BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 62.14.01.11 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015 LUẬN ÁN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu PGS TS Trần Vui Phản biện 1: PGS.TS Vương Dương Minh Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Thị Kim Thoa Đại học Sư phạm Huế Phản biện 3: TS Lê Thái Bảo Thiên Trung Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường, tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Vào hồi: giờ, ngày tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Khoa học tổng hợp Tp Hồ Chí Minh - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh NHỮNG CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA LUẬN ÁN Trương Thị Khánh Phương (2011), “Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh trình khám phá tốn học”, Tạp chí Khoa học - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, ISSN 0868-3719, 05(56), tr 109-116 Trương Thị Khánh Phương (2011), “Tiềm toán kết thúc mở việc hỗ trợ học sinh phát triển lực suy luận ngoại suy”, Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục, ISSN 21896 0866 7476, Số 276 (kì 2, tháng 12-2011), tr 34-36, 2011 Trương Thị Khánh Phương (2012), “Phản ánh suy luận ngoại suy quy nạp qua thao tác kéo rê mơi trường hình học động”, Tạp chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, ISSN 18593100, 33 (67), tr 28-35 Trương Thị Khánh Phương (2014), “Using open-ended problems to enhance students’ abductive reasoning in mathematics classroom”, In Bulletin: Multilingual education and philology of foreign languages Almaty (Kazakhstan), ISSN 2307-7891, No 2(6), pp 84-91 Trương Thị Khánh Phương (2014), “Creating open-ended problems to improve students’ abductive reasoning in mathematics classroom”, Journal of Sciences - Hue University, ISSN 1859-1388, Vol 99, No.11, pp 49-59 Trương Thị Khánh Phương (2015), “Suy luận ngoại suy quy nạp khám phá quy luật dãy số - Những phân tích lý thuyết thực nghiệm”, Tạp chí Khoa học – trường Đại học sư phạm Tp Hồ Chí Minh, ISSN 1859-3100, (75), tr 16-28 Chương GIỚI THIỆU 1.1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu Một mô tả chung đặc trưng toán hầu hết nhà tốn học chấp nhận, là: Tốn học khoa học dạng mẫu Một cách để mô tả dạng mẫu quy luật thơng qua mối quan hệ hàm số Đặc biệt, q trình tìm kiếm quy luật tốn liên quan đến vận hành hai loại suy luận có lí suy luận ngoại suy suy luận quy nạp Suy luận biểu diễn hai số tám lực chọn để đánh giá Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA 1.2 Nhu cầu nghiên cứu phát biểu vấn đề nghiên cứu Suy luận quy nạp suy luận ngoại suy, với ý nghĩa việc giúp HS khám phá tri thức tốn thơng qua việc phát quy luật dạng mẫu nội dung cần quan tâm phát triển nhiều giáo dục toán Bước sang năm đầu kỷ 21, xu hướng thực hành áp dụng toán học vào hầu hết vấn đề mà HS gặp phải sống nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu cách tồn cầu hóa Rất người sử dụng suy luận diễn dịch tiêu chuẩn chặt chẽ nghiêm ngặt mà địi hỏi Một lần nữa, suy luận có lí ngoại suy suy nạp trở thành công cụ hiệu để HS sử dụng đối mặt với vấn đề thực tế Đối với giáo dục toán nước ta, đối tượng mà quan tâm nghiên cứu HS mười lăm tuổi, lứa tuổi vừa hồn thành chương trình phổ cập giáo dục thức có quyền lựa chọn việc tiếp tục theo đuổi chương trình trung học phổ thơng (THPT) hay trở thành công dân độc lập với nghề nghiệp cho tương lai từ lúc Đây giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quan trọng mà lực toán học HS tích lũy có ảnh hưởng lớn đến thành công em năm học sống nghề nghiệp sau Mặt khác, HS mười lăm tuổi đối tượng chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, chương trình đánh giá giáo dục tổ chức định kì năm lần với quy mô gần 70 quốc gia giới tham dự, có Việt Nam Trong xu hướng đó, chúng tơi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh mười lăm tuổi trình tìm kiếm quy luật tốn” làm đề tài nghiên cứu luận án 1.3 Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này, đối tượng HS mười lăm tuổi mang ý nghĩa tương đương với HS bắt đầu theo học chương trình lớp 10 Việt Nam Cụ thể, quy luật tốn mà chúng tơi muốn tập trung phân tích lĩnh vực Đại số quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số” Cho đến thời điểm HS mười lăm tuổi, em học khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức em có đủ tri thức cần thiết để khám phá dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc hàm số bậc hai Việc HS chưa thức học khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân yếu tố thuận lợi giúp đánh giá khách quan ảnh hưởng BDTQ đến trình suy luận để khám phá quy luật dãy số em Hơn thế, nội dung thú vị phân tích xuất đồng thời hai loại suy luận ngoại suy quy nạp trình khám phá tổng quát hóa quy luật HS Bên cạnh đó, chúng tơi quan tâm đến lực khám phá quy luật tốn HS lĩnh vực Hình học Với đối tượng HS mười lăm tuổi, chọn kiến thức hình học phẳng liên quan đến chủ đề quan hệ song song, quan hệ vng góc, đa giác đường tròn mà HS học chương trình Hình học lớp 8, thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát Mặt khác, muốn xem xét dạng BDTQ tạo mơi trường học tập có sử dụng máy tính phần mềm hình học động Để tạo hội cho HS khám phá quy luật tốn lĩnh vực Hình học với hỗ trợ BDTQ động, chọn tốn hình học kết thúc mở làm đối tượng để khai thác phân tích thực nghiệm luận án 1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1.5 Câu hỏi nghiên cứu • Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận sử dụng trình khám phá quy luật dãy số chúng có mối quan hệ với nào? • Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hưởng đến trình suy luận HS để đưa quy tắc tổng quát? • Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động để hỗ trợ trình suy luận quy nạp ngoại suy khám phá quy luật toán hình học kết thúc mở? • Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm để phát triển khả khám phá quy luật toán HS suy luận quy nạp ngoại suy? 1.6 Các thuật ngữ 1.7 Cấu trúc luận án Chương CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 2.1 Tốn học suy luận có lí 2.1.1 Suy luận quy nạp 2.1.1.1 Định nghĩa Suy luận nhằm đưa giả thuyết mang tính tổng quát (khơng chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đắn giả thuyết cho số trường hợp cụ thể (Polya, 1968, [68]; Cañadas & Castro, 2007, [23]; Christu & Papageorgiu, 2007, [27]) 2.1.1.2 Quá trình suy luận quy nạp Cadas Castro (2009, [24]) đưa mơ hình bảy bước cho trình suy luận quy nạp: (1) Quan sát trường hợp đặc biệt; (2) Sắp xếp trường hợp đặc biệt cách hệ thống; (3) Tìm kiếm dự đốn quy luật; (4) Hình thành giả thuyết; (5) Kiểm chứng giả thuyết; (6) Tổng quát hóa giả thuyết ; (7) Xác minh giả thuyết tổng quát 2.1.2 Suy luận ngoại suy 2.1.2.1 Ngoại suy theo quan điểm logic học triết học Peirce Nhà toán học, triết học logic học người Mỹ Charles Sanders Peirce người phát triển khái niệm ngoại suy đưa vào hệ thống loại suy luận Mơ hình ngoại suy Peirce: Một thật C quan sát; Nếu A đúng, C hiển nhiên đúng; Vì thế, hợp lí giả thuyết A (Peirce, [65, 5.189]) 2.1.2.2 Ngoại suy theo quan điểm J Josephson S Josephson J Josephson S Josephson (1996, [39]) kế thừa định nghĩa ngoại suy Peirce bổ sung vào mô hình ngoại suy ơng thêm giai đoạn: đánh giá giả thuyết tốt Mơ hình sau: D tập liệu (sự kiện, quan sát, cho); H giải thích D (nếu H đúng, giải thích D); Khơng có giả thuyết khác giải thích D tốt H; Như vậy, H có lẽ 2.1.2.3 Ngoại suy theo quan điểm giải vấn đề Cifarelli 2.1.2.4 Các cách phân loại ngoại suy • Phân loại theo Eco • Phân loại theo Magnani • Phân loại theo Patokorpi Patokorpi (2006, [62]) đưa bốn loại suy luận ngoại suy sau: 1) Ngoại suy chọn lựa: Chọn số Quy tắc có sẵn Quy tắc lý giải cho Kết luận 2) Ngoại suy sáng tạo: Khi Quy tắc có sẵn khơng lý giải được, cần sáng tạo Quy tắc để lý giải cho Kết luận 3) Ngoại suy trực quan: Tư trình quan sát để đưa giả thuyết Trường hợp nhằm lý giải cho Kết luận 4) Ngoại suy thao tác: Tiến hành thao tác thích hợp nhằm thu thập thêm liệu để tìm thấy Trường hợp lý giải cho Kết luận 2.1.2.5 Mơ hình suy luận ngoại suy 2.1.3 Phân biệt diễn dịch, quy nạp ngoại suy toán học 2.1.3.1 Xét điều kiện để xảy kết ba loại suy luận 2.1.3.2 Xét mục đích tiến hành loại suy luận 2.1.3.3 Xét khía cạnh khám phá tốn tính chắn kết Tính chắn kết luận tạo loại suy luận giảm dần từ diễn dịch đến quy nạp cuối ngoại suy Tuy nhiên, xét khía cạnh khám phá tri thức mới, tri thức có từ suy luận diễn dịch xem hệ logic suy từ tiên đề biết trước, chúng khơng thể mở rộng vốn tri thức sẵn có người Với quy nạp, tri thức thu dạng tổng quát hóa, mở rộng phạm vi tri thức biết theo xu hướng đốn trước Với ngoại suy, tri thức có sẵn khơng giải thích cho quan sát, tri thức hình thành Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp ý tưởng mở rộng tri thức 2.2 Biểu diễn toán 2.2.1 Phân loại biểu diễn toán 2.2.2 Biểu diễn trực quan 2.2.2.1 Trực quan hóa 2.2.2.2 Biểu diễn trực quan mơ tả quy luật dãy số 2.2.2.3 Biểu diễn trực quan động 2.3 Khám phá quy luật dãy số 2.3.1 Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số 2.3.2 Các mức độ nhận thức khám phá quy luật dãy số 2.3.3 Các phương án khám phá quy luật dãy số 2.3.4 Suy luận khám phá quy luật dãy số Khi đề cập đến suy luận xảy dựa việc quan sát số trường hợp cụ thể tương tự đến kết tổng quát, người ta thường nghĩ đến suy luận quy nạp Khái niệm ngoại suy không nhắc đến phân tích tác giả Reid (2002, [72]), Canadas & Castro (2007, [23]; 2009, [24]) trình suy luận HS thực nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số Tuy nhiên, việc đồng nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số với hành động kiểm chứng tổng quát hóa quy luật từ trường hợp cho sẵn dãy số dường phớt lờ yếu tố sáng tạo trình này, yếu tố mà Peirce đặc trưng ngoại suy Trong đó, Canadas Castro ([23]) khẳng định giai đoạn hình thành giả thuyết (Bước 4) quan trọng xuất thường xuyên làm HS Đây rõ ràng nhiệm vụ suy luận ngoại suy Một số câu hỏi đặt ra: Liệu ngoại suy có tham gia vào q trình khám phá quy luật dãy số? Nếu có nằm giai đoạn nào? Quay trở lại tìm hiểu nghiên cứu suy luận ngoại suy Peirce đặc biệt giai đoạn thứ (từ năm 1878 trở sau), Peirce bắt đầu sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” nhằm đến “sự khởi động để đưa giả thuyết” (Peirce, [65, 6.525]) “Ngoại suy đơn bước khởi đầu Nó bước suy luận khoa học, quy nạp bước kết luận sau cùng” (Peirce, [65, 7.218]) Chúng rút số điểm khác biệt sau ngoại suy quy nạp qua trình khảo cứu tài liệu liên quan: • Hoffmann’s (1999, [38, tr 272]) khẳng định: “Quy nạp đưa quy tắc từ tập hợp liệu mà giúp định mặt định lượng đề xuất ngoại suy” Nói cách khác, mục đích ngoại suy đưa giả thuyết để giải thích, cịn mục đích quy nạp nhằm đánh giá phạm vi mở rộng giả thuyết đề xuất • Quy nạp “cho thấy tồn tượng mà quan sát trường hợp tương tự trước đó” (Abe, 2003, [11, tr 234]), ngoại suy “đề xuất điều mà thường khơng thể quan sát cách trực tiếp” (Peirce, [65, 2.640]) • Quy nạp phát triển xu hướng dự đoán cho quan sát xa hơn, ngoại suy không (trực tiếp) quan tâm đến quan sát xa sau mà hướng đến mục đích lý giải cho trường hợp xảy Như vậy, ngoại suy xảy giai đoạn giả thuyết liệu có sẵn đề xuất Quy nạp xuất sau có nhiều trường hợp kiểm tra để xác định xem liệu giả thuyết có cịn hay khơng tiến hành tổng qt hóa 2.3.5 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 10 Thiết kế nghiên cứu khảo sát sử dụng cho Nghiên cứu phù hợp cho việc thu thập thơng tin từ số lượng lớn trường hợp Thiết kế nghiên cứu trường hợp cụ thể sử dụng cho Nghiên cứu phù hợp cho câu hỏi nghiên cứu “cái gì?” “như nào?”, kết hợp với phương pháp vấn điều trị 3.2 Đối tượng nghiên cứu Với Nghiên cứu 1: Một nghiên cứu thử nghiệm tiến hành 78 HS thuộc hai lớp 10 trường THPT Lê Lợi, tỉnh Gia Lai trường THPT Phong Điền, thành phố Huế Thực nghiệm thức được tiến hành 326 HS thuộc tám lớp 10 năm trường THPT địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế Nghiên cứu 2: Chúng chọn tám HS lớp 10 T2 trường THPT Quốc Học với hai GV giảng dạy mơn Tốn cho lớp làm đối tượng thực nghiệm Các HS chia thành cặp làm việc máy tính Hai GV theo dõi trình làm việc hai nhóm HS đồng thời tiến hành vấn cần thiết 3.3 Công cụ nghiên cứu Với Nghiên cứu 1: Một công cụ nghiên cứu đặc biệt dành riêng cho nghiên cứu Bộ câu hỏi gồm nhiệm vụ liên quan đến khám phá quy luật dãy số thiết kế với số tiêu chí sau: (1) Số lượng nhiệm vụ Tập câu hỏi: Bộ câu hỏi có sáu nhiệm vụ chia thành hai Tập câu hỏi, Tập câu hỏi có ba nhiệm vụ hồn thành thời gian 30 phút (2) Loại quy luật: Bộ câu hỏi có hai nhiệm vụ liên quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc bốn nhiệm vụ lại liên quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc hai 11 (3) BDTQ mơ tả dãy số: Để có thống nhiệm vụ Bộ câu hỏi, sử dụng dạng BDTQ hình vng tượng trưng cho bìa (hay viên gạch) (4) Bối cảnh: Chúng cố gắng cung cấp bối cảnh thực tế để nhiệm vụ trở nên có ý nghĩa HS (5) Cặp nhiệm vụ quy luật bậc - bậc hai: nhiệm vụ liên quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc có tương ứng nhiệm vụ liên quan đến dãy số theo quy luật hàm số bậc hai (6) Cấu trúc nhiệm vụ: Với tất nhiệm vụ Bộ câu hỏi, HS cần thực hai yêu cầu: (1) đề xuất quy tắc trường hợp tổng quát (2) mô tả làm để tìm quy tắc Điều giúp em tự thể tiếp cận khác với nhiệm vụ chúng tơi có hội kiểm tra xem liệu HS có thực theo quy trình Khám phá quy luật dãy số suy luận ngoại suy-quy nạp xây dựng Hình 2.13 Với Nghiên cứu 2: Trong buổi thực hành tiền thực nghiệm, GV giới thiệu với HS bốn phương thức kéo rê thao tác máy tính để HS quan sát Sau HS có thời gian để thực hành với phương thức kéo rê qua việc giải toán sau: Bài toán Cho tứ giác ABCD Gọi H, K, L, M giao điểm đường trung trực cạnh AB, BC, CD, DA a) Tứ giác HKLM trở thành hình đặc biệt trường hợp nào? b) Tứ giác HKML suy biến thành điểm khơng? Giả thuyết tứ giác ABCD để tình xảy ra? Ở phần thực nghiệm thức, sử dụng công cụ nghiên cứu hai tốn hình học kết thúc mở sau đây: 12 Bài tốn Cho tứ giác ABCD Về phía ngồi tứ giác, dựng hình vng nhận AB, BC, CD, DA tương ứng làm cạnh Gọi M, N, P, Q tâm hình vng Trong trường hợp tổng qt, có nhận xét tứ giác MNPQ? Bài tốn Cho ba điểm A, M, K tùy ý B điểm đối xứng với A qua M, C điểm đối xứng với A qua K D điểm đối xứng với B qua K Kéo rê điểm M đưa dự đốn hình dạng tứ giác ABCD Trong điều kiện ABCD hình chữ nhật? 3.4 Thu thập liệu 3.5 Phân tích liệu Với Nghiên cứu 1: Để thống kê phương án ngoại suy mà HS sử dụng, tiến hành lập bảng mã Bảng 3.3 Bảng mã phương án ngoại suy Phạm Mã Mô tả Trù Số học Hình học 11 So sánh 12 Cộng dồn 13 Giải phương trình 14 Đốn thử 15 So sánh đơn vị với tổng thể 21 Ghép hình rời 22 Ghép hình chồng 23 Sắp xếp hình 24 Làm trịn hình 2123 Khơng xác định 31 Ghép hình rời-Sắp xếp hình Các quy tắc hàm số sử dụng phương án không xác định 13 90 Các quy tắc hàm số sai 99 Bỏ trống Chúng đưa Thang đánh mức độ ngoại suy-quy nạp dựa tính “có lí” tính “tốt nhất” giả thuyết: • Mức độ 1: Các giả thuyết cho thấy HS hoàn toàn chưa nhận đặc điểm tương tự BDTQ hay liệu thu thập • Mức độ 2: Các giả thuyết chưa thể liên kết số bìa (số ghế) hình với kích cỡ (độ rộng) tương ứng mà cho thấy có số yếu tố số hạng cho sẵn có phát triển theo quy luật, yếu tố chưa đủ để mô tả cách trọn vẹn quy luật dãy số • Mức độ 3: Các giả thuyết lý giải cho quy luật tìm thấy trường hợp cụ thể cho sẵn chưa thể giả thuyết tổng qt hóa cho tồn dãy số • Mức độ 4: Các giả thuyết cho thấy HS nhận quy luật với lí giải hợp lý chưa đáp ứng cách tối ưu yêu cầu toán (chẳng hạn quy tắc đệ quy khơng thực hiệu cần tính tốn giá trị số hạng vị trí dãy số) • Mức độ 5: Các giả thuyết hội đủ hai yếu tố: “có lí” (được giải thích đầy đủ rõ ràng) “tốt nhất” (có thể phát triển thành quy tắc tổng quát hóa dạng hàm số) Trên sở năm mức độ trên, sau có liệu từ thực nghiệm, chúng tơi tiến hành phân loại câu trả lời HS vào mức độ tương ứng đồng thời đưa mô tả cụ thể làm xếp vào mức độ 14 Với Nghiên cứu 2: Dựa nội dung trao đổi ghi lại phần mềm quay phim hình, chúng tơi phân tích suy luận tương ứng với phương thức kéo rê mà HS thao tác BDTQ động Chúng chọn số đoạn trao đổi vấn GV với hai cặp HS hai nhóm để minh họa phân tích luận án 3.6 Hạn chế Chương BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY 4.1 Ảnh hưởng biểu diễn trực quan đến trình suy luận quy nạp ngoại suy khám phá quy luật dãy số 4.1.1 Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số 4.1.2 Đánh giá mức độ ngoại suy-quy nạp khám phá quy luật dãy số 4.1.3 Tổng kết từ thực nghiệm Nghiên cứu Một số vấn đề nhận thấy qua khảo sát làm HS: • Vấn đề thứ nhất: HS chưa thật hiểu ý nghĩa biến số n (đại diện cho vị trí số hạng dãy số), dẫn đến quy tắc sai chúng trích xuất dãy số toán Đặc biệt, hầu hết hiểu nhầm ý nghĩa biến n xuất phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học Trong đó, nhầm lẫn việc sử dụng biến số phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học thường việc chọn biến số không với yêu cầu toán sử dụng nhiều biến số mà toán yêu cầu, nhiên ý nghĩa biến số công thức đảm bảo • Vấn đề thứ hai: Khi chuyển từ việc khám phá dãy số theo quy luật hàm số bậc sang quy luật hàm số bậc hai, HS có xu hướng tiếp tục sử dụng phương án đệ quy trước phương 15 án giúp khám phá thành công dãy số theo quy luật hàm số bậc Tuy nhiên, gần tất HS sử dụng phương án đệ quy để đến quy tắc tổng quát cho dãy số theo quy luật hàm số bậc hai Có vẻ tiếp cận cản trở HS nghĩ đến phương án khác • Vấn đề thứ ba: Khi sử dụng phương án thuộc phạm trù Số học Giải phương trình, Đốn Thử, HS khơng đưa lí giải lựa chọn quy tắc tổng quát mô tả quy luật dãy số hàm số bậc hay hàm số bậc hai • Vấn đề thứ tư: Nhiều HS khơng nhận lợi ích đầy đủ từ BDTQ Phần lớn HS gặp trở ngại sau: - Khi quan tâm đến dãy liệu số, HS có xu hướng nghĩ đến phương án ngoại suy theo quy tắc đệ quy quy tắc hàm số Điều đặc biệt gây bất lợi cho HS phải đối mặt với dãy số theo quy luật hàm số bậc hai - Phương án ngoại suy phổ biến thuộc phạm trù Số học mà HS sử dụng Đoán Thử Theo Radford (2008, [71]), phương án không thúc đẩy tư đại số - Khi chuyển dãy số mô tả BDTQ sang dãy số cho bối cảnh hồn tồn Số học, HS khơng có sở để kiểm chứng giả thuyết cho trường hợp chưa biết 4.2 Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy khám phá tốn hình học kết thúc mở 4.2.1 Suy luận quy nạp ngoại suy môi trường hình học động 4.2.1.1 Những hỗ trợ biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp ngoại suy mơi trường hình học động 4.2.1.2 Phản ánh quy nạp ngoại suy qua phương thức kéo rê 16 4.2.2 Tổng kết từ thực nghiệm Nghiên cứu Dựa kết thực nghiệm, chúng tơi tổng kết lại quy trình sử dụng phương thức kéo rê khác để đề xuất, kiểm chứng tổng quát hóa giả thuyết suy luận ngoại suy quy nạp khám phá hai tốn hình học kết thúc mở nêu mơi trường hình học động sử dụng phần mềm GSP  Giai đoạn Khám phá ngẫu nhiên Ở giai đoạn này, HS sử dụng phối hợp kéo rê ngẫu nhiên kéo rê trường hợp đặc biệt nhằm khám phá tính chất thú vị xảy quan sát vô số thể khác BDTQ động  Giai đoạn Phát bất biến Phát thấy tính chất T Trong thực nghiệm luận án có hai trường hợp xảy ra: a) T thỏa mãn với tất hình dạng khác hình T phát nhờ kéo rê ngẫu nhiên, HS phát T trước tiên nhờ kéo rê trường hợp đặc biệt b) T xuất số trường hợp chưa xác định, trường hợp T thường gợi ý từ yêu cầu toán kết gây ngạc nhiên mà HS quan sát muốn khám phá xa HS sử dụng phương thức kéo rê ngẫu nhiên, kéo rê trường hợp đặc biệt để nhận thấy có số trường hợp cụ thể tính chất T trì  Giai đoạn Đề xuất giả thuyết suy luận ngoại suy - Với trường hợp a): Giả thuyết phát biểu dạng: “Trong điều kiện tốn tính chất T xảy ra” - Với trường hợp b): HS sử dụng kéo rê trì để khẳng định có tập hợp điểm D cho kéo rê điểm BDTQ động trùng với điểm tập hợp tính chất T 17 trì Sử dụng kết hợp kéo rê trì với việc kích hoạt chức tạo vết để đánh dấu tập D Tập hợp nhận dạng quỹ tích hình học Q HS phát biểu giả thuyết: “Nếu điểm D nằm quỹ tích Q tính chất T thỏa mãn”  Giai đoạn Kiểm chứng/bác bỏ giả thuyết thực nghiệm nhờ suy luận quy nạp - Với trường hợp a): HS sử dụng kéo rê ngẫu nhiên kết hợp với việc sử dụng cơng cụ đo đạc, tính toán GSP để kiểm chứng lại giả thuyết thực nghiệm - Với trường hợp b): HS sử dụng kéo rê liên kết để liên kết điểm D vào quỹ tích Q nhằm xác nhận lại giả thuyết 4.3 Tiểu kết chương 4.3.1 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu Kết thực nghiệm cho thấy tỉ lệ HS đưa quy tắc hàm số cho dãy số thấp (11,95%-22,16% quy tắc hàm số bậc hai 54,5%-61,64% quy tắc hàm số bậc nhất) Phân tích thể làm HS cho thấy có bốn vấn đề ảnh hưởng đến kết mà em đạt là: (1) HS hiểu sai ý nghĩa biến n; (2) HS có xu hướng sử dụng phương án đệ quy mà không quan tâm đến phương án khác; (3) HS sử dụng BDTQ giai đoạn thu thập liệu cho trường hợp cho sẵn mà không quan tâm đến cấu trúc quy luật chứa đựng BDTQ này; (4) HS không kiểm chứng giả thuyết cho số hạng chưa mô tả sẵn dãy số trước tổng quát hóa Bốn vấn đề dẫn đến hệ là: (1) HS đưa quy tắc hàm số sai em hiểu phát triển mang tính quy luật dãy số, (2) HS đưa quy tắc “có vẻ đúng” chúng trích xuất 18 dãy số mà tốn đề cập khơng chấp nhận sai lầm ý nghĩa biến số cơng thức; (3) HS nhanh chóng từ bỏ việc tiếp tục khám phá (đặc biệt dãy số theo quy tắc hàm số bậc hai) phương án đưa quy tắc đệ quy gặp thất bại; (4) HS đưa quy tắc “có vẻ đúng” chúng trích xuất số hạng cho sẵn dãy số quy tắc sai số hạng dãy số không thỏa mãn quy tắc Những phân tích từ kết thực nghiệm việc quan tâm đến cấu trúc mang tính quy luật BDTQ giúp HS tránh bốn vấn đề nêu, từ giảm bớt sai lầm kết Ngoài ra, chênh lệch số lượng quy tắc hàm số tương đương tạo từ phương án thuộc phạm trù Số học Hình học sáu nhiệm vụ Bộ câu hỏi chứng rõ ràng cho thấy việc quan tâm đến BDTQ trình khám phá giúp HS có nhiều cách nhìn khác quy luật hơn, đặc biệt dãy số theo quy luật hàm số bậc hai Một khía cạnh quan trọng mà nhận thấy qua thực nghiệm HS sử dụng BDTQ trình khám phá thường thể em có sở tính có lí giả thuyết ngoại suy thông qua lý giải rõ ràng cấu trúc BDTQ HS có sở để kiểm chứng giả thuyết suy luận quy nạp dựa việc mô tả số hạng dãy số hay chí số hạng tổng quát dãy số thông qua việc xây dựng BDTQ tương ứng Do đó, chúng tơi cho việc quan tâm đến BDTQ cách để giảm bớt câu trả lời mức độ thấp (mức độ 1, 2) đưa chúng lên mức độ cao thang mức đánh giá mức độ ngoại suy-quy nạp mà thiết lập 4.3.2 Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 19 Kết thực nghiệm từ hai nhóm HS nghiên cứu cho thấy có mối liên hệ phương thức kéo rê mà HS thao tác lên BDTQ tốn với hình thức suy luận tương ứng Chương PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY LUẬT TOÁN CHO HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY 5.1 Suy luận ngoại suy quy nạp hoạt động toán học nhà trường 5.2 Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy quy nạp Qua khảo sát nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số khám phá tốn hình học kết thúc mở hai thực nghiệm nghiên cứu này, nhận thấy chúng nhiệm vụ thúc đẩy HS sử dụng suy luận ngoại suy quy nạp với hai đặc điểm chung Thứ nhất, nhiệm vụ không cung cấp kết luận chắn toán chứng minh truyền thống Thứ hai, chúng nhiệm vụ tốn khơng quen thuộc với HS khơng có quy trình rõ ràng đảm bảo đến lời giải Đó đặc trưng toán KTM Qua việc phát triển tốn đóng thành tốn KTM, đem đến cho HS nhiều hội sử dụng suy luận có lí lí sau: • Việc giải tốn KTM địi hỏi HS phải đề xuất phương án giải phù hợp, chọn lựa giả thiết vừa đủ cần loại bỏ giả thiết thừa, chọn lựa kiến thức hay quy tắc sử dụng với việc đưa lí cho lựa chọn Đó nhiệm vụ ngoại suy • Ủng hộ quan điểm Foong (2002, [36]) toán KTM “thiếu thơng tin rõ ràng, thiếu quy trình cố 20 định để đảm bảo đến lời giải đúng, thiếu tiêu chuẩn để đánh giá lời giải đạt được”, tạo hội cho HS khám phá tùy chọn khác xảy tình huống, tổng qt hóa kết tìm thấy suy luận quy nạp, hay lựa chọn câu trả lời tốt dựa tảng kiến thức có sẵn lí giải của riêng cá nhân • Một số tốn KTM không cung cấp đủ liệu cần thiết Điều gây khó khăn cho HS muốn sử dụng diễn dịch để áp dụng công thức hay quy trình biết Ngược lại, HS địi hỏi mở rộng kiến thức có sẵn cách đưa giả thuyết dựa tảng liệu khơng hồn chỉnh, bổ sung thêm liệu để tạo tốn • Các tốn KTM có hỗ trợ phần mềm hình học động (như GSP, Cabri…) tạo môi trường thực nghiệm trực quan động giúp việc khám phá, đặt giả thuyết kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết trở nên thuận lợi 5.3 Xây dựng toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả khám phá toán suy luận ngoại suy quy nạp 5.3.1 Đặt vấn đề 5.3.2 Khảo sát vấn đề 5.3.3 Các tốn dẫn đến hình thành khái niệm, quy tắc 5.3.4 Dự đoán định lý hay tính chất tốn học từ hình vẽ 5.3.5 Các tốn chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật 5.3.6 Thay đổi yêu cầu quen thuộc SGK 5.3.7 Các vấn đề thực tế KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Kết đạt luận án Về mặt lý luận 21 • Phân biệt ba loại suy luận: diễn dịch, quy nạp ngoại suy bối cảnh tốn học, từ lập luận thấy hai loại suy luận sử dụng phối hợp trình khám phá quy luật dãy số quy nạp ngoại suy • Đề xuất quy trình lý thuyết để khám phá tổng quát hóa quy luật dãy số suy luận quy nạp ngoại suy • Đề xuất Thang đánh giá mức độ ngoại suy-quy nạp phù hợp với thể HS qua phần thực nghiệm nghiên cứu • Chỉ chứng cho thấy BDTQ công cụ hỗ trợ hiệu cho HS q trình khám phá tổng qt hóa quy luật dãy số suy luận quy nạp ngoại suy • Chỉ khác biệt thực suy luận quy nạp ngoại suy môi trường hình học động so với mơi trường giấy bút • Phân tích thể quy nạp ngoại suy mối liên hệ với việc sử dụng phương thức kéo rê công cụ hỗ trợ phần mềm hình học động GSP khám phá tốn hình học kết thúc mở • Tổng kết quy trình sử dụng phương thức kéo rê để khám phá tốn hình học kết thúc mở suy luận quy nạp ngoại suy từ thực nghiệm nghiên cứu Về mặt thực tiễn • Hệ thống ví dụ luận án làm tài liệu tham khảo cho GV HS thực hành suy luận quy nạp ngoại suy để khám phá tốn • Đề xuất cách thiết kế toán KTM từ toán sách giáo khoa hướng dẫn tổng quát cho GV 22 nhằm đổi dạy học theo hướng phát triển lực suy luận quy nạp ngoại suy HS Lưu ý sư phạm dành cho giáo viên Từ kết thực nghiệm Nghiên cứu 1, đưa số lưu ý mặt sư phạm dành cho GV có điều kiện thực hành nhiệm vụ lớp học: • Cùng quy luật cho dãy số, có nhiều phương án ngoại suy khác để giải thích GV nên giới thiệu đến HS phương án khác phương án mà HS sử dụng • GV cần cho HS thấy em đưa giả thuyết để giải thích cho trường hợp cho sẵn cần kiểm chứng giả thuyết cho trường hợp khác trước tổng quát hóa giả thuyết suy luận quy nạp • Nghiên cứu đưa chứng thuyết phục cho thấy lợi phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học so với phương án ngoại suy thuộc phạm trù Số học việc thiết lập quy tắc tổng quát cho dãy số theo quy luật hàm số bậc hai Do đó, việc giới thiệu đến HS phương án ngoại suy thuộc phạm trù Hình học cần thiết Đồng thời, GV cần cung cấp tốn để khuyến khích HS sử dụng BDTQ công cụ để khám phá quy luật dãy số nhận ý nghĩa hình học biến số quy tắc tìm thấy Quá trình thực nghiệm Nghiên cứu có số lưu ý GV: • Khi sử dụng thiết kế tình hình học kết thúc mở để tạo cho HS hội khám phá toán, GV nên chọn tình địi hỏi HS phải phối hợp ngoại suy trực quan ngoại suy thao tác để đưa giả thuyết 23 • Khi HS đề xuất giả thuyết từ quan sát BDTQ động, GV cần yêu cầu HS kiểm chứng giả thuyết thực nghiệm trước đưa giả thuyết cuối • Giả thuyết có từ việc quan sát kiểm chứng BDTQ động cần chứng minh cách nghiêm túc • Trong bốn phương thức kéo rê, phương thức Kéo rê trì Kéo rê liên kết hai phương thức kéo rê lạ với HS có hội thực hành khám phá tốn phần mềm động Do đó, GV cần tạo điều kiện để HS thực hành nhiều với hai phương thức kéo rê Đối với việc phát triển lực suy luận ngoại suy quy nạp HS thông qua việc sử dụng tốn KTM, GV cần lưu ý: • GV nên có thay đổi cách trình bày vấn đề cách nêu nhiệm vụ theo quy trình phù hợp để HS có hội luyện tập tăng dần lực tư suy luận, chẳng hạn như: (1) Các tốn đóng quen thuộc với quy trình giải biết trước  (2) Các toán đóng khơng quen thuộc địi hỏi lực sử dụng phương án giải vấn đề  (3) Chuyển đổi tốn đóng sách giáo khoa thành toán mở (cho thiếu liệu tốn, u cầu giải thích khái niệm, quy tắc, hay tự đề xuất toán )  (4) Áp dụng toán học vào vấn đề thực tế (có thể giải lớp học)  (5) Cho HS tiến hành khảo sát toán (thực chuyên đề nhỏ theo nhóm vấn đề thực tế ngồi học) • Các tốn KTM nên thiết kế cho có nhiều giả thuyết ngoại suy khác lý giải cho kết quan sát HS phải đánh giá xem giả thuyết ngoại suy tốt 24 • GV cần nhắc nhở HS sử dụng suy luận diễn dịch để chứng minh giả thuyết đề xuất tiếp thu nội dung toán học chứa đựng vấn đề mà em khảo sát, nguồn tri thức cần cho việc giải vấn đề khác Đề xuất kiến nghị chương trình sách giáo khoa Một kết nghiên cứu quan trọng giáo dục toán Anh 20 năm qua khẳng định: HS không ngừng “phát minh” qui tắc tốn để giải thích “dạng mẫu” mà em phát chung quanh (Askew & Wiliam, 1995, [15]) Hơn thế, báo cáo tương lai giáo dục toán cho quốc gia (NRC, [55], 1989), Hội đồng nghiên cứu quốc tế cho thời đại ngày nay, q trình làm tốn xa nhiều so với việc tính tốn hay suy luận diễn dịch mà liên quan đến quan sát quy luật, kiểm tra giả thuyết đánh giá ước lượng kết Sự chuyển đổi đề nghị thực nội dung chương trình cách giảng dạy Do đó, chúng tơi cho HS cần thực hành nhiều với hoạt động tìm kiếm quy luật tùy theo độ tuổi mức độ nhận thức em, tất cấp học bậc học Hướng phát triển đề tài Các hướng nghiên cứu khác tiếp tục mở rộng kế thừa từ nghiên cứu như: (1) Sử dụng biểu diễn bội hỗ trợ suy luận ngoại suy quy nạp để khám phá quy luật toán học chủ đề khác hệ thức lượng tam giác, bất đẳng thức đại số…; (2) Nghiên cứu vai trò ngoại suy trình đề xuất giải vấn đề, trình chứng minh…; Mặt khác, Nghiên cứu luận án dạng nghiên cứu trường hợp cụ thể nên kết thu mang tính chất định tính: phát mối quan hệ tiềm việc thực phương thức kéo rê cụ thể với ... với quy mô gần 70 quốc gia giới tham dự, có Việt Nam Trong xu hướng đó, chúng tơi chọn: ? ?Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh mười lăm tuổi trình tìm kiếm quy luật. .. TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY 4.1 Ảnh hưởng biểu diễn trực quan đến trình suy luận quy nạp ngoại suy khám phá quy luật dãy số 4.1.1 Các phương án ngoại suy để khám phá quy luật dãy... biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hưởng đến trình suy luận HS để đưa quy tắc tổng quát? • Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động để hỗ trợ trình suy luận quy nạp ngoại suy