LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc giải tốn hình học phẳng lớp 10 phương pháp tọa độ mặt phẳng lúc thuận lợi Có số tốn cần dựa vào lý thuyết làm được, xong có số tốn địi hỏi phải tư vận dụng cách linh hoạt kết hợp với kiến thức cũ Chính cần phải tư xác định mối liên hệ chúng để giải toán cách thuận lợi Sau lý thuyết cần vận dụng để làm tập đúc kết dạng toán hệ thống lại dạng tập học Đây coi củng cố học để nắm kiến thức dễ dàng Đó cách học hiệu đặc biệt mơn tốn hữu dụng Với lý em lựa chọn đề tài: CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN” Mục đích nghiên cứu Cung cấp cho học sinh lớp 10 (lớp đầu cấp) phương pháp hiệu việc học toán Bên cạnh giúp cho học sinh tiếp cận với toán học đại cịn bước giúp học sinh tiến đến việc giải tập hình học không gian theo phương pháp khoa học Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Khách thể: Học sinh lớp 10 trường THPT Trần Quốc Tuấn - Đối tượng: Các dạng tốn phương trình đường trịn chương trình lớp 10 - Phạm vi nghiên cứu: Phương trình đường trịn 4.Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống lại kiến thức - Xác định dạng tập hướng dẫn học sinh giải số toán mẫu - Bài tập toán mẫu Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Phân tích nội dung chương trình SGK định hướng cho học sinh - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp điều tra B- NỘI DUNG CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa đường tròn Hệ tọa độ Đêcac mặt phẳng: “Tập hợp điểm I cách cho trước khoảng không đổi R đường trịn tâm I bán kính R” Kí hiệu (I,R) gọn (I) Các dạng phương trình cuẩ đường trịn a) Phương trình tắc đường tròn Gọi C đường tròn tâm I (a;b), bán kính R Ta có phương trình 2 tắc đường tròn dạng: (C ) : ( x − a) + ( y − b) = R Chú ý: Ta có: 2 • Đường trịn tâm O bán kính R có phương trình: x + y = R 2 • Đường trịn đơn vị có phương trình: x + y = b) Phương trình tổng qt đường trịn Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = với a + b − c > (2) Là phương trình đường trịn tâm I (a;b) bán kính R = a + b − c Phương trình tiếp tuyến đường tròn a Định nghĩa tiếp tuyến đường tròn Đường thẳng qua tiếp điểm đường trịn góc với bán kính tiếp điểm đường thẳng có gọi tiếp tuyến đường trịn b Phương trình tiếp tuyến đường trịn 2 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − a) + ( y − b) = R Khi đó, tiếp tuyến (d) điểm M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có phương trình: (d ) : ( x0 − a )( x − a) + ( y0 − b) = Chú ý: Trong trường hợp tổng quát, Đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đường trịn có tâm I bán kính R khi: d ( I ,(d ) ) = R CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp chung: Ta thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu dạng: (C ) : x + y − 2ax − 2by + c = (1) Bước 2: Để (1) phương trình đường trịn điều kiện là: a + b − c > Bước 3: Khi (C) có tâm I(a;b) bán kính R = a + b − c Các ví dụ: Ví dụ 1: Xác định phương trình đường trịn, rõ tâm bán kính 2 a x + y − xy − y − = 2 c − x − y − x − y − = 2 b x + y − xy + y + 14 + m = 2 d x − y − x − y − = Giải a Ta có: a + b − c = + + = > phương trình cho phương trình đường trịn có: tâm I (1, 2) bán kính R = 2 Nhận xét: phương trình dạng: x + y − 2ax − 2by + c = phương trình đường trịn x < b Ta có a + b − c = + − 14 − m = −1 − m < phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn 2 c Viết lại phương trình dạng: x + y + x + y + = Ta có: a + b − c = + 1 − = > Do phương trình cho phương 4 1  trình đường trịn có tâm I  −1; − ÷, bán kính R = 2  d Ta có hệ số x y khác phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn 2 Ví dụ 2: Cho họ hệ đường cong (Cm ) : x + y − 2mx − 2( m + 1) y + 2m − = a Tìm m để (Cm) phương trình đường trịn (Cm) b Tìm tập hợp tâm cá đường trịn (Cm) c Tìm đường trịn có bán kính nhỏ họ (Cm) Giải 2 2 a Ta có: a + b − c = m + (m + 1) − 2m + = 2m + > ln Vậy với m, phương trình cho phương trình đường trịn tâm I m (m; m + 1) , bán kính R = 2m + Nhận xét: Để đường cong (Cm) phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện: - Hệ số x = Hệ số y - Không tồn hệ số chéo yx - Điều kiện: a + b − c > x = m b Ta có: I m :  (I) khử m từ hệ (I) ta được: x − y + = y = m +  Vậy tâm Im họ (Cm) đường trịn (C0 có bán kính nhỏ Ví dụ 3: 2 Cho họ đường con: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + = a CMR: với m ln có (Cm) phương trình đường trịn b Tìm tập hợp tâm đường trịn (Cm) c Tìm đường trịn có bán kính nhỏ họ (Cm) Giải: a ∀m (Cm ) đường tròn b Tâm Im họ (Cm) thuộc đường thẳng (d): x − y + = c Trong họ (Cm) đường tròn (C-2) có bán kính nhỏ 10 DẠNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp chung: Gọi (C) đường tròn thỏa mãn điều kiện đầu Chúng ta lựa chọn phương trình dạng tổng quát haowtj dạng tắc * Muốn có phương trình dạng tổng qt, ta lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c điều kiện a + b − c < * Muốn có phương trình dạng tắc, ta lập ba phương trình với ẩn a, b, R, điều kiện R > Chú ý: cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kĩ để lựa chọn dạng phương trình thích hợp Trong nhiều trường hợp đặc thù có sử dụng phương pháp quĩ tích để xác định phương trình đường trịn Các ví dụ Ví dụ 1: Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: a Tâm I (1, -3) bán kính R = b Đường kính AB với A (11); B (3,5) c Đi qua điểm M (1,2); N (3,1) tâm I nằm (d ) : x + y + = Giải: a Đường trịn (C) có tâm I (1,3), bán kính R = có phương trình: (C ) : ( x − 1) + ( y + 3) = b Cách 1: Gọi trung điểm I AB tâm đường tròn ⇒ I (2,3), bán kính E = AB = 2 Vậy đường trịn (C) có phương trình: (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = Cách 2: Dùng phương pháp quĩ tích Ta có: uuur uuur M ( x, y ) ∈ MA ⊥ MB ⇔ MA.MB = ⇔ (1 − x;1 − y )(3 − x;5 − y ) = ⇔ (1 − x)(3 − x) + (1 − y )(5 − y ) = ⇔ x2 + y2 − 2x − y + = c Giả sử phương trình (C) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = với a + b2 − c > Điểm A(1,2) ∈ (C ) nên − 2a − 4b + c = (1) Điểm B (3,1) ∈ (C ) nên 10 − 6a − 2b + c = (2) Tâm I (a, b) ∈ ( d ) nên 7a + 3b + = (3) Giải hệ phương trình tạo (1), (2), (3), ta được: a = , b = − , c = −10 2 2 Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − x + y − = Ví dụ 2: Lập phương trình đường trịn qua điểm M(1,2); N (5,2); P(1,-3) Giải Cách 1:Phương trình đường trịn (C) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = , điều kiện: a + b − c > M (1;2) ∈ (C ) ⇒ + − 2a − 4b + c = (1) N (5;2) ∈ (C ) ⇒ 25 + − 10a − 4b + c = (2) P (1;3) ∈ (C ) ⇒ + − 2a + 6b + c = (3) Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta a = 3, b = − , c = −1 2 Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − x + y − = Cách 2: Đường tròn qua điểm phân biệt nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác ⇒ tâm I cách đỉnh tam giác  IM = IN Gọi I (a;b) tâm đường tròn ⇒ I M = IN = IP = R ⇒  2  IM = IP a = (1 − a) + (2 − b) = (5 − a) + (2 − b)  ⇒ ⇔ 2 2 (1 − a) + (2 − b) = (1 − a ) + ( −3 − b) b = − 2 41 41 ⇒ phương trình đường trịn: ( x − 3) +  y + ÷ = R − IM = 2  2 Cách 3: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao hai đường trung trực (học sinh tự làm) Ví dụ 3: Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có phương trình ba cạnh sau: ( AB ) : x − y − = 0, ( BC ) : x − y + = 0, ( AC ) : x + y − = Giải Cách 1: Tìm tọa độ điểm A, B, C +) AB ∩ AC = A(7,1) BC ∩ BA = B(−3, −1) CA ∩ CB = C (3,5) +) Giả sử đường trịn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = , với a + b − c > Điểm A, B, C ∈ (C ) , ta 14a + 2b + −c = 50 a =   6a + 2b + c = −10 ⇔ b = , Thỏa mãn điều kiện 6a + 10b − c = 34 c = −22   2 Vậy phương trình đường trịn (C ) : x + y − x − 22 = Cách 2: Nhận thấy rằng: BC ⊥ AC ⇔ ∆ABC vng C Do đó: (C ) có tâm I trung điểm AB, bán kính R = AB Tương tự cách ta có: A(7,1) B (−3, −1) a(2,0 ( C ) ⇔ (C ) :( x − 2) + y = 26 Vậy ta được:   R = 26 Ví dụ 4: Cho hai điểm: A(4,0); B(0;3) Lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB Giải Cách 1: Tâm I giao hai đường phân giác góc AOB góc BAO +) Phương trình phân giác góc AOB là: x-y =0 x y PT (AB) cho bởi: ( AB ) : + = ⇔ x + y − 12 = +) Phương trình đường phân giác góc BAO cho bởi: (∆ ) : x − y − 12 = x + y − 12 y =± ⇔ + 16 (∆ ) : 3x + y − 12 = Trong (∆ ) đường phân giác BAO x − y = ⇒ I (1;1) Khi tọa độ tâm I nghiệm hệ:  3 x + y − 12 = Bán kính r = d ( I ; OA) = 2 Vậy phương trình đường tròn (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) = Cách 2: Nhận xét rằng: • Tâm I(a;b) thuộc góc phần tư thứ nhất, suy a > 0; b > • (C) tiếp xúc vơi )A, OB Vậy a = b = r Ta có: S∆ABC = p.r Trong đó: A∆ABC = OA.OB = p = (OA + OB + AB ) = Thay (2) , (3) ta được: r = (1) (2) (3) 2 Vậy phương trình đường trịn (C ) : ( x − 1) + ( y − 1) =  Nhận xét: Để lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác, ta cần lựa chọn hướng sau: Hướng 1: Tổng quát, ta lựa chọn hai cách để thể hiện: Cách 1: Ta thực theo bước Bước 1: Viết phương trình hai phân giác góc A góc B Bước 2: Tâm I tọa độ giao điểm hai đường phân giác Bước 3: Tính khoảng cách từ I tới cạnh tam giac, ta bán kính Bước 4: Thiết lập phương trình đường trịn Cách 2: Ta thực theo bước sau Bước 2: Tính diện tích S ∆ABC cạnh; từ suy bán kính r bới cơng thức: r = S p Bước 2: Gọi I(a,b) tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC ; từ điều kiện khoảng cách từ I tới ba canh bằng, r, ta có hệ theo hai ẩn a, b ⇒ tọa dộ I Bước 3: Thiết lập phương trình đường tròn Hướng 2: Dựa dạng đặc biệt ∆ABC , tức là: Nếu ∆ABC đều, canh a (C) có tâm I trọng tâm ∆ABC , bán kính R = a Nếu ∆ABC cân A, ta làm theo bước sau: Bước 1: Gọi E trung điểm BC Lập phương trình tham số (AE) uu r IA BA Bước 2: Tâm I ∈ ( AE ) thỏa mãn uur = − BE IE Bước 2: Thiếp lập phương trình đường trịn (C) với tâm I, bán kính r = (IE) * Nếu I (a, b) ∈ ( ∆1 ) được: 2b − = (2) Giải hai phương trình(1), (2) ta được: a = ; b = 2 + − 11 Khi bán kính 2 R = d ( I ,(d1 ) ) = = +1 2 5   121  Vậy phương trình đường trịn (C1 ) :  x − ÷ +  y − ÷ = 2  2 20  Tương tự với I (a, b) ∈ ( ∆ ) ta phương trình đường tròn 2 1   121  (C2 ) :  x + ÷ +  y + ÷ = Vậy tồn hai đường tròn (C 1) (C2) thỏa 4  4 80  mãn điều kiện đầu DẠNG 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp chung Ta thực theo bước Bước 1: Xác định định phương tính M đường tròn (C) PM /( C ) Bước 2: Kết luận:  Nếu PM /( C ) < ⇔ M nằm đường tròn  Nếu PM /( C ) < ⇔ M nằm đường tròn  Nếu PM /( C ) < ⇔ M nằm ngồi đường trịn Chú ý: Ta có kết sau:  Nếu M nằng (C) ⇒ không tồn tiếp tuyến (C) qua M đường thẳng qua M đặt (C) hai điểm phân biệt  Nếu M nằm (C) ⇒ tồn tiếp tuyến (C) qua  Nếu M nằm (C) ⇒ tồn hai tiếp tuyến (C) qua M M Ví dụ: Cho điểm M(5;2) đường trịn (C) có phương trình: (C ) : x + y − x − y + 21 = a Chứng tỏ điểm M nằm (C) b Lập phương trình đường thẳng (d1) qua M cắt đường tròn (C) hai điểm E, F cho M trung điểm EF c Lập phương trình đường thẳng (d2) qua M cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho AB = Giải Đường tròn (C) có tâm I(4,3) bán kính R = a Ta có: PM /( c ) = −2 < ⇔ M nằm đường trịn b Vì M trung điểm EF, đó: qua M (5;2) uuur (d1 ) :  ⇔ ( d1 ) :1.( x − 5) − 1( y − 2) = ⇒ ( d1 ) : x − y − = vtpt IM (1; − 1)  c Vì (d2) qua M cắt đường tròn (C) hai điểm AB cho AB = = 2R qua M (5;2) x −5 y −2 ⇔ (d ) :  ⇔ (d2 ) : = ⇔ (d ) : x + y − = 4−2 3−2 qua I (4;3) DẠNG 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp chung: Ta lựa chọn ba cách sau: Cách 1: Tính khoảng cách h từ I tới (d), so sánh với bán kính R đường trịn, ta được:  Nếu h > R ⇔ (d ) ∩ (C ) = φ  Nếu h > R ⇔ (d ) tiếp xúc với (C)  Nếu h < R ⇔ (d ) cắt (C) hai điểm phân biệt A,B Cách 2: Xét hệ phương trình tạo (C) (d), số nghiệm phương trình số giao điểm (d) (C) Cách 3: Sử dụng phương pháp tham số đường trịn Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) đường tahwngr (d) có phương trình: (C ) : x + y − = 0, (d ) : x + y − = a Chứng tỏ (d) cắt (C) hai điểm A, B b Lập phương trình đường trịn qua hai điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng (∆) : x − y − = Giải: Đường trịn (C) có tâm O(0,0) bán kính R=1 Ta có: d ( O,( d ) ) = −1 1+1 = Điểm A(0,1) ∈ ( S ) nên − 2b + c = (1) Điểm A(0,1) ∈ ( S ) nên - 2a + c = Tâm I(1,b) ∈ (∆) nên 2a - b – = Giải hệ phương trình tạo (1),(2), (3) ta được: a= b = 2, c = 2 Vậy phương trình đường trịn ( S ) : x + y − x − y + = Ví dụ 2: Chứng tỏ với đường thẳng (d m ) : mx + y − m = 2 ln cắt đường trịn (C ) : x + y − x − y − = hai điểm phân biệt Giải Ta nhận  (d m ) qua điểm cố định M (1,0)  Pm /( C ) = < ⇒ M (C) Vậy họ (dm) cắt (C) hai điểm phân biệt DẠNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Phương pháp chung: I Phương trình tiếp tuyến đường trịn Để lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C) tâm I(a,b), bán kính R thỏa mãn điều kiệnK ta thực theo bước sau: Bước 1: Dựa điều kiện K ta giả sử đường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = Bước 2: (d) tiếp tuyến (C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R Bước 3: Kết luận tiếp tuyến (d) Chú ý: Điều kiện K thường gặp: Tiếp tuyến qua M cho trước, đó: a Nếu M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) ( tức PM /( C ) = ), ta có qua M ( x0 , y0 ) uuur (d ) :  ⇔ ( d ) : ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = vtpt IM ( x0 − a; y − b) b Nếu M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) (tức PM /( C ) ≠ ta giả sử: c (d ) : A( x − x0 ) + B(( y − y0 ) = ⇔ (d ) : Ax + By0 = Tiếp tuyên song song với đường thẳng (∆) : Ax + By + C = đó: (d ) : Ax + By + D = Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (∆)Ax + By + C = đó: (d ) : Bx − Ay + D = Tiếp tuyến có hệ số góc k, đó: (d ) y = kx + m ⇔ (d ) : kx − y + m = Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng (d) góc α , ta sử dụng hai công thức sau: rr a.b r r cos α = r r với a, b thứ tự vtcp (d), ( ∆) a.a tgα = k1 = k2 với k1, k2 hệ số góc (d), ( ∆) + k1.k2 Các ví dụ Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C ) : ( x − 1) + ( y − 4) = 25 qua điểm M(5,1); N(-4,-6) Giải: Nhận xét rằng: PM /( C ) = ⇔ M ∈ (C ) ⇒ (C ) có tiếp tuyến M PM /( C ) > ⇔ M nằm (C) ⇒ tồn hai tiếp tuyến với (C) qua N Đường tròn (C ) có tâm I(1,4) bán kính R = • Phương trình tiếp tuyến đường trịn M(5,1) có dạng: (5 − 1)( x − 5) + (1 − 4)( y − 1) = ⇔ x − y − 17 = • Đường thẳng (d) qua N(-4-6) có dạng: A( x + 4) + B( y + 6) = 0(d ) ⇔ Ax + By + 4A +6B= (d) Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R A + 4B + A + 6B A +B 2 = ⇔ A + B = A2 + B B = ⇔ 3B + AB = ⇔  4A B = −  - Với B = ta tiếp tuyến (d1 ) : A( x + 4) = ⇔ (d1 ) : x + = Với B = −4 A ta tiếp tuyến (d ) : A( x + 4) − 4A ( y + 6) = ⇔ (d ) : x − y − 12 = Vậy qua Ma kẻ hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đường trịn (C) Ví dụ 2: Lập phương trình (C ) : x + y − x − y + = vng tiếp góc tuyến với đường đường tròn thẳng (∆) : x − y = 12 = Giải Đường trịn (C) có tâm I(1,3), bám kính R =1 Tiếp tuyến (d ) ⊥ (∆) có phương trình x + y + C = Đường thẳng 4.1 + 3.3 + C 16 + (d) tiếp tuyến (d) (C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R c = −18 =1⇔  c = −18 • Với c= - 18 ta tiếp tuyến (d1 ) : x + y − 18 = • Với c = -18 ta tiếp tuyến (d ) : x + y − = Vậy tồn hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C ) : ( x − 2) + ( y − 1) = 20 có số hệ góc Giải: Đường thẳng (d) với hsg k = có dạng: y = x + m ⇔ x − y + m = Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C ) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R m = = ⇔ m + = 10 ⇔  +1  m = −13 −1+ m - Với m = thay vào (1) tiếp tuyến (d1 ) : x − y + = - Với m = -13 thay vào (1) tiếp tuyến (d ) : x − y − 13 = Vậy có hai tiếp tuyến (d1), (d2) thỏa mãn u cầu tốn (1) Ví dụ 4: Lập phương trình (C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 10 ( ∆ ) : 2x + y − = tiếp tuyến đường tròn biết tiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng gics 450 Giải: Đường trịn (C) có tâm I(1;-1) bán kính R = 10 Cách 1: Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến (d) đường thẳng ( ∆ ) Ta có: k2 = −2 theo giả thiết:  k1 = k − k − k − tg 450 = ⇔ =1⇔   k1 = − 1 + k1.k2 − 2k1  a Với k1 = , ta được: (d1 ) : y = x + m ⇔ (d1 ) : x − y + m = (1) Đường thẳng (d1) tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I ,(d1 ) ) = R ⇔ m = = 10 ⇔ m + = 10 ⇔  +1  m = −14 +1+ m  Với m = 6, thay vào (1) tiếp tuyến (d1.1 ) : x − y + =  Với m = -14, thay vào (1) tiếp tuyến (d1.2 ) : x − y − 14 = 1 b Với k1 = − , ta được: (d ) : y = − x + n ⇔ (d ) : x + y − 3n = (2) 3 Đường thẳng (d ) tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R ⇔ a − − 3n 1+  n = −4 = 10 ⇔ 3n + = 10 ⇔  n =   Với n = - 4, thay vào (2) tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + y + 12 =  Với n = , thay vào (2) tiếp tuyến (d 2.1 ) : x + y − = Vậy tồn bốn tiếp tuyến (d1.1 ),( d1.2 ),(d 2.1 ),(d 2.2 ) tới (C) thỏa mãn điều kiện đầu Cách 2: Giả sử tiếp tuyến (d) có phương trình: Ax + By + C = Đường thẳng (d) tiếp tuyến (C) ⇔ d ( I ,(d ) ) = R ⇔ A− B+C A2 + B = 10 (2) 0 Đường thẳng (d) tạo với ( ∆ ) góc 45 ⇔ cos 45 = 2A + B + A2 + B  A = −3B 2A + B 2 = ⇔ A + AB − 3B = ⇔  B 2 A = 5( A + B )   Với A = -3B thay vào (2) ta được: C = 14 B = 10 ⇔ C − B = 10 B ⇔ C = −6 B  ( −3B ) + B −3B − B + C +) Với C = 14 B thay vào (1) ta tiếp tuyến ( ∆ ) : −3Bx + By + 14 B = ⇔ ( ∆1 ) : x − y − 14 = +) Với C = −6 B , thay vào (1) ta tiếp tuyến ( ∆ ) : −3Bx + By − B = ⇔ (∆ ) : 3x − y + =  Tương tự với A = B ta hai tiếp tuyến: ( ∆ ) : x − 3y − = ( ∆ ) : x + y + 12 = II Tiếp tuyến trung hai đường trịn Phương pháp chung: Để lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1 ) (C2) ta thực theo bước sau: Bước 1: Giả sử đường thẳng (d ) : Ax + By + C = với A2 + B > tiếp tuyến chung đường tròn (C1 ) (C2) d ( I1 ,(d ) ) = R1 Bước 2: Thiết lập điều kiện tiế xúc (d) với (C1) (C2):  d ( I ,(d ) ) = R2 Bước 3: Kết luận tiếp tuyến chung (d) Ví dụ: Cho hai đường trịn (C1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) = (C1 ) L( x − 2) + ( y + 1) = Lập phương trình tiếp tuyến chúng hai đường trịn Giải • Đường trịn (C1) có tâm I1(1,1) bán kính R1 = Đường trịn (C2) có tâm I2 (2,-1) bán kính R2 = • Giả sử tiếp tuyến chung (d) có phương trìnhL Ax + By + C = với A2 + B > d ( I1 (d ) ) = R1 ⇔ • Điều kiện (d) tiếp xúc với (C1) (C2)  d ( I (d ) ) = R2  A + B + C = A2 + B  A+ B +C =1  2   A2 + B  A + B + C = A + B  C = −3B ⇔ ⇔   2A − B + C =  A − B + C = A + B + C    A2 + B  C = − (4 A + B ) C = −3B     2   A + B − 3B = A + B C = −3B & B =  ⇔  C = − (4 A + B ) ⇔ 3B C = −3B & A =       A + B − A + B = A2 + B   Khi ta hai tiếp tuyến chung: (d1 ) : Ax = ⇔ (d1 ) : x = (d ) : 3B x + By − 3B = ⇔ ( d ) : x + y − 12 = Vậy, tồn hai tiếp tuyến chung (d1 ),(d ) (C1 ) (C2 ) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Xác định phương trình đường trịn, rõ tâm bán kính ( a x − ) + ( y − 3) = 2 c x + y − x − y + m + = 2 b x + y − x + y − = 2 d 16 x + 16 y + 16 x − y = 32 2 Bài 2: Cho họ đường cong: (Cm ) : x + y − 2(m + 2) x − 2(m + 4) y + 4m + = a Tìm m để (Cm) phương trình đường trịn b Tìm tập hợp tâm đường trịn c Tìm điểm cố định mà đường tròn họ (Cm) qua Bài 3: Lập phương trình đường trịn trường hợp sau a Tâm I(2;1), bán kính R = b Đường kính AB với A(1;2), B(2:- 1) c Đi qua điểm A(3;1), B (5;5) tâm nằm trục tung Bài Hai đường thẳng (d1 ) : x + y + = (d ) : x + y + = Lập phương trình đường trịn có tâm I thuộc đường thẳng (d ) : x + y + = tiếp xúc với hai đường thẳng (d1 ),(d ) ĐS: (C ) : ( x − 4) + ( y + 5) = Bài Lập phương trình đường trịn qua A(2:-1) tiếp xúc với OX, OY Bài 6: Lập phương trình đường trịn (C) qua điểm A (-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d): 7x – y – = điểm M(;1;2) 2 Bài 7: Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn (C ) : x + y − x − y = Biết tiếp tuyến qua A(3,2) 2 Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) : x + y − x + y = Biết tiếp tuyến vuông góc (song song) với đường Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn: (C1 ) x + y − x + = (C2 ) x + y − 12 x − y + 44 = 2 Bài 10: Cho đường tròn (C )( x + 1) + ( y − 2) = điemr M (2, -1) a Chứng tỏ qua M ta vẽ hai tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình hai tiếp tuyế b Gọi M1 M2 hai tiếp điểm hai tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua M1 M2 Hướng dẫn: a M ∈ (C ) ⇒ xác định hai tiếp tuyến với (C) Qua M (2,1) ta vẽ hai tiếp tuyến với (C) là: (d1 ) : y + = (d ) : x − = b (d1) tiếp xúc với (C) M1 (-1,1) d2 tiếp xúc với (C) M2 (-2,2) Phương trình đường thẳng (d) qua M1 M2 là: x – y = CHƯƠNG III KẾT LUẬN Hiện trường THPT học sinh nói chung có nhận thức tốt, ham hiểu biết có tư sáng tạo nhanh chưa có hệ thống logic Việc cung cấp bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học hiệu hữu ích, mục tiêu mà giáo viên mong muốn Đối với phương trình đường trịn cần cho học sinh nắm kiến thức kiến thức liên quan như: Các dạng phương trình đường thẳng, điều kiện tiếp xúc, từ học sinh biết vận dụng vào giải toán Một số quan điểm quan trọng giải tập phương trình đường trịn: - Định hướng cho học sinh làm tập - Hướng dẫn học sinh biết cách phân tích đề - Xác định dạng tốn phương trình đường trịn - Sử dụng điều kiện liên qua đến đường tròn như: Điều kiện tiếp xúc, xác định vectơ pháp tuyến đường thẳng trường hợp: Vuông góc, song song, tạo góc α Do vậy, cần tạo điều kiện thường xuyên nhắc nhở để học sinh tạo hội củng cố kiến thức ơn tập tốt Vì sinh viên thực tập lần đứng bục giảng vốn kinh nghiệm chưa có nhiều nên em khơng có tham vọng ngồi việc giới thiệu cho học sinh hệ thống kiến thức học Do điều kiện thời gian hạn hẹp nên đề tài nghiên cứu chắn khơng tránh thiếu xót, thân em mong đóng góp thầy bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Ngọc Hóa thầy cô giáo tổ chuyên môn nhà trường tận tình giúp đỡ em hồn thành đề tài nghiên cứu khoa học TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK hình học + BT hình học lớp 10 Hướng dẫn giải tập hình học 10, Phan Thanh Quang (Chủ biên) Hình học giải tích mặt phẳng, Lê Hồng Đức (Chủ biên) Tuyển tập tập toán lớp 10, Đậu Thế Cấp, Nguyễn Việt Dũng Toán bồi dưỡng học sinh PTTH: Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải MỤC LỤC A PHẦN MỞ ĐẦU B PHẦN NỘI DUNG Chương I: Một số kiến thức Chương II: Hệ thống dạng toán Chương III: Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO ... CHƯƠNG II: HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Phương pháp chung: Ta thực theo bước: Bước 1: Chuyển phương trình ban đầu dạng: (C ) : x + y −... R” Kí hiệu (I,R) gọn (I) Các dạng phương trình cuẩ đường trịn a) Phương trình tắc đường trịn Gọi C đường trịn tâm I (a;b), bán kính R Ta có phương trình 2 tắc đường tròn dạng: (C ) : ( x − a) +... −1 − m < phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn 2 c Viết lại phương trình dạng: x + y + x + y + = Ta có: a + b − c = + 1 − = > Do phương trình cho phương 4 1  trình đường trịn