giúp học sinh lớp 4; phân loại giải toán phơng pháp tính ngợc từ cuối ( Kinh nghiệm đợc xếp bậc 4) NGƯT Võ Văn Đàn Phòng GD&ĐT TP Vinh A Đặt vấn đề Bồi dỡng học sinh giỏi việc làm cần thiết Trong chơng trình toán tiểu học có nhiều nội dung liên quan đến việc bồi dỡng học sinh giỏi Việc bồi dỡng học sinh giỏi không nhằm giúp em giải đợc toán khó, mà qua bồi dỡng khả t duy, suy luận để áp dụng vào sống đòi hỏi ngời Có nhiều dạng toán, toán có nhiều cách giải khác Trong có cách giải dùng đến kiến thức lớp trên, cha phù hợp với t học sinh tiểu học ( - 11 tuổi ) Một vấn đề cần đợc quan tâm với nội dung toán cần đợc giải theo lôgic khả suy nghĩ em Trong viết muốn đề cập đến phơng pháp giải toán quen thuộc gần gũi với học sinh tiểu học Giải toán phơng pháp tính ngợc từ cuối ( suy luận từ cuối - suy luận từ dới lên ) Với loại toán cần giúp học sinh phân loại nh nào, có cách giải nào, bớc giải đợc thực trình tự nh nào? Qua muốn trao đổi bạn đọc đồng nghiệp quan tâm đến việc bồi dỡng học sinh giỏi toán số vấn đề xung quanh cách suy nghĩ, dẫn dắt học sinh tìm tòi lời giải toán B Giải vấn đề I Thế giải toán phơng pháp tính ngợc từ cuối ? Có số toán mà ta tìm số cha biết cách thực liên tiếp phép tính (hoặc trình biến đổi) ngợc với phép tính cho toán Nh từ kết cuối cùng, ta tính ngợc lại để tìm đợc giá trị trớc cuối tiếp tục nh số phải tìm Giải toán phơng pháp nh gọi phơng pháp tính ngợc từ cuối suy luận từ cuối suy luận từ dới lên II Một số dạng Loại toán giải phơng pháp tính ngợc từ cuối có nhiều dạng Trong viết xin đa số dạng bản, gần gũi với học sinh tiểu học hớng giải cho dạng 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi phép tính đơn giản, trình tìm tòi cách giải dùng lợc đồ đa toán tìm x quen thuộc 2- Dạng thứ 2: Các phép biến đổi liên quan đến phân số ( phép chia phức tạp ) trình tìm tòi cách giải giải nên sử dụng SĐĐT ( Sơ đồ đoạn thẳng ) , phơng pháp đặc biệt phù hợp với học sinh tiểu học 3- Dạng thứ 3: Quá trình biến đổi việc thêm bớt từ phần qua phần số đơn vị số lần số phần địa cần đến Phơng pháp suy luận để tìm tòi cách giải chuẩn xác gần gũi, phù hợp với nhận thức em cách lập bảng biến đổi 4- Dạng thứ 4: Quá trình biến đổi liên tiếp phức tạp cuối phần đợc chia Để tìm tòi cách giải cần biết phân tích từ thành phần " trớc cuối" hay " áp chót" mối quan hệ gía trị " áp chót" gía trị cuối để suy kết toán III Các ví dụ hớng dẫn Dạng thứ nhất: Ví dụ 1.1: Tìm số biết đem số cộng với 32, đợc đem chia cho 3, nhân với 120 Hớng dẫn giải: Với toán dạng này, ta sử dụng cách: + Dùng lợc đồ + Dùng sơ đồ đoạn thẳng + Đa toán " tìm x" ( Lập phơng trình ) Để phù hợp với nhận thức học sinh tiểu học ( đặc biệt em mức trung bình vơn lên giỏi ), ta nên hớng dẫn em sử dụng lợc đồ nh sau: + 32 :3 C B A? - 32 x4 x3 120 :4 Nếu ta quay lợc đồ góc 90 ta có cách nói suy luận từ dới lên A? - 32 B x3 C Bằng dấu mũi tên ngợc với trình + 32 biến đổi đề ta dễ dàng giúp em tìm kết toán C x = 120 Vậy, muốn tìm C ta : làm ? ( 120 : = 30 Vậy C = 30 ) 120 :4 B : = 30 Vậy, muốn tìm B ta làm x4 ? ( 30 x = 90 Vậy B = 90 ) A + 32 = 90 Vậy, muốn tìm A ta làm ? ( 90 - 32 = 58 Vậy A = 58 - Đây số phải tìm toán ) Lu ý: Lợc đồ nên sử dụng phần nháp để tìm tòi cách giải Nếu vẽ vào làm rờm rà thời gian Bài giải cụ thể: Số trớc nhân với là: 120 : = 30 Số trớc chia cho là: 30 x = 90 Số phải tìm ( hay trớc cộng 32 ) là: 90 - 32 = 58 Đáp số: 58 Bài toán ta hớng dẫn học sinh giải phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nh sau: Số cần tìm : 32 Số sau cộng với 32: Số sau chia cho 3: Cuối : 120 Lu ý: Số sau cộng với 32 hay trớc chia cho * Giải cách đa toán tìm X ( tìm thành phần cha biết phép tính - lập phơng trình ) Gọi số cần tìm X ta có : ( X + 32 ) : x = 120 Giải: ( X + 32 ) : = 120 : ( X + 32 ) : = 30 X + 32 = 30 x X + 32 = 90 X = 90 - 32 X = 58 Lu ý: toán tìm X dạng bản: X+a=b; Xxa=b; X-a=b; a-X=b, X:a=b; a:X=b Trong a, b số biết X số cần tìm Hầu hết toán tìm X tiểu học ( giải phơng trình bậc có ẩn số ) không dạng bản, qua số biến đổi tơng đơng đợc đa dạng Ví dụ 1.2: Tìm số biết số nhân với cộng với 45, đợc nhân với chia cho cuối trừ 17 đợc kết 2073 Hớng dẫn giải: Dùng lợc đồ: x5 X? + 45 A :5 x4 B - 45 :2 C :4 - 17 2073 D x2 + 17 Bài giải: ( Nên hớng dẫn học sinh trình bày theo kiểu dới đây) Số trớc trừ 17 : 2073 + 17 = 2090 Số trớc chia cho : 2090 x = 4180 Số trớc nhân với : 4180 : = 1045 Số trớc cộng với 45 : 1045 - 45 = 1000 Số phải tìm : 1000 : = 200 Đáp số: 200 Dùng SĐĐT Dạng tìm tòi cách giải phơng pháp sử dụng SĐĐT đợc nhng phải vẽ phiền phức Cách vẽ cách trình bày tơng tự ví dụ 1.1, nên không trình bày Sử dụng cách đa toán tìm X Việc sử dụng cách đa toán tìm X đơn giản, tơng tự ví dụ 1.1, việc đa giải phơng trình nh cha thật phù hợp với học sinh tiểu học Bên cạnh cần lu ý học sinh sử dụng dấu ngoặc đơn cách hợp lý Cụ thể: Gọi số phải tìm X ta có: (X x + 45 ) x : - 17 = 2073 Giải toán ta tìm đợc X = 200 Cách giải tơng tự ví dụ 1.1 trình bày - Dạng thứ hai: Ví dụ 2.1: Một ngời đem bán số cam Lần đầu bán 1/3 số cam, lần thứ hai bán 1/3 số cam lại, lần thứ ba bán 20 56 Hỏi lúc đầu ngời có tất cam ? Hớng dẫn giải: Dùng lợc đồ: Dạng dùng lợc đồ khó khăn việc biểu diễn phần lại sau lần bớt Cụ thể: Bớt 1/3 X Bớt 1/3 A A X? - 20 B 56 ( Suy luận theo đờng mũi tên có nét đứt để giải toán ) + Bán 20 quả, 56 Vậy, muốn tìm số cam trớc bán 20 ta làm nh nào? ( lấy 56 cộng với 20, ta có 56 + 20 = 76 Nh B = 76 ) + Bớt 1/3 A B, tức 76 Vậy, muốn tìm A ta làm nh ? Hớng dẫn cách nghĩ: A bớt 1/3 2 A, mà A 76 , A = 3 76: 2/3 = 114 ( trình bày A = 76 : x = 114) Vậy A = 114 + Bớt 1/3 X A, tức 114 Vậy, muốn tìm X ta làm nh ?Tơng tự nh cách tìm A ta có: X = 114 : 2/3 = 171.Vậy, X ( số cần tìm ) 171 Cách giải cụ thể: Trớc bán 20 , ngời số cam: 56 + 20 = 76 ( ) Số cam lại trớc bán lần thứ hai là: 76 : 2/3 = 114 ( ) Số cam ngời đem bán là: 114 : 2/3 = 171 ( ) Đáp số 171 Dùng SĐĐT ( Phơng pháp chủ công loại ) Để phù hợp với HS tiểu học ( đặc biệt học sinh ch a học phép tính phân số ) Nên hớng dẫn HS sử dụng phơng pháp dùng SĐĐT Ta có SĐĐT nh sau: Số cam cần tìm: Số cam lại sau bán lần I: Số cam lại sau bán lần II : 20 Cuối 56 Hớng dẫn giải: Tìm số cam lại sau bán lần thứ hai ( hay trớc bán lần thứ ba ) Số cam lại sau bán lần thứ hai đợc biểu diễn hai đoạn thẳng: đoạn cuối 56 đoạn biểu diễn 20 Nh vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ hai ta làm nh nào? ( 56 + 20 = 76 ) Tìm tiếp số cam lại sau bán lần thứ Số cam đợc biểu diễn đoạn thẳng có phần nhau, mà phần 76 Vậy, muốn tìm số cam lại sau lần bán thứ ta làm nh nào? ( lấy 76 chia để tìm phần, nhân với để có phần cụ thể 76 : x = 114) Tìm số cam ngời đem bán Toàn số cam đợc biểu diễn đoạn thẳng chứa phần nhau, mà có phần 114 Vậy, muốn tìm số cam ngời đem bán ta làm nh ? ( lấy 114 chia để tìm phần, nhân với để tìm phần - Cụ thể : 114 : x = 171) Bài giải cụ thể: Số cam lại sau bán lần thứ hai : 65 + 20 = 76 ( quả) Số cam lại sau bán lần đầu là: 76 : x = 114 (quả) Số cam lúc đầu : 114 : x = 171 ( quả) Đáp số: 171 cam Sử dụng cách đa toán tìm X: Với dạng này, ta hớng dẫn học sinh giải cách đa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh cha học phép tính phân số Ta đa toán tìm X không thuộc dạng nh sau: Gọi số cam cần tìm X ( X số tự nhiên lớn - đơn vị : ) X- 1 x X - x ( X - x X ) - 20 = 56 3 Ví dụ 2.2: Một ngời đem bán số trứng nh sau: Lần đầu bán cho khách 1/2 số trứng biếu khách Lần thứ hai bán 1/2 số trứng lại lại biếu khách Lần thứ ba bán 1/2 số trứng lại sau hai lần trớc lại biếu khách Cuối ngời 10 trứng Hỏi lúc đầu ngời có trứng đem bán ? Hớng dẫn giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng Nh loại này, sử dụng phơng pháp dùng SĐĐT để giải tối u Vẽ sơ đồ: Một nửa Số trứng ?: Số trứng lại sau lần bán thứ nhất: Một nửa Số trứng lại sau lần bán thứ hai : Một nửa Cuối : 10 Theo sơ đồ ta có ( nhìn ngợc từ dới lên ): + Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai gồm đoạn thẳng biểu diễn 10 trứng Muốn tính nửa số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 10 + = 11 ) Muốn tính số trứng lại sau bán lần thứ hai ta làm ? ( 11 x = 22 ) + Một nửa số trứng lại sau bán lần thứ gồm 22 Từ dễ thấy cách tính số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 + Một nửa số trứng lúc đầu gồm 46 Từ dễ thấy cách tính số trứng ngời đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Bài giải cụ thể: Số trứng lại sau bán lần thứ hai là: ( 10 + ) x = 22 ( ) Số trứng lại sau bán lần thứ là: ( 22 + ) x = 46 ( ) Số trứng ngời đem bán là: ( 46 + ) x = 94 ( ) Đáp số: 94 trứng Lu ý: Có thể hớng dẫn học sinh thử lại, tạo thêm niềm tin cho em: 94 : - = 46 , 46 : - = 22 ; 22 : - = 10 Dùng lợc đồ: X- X-1 A- A-1 A X? B- B-1 B 10 ( Suy luận theo đờng mũi tên có nét đứt ) + Tìm B: B - B - = 10 B - = 10 B = 11 + Tìm A: A - A - = 22 A - = 22 A = 23 A = 23 x = 46 + Tìm X: X - X - = 46 X - = 46 X = 47 X = 47 x = 94 B = 11 x = 22 Nhận xét: Với cách rõ ràng học sinh phải dùng đến phép tính phân số, bên cạnh lại phải kết hợp với việc đặt ẩn số không thật phù hợp với t học sinh tiểu học Đa toán "tìm X ": Trong trờng hợp này, đa toán " tìm X " phức tạp học sinh tiểu học Để cho học sinh nắm đợc nên chuyển thành bớc nhỏ nh sau: Gọi số trứng ngời đem bán X ( X số tự nhiên lớn ), ta có: Số trứng lại sau lần bán thứ là: X- 1 X-1= X-1 2 Số trứng lại sau lần bán thứ hai là: 1 1 X - - ( X - 1) - = X 2 Số trứng lại sau lần bán thứ ba là: 1 X- - ( X- )-1= X4 2 Theo toán ta có: X - = 10 X= 94 ( tự giải ) Qua cách giải ta thấy với dạng này, sử dụng SĐĐT hợp lý Ví dụ 2.3: An có số bi đựng hộp Lần đầu An lấy 1/3 số bi hộp bỏ trở lại bi Lần thứ hai An lấy 1/4 số bi lại lại bỏ lại bi Lần thứ ba An lấy 1/2 số bi lại hộp bỏ lại bi Lần thứ t An lấy 2/3 số bi lại lần lấy bỏ lại bi hộp có 15 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hớng dẫn giải: Dùng SĐĐT (Phơng pháp chủ công loại này) phần ba Số bi ? bi Số bi lại sau lần lấy T1: bi Số bi lại sau lần lấy thứ hai: bi Số bi lai sau lần lấy thứ ba: bi Cuối cùng: 15 bi Theo SĐĐT ta thấy: + Số bi lại sau lần lấy thứ ba có phần ? (3 phần) Ta tìm đợc phần nh không ? Muốn tìm phần ta làm nh nào? (15 - = 10) Vậy số bi lại sau lần lấy thứ ba ? (10 x = 30 bi ) + Số bi lại sau lần lấy thứ hai chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? ( 30 - = 26 ) Vậy số bi lại sau lần lấy thứ hai ? ( 26 x = 52 ) + Số bi lại sau lần lấy thứ chứa phần ? ( phần ) Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? - Trớc hết phải tìm đợc giá trị phần Muốn tìm giá trị phần ta làm nh ? ? ( 52 - = 51 ) - Để tìm giá trị phần ta làm nh ? ( 51 : = 17 ) Vậy, muốn tìm số bi lại sau lần lấy thứ ta làm nh ? ( 17 x = 68 ) + Số bi lúc đầu hộp có phần ? ( phần ) Ta tính đ ợc giá trị phần trớc ? ( phần ) Muốn tính giá trị phần ta làm nh ? ( 68 - = 66 ) Ta dễ dàng tính đợc phần.Vậy, muốn tính số bi hộp lúc đầu An ta làm nh ? ( 66 : x = 99 ) Bài giải cụ thể ( Lu ý có số bớc cần làm gộp để giải không dài dòng ) Số bi lại sau lần lấy thứ ba : ( 15 - ) x = 30 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ hai là: ( 30 - ) x = 52 ( bi ) Số bi lại sau lần lấy thứ là: ( 52 - ) : x = 68 ( bi ) Số bi lúc đầu hộp An : ( 68 - ) : x = 99 ( bi ) Đáp số : 99 bi Dạng vận dụng lợc đồ đa toán "tìm X " để giải nhng có nhiều khó khăn học sinh tiểu học Tuy vậy, học sinh giỏi thật nên khuyến khích em giải theo nhiều cách khác Nhng rõ ràng cách giải SĐĐT hợp lý Dạng thứ ba Ví dụ 3.1: Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển từ hộp A sang hộp B 20 bi từ hộp C sang hộp B 15 bi Lần thứ hai chuyển từ hộp B sang hộp C 40 bi từ hộp C sang hộp A 15 bi Lần thứ ba chuyển từ hộp B sang hộp A 18 bi từ hộp C sang hộp 10 B bi Cuối hộp A có 140 bi, hộp B có 160 bi hộp C có 180 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Hớng dẫn giải Để tìm tòi cách giải dạng có nhiều cách, nhng cách phù hợp với học sinh tiểu học lập bảng Việc lập bảng không yêu cầu trình bày vào giải mà cần thực nháp để có cách trình bày xác Ta lập bảng nh sau: Nội dung chuyển Số bi hộp Lần 1: - Từ A B 20 bi A - Từ C Lần 2: - Từ B B 15 bi C 40 bi 20 - Từ C A bi Hàng B C 15 * * * 40 Lần 3: - Từ B A 18 bi - Từ C B bi * * * 180 bi 18 Cuối 140 bi 160 bi Lu ý: + Các dấu * ô 2A, 2B, 2C số bi lại sau chuyển lần thứ + Các dấu * ô 3A, 3B, 3C số bi lại sau chuyển lần thứ hai + Khi nháp cần cột số bi hộp đợc Dựa vào bảng trên, phơng pháp suy luận từ dới lên ta tìm đợc * hàng hàng cuối hàng - số bi hộp phải tìm Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trớc chuyển lần thứ ba hay sau chuyển lần thứ hai ) - Số bi hộp C ( ô 3C ) Bớt bi 180 bi Vậy, muốn tính số bi hộp C trớc chuyển lần thứ ba ta làm nh ? ? ( 180 + = 184) - Số bi hộp B ( ô 3B ) Bớt 18 bi thêm vào bi 160 bi Vậy, muốn tính số bi hộp B trớc chuyển lần thứ ba ta làm nh ? bao nhiêu? ( 160 + 18 - = 174 ) - Số bi hộp A ( ô 3A) 11 Thêm vào 18 bi đợc 140 bi Vậy, muốn tính số bi hộp A trớc chuyển lần thứ ba ta làm nh ? bao nhiêu? (140 - 18 = 122) Ta tính số bi hộp A cách khác: Việc luân chuyển luẩn quẩn ba hộp nên tổng số bi ba hộp không đổi Đã tính đợc hai hộp dễ dàng tính đợc hộp lại Cụ thể: Tổng số bi ba hộp là: 140 + 160 + 180 = 480 (bi) Số bi hộp A trớc chuyển lần thứ ba là: 480 - 174 - 184 = 122 (bi) Tìm giá trị ô hàng ( số bi hộp trớc chuyển lần hay sau chuyển lần thứ ) Bằng phơng pháp suy luận nh ta tính số bi hộp hàng cách đơn giản nh sau: - Số bi ô 2C là: 184 - 40 + = 149 ( bi ) - Số bi ô 2B là: 174 + 40 = 214 ( bi ) - Số bi ô 2A là: 122 - = 117 ( bi ) Tìm số bi lúc đầu hộp ( số bi ô hàng ) Bằng phơng pháp suy luận tìm nh hàng 3, hàng ta dễ dàng tính đợc số bi lúc đầu hộp - Số bi lúc đầu hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Nh vậy, với toán phức tạp ( với HS tiểu học ) phơng pháp dẫn dắt hợp lý, ta đa giải nhiều toán " " mà toán " " việc tìm thành phần cha biết phép tính, học sinh giải đợc không khó khăn Bên cạnh suy luận tìm tòi theo kiểu " hàng ngang", ta hớng dẫn giúp học sinh suy luận theo kiểu " cột dọc " Cách hữu hiệu Đây thực chất ta lại sử dụng lợc đồ nhng đợc xếp theo kiểu cột Cụ thể nh sau: A C B 12 - 20 +20, + 15 A2 -15 C2 B2 +5 - 40 + 40, - B3 A3 C3 + 18 -18, +4 -4 160 140 180 Nhìn vào lợc đồ cột, thực theo chiều mũi tên "dài", ta dễ dàng tính đợc số bi hộp lúc đầu Chú ý xét " thêm ", " bớt" cột không cần biết đâu chuyển đến hay chuyển đâu Các bớc giải toán làm gộp ngắn gọn nh sau: Số bi hộp A lúc đầu là: 140 - 18 - + 20 = 137 ( bi ) Số bi hộp B lúc đầu là: 160 - + 18 + 40 - 15 - 20 = 179 ( bi ) Số bi hộp C lúc đầu là: 180 + + - 40 + 15 = 164 ( bi ) Đáp số: Hộp A: 137 bi; Hộp B: 179 bi; Hộp C: 164 bi Ví dụ 3.2: Có hai thùng đựng dầu A B Lần đầu chuyển 26 l từ thùng A sang thùng B Lần thứ hai chuyển từ thùng B sang thùng A số lít dầu gấp lần số lít dầu có thùng A Lần thứ ba chuyển từ thùng A sang thùng B số lít dầu số lít dầu có thùng B cuối thùng A có 48 l, thùng B có 60 l Hỏi lúc đầu thùng có lít dầu ? Đây toán thuộc dạng thứ ba Trong cần lu ý, chuyển từ địa sang địa khác có cách: - Chuyển số đơn vị cụ thể ( tơng tự ví dụ 3.1) - Chuyển số lần có địa đợc chuyển đến Hớng dẫn giải: Lập bảng Nội dung chuyển Lần 1: Chuyển 26 bi từ A Số bi hộp B A 13 B Hàng Lần 2: Chuyển từ B A số lít dầu gấp lần số 26 2A dầu có A Lần 3: Chuyển từ A B số lít dầu 3A 3B 48 lít 60 lít 2B số dầu có B Cuối + Tính số lít dầu thùng trớc chuyển lần thứ ba ( ô 3A, 3B ) - Số lít dầu thùng B ( ô 3B) Sau chuyển lần thứ ba ( cuối ), thùng B có 60 l Đã chuyển từ thùng A sang thùng B số dầu số dầu thùng B có để đợc 60 l Vậy trớc chuyển lần thứ ba thùng B có lít dầu ? Muốn tính ta phải làm ? ( 60 : = 30 minh hoạ SĐĐT để em dễ hiểu ) - Số lít dầu thùng A ( ô 3A ) Bớt 30 48 Vậy, muốn tìm số lít dầu thùng A trớc chuyển lần thứ ba ta làm nh ? ( 30 + 48 = 78 - 48 + 60 - 30 = 78 ) + Tính số lít dầu thùng trớc chuyển lần thứ hai - Số lít dầu thùng A ( ô 2A ) Đợc thêm lần 78 Vậy, muốn tìm "chính nó" hay số lít dầu thùng A trớc chuyển lần thứ hai ta làm nh ? ( 78 : = 26 ) Nên mimh hoạ SĐĐT để học sinh dễ hiểu 78 có đợc thêm - Số lít dầu thùng B ( ô 2B ) Muốn tính số lít dầu ô 2B ta làm nh ? ( 48 + 60 - 26 = 82 ) + Tính số lít dầu thùng lúc đầu ( ô 1A, 1B ), hay trớc chuyển lần thứ - Số lít dầu thùng B lúc đầu: Đợc thêm 26 82 Vậy, muốn tìm số dầu lúc đầu thùng B ta làm nh ? ( 82 - 26 = 56 ) - Từ tìm đợc số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Sử dụng lợc đồ cột 14 B A + 26 + 26 - 26 2B 2A + thêm lần :3 Bớt lần ( 2A ) ( gấp lần ) 3A 3B Trừ lần ( 3B ) + 30 + thêm lần 48 60 Bài giải cụ thể: Tổng số lít dầu hai thùng là: 60 + 48 = 108 ( l ) Số lít dầu thùng B trớc chuyển lần thứ ba là: 60 : = 30 ( l ) Số lít dầu thùng A trớc chuyển lần thứ ba là: 108 - 30 = 78 ( l ) Số lít dầu thùng A trớc chuyển lần thứ hai là: 78 : = 26 ( l ) Số lít dầu thùng B trớc chuyển lần thứ hai là: 108 - 26 = 82( l ) Số lít dầu thùng B lúc đầu là: 82 - 26 = 56 ( l ) Số lít dầu thùng A lúc đầu là: 108 - 56 = 52 ( l ) Đáp số: Thùng A: 52 l; Thùng B: 56 l Chú ý: Nếu xếp theo lợc đồ cột tính liên tục thùng nh ví dụ 3.1 Dạng thứ t Đây dạng tơng đối phức tạp toán giải phơng pháp suy luận từ cuối Những khó là: - Kết cuối thờng số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải đợc dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích tìm giá trị " áp chót" ( trớc cuối ) Từ tính đợc đáp số toán 15 Ví dụ 4.1: Một tổ công nhân sau hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ đợc thởng số tiền Ngời tổ trởng đem chia số tiền nh sau: - Tổ trởng đợc 100000 đồng 1/10 số tiền lại - Tổ phó đợc 200000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ đợc 300000 đồng 1/10 số tiền lại - Công nhân thứ hai đợc 400000 đồng 1/10 số tiền lại Cứ tiếp tục chia nh ngời cuối số tiền thởng đợc chia cho tất ngời Hỏi số tiền thởng cho tổ ngời đợc thởng tiền ? Ví dụ toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cụ thể, mà biết đợc cách biến đổi nh cuối số tiền chia cho ngời nh Bằng cách giải nh với ví dụ trớc với loại thực đợc Để giúp HS giải đợc loại ta cần phân tích, xét phần " áp chót" phần "chót" để tìm cách giải Bằng SĐĐT ta có: " áp chót " " Cuối cùng" 1/10 " Cuối " Trớc hết phải thấy ngời cuối nhận số tiền số nguyên trăm nghìn đồng vừa hết ( tức 1/10 phần lại 0) Nếu không ngời cha phải ngời cuối Theo sơ đồ ta thấy: Ngời " áp chót " đợc nhận số nguyên trăm nghìn đồng 1/10 số tiền lại Nh vậy, 9/10 số tiền lại ngời cuối Ngời cuối nhận số nguyên trăm nghìn ngời "áp chót" 100000 đ Vậy, 100000 đ 1/9 số tiền ngời cuối nhận Từ ta có: + Số tiền ngời cuối nhận là: 100000 : 1/9 = 900000 (đồng ) + Số ngời tổ là: ngời 16 + Số tiền toàn tổ là: 900000 x = 8100000 ( đồng ) Cũng lập luận nh ta có cách trình bày thứ hai nh sau: Gọi số nguyên trăm nghìn đồng ngời " áp chót" nhận A, phần lại B đồng Từ ta có: Số tiền ngời "áp chót" nhận đợc biểu diễn theo A B nh ? ( A + B) 10 Số tiền ngời cuối nhận đợc biểu diễn nh ? ( B) 10 Theo toán, số tiền đợc chia cho ngời, có nghĩa số tiền ngời " áp chót" nhận số tiền ngời cuối nhận, nên ta biểu diễn quan hệ số tiền hai ngời nh ? ( A + A= B= B 10 10 B) 10 Mặt khác, ngời cuối nhận B vừa hết, nên số tiền ngời cuối nhận 10 số nguyên trăm nghìn ngời " áp chót" nhận thêm 100000 đ Tức là: B = A + 100000 10 B= B + 100000 10 10 B = 100000 10 B = 100000 : 1/10 = 1000000 Vậy, số tiền ngời nhận là: 1000000 x 9/10 = 900000 ( đ ) Từ tính đợc số tiền tổ: + Cách 1: Theo quy luật cộng thêm số nguyên trăm nghìn, dễ thấy tổ có ngời Vậy : Tổng số tiền đợc thởng là: 900000 x = 8100000 ( đ ) + Cách 2: Từ chỗ ngời đợc thởng 900000 đ, nên ta có: 100000 đ + 1/10 số tiền lại = 900000 đ 1/10 số tiền lại 8000000 đ Vậy, tổng số tiền đợc thởng : 8000000 + 100000 = 8100000 ( đ ) Lu ý: Về cách tính số ngời tổ thực theo cách sau: Số ngời tổ là: ( 900000 - 100000 ) : ( 200000 - 100000) + = ( ngời ) Ví dụ 4.2: Một ngời đem bán số cam nh sau: Ngời thứ mua 1/6 số cam lại Ngời thứ hai mua 18 1/6 số cam lại 17 Ngời thứ ba mua 27 1/6 số cam lại Cuối số cam vừa hết số cam ngời mua Hỏi ngời bán cam ? Hớng dẫn giải: Tơng tự nh ví dụ 4.1, trớc hết ta cần khảng định số điều sau: + Ngời thứ mua quả, ngời thứ hai mua 18 quả, ngời thứ ba mua 27 quả, Vậy, quy luật ngời mua sau ngời mua liền trớc + Ngời cuối mua số nguyên cam vừa hết, có nghĩa phần d lại + Ngời " áp chót" mua số nguyên cam 1/6 số cam lại 5/6 số cam lại số cam ngời cuối mua + Số cam ngời mua nh Ta sử dụng SĐĐT: Cuối "áp chót" (A) (B) Cuối Đặc biệt lu ý: Phần nguyên số cam ngời cuối mua phần nguyên số cam ngời " áp chót" mua thêm Vậy, 1/6 số cam lại sau ngời " áp chót" mua số nguyên cam Vậy, số cam ngời cuối mua là: x = 45 ( ) Số ngời mua cam là: ( 45 - ) : ( 18 - ) + = ( ngời ) Số cam ngời đem bán là: 45 x = 225 ( ) Ta hớng dẫn em giải theo cách khác: Gọi phần nguyên số cam ngời "áp chót" mua A, phần lại B ( xem hình vẽ ) Số cam ngời " áp chót" mua đợc biểu diễn theo A B : A + 18 B Số cam ngời " cuối " mua đợc biểu diễn theo B là: có: A + B= B 6 A= B Theo toán ta B Từ đó: B - B = B = 6 6 B = 54 Mỗi ngời mua số cam : 54 : x = 45 quả, số cam ngời đem bán là: 45 x = 225 (quả) Khái quát vấn đề Mô hình chung loại toán giải phơng pháp suy luận từ cuối là: cần tìm Kết sau Kết sau Kết sau + Một số biến đổi lần + Nhiều số biến đổi lần biến đổi lần thứ thứ hai thứ ba (cha biết ) (cha biết) (cha biết) cuối ( biết) Các bớc thực ngợc để giải Quy trình giải chủ yếu thực bớc theo chiều mũi tên ngợc với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào trình biến đổi Có việc biến đổi đơn giản, có biến đổi phức tạp Có số toán kết cuối số cụ thể mà lại toán, giải toán ta sễ tìm đợc kết cuối ( thông thờng toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ ) IV Kết luận học kinh nghiệm Nh trình bày phần đặt vấn đề, toán tiểu học có nhiều dạng, nhiều phơng pháp giải Giải toán phơng pháp suy luận từ cuối dạng quen thuộc Nhng học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo làm em tự tin vào khả dễ Nhiệm vụ ngời dạy toán phải đốt lên " lửa " yêu toán lòng em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải cách làm tạo đợc niềm tin cho em Trên sở này, nghĩ tới không dạy dạng toán mà nhiều dạng toán khác đợc áp dụng quy trình để giúp em nắm kiến thức, phơng pháp t lôgic giải toán sống 19 Nhiều năm tham gia bồi dỡng học sinh giỏi toán tiểu học, nhận thấy việc giúp em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán nh có hiệu cao Trên tinh thần em nắm kiến thức, vận dụng linh hoạt sáng tạo Tôi cố gắng, nhng cha phải đa đợc giải pháp tối u Tôi viết nhiều khiếm khuyết, mong nhận đợc giáo bạn đọc đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn nhiều, nhiều Phụ lục I- Các tài liệu tham khảo Những phơng pháp giải toán cấp Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dơng Thuỵ Toán chọn lọc cấp Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Khắc An Vũ Hoàng Lâm - Nguyễn Thị Phớc Hảo 255 toán chọn lọc số học Tác giả: Vũ Dơng Thuỵ - Trơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm Giải toán khó 3, 4, Tác giả: Hoàng Kỳ Toán bồi dỡng học sinh lớp Tác giả: Nguyễn - Dơng Quốc ấn Hoàng Thị Phớc Hảo - Phan Thị Nghĩa Toán bồi dỡng học sinh lớp Tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Trung Hiệu Toán chọn lọc lớp Tác giả: Phạm Đình Thực II- Một số toán luyện tập Tìm số biết rằng, số trừ 80, đợc nhân với cộng với 192 792 Mẹ cho hai anh em số tiền để mua sách Nếu anh cho em số tiền số tiền em, em lại cho anh số tiền số tiền lại anh 20 em có 35000 đồng anh có 30000 đồng Hỏi mẹ cho ngời tiền ? Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển 10 bi từ hộp A sang hộp B 15 bi từ hộp C sang hộp B Lần thứ hai chuyển bi từ hộp A sang hộp B bi từ hộp B sang hộp C Lần thứ ba chuyển 20 bi từ hộp C sang hộp A 18 bi từ hộp B sang hộp A Lần thứ t chuyển bi từ hộp A sang hộp B bi từ hộp C sang hộp B, cuối hộp A có 190 bi, hộp B có 350 bi, hộp C có 280 bi Hỏi lúc đầu hộp có bi ? Một ngời chợ bán cam Lần thứ bán 1/2 số cam cộng thêm 1/2 Lần thứ hai bán 1/2 số cam lại cộng thêm 1/2 Lần thứ ba bán 1/2 số cam lại cộng thêm 1/2 Lần thứ t bán 1/2 số cam lại cộng 1/2 vừa hết Tính số cam ngời đem bán (Toán cổ) Một tên tham lam gặp quỷ cạnh cầu Tên than phiền nỗi nghèo khổ Con quỷ nói " Tôi giúp anh Cứ lần anh qua cầu số tiền anh đợc tăng gấp đôi; nhng sau anh phải trả cho 24 xu Bằng lòng ?" Tên tham lam lòng nh Sau qua cầu ba lần thấy túi không xu Hỏi lúc đầu tên tham lam có tiền ? Trong buổi lao động trồng đầu xuân, lớp 5A chia số cho tổ lần lợt nh sau: Tổ Một trồng 20 4/ 100 số lại; Tổ Hai trồng 21 4/100 số lại; Tổ Ba trồng 22 4/100 số lại; Cứ chia nh tổ cuối vừa hết số số tổ đem trồng Hỏi lớp A có tổ tổ đợc chia ? Trong hộp có 130 bi Hai bạn chơi trò bốc bi Mỗi lần lấy từ đến bi Ai lấy đợc viên bi cuối ngời thắng Bạn đợc bốc trớc, theo bạn nên lấy nh để bạn ngời thắng ? chúc bạn thành công 21 22 [...]... bài toán, giải các bài toán đó ta sễ tìm đợc các kết quả cuối cùng ( thông thờng là các bài toán Tổng - Tỉ, Hiệu - Tỉ ) IV Kết luận và bài học kinh nghiệm Nh đã trình bày ở phần đặt vấn đề, toán tiểu học có nhiều dạng, nhiều phơng pháp giải Giải bài toán bằng phơng pháp suy luận từ cuối là một dạng khá quen thuộc Nhng để cho học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo và khi làm bài các... thể tính liên tục ở một thùng nh ví dụ 3.1 4 Dạng thứ t Đây là dạng tơng đối phức tạp trong các bài toán giải bằng phơng pháp suy luận từ cuối Những cái khó đó là: - Kết quả cuối cùng thờng không phải là số cụ thể - Quá trình thay đổi phức tạp, có tính quy luật Muốn giải đợc dạng này, cần giúp học sinh sử dụng SĐĐT để phân tích và tìm ra giá trị " áp chót" ( trớc cuối ) Từ đó sẽ tính đợc đáp số của bài. .. ) Bằng phơng pháp suy luận và tìm nh ở hàng 3, hàng 2 ta dễ dàng tính đợc số bi lúc đầu ở mỗi hộp - Số bi lúc đầu ở hộp C là: 149 + 15 = 164 ( bi ) - Số bi lúc đầu ở hộp B là: 214 - 20 - 15 = 179 ( bi ) - Số bi lúc đầu ở hộp A là: 117 + 20 = 137 ( bi ) Nh vậy, với một bài toán khá phức tạp ( với HS tiểu học ) bằng phơng pháp dẫn dắt hợp lý, ta đã đa về giải quyết nhiều bài toán " con " mà mỗi bài toán. .. pháp t duy lôgic trong giải toán và trong cuộc sống 19 Nhiều năm tham gia bồi dỡng học sinh giỏi toán tiểu học, tôi nhận thấy việc giúp các em nhận dạng, tìm tòi cách giải toán nh trên có hiệu quả cao Trên tinh thần đó các em nắm khá chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt và khá sáng tạo Tôi đã rất cố gắng, nhng chắc cha phải đã đa ra đợc những giải pháp tối u Tôi chắc rằng trong bài viết của mình còn nhiều... biết) cuối cùng ( đã biết) Các bớc thực hiện ngợc để giải bài Quy trình giải chủ yếu thực hiện các bớc theo chiều mũi tên ngợc với chiều mũi tên biến đổi ban đầu Việc thực hiện các phép tính hoàn toàn phụ thuộc vào quá trình biến đổi Có những bài việc biến đổi đơn giản, có những bài biến đổi phức tạp Có một số bài toán kết quả cuối cùng có thể không phải là những số cụ thể mà có thể lại là một bài toán, ... vậy cho đến ngời cuối cùng thì số tiền thởng đợc chia đều cho tất cả mọi ngời Hỏi số tiền thởng cho cả tổ là bao nhiêu và mỗi ngời đợc thởng bao nhiêu tiền ? Ví dụ này là bài toán thuộc dạng suy luận từ cuối Cái cuối cùng ở đây không biết cụ thể, mà chỉ biết đợc là bằng cách biến đổi nh vậy thì cuối cùng số tiền chia cho mỗi ngời là nh nhau Bằng các cách giải nh với các ví dụ trớc với loại này không... bạn đọc và đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn nhiều, nhiều Phụ lục I- Các tài liệu tham khảo Những phơng pháp giải toán cấp 1 Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dơng Thuỵ Toán chọn lọc cấp 1 Tác giả: Đỗ Trung Hiệu - Nguyễn Khắc An Vũ Hoàng Lâm - Nguyễn Thị Phớc Hảo 255 bài toán chọn lọc số học Tác giả: Vũ Dơng Thuỵ - Trơng Công Thành - Nguyễn Ngọc Đạm Giải các bài toán khó 3, 4, 5 Tác giả: Hoàng Kỳ Toán. .. 3, 4, 5 Tác giả: Hoàng Kỳ Toán bồi dỡng học sinh lớp 5 Tác giả: Nguyễn áng - Dơng Quốc ấn Hoàng Thị Phớc Hảo - Phan Thị Nghĩa Toán bồi dỡng học sinh lớp 6 Tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Trung Hiệu Toán chọn lọc lớp 5 Tác giả: Phạm Đình Thực II- Một số bài toán luyện tập 1 Tìm một số biết rằng, số đó trừ 80, đợc bao nhiêu nhân với 5 rồi cộng với 192 thì bằng 792 2 Mẹ cho hai anh em một số tiền... tiền đúng bằng số tiền của em, rồi em lại cho anh một số tiền đúng bằng số tiền còn lại của anh 20 thì em có 35000 đồng và anh có 30000 đồng Hỏi mẹ đã cho mỗi ngời bao nhiêu tiền ? 3 Có ba hộp bi A, B, C Lần đầu chuyển 10 bi từ hộp A sang hộp B và 15 bi từ hộp C sang hộp B Lần thứ hai chuyển 6 bi từ hộp A sang hộp B và 9 bi từ hộp B sang hộp C Lần thứ ba chuyển 20 bi từ hộp C sang hộp A và 18 bi từ hộp... tự tin vào khả năng của mình không phải là dễ Nhiệm vụ của ngời dạy toán là phải đốt lên " ngọn lửa " yêu toán trong lòng các em Hệ thống, phân loại, phân tích, tìm cách giải là một trong những cách làm tạo đợc niềm tin cho các em Trên cơ sở này, chúng ta có thể nghĩ tới không chỉ dạy dạng toán này mà nhiều dạng toán khác cũng đợc áp dụng quy trình này để giúp các em nắm chắc kiến thức, phơng pháp t ... 171 cam Sử dụng cách đa toán tìm X: Với dạng này, ta hớng dẫn học sinh giải cách đa toán tìm X gặp số khó khăn học sinh tiểu học học sinh cha học phép tính phân số Ta đa toán tìm X không thuộc.. .Loại toán giải phơng pháp tính ngợc từ cuối có nhiều dạng Trong viết xin đa số dạng bản, gần gũi với học sinh tiểu học hớng giải cho dạng 1- Dạng thứ nhất: Dạng biến đổi phép tính đơn... nhiều phơng pháp giải Giải toán phơng pháp suy luận từ cuối dạng quen thuộc Nhng học sinh nắm chắc, nhớ lâu, vận dung linh hoạt, sáng tạo làm em tự tin vào khả dễ Nhiệm vụ ngời dạy toán phải đốt