ốc đứng c) Tốc độ quay , quãng đờng tịnh tiến hàm góc quay, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz mặt S tạo thành gọi mặt cônôit đứng Dạng : xác định ảnh mảnh tham số có phơng trình cho trớc Bài 1.5 : Xác định ảnh mảnh tham số : r : U E , ( u, v ) a r ( u , v ) có phơng trình tham số hệ toạ độ đề vuông góc Oxyz nh sau: 2 a) r ( u, v ) = ( u , u.v, v ) b) r(u,v) = ( u + v, u v.u.v ) c) r ( u, v ) = ( u + sin v, u + cos v, u + a ) (a = const ) d) r ( u, v ) = ( x0 + a.cos u.cos v, y0 + b.cos u.sin v, z0 + c.sin u ) e) ( x0 , y0 , z0 , a, b, c số , abc ) f) r ( u, v ) = u v , 2 , 2 ữ ( với u + v ) u +v u +v u +v uv + u v uv , b , c g) r ( u, v ) = a ữ ( với abc 0, u + v ) u +v u v u +v Bài 1.6 : Cho tập mở liên thông cung V R mảnh tham số quy r : V E chứng minh pháp tuyến mảnh qua điểm cố định C ảnh r(V) mảnh nằm mặt cầu tâm C Dạng : toán liên quan tới mặt tịnh tiến ur uur ur Bài 1.7 : Trong không gian E , cho hai hàm vectơ : A : J E , u a A ( u ) uur ur ur ur ur B : I E , v a B ( v ) ; điểm O E , Giả sử A ( u ) B ( v ) xét mảnh tham số r ( u, v ) ur ur = O + A ( u ) + B ( v ) ảnh mảnh gọi mặt tịnh tiến a) Chứng minh hai đờng toạ độ họ mặt tịnh tiến, chẳng hạn đờng u = u1 đờng u = u2 , ảnh qua phép tịnh tiến b) Chứng minh mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit hypebôlic mặt tịnh tiến c) Chứng minh quỹ tích trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai cung cho trớc E mặt mặt tịnh tiến Bài 1.8 : Trong không gian E cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình tham số hệ toạ độ đề vuông góc Oxyz : r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, k v ) ( k = const ) Chứng minh với số a > , tập điểm P = { r ( u , v ) | a < u < a, v R} mặt tịnh tiến Dạng : toán liên quan đến điểm quy, điểm kì dị, mảnh quy ur uur ur Bài 1.9 : Cho cung quy : J E hàm vectơ A : J E mà A ( u ) với u J Giả sử V tập hợp R với u J tập hợp ur I = { v | ( u , v ) V } khoảng R xét r: V E , r ( u, v ) = ( u ) + v A ( u ) Tập r ( V ) đợc gọi mặt kẻ xác định mảnh tham số r cung gọi đờng chuẩn ur mặt kẻ r ( V ) Mỗi đờng thẳng r ( u0 , v ) = ( u0 ) + v A ( u0 ) gọi đờng sinh thẳng mặt kẻ r ( V ) a) Chứng minh điểm ( u, v ) quy r hai vectơ uur uur ur ( u ) + v A ( u ) A ( u ) độc lập tuyến tính b) Khi r quy, mặt kẻ r ( V ) đợc gọi mặt kẻ khả triển dọc theo đờng sinh thẳng tiếp diện r(V) trùng Chứng minh ur uur mặt kẻ r(V) khả triển r quy ( u ) , A ( u ) , A ( u ) phụ thuộc tuyến tính c) Mặt kẻ r(V) gọi mặt trụ đờng sinh thẳng song song với ur uur Chứng minh r(V) mặt trụ A ( u ) A ( u ) phụ thuộc tuyến tính d) Mặt kẻ r(V) gọi mặt nón đờng sinh thẳng nằm đờng thẳng đồng quy điểm I điểm I gọi đỉnh nón Mặt kẻ r(V) gọi mặt tiếp tuyến đờng sinh thẳng nằm tiếp tuyến đờng chuẩn e) Chứng minh r mảnh quy r(V) mặt trụ, hay mặt nón, hay mặt tiếp tuyến r(V) mặt khả triển f) Giả sử r(V) mọt mặt khả triển mà mặt trụ u J Chứng ur uur minh luôn viết ( u ) = ( u ) A ( u ) + ( u ) A ( u ) g) Chứng minh lân cận J u0 ta có ( u ) = ( u ) ( u J ) có lân cận P r ( u0 , v0 ) E để P r ( V ) mặt nón với v0 thoả mãn ( u0 , v0 ) V h) Chứng minh ( u0 ) ( u0 ) có lân cận Q r ( u0 , v0 ) E để Q r ( V ) mặt tiếp tuyến, với v0 thoả mãn ( u0 , v0 ) V Bài 1.10 : Giả sử ( u, v ) r ( u, v ) mảnh tham số E ( u0 , v0 ) điểm không kì dị kí hiệu tiếp diện mảnh r điểm ( u0 , v0 ) ( nh theo định nghĩa - phẳng qua điểm r ( u0 , v0 ) mà có phơng không gian vectơ chiều ( ru ( u0 , v0 ) , rv ( u0 , v0 ) ) ) uuuuuur a) Chứng minh phơng đợc xác định T( u ,v ) r 0 b) Chứng minh đợc tạo tiếp tuyến t cung tham số t ( t ) = r ( u ( t ) , v ( t ) ) , t a u ( t ) t a v ( t ) hai hàm số xác định khoảng chứa t0 , u ( t0 ) = u0 , v ( t0 ) = v0 , ( ( u(t )) + ( v ( t0 ) ) ) ur Bài 3.11 : Cho tham số hoá r : U E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( u ) + v A ( u ) uur ur mảnh mặt kẻ E ( : J E cung quy hàm vectơ A : J E thoả ur r mãn điều kiện A ( u ) với u J ) ur uur ur uur uur Chứng minh { A ( u ) , A ( u ) } độc lập tuyến tính { A ( u ) , A ( u ) , ( u ) } phụ thuộc tuyến tính với u J có hàm số f g J uur ur uur ( u ) = f ( u ) A ( u ) + g ( u ) A ( u ) với u J Chứng minh f g mặt kẻ cho mặt nón, f g không triệt tiêu u mặt kẻ cho mặt tiếp tuyến Bài 1.12 : Cho mảnh tham số E3 xác định (u,v) a r(u,v) E3 giả r sử điểm kì dị, xét mảnh tham số xác định (u, v) a r% (u, v) + l.n(u, v) l số : ur ur r ru rv n(u , v ) = ur ur (u , v) ru rv a) Chứng minh (u,v) điểm không kì dị r tiếp diện r 10 r% (u,v) hai mặt phẳng song song b) Tìm điểm kì dị r% xét ảnh r% : r r c) r : R \ A E , r (u , v) = + R.cos v. (u ) + R.sin v.k R số dơng, r r r rr r ur (u ) = cos u.i + sin v j , {i, j, k} sở trực chuẩn E , E , A tập hợp điểm có dạng (u, + k ) ( k nguyên tuỳ ý) R2 Bài 1.13 : Chứng minh pháp tuyến điểm không kì dị mặt tiếp tuyến đờng đinh ốc tròn trục E3 hợp với góc không đổi Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số : r : R2 E (u, v) a r (u , v) = (u.cos v, u sin v, u ) với (u,v) R a) Hãy tìm điểm kì dị r b) Hãy pháp tuyến r điểm (1,0) vuông góc với trục oy Bài 1.15 : Hãy tìm điểm kì dị mặt xác định phơng trình ẩn theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) E3 nh sau : a) F ( x, y, z ) = ( x + y ) 3z = b) G ( x, y, z ) = ( x + y ) xz a = (a = const) c) H ( x, y, z ) = trng H đa thức bậc hai x, y, z Bài 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt : x2 y S = {( x, y, z ) E : + = 1} ( a > 0, b > ) a b a) Hãy tìm tham số hoá (S) b) Chứng minh tham số hoá tìm đợc phần a) mảnh tham số quy Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R E , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u ) ( a > ) Chứng minh ánh xạ r mảnh tham số quy điểm (u,v) mà u + k Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số 11 r : R E , ( u , v ) a r ( u , v ) = ( u , v, u + v ) chứng minh r mảnh tham số quy Bài 3.20 : Cho P = { ( x, y, z ) E : x y = 0} ánh xạ r : R E , (u,v) r ( u, v ) = ( u + v, u + v, u.v ) ( u > v) chứng minh r tham số hoá P 2 Bài 1.21 : Chứng minh tập S = { ( x, y, z ) E : z = x y } mảnh tham số quy kiểm tra ánh xạ sau có tham số hoá S hay không.? a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v ) b) r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, u ) ( u ) Bài 1.22 : Trong không gian E với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R2 E r ( u, v ) = ( a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ) với < u < , < v < a , b, c > a) Chứng minh r tham số hoá mặt elipxôit : x2 y z + + = a b2 c b) ánh xạ r có mảnh tham số quy không? sao? C kết luận Việc xây dựng hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E giúp hiểu rõ lý thuyết nh ý nghĩa môn học này, công cụ để phát triển thành lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc 12 hình học tổng quát đa tạp khả vi, khía cạnh để nghiên cứu hình học lĩnh vực phơng trình vi phân Cụ thể, em cố gắng xây dựng dạng tập phơng pháp giải cụ thể dạng, số ý, kết rút từ Từ dạng có phơng pháp giải tự xây dựng hệ thống tập nh phơng pháp cho Mặc dù thân cố gắng xong hạn chế trình độ chuyên môn tính gấp rút thời gian nên chắn khoá luận khoong tránh khỏi khuyết điểm sai sót, em kính mong quý thầy cô bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn ! D tài liệu tham khảo Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, NXB ĐHQG Hà Nội Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội 13 Đoàn Thế Hiếu (2006) : Bài tập hình vi phân, ĐHSP Huế Đoàn Quỳnh (2009) : Hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội Đoàn Quỳnh (1993) : Bài tập hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội 14 [...]... Hãy tìm một tham số hoá của (S) b) Chứng minh rằng tham số hoá tìm đợc ở phần a) là một mảnh tham số chính quy Bài 1.18 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R 2 E 3 , ( u, v ) a r ( u , v ) = ( a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a.sin u ) ( a > 0 ) Chứng minh rằng ánh xạ r là một mảnh tham số chính quy tại các điểm (u,v) mà u + k 2 Bài 1.19 : Trong không gian với hệ toạ độ trực... a , b, c > 0 a) Chứng minh rằng r là một tham số hoá của mặt elipxôit : x2 y 2 z 2 + + = 1 a 2 b2 c 2 b) ánh xạ r có là mảnh tham số chính quy không? vì sao? C kết luận Việc xây dựng hệ thống bài tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không gian E 3 giúp chúng ta hiểu rõ hơn về lý thuyết cũng nh ý nghĩa của môn học này, nó là công cụ để chúng ta phát triển thành một lĩnh vực mới nghiên cứu những cấu... Oxyz cho mảnh tham số 11 r : R 2 E 3 , ( u , v ) a r ( u , v ) = ( u , v, u 2 + v 2 ) chứng minh rằng r là một mảnh tham số chính quy 3 Bài 3.20 : Cho P = { ( x, y, z ) E : x y = 0} và ánh xạ r : R 2 E 3 , (u,v) r ( u, v ) = ( u + v, u + v, u.v ) ( u > v) hãy chứng minh rằng r là một tham số hoá của P 3 2 2 Bài 1.21 : Chứng minh rằng tập S = { ( x, y, z ) E : z = x y } là một mảnh tham số chính... trong đó R là hằng số dơng, r r r rr r ur (u ) = cos u.i + sin v j , {i, j, k} là cơ sở trực chuẩn của E 3 , 0 E 3 , A là tập hợp các điểm 2 có dạng (u, + k ) ( k nguyên tuỳ ý) của R2 Bài 1.13 : Chứng minh rằng các pháp tuyến tại các điểm không kì dị của mặt tiếp tuyến của đờng đinh ốc tròn trục trong E3 hợp với một góc không đổi Bài 1.14: Trong E3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mảnh tham số. .. phơng trình vi phân Cụ thể, em đã cố gắng xây dựng các dạng bài tập cơ bản và phơng pháp giải cụ thể đối với từng dạng, một số chú ý, kết quả rút ra từ đó Từ các dạng đó chúng ta có phơng pháp giải và tự xây dựng hệ thống và bài tập cũng nh phơng pháp cho mình Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng xong do còn hạn chế về trình độ chuyên môn và tính gấp rút thời gian nên chắc chắn khoá luận khoong tránh... và kiểm tra các ánh xạ sau có là một tham số hoá của S hay không. ? a) r ( u, v ) = ( u + v, u v, 4.u.v ) 2 b) r ( u, v ) = ( u.cos v, u.sin v, u ) ( u 0 ) Bài 1.22 : Trong không gian E 3 với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho ánh xạ r : R2 E 3 r ( u, v ) = ( a.sin u.cos v, b.sin u.sin v, cos u ) với 0 < u < , 0 < v < 2 a , b, c > 0 a) Chứng minh rằng r là một tham số hoá của mặt elipxôit : x2 y 2 z 2... (1,0) vuông góc với trục oy Bài 1.15 : Hãy tìm các điểm kì dị của mặt xác định bởi phơng trình ẩn theo hệ trục toạ độ đêcac (x,y,z) trong E3 nh sau : a) F ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 ) 2 3z 2 1 = 0 b) G ( x, y, z ) = ( x 2 + y 2 ) 2 xz a = 0 (a = const) c) H ( x, y, z ) = 0 trng đó H là một đa thức bậc hai của x, y, z Bài 1.17 : Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho mặt : x2 y 2 S = {(... hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn ! D tài liệu tham khảo 1 Đỗ Ngọc Diệp - Nông Quốc Chinh (2010) : Giáo trình hình học vi phân, NXB ĐHQG Hà Nội 2 Phạm Bình Đô (2010) : Hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội 13 3 Đoàn Thế Hiếu (2006) : Bài tập hình vi phân, ĐHSP Huế 4 Đoàn Quỳnh (2009) : Hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội 5 Đoàn Quỳnh (1993) : Bài tập hình học vi phân, NXB ĐHSP Hà Nội 14 ... lý thuyết tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E - Về đối tợng nghiên cứu + Nghiên cứu cách xây dựng lý thuyết mảnh số không gian E + Nghiên cứu hệ thống tập từ dễ đến khó lý thuyết ý nghĩa... mặt phẳng Chơng 2: hệ thống tập cho lý thuyết mảnh tham số không gian E3 Dạng 1: Viết phơng trình tham số mặt không gian E3 Bài 1.1: Viết tham số hoá( hay phơng trình tham số ) mặt tròn xoay... hai mảnh tham số tơng đơng : quan hệ tơng đơng mảnh tham số E quan hệ tơng đơng theo nghĩa thông thờng lớp tơng đơng gọi mảnh Vậy mảnh ta cần cho mảnh tham số đại diện cho E3 r gọi tham số hoá mảnh