1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG Q TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TỐN LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG Q TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TỐN Chuyên ngành: Lý luận Phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 62.14.01.11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU PGS TS TRẦN VUI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Trương Thị Khánh Phương LỜI CẢM ƠN Tơi xin trân trọng cảm ơn:  Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hồi Châu, người ln động viên nhắc nhở, hướng dẫn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi mặt để tơi hồn thành  luận án này; Phó giáo sư Tiến sĩ Trần Vui, người tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học, ln động viên khích lệ để tơi có đủ niềm tin nghị lực  suốt trình thực luận án này; Các Thầy, Cơ tổ Tốn-Tin trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu cho suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cám ơn:  Ban giám hiệu trường ĐH Y Dược Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học đồng nghiệp mơn Tốn-Tin trường ĐH Y Dược Huế, Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học trường ĐH Sư phạm Tp Hồ Chí Minh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi  cho suốt trình theo học Nghiên cứu sinh bảo vệ luận án; Các giáo viên Toán học sinh trường THPT Phong Điền, THPT Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hai Bà Trưng (Huế) THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi (Gia Lai) giúp đỡ, hỗ trợ trình tiến hành thực nghiệm cho nghiên cứu Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến người thân gia đình người bạn ln quan tâm, nâng đỡ chỗ dựa tinh thần cho tơi suốt thời gian qua Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2015 Trương Thị Khánh Phương MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt BDTQ GV HS KTM nnk SGK THPT tr Viết đầy đủ biểu diễn trực quan giáo viên học sinh kết thúc mở người khác sách giáo khoa trung học phổ thông trang DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH Glossary in English Abductive reasoning Inductive reasoning Deductive reasoning Selective abduction Creative abduction Visual abduction Manipulative abduction Visual representation Dynamic visual representation Visualization Mathematical pattern Open ended problem Dragging scheme National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) Programme for International Student Assessment (PISA) Organization for Economic Cooperation and Development (OECD) Nghĩa tiếng Việt Suy luận ngoại suy Suy luận quy nạp Suy luận diễn dịch Ngoại suy chọn lựa Ngoại suy sáng tạo Ngoại suy trực quan Ngoại suy thao tác Biểu diễn trực quan Biểu diễn trực quan động Trực quan hóa Dạng mẫu tốn Bài tốn kết thúc mở Phương thức kéo rê Hội đồng giáo viên tốn quốc gia Chương trình đánh giá học sinh quốc tế Tổ chức hợp tác phát triển kinh tế DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU Chương MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu vấn đề nghiên cứu Trong vòng 20 năm trở lại lâu nữa, mô tả chung đặc trưng toán hầu hết nhà tốn học chấp nhận, là: Tốn học khoa học dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]) Báo cáo “Mọi người đếm” – báo cáo tương lai giáo dục toán cho quốc gia (1989, [55]) rõ: “Toán học khoa học nhằm thấu hiểu dạng mẫu phát sinh từ giới xung quanh ta bên q trình làm việc trí óc người HS cần học quy tắc toán, quan trọng làm để mơ tả vật tượng theo ngơn ngữ tốn học” Một cách để mô tả dạng mẫu quy luật thơng qua mối quan hệ hàm số Việc khám phá quy luật toán dạng mẫu kĩ cần thiết với HS xu hướng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, nhiệm vụ tốn khơng cịn bó hẹp tốn chứng minh mà trở nên đa dạng với mẫu liệu kết đo đạc quan sát, mơ hình tốn tượng tự nhiên, hành vi người hệ thống xã hội Bodner (1986, [21]) khẳng định “ người học kiến tạo hiểu biết Họ không đơn giản phản chiếu lại dạy họ đọc Người học tìm kiếm ý nghĩa cố gắng để tìm quy luật trật tự dạng mẫu giới khách quan cho dù thiếu thơng tin đầy đủ ” Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật tốn dạng mẫu khía cạnh quan trọng việc học Chẳng hạn, lúc học phép cộng số nguyên, HS lớp ý đến dạng mẫu: + (−4) = (−4) + 3, + = + 5, (−6) + (−9) = (−9) + ( −6) nhận thấy trật tự hai số hạng phép cộng không quan trọng Từ đó, HS đề xuất giả thuyết a + b = b + a, ∀a, b ∈ ¢ Như HS tổng qt hóa quy 10 luật tốn mà em phát từ dạng mẫu quan sát Khơng có số học, tìm kiếm quy luật toán dạng mẫu hoạt động thường xuyên diễn lĩnh vực khác đại số, hình học mà kết công thức, định lý (Mason, 1996, [50]) Đặc biệt, q trình tìm kiếm quy luật tốn liên quan đến vận hành hai loại suy luận có lí suy luận ngoại suy suy luận quy nạp Hội đồng giáo viên toán quốc gia Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh số mười tiêu chuẩn cho toán học nhà trường NCTM cho khả suy luận chất việc hiểu tốn nên mục tiêu giáo dục toán: “Bằng việc phát triển ý tưởng, khám phá tượng, xác minh kết sử dụng suy luận toán học tất lĩnh vực, tất lớp học, HS nhìn thấy tin tưởng tốn học có ý nghĩa…” NCTM (2000, [57]) khẳng định: “Khả suy luận phát triển HS cổ vũ để đưa dự đốn, cho thời gian tìm kiếm chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng, mong chờ việc giải thích ý tưởng… Nếu khả suy luận khơng phát triển cho HS tốn học tập hợp cơng thức, thuật tốn, quy tắc ví dụ mang tính biểu diễn mà khơng hiểu chúng có ý nghĩa” Bên cạnh đó, suy luận biểu diễn hai số tám lực chọn để đánh giá Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, chương trình Tổ chức hợp tác phát triển kinh tế OECD khởi xướng đạo, nhằm tìm kiếm số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng hệ thống giáo dục nước tham gia, qua rút học sách giáo dục phổ thơng Biểu diễn trực quan (BDTQ), dạng biểu diễn tốn, khơng đóng vai trị minh họa cho kết biểu diễn kí hiệu mà cịn thừa nhận cơng cụ hiệu cho việc học tốn (Arcavi, 2003, [13]) Trong bối cảnh chung đó, chúng tơi mong muốn thực đề tài nghiên cứu nhằm phát triển khả suy luận quy nạp ngoại suy để tìm kiếm quy luật tốn HS với hỗ trợ biểu diễn trực quan 184 PHỤ LỤC 2B THỰC NGHIỆM BÀI TỐN HÌNH HỌC KTM SỐ Bài toán Cho điểm A, M, K tùy ý B điểm đối xứng với A qua M, C điểm đối xứng với A qua K D điểm đối xứng với B qua K Kéo rê điểm M đưa dự đốn hình dạng tứ giác ABCD Trong điều kiện ABCD hình chữ nhật? Sau nội dung hội thoại GV hai cặp HS hai nhóm q trình khám phá Bài tốn Cặp HS nhóm Cặp HS nhóm [HS dựng hình tốn] 03:37 GV: Tứ giác ABCD hình gì? 03:40 HS2: Dạ hình bình hành (HS2 đưa dự đốn từ nhìn thấy hình vẽ đầu tiên) 03:48 GV1: Hãy xem thử vị trí khác điểm M có ln đảm bảo tứ giác hình bình hành khơng? 03:53 HS2: Dạ có [HS2 vừa thực kéo rê ngẫu nhiên vừa trả lời] 03:56 GV: Ln ln hình bình hành à? 03:59 HS1: Có thể trùng…hình bình hành suy biến 04:09 Em đưa trường hợp suy biến xem? 04:11 HS1: Có thể hình chữ nhật Có hình dạng khác khơng? Có hình vng nơi tề? 04:30 HS2: tứ giác ABCD trở thành đoạn thẳng 4:45 GV1: Xem thử trường hợp ABCD hình chữ nhật? 4:51 HS2: Đo góc ni (HS đo góc ADB) 5:28 HS1: Chừ đo góc ADC HS2 thực kéo rê trì để ABCD hình chữ nhật 5:53 HS1: Trung điểm à? 5:55 HS1: Nhầm nhầm nhầm… 5:55 HS2: M hình chiếu K lên AB 6:10 GV1: Nghĩa mối quan hệ nào? 6:11 HS1(và HS2): M nằm đường trung trực AB… À không… Không phải…Nhầm 6:22 HS1: K nằm đường trung trực AB, phải không? 6:37 GV: Thử kiểm chứng xem? Kết hợp tạo vết đi? HS tiến hành tạo vết cho điểm M Kéo rê [HS dựng hình tốn] 4:29 GV: Giờ em có dự đốn hình dạng tứ giác ABCD? 4:32 HS4: Kéo M xem thử 4:39 HS3 HS4: Hình bình hành 4:52 HS3: Khi kéo rê điểm M tứ giác ABCD hình bình hành 5:19 HS4: Kéo thêm hình vng 5:21 HS3: Đo góc 5:24 GV2: Tại em lại đo góc đó? 5:26 HS3: Dạ …hồi chặp để đưa dự đốn tứ giác ABCD hình chữ nhật góc ABC phải 90 độ, tương tự góc BCD, BAD 90 độ 5:56 GV: ABCD hình bình hành khơng, cần đo góc ABC, góc cịn lại chắn là…đúng khơng? 6:10 HS3: Dạ 6:21 HS3: Mình kéo rê trì tứ giác ABCD hình chữ nhật 6:41 HS3: 90 chưa? … 7:15 GV2: Em kéo rê điểm M cố gắng trì cho góc ABC 90 độ khơng? 7:19 HS3: Dạ 7:43 GV: Có vẻ khó không? 7:58 GV: Thử cố gắng đi, cố gắng trì cho góc 90 độ xem thử … 9:07 GV: Thử kéo lên đi, nối tiếp đoạn Đoạn em trì khơng [GV hướng dẫn HS kéo rê trì] 09:50 HS3: A… cung trịn 185 trì điểm M để ABCD hình chữ nhật 7:39 HS1: Trên đường thẳng… 7:48 HS1: Không phải đường thẳng nữa… 7:56 HS2: Có vẻ đường cong 8:24 HS1: Trên đường tròn Đường tròn chi hè? 8:39 HS1: Đường trịn qua K 9:49 HS2: Khơng phải đường trịn qua K [HS tiếp tục Kéo rê trì] 10:57 HS2: Đường trịn đường kính AK 11:04 HS1: Khi qua K có đâu? 11:06 HS2: Thì K trùng M, ABCD thành đường thẳng mà [HS2 tiến hành dựng đường tròn đường kính AK thực Kéo rê liên kết điểm M vào đường tròn để kiểm chứng thuyết phục HS1 giả thuyết đưa ra.] 12:17 HS2: 90 độ Chính xác! [HS2 nói đến góc ADC 90 độ điểm M di chuyển đường trịn đường kính AK.] 12:29 HS1: Ừ…Hay 09:52 HS4: Ừ…(cười) 09:55 GV2: Hình cung trịn à? Em cố gắng kéo rê trì tiếp 10:02 HS4: Đường tròn chơ? 10:22 HS3: Qua điểm A không? [HS3 nghĩ đến vết tạo thành cung tròn qua điểm A hỏi HS4] Lúc HS3 kéo rê trì với tốc độ nhanh nhằm xem thử vết có qua điểm A khơng nên số đo góc ABC khơng cịn trì xấp xỉ 90 độ 10:27 GV2: Góc ABC lớn kìa, em cố gắng kéo rê trì [GV2 nhắc nhở HS3 cố gắng kéo rê trì để góc ABC 90 độ] 11:02 HS3: Qua điểm A khơng? [HS3 tiếp tục thăm dị ý kiến HS4 giả thuyết đưa sau đường tạo vết dài hơn, HS4 theo dõi hình khơng đưa ý kiến gì.] 11:07 GV2: Em dự đốn chưa? 11:08 HS3: Dạ Hình đường trịn đường kính AK 11:04 GV2: Đường trịn đường kính AK à, có thể? Em thử kéo điểm M xuống phía xem Đó cung trịn thơi mà 12:40 HS4: Đường trịn [HS4 phát biểu điều HS3 thực việc kéo rê trì tạo vết gần 2/3 đường trịn] 12:41 HS3: Đúng 12:59 HS4: Vẽ đường tròn [Sau kéo rê trì tạo vết khoảng 2/3 đường tròn, HS4 đề nghị HS3 vẽ đường tròn đường kính AK để việc kéo rê trì dễ dàng nhanh chóng cách kéo rê điểm M di chuyển dọc theo đường tròn này] 13:10 HS3: Chắc chắn đường trịn đường kính AK (Hình 4.38c) Mình thử kéo rê liên kết xem [HS3 thực việc liên kết điểm M vào đường tròn đường kính AK di chuyển điểm M để xác nhận giả thuyết.] … 14:05 HS3: Tứ giác ABCD hình chữ nhật M di chuyển đường trịn đường kính AK ... luận ngoại suy quy nạp việc giúp HS mười lăm tuổi phát triển khả tìm kiếm quy luật tốn, chúng tơi chọn: ? ?Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp ngoại suy học sinh mười lăm tuổi trình. .. Việt Suy luận ngoại suy Suy luận quy nạp Suy luận diễn dịch Ngoại suy chọn lựa Ngoại suy sáng tạo Ngoại suy trực quan Ngoại suy thao tác Biểu diễn trực quan Biểu diễn trực quan động Trực quan. .. VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG THỊ KHÁNH PHƯƠNG SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY CỦA HỌC SINH MƯỜI LĂM TUỔI TRONG QUÁ TRÌNH