5/30/2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Bộ môn Cầu Công trình ngầm Website: http://www.nuce.edu.vn Website: http://bomoncau.tk/ PHƯƠNG PHÁP SỐ  TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TS. NGUYỄN NGỌC TUYỂN Website môn học: http://phuongphapso.tk/ Link dự phòng: https://sites.google.com/site/tuyennguyenngoc/courses‐in‐ vietnamese/phuong‐phap‐so‐trong‐tinh‐toan‐ket‐cau Hà Nội, 5‐2015 CHƯƠNG II Tính hệ chịu kéo nén tâm (Phần tử dàn ‐ Truss) 43 5/30/2015 Nội dung chương • 2.1. Bài toán lò xo • 2.2. Phần tử dàn trục tọa độ (1D) • 2.3. Phần tử dàn hệ tọa độ phẳng (2D) • 2.4. Phần tử dàn hệ tọa độ không gian (3D) 44 2.1. Bài toán lò xo • (1). Hệ có lò xo – Xét lò xo có độ cứng K – Coi lò xo là phần tử có 2  nút ở đầu ký hiệu nút i nút j O fi ui x i j fj uj – Giả sử cần tìm quan hệ chuyển vị nút ui & uj với lực nút fi & fj => Tách riêng 2 trường hợp sau: 45 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) O – Trường hợp (a): cố định nút i  f j a  K  u j a  a a  fi   f j  f j a  K  u j a  a a  f i   K  u j x i j f ja f ia u ja u ia – Trường hợp (b): cố định nút j b b  fi  K  ui  b b  fi   f j b b  f i  K  ui  b b  f j   K  ui i j f jb f ib u ib u jb – Áp dụng nguyên lý chồng chất lực:  fi  fi a  fi b   K  u j a  K  ui b  a b a b  f j  f j  f j  K  u j  K  ui i j ui uj fj fi 46 Bài toán lò xo (t.theo) – Do ui = uia + uib = 0 + uib = uib uj = uja + ujb = uja + 0 = uja nên viết lại hệ sau: O x i f ja f ia i K  K   K   ui   fi     K  u j   f j  u ja u ia  fi  K  ui  K  u j   f j   K  ui  K  u j – Như vậy, quan hệ lực nút chuyển vị nút viết dạng ma trận sau:  j j f jb f ib u ib u jb i j ui uj fj fi 47 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) • (2). Hệ có nhiều lò xo – Xét hệ gồm có 2 lò xo A và B có độ cứng K1 và K2  chịu lực nút hình vẽ: F1 U1 2 F2 F3 O x U3 U2 f i1 1 f j1 i f i2 j f j2 i u j1 u i1 2 j u j2 u i2 – Lò xo A được gọi phần tử 1; lò xo B được gọi phần tử 2;  phần tử có 2 nút (tại đầu i và j của phần tử)  48 Bài toán lò xo (t.theo) – Ký hiệu tổng thể cho hệ: • Toàn hệ có 3 nút đánh số: 1, 2 và F • Véc tơ chuyển vị nút: {U} = {U1, U2, U3}T 1 • Véc tơ lực nút: {F} = {F1, F2, F3}T U1 2 F2 U F3 U3 – Ký hiệu địa phương cho phần tử: • Mỗi phần tử có 2 nút ký hiệu i và j • Véc tơ chuyển vị nút phần tử thứ “e” là : {ue} = {uie, uje}T • Véc tơ lực nút phần tử thứ “e” là : {fe} = {fie, fje}T f i1 i u i1 f j1 j u j1 f i2 i u i2 f j2 j u j2 49 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ véc tơ lực nút véc tơ chuyển vị nút phần tử 1:   K1  K  f i1 1 i  K1   ui1   fi1     K1  u j1   f j1  f j1 j u j1 u i1 • Chú ý: ui1 = U1 uj1 = U2 – Quan hệ véc tơ lực nút véc tơ chuyển vị nút phần tử 2:   K2  K  f i2  K   ui   fi     K  u j   f j  2 i f j2 j u j2 u i2 • Chú ý: ui2 = U2 uj2 = U3 50 Bài toán lò xo (t.theo) – Quan hệ lực nút chuyển vị nút phần tử 1 theo hệ tọa độ tổng thể:   K1  K    K1  U1   f    K1  U    f 0  U   i j      f i1 1 f j1 i j u j1 u i1 (a) – Quan hệ lực nút chuyển vị nút phần tử 2 theo hệ tọa độ tổng thể:  0 0 K  0  K  U1         K  U    fi  K  U   f j  f i2 (b) i u i2 f j2 j u j2 51 5/30/2015 Bài toán lò xo (t.theo) – Kết hợp hệ phương trình (a) và (b) được hệ phương trình cân hệ lò xo (c):   K1    K1   K1 K1  K K2  U1   fi1      K  U    f j1  fi  K  U   f j  (c)  F1   fi      – Chú ý rằng:                                                và F    F2    f j1  fi  F   f  j  3   U1    U   U  U   3 => Hệ phương trình (c) có thể viết ngắn gọn thành: [K]{U} = {F} 52 Bài toán lò xo (t.theo) – Phương trình cân toàn hệ lò xo: [K]{U} = {F} đó:    K1  K     K1   K1 K1  K K2 0 K  K  [K] được gọi ma trận độ cứng hệ xây dựng từ ma trận độ cứng phần tử [K] = ma trận độ cứng tổng thể 53 5/30/2015 2.2. Phần tử dàn trục tọa độ • Định nghĩa: phần tử dàn phần tử chịu lực dọc trục (kéo nén tâm) – Xét lăng trụ tiết diện không đổi x O i A, E j fj fi • • • • • • Chiều dài phần tử: Diện tích tiết diện: Mô đun đàn hồi: Chuyển vị: Biến dạng: Ứng suất: ui L A E u = u(x) ε = ε(x) σ = σ(x) uj L 54 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) • Lựa chọn hàm xấp xỉ xác định ma trận hàm dạng – Mọi điểm phần tử tồn chuyển vị theo phương trục x là u(x);  x O i A, E j fj fi ui L uj – Nếu chọn hàm xấp xỉ tuyến tính phần tử có 2 nút số bậc tự do của phần tử 2, do đó số phần tử véc tơ tham số {a} cũng 2. Ta chọn đa thức xấp xỉ sau:  u(x) = a1 + a2x với 0 ≤ x ≤ L a  u x   1 x    = [P(x)] {a} a2  55 5/30/2015 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) – Véc tơ chuyển vị nút phần tử:  x O i u x   a1  a2 x A, E j fj fi ui {q}e = {q1 , q2}eT = {ui , uj}eT uj L – Thực đồng hàm chuyển vị chuyển vị nút: u  u  u x 0   a1  1   a1   q1           u x  L   a1  a2 L  1 L  a2   q2 e (tại nút i) (tại nút j)  a   A 1 qe  1 Với:  A     L  Aa  qe 0  L 56 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) – Hàm chuyển vị viết lại sau a  1 u x   1 x      P  x   a   P  x    A qe   N  x   qe a2  đó, [N]e gọi ma trận hàm dạng phần tử :  N e  1     P x    A  1 x     L 0  x    1    L  L x   N1  x  N  x   L   – Đến ta có thể biểu diễn đa thức xấp xỉ chuyển vị dọc trục theo chuyển vị nút phần tử sau:  x u  x    N e qe  1    L  x   q1   x x    1   q1  q2  L  q2 e  L  L 57 5/30/2015 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) – Biểu đồ hàm dạng biểu đồ chuyển vị phần tử: x x  u  x    N i  x   qi  1   q1  q2 L  L i 1 x  N1  x   1    L x N2  x   L y N1  x  u  x N2  x  y N1  q1 N  q2 q1 x Biểu đồ N1 N2 q2 x Biểu đồ u(x) 58 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) • Định luật Hooke cho toán 1 chiều (1‐D) – Quan hệ ứng suất biến dạng:   E Trong đó,  xác định dựa quan hệ chuyển vị biến dạng:  du dx x O i A, E j fj fi ui L uj 59 5/30/2015 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) • Xác định ma trận độ cứng (Phương pháp 1) – Chuyển vị u biến đổi tuyến tính dọc theo trục chuyển vị 1 điểm thuộc phần tử là: x  x u  x   1   ui  u j L  L – Biến dạng tính sau:  u j  ui L   L – Ứng suất tính theo biến dạng:   E  E L 60 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) – Ứng suất dàn tính theo lực dọc F:  F A  E F  L A – Do đó: F AE   K L AE L đó:                              là độ cứng dàn K  Như vậy, thanh dàn làm việc giống lò xo có độ cứng K 61 10 5/30/2015 Phần tử dàn trục tọa độ (t.theo) – Tiếp tục tăng P giá trị P2 = 100000N,  hệ làm việc giống toán ví dụ 2.1 A, E 2A, E P ∆ L 2L • Ứng suất giai đoạn 2 trong phần tử sau σ1_gđ2 = 100MPa σ2_gđ2 = ‐200MPa – Sau ứng suất tích lũy phần tử (khi lực P đạt tới giá trị P2 = 100000N) là tổng ứng suất 2 giai đoạn: σ1 = σ1_gđ1 + σ1_gđ2 = 600MPa σ2 = σ2_gđ1 + σ2_gđ2 = ‐200MPa 80 Các ký hiệu địa phương – Hệ trục tọa độ địa phương: o123 – Các chuyển vị “Nút i" theo hệ i i i tọa độ địa phương u ; u ; u – Các lực tác dụng “Nút i” của phần tử theo hệ tọa độ địa phương: fi1 ; fi2 ; fi3 – Ma trận độ cứng phần tử theo hệ tọa độ địa phương: [k] – Véc tơ chuyển vị nút “Nút j” của phần tử: {uj} – Véc tơ lực nút “Nút j” của phần tử: {fj} – Véc tơ chuyển vị nút phần tử: {u} – Véc tơ lực nút phần tử: {f} 81 20 5/30/2015 Các ký hiệu tổng thể – Hệ trục tọa độ tổng thể: OXYZ – Các chuyển vị “Nút n" theo hệ tọa độ tổng thể bao gồm: UnX ;  UnY ; UnZ – Các lực tác dụng “Nút n” theo hệ tọa độ tổng thể gồm: FnX ;  FnY ; FnZ – Ma trận độ cứng phần tử theo hệ tọa độ tổng thể: [K] – Véc tơ chuyển vị nút “Nút n” : {Un} j Y – Véc tơ lực nút “Nút n” : {Fn} – Véc tơ chuyển vị nút phần tử: {U} O – Véc tơ lực nút phần tử: {F} X i Z 82 Các ký hiệu tổng thể (t.theo) – Ma trận độ cứng tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: [Ks] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể hệ kết cấu kể tới điều kiện biên: {Fo} 83 21 5/30/2015 2.3. Phần tử dàn hệ tọa độ phẳng • Phần tử dàn không gian 2 chiều (2‐D) – Xét nút i Hệ tọa độ địa phương Hệ tọa độ tổng thể 1, 2 X, Y Y ui1 , ui2 UiX , UiY Nút có 1 bậc tự Nút có 2 bậc tự UiY UiX X O – Chú ý là “hệ tọa độ địa phương”, chuyển vị nút theo “phương 2” ui2 không ảnh hưởng tới nội lực dàn 84 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Xét chuyển vị nút i ta có:  u1i  U Xi cos   U Yi sin   i i i u2  U X sin   U Y cos  Y UiY UiX Nếu đặt l = cosθ m = sinθ chuyển vị theo hệ tọa độ địa phương viết sau: U Xi  u  l m  i  U Y  U i  u2i    m l   Xi  U Y  i hoặc: hoặc: O X m  U Xi  u1i   l   i   i  u2    m l  U Y    Ui ui  T 85 22 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Tương tự, xét chuyển vị nút j ta có quan hệ  u1j  U Xj cos   U Yj sin   j j j u2  U X sin   U Y cos  UjX u j   l hoặc:  1j    u2   m hoặc: UjY m  U Xj    l  U Yj   Uj uj  T  đó,         được gọi ma trận chuyển T    l m T  m l    86 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Chuyển vị 2 nút (i và j) của phần tử theo hệ tọa độ địa phương viết sau:  u1i   l m 0  U Xi   i    0  U Yi   u2    m l  j   l m  U Xj  u1   0 u2j   0 m l  U Yj  hoặc: u  TU  0 T T    T  – Tương tự công thức chuyển cho lực nút từ “hệ tọa độ tổng thể” sang “hệ tọa độ địa phương” sau: f  TF 87 23 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Quan hệ chuyển vị nút lực nút hệ tọa độ địa o phương: EA  1  u1i   f1i     L  1  u1j   f1 j  i f i1 ui1 j fj1 uj1 A , E L Hoặc viết lại hệ phương trình sau:  EA i EA j i  L u1  L u1  f1   EA u i  EA u j  f j  L L hoặc: EA j  EA i i j i  L u1   u2  L u1   u2  f1  i i j j 0  u1   u2   u1   u2    EA u i   u i  EA u j   u j  f j 2  L L  i i j j 0  u1   u2   u1   u2  PT(*) 88 Phần tử dàn – truss (t.theo) Như vậy, quan hệ chuyển vị nút lực nút hệ tọa độ o địa phương: j i i EA  1  u1   f1       L  1  u1j   f1 j  i f i1 ui1 A , E L fj1 uj1 Có thể viết lại dựa hệ phương trình PT(*) như sau: 1  EA  L  1  0 hoặc: 1   u1i   f1i      0  u2i     j j  u1   f1   0  u2j    k u  f 89 24 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) f  T  F phân tích ở phần u  TU Do:                        và phương trình k u  f viết lại thành: kTU  TF Nếu nhân 2 vế phương trình kTU  TF với ma trận chuyển trí ma trận T ma trận TT (và ý rằng:  TT T = I ma trận đơn vị) ta được phương trình sau: TT kTU  TT TF  TT kTU  F K U  F Hay: K  TT kT gọi ma trận độ cứng phần tử dàn theo hệ tọa độ tổng thể 90 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Ma trận độ cứng [K] theo tọa độ tổng thể tính sau: U Xi U Yi  l2 lm  m2 EA  lm K  TT kT  L  l lm   lm  m U Xj U Yj lm   lm m  l2 lm   lm m2  l U Xi U Yi U Xj U Yj đó, l và m là cosin phương tính sau: l  cos   m  sin   X j  Xi Y L Y j  Yi L O UiY UiX X 91 25 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Biến dạng phần tử dàn tính dựa chuyển vị nút hệ tọa độ địa phương sau: o u  u u   1 1    L L u  j i i j 1 i f i1 Có thể tính theo chuyển vị nút hệ tọa độ tổng thể: U Xi     l m 0  U Yi     1 1   j  L 0 l m  U X  U Yj  ui1 A , E L j fj1 uj1 m  U Xi   u1i   l  i  i  u    m l  U Y  u1j   l m  U Xj   j    j u    m l  U Y  92 Phần tử dàn – truss (t.theo) => Biến dạng phần tử theo chuyển vị nút hệ tọa độ tổng thể: U Xi   i U     l m l m  Yj  L U X  U Yj  – Ứng suất dàn tính theo biến dạng:   E   E  E  l m l L U Xi   i U  m   Yj  U X  j U Y  93 26 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) • Ví dụ 2.4.  Cho hệ dàn phẳng hình vẽ – Thanh dàn 1 và 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện A và mô đun đàn hồi vật liệu E – Lực P1 và P2 tác dụng nút số P2 P1 Y 1 X Tìm chuyển vị nút 2 và tìm ứng suất dàn biết: E = 200000MPa P1 = 10000N A = 100mm2 P2 = 30000N L = 1000mm 94 Phần tử dàn – truss (t.theo) 95 27 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) 96 Phần tử dàn – truss (t.theo) 97 28 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) 98 Phần tử dàn – truss (t.theo) 99 29 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) 100 Phần tử dàn – truss (t.theo) 101 30 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) • Bài tập 2.1.  Cho hệ dàn phẳng hình vẽ – Thanh dàn 1 và 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 3 có chiều dài L diện tích tiết diện A – Lực P tác dụng nút số 2 P L Yêu cầu: 1. Tìm chuyển vị nút phản lực nút 2. Tìm ứng suất dàn? X E = 200000MPa A = 600mm2 L = 1000mm P = 10000N 102 2.4. Phần tử dàn không gian • Phần tử dàn không gian 3 chiều (3‐D) – Xét dàn hệ tọa độ tổng thể OXYZ – Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do là 3 chuyển vị thành phần theo 3 phương X, Y và Z – Véc tơ chuyển vị phần tử hệ tọa độ tổng thể: {U} = {UiX, UiY, UiZ, UjX, UjY, UjZ,}T – Trong hệ tọa độ địa phương o123 (trục 1 là trục phần tử nối i và j), véc tơ chuyển vị:  {u} = {ui1, uj1}T j Y i O X Z 103 31 5/30/2015 Phần tử dàn không gian (t.theo) – Quan hệ {u} và {U} thông qua ma trận biến đổi [T]    {u} = [T] {U}     với  l m n 0 0  0 0 l m n  T    đó: l, m và n là cosin phương đường nối nút i  j trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ l X j  Xi L X L ; m Y j  Yi L n Z j  Zi  X i   Y j  Yi    Z j  Z i  j ; L 104 Phần tử dàn không gian (t.theo) • Véc tơ chuyển vị nút hệ tọa độ địa phương: {u} = {ui1, uj1}T • Véc tơ chuyển vị nút hệ tọa độ tổng thể: {U} = {UiX, UiY, UiZ, UjX, UjY, UjZ,}T • Ma trận biến đổi [T] :  l m n 0 0  0 0 l m n  T    Vậy: u  T U  hay: U Xi   i  U Y  i u1   l m n 0  U Zi   j   j  u1  0 0 l m n  U X  U j   Y U Zj  105 32 5/30/2015 Phần tử dàn không gian (t.theo)  FXi   i  FY  i  f1   l m n 0   FZi   j   j  f1  0 0 l m n   FX  F j   Y  FZj  – Tương tự, quan hệ {f} và {F} như sau:  f   T F  hay: Trong đó: • Véc tơ lực nút hệ tọa độ địa phương: {f} = {fi1, fj1}T • Véc tơ lực nút hệ tọa độ tổng thể: {F} = {FiX, FiY, FiZ, FjX, FjY, FjZ,}T • Ma trận biến đổi [T] :  l m n 0 0  0 0 l m n  T    106 Phần tử dàn không gian (t.theo) – Tìm ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể [K]  • Xét phương trình cân phần tử hệ tọa độ địa phương  k u   f  • Do u  T U   f   T F  • Vậy nên:   k T U   T F   T   k T U   T  T  F  T T  T   k T U    F  T   T     K   T   k T    107 33 5/30/2015 Phần tử dàn không gian (t.theo) Vậy: ma trận độ cứng phần tử hệ tọa độ tổng thể [K] được tính từ ma trận độ cứng địa phương [k]    [K] = [T]T [k] [T]    hay: l   AE  K    L     lm m2 ln   mn   nm n   lm ln  m2 mn   n  ln l lm mn lm m n2 Đối xứng ln l2 108 34 [...]... Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 73 16 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 74 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 75 17 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 76 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 77 18 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.3.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn... 21 5/30/2015 2.3. Phần tử thanh dàn trong hệ tọa độ phẳng • Phần tử thanh dàn trong không gian 2 chiều (2‐D) – Xét nút i Hệ tọa độ địa phương Hệ tọa độ tổng thể 1, 2 X, Y Y ui1 , ui2 UiX , UiY Nút có 1 bậc tự do Nút có 2 bậc tự do UiY UiX X O – Chú ý là trong hệ tọa độ địa phương”, chuyển vị nút theo “phương 2” là ui2 không ảnh hưởng tới nội lực của thanh dàn 84 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo)... tìm ứng suất trong mỗi thanh dàn nếu biết: E = 200000MPa P1 = 10000N A = 100mm2 P2 = 30000N L = 1000mm 94 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 95 27 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 96 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 97 28 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 98 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 99 29 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 100 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo)... Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) => Biến dạng trong phần tử theo chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể: U Xi   i 1 U     l m l m  Yj  L U X  U Yj  – Ứng suất trong thanh dàn được tính theo biến dạng:   E   E  E  l m l L U Xi   i U  m   Yj  U X  j U Y  93 26 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) 3 • Ví dụ 2.4.  Cho hệ dàn phẳng như hình vẽ – Thanh. .. 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 70 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 71 15 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) • Ví dụ 2.2.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2 Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và... l  cos   m  sin   X j  Xi Y L Y j  Yi L O UiY UiX X 91 25 5/30/2015 Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Biến dạng trong phần tử thanh dàn được tính dựa trên chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương như sau: o u  u u 1   1 1    L L u  j 1 i 1 i 1 j 1 1 i f i1 Có thể tính theo chuyển vị nút trong hệ tọa độ tổng thể: U Xi     l m 0 0  U Yi  1    1 1   j  L 0 0 l... cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: [Ks] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Us} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết cấu chưa kể tới điều kiện biên: {Fs} – Ma trận độ cứng tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: [Ko] – Véc tơ chuyển vị nút tổng thể của cả hệ kết cấu đã kể tới điều kiện biên: {Uo} – Véc tơ lực nút tổng thể của cả hệ kết... 2.1.  Cho các thanh dàn làm từ vật liệu có mô đun đàn hồi E – Thanh dàn 1 có chiều dài 2L, diện tích tiết diện A – Thanh dàn 2 có chiều dài L, diện tích tiết diện 2A – Lực P tác dụng tại nút số 2 Tìm ứng suất trong các thanh dàn 1 và 2 nếu biết: 1 A, E 2A, E 2 P 1 2 2L 3 L E = 200000MPa A = 100mm2 L = 1000mm P = 100000N 67 13 5/30/2015 Phần tử thanh dàn trong trục tọa độ (t.theo) 68 Phần tử thanh dàn trong... A = 600mm2 L = 1000mm P = 10000N 102 2.4. Phần tử thanh dàn không gian • Phần tử thanh dàn trong không gian 3 chiều (3‐D) – Xét một thanh dàn trong hệ tọa độ tổng thể OXYZ – Mỗi nút thuộc phần tử có 3 bậc tự do là 3 chuyển vị thành phần theo 3 phương X, Y và Z 1 – Véc tơ chuyển vị phần tử trong hệ tọa độ tổng thể: {U} = {UiX, UiY, UiZ, UjX, UjY, UjZ,}T – Trong hệ tọa độ địa phương o123 (trục 1 là trục phần... Phần tử thanh dàn – truss (t.theo) – Chuyển vị của 2 nút (i và j) của phần tử thanh theo hệ tọa độ địa phương có thể được viết như sau:  u1i   l m 0 0  U Xi   i    0 0  U Yi   u2    m l  j   l m  U Xj  u1   0 0 u2j   0 0 m l  U Yj  hoặc: u  TU trong đó  0 T T    0 T  – Tương tự công thức chuyển cho lực nút từ hệ tọa độ tổng thể” sang  hệ tọa độ ... ma trận độ cứng hệ xây dựng từ ma trận độ cứng phần tử [K] = ma trận độ cứng tổng thể 53 5/30/2015 2.2. Phần tử dàn trục tọa độ • Định nghĩa: phần tử dàn phần tử chịu lực dọc trục (kéo nén tâm) – Xét... thức chuyển cho lực nút từ hệ tọa độ tổng thể” sang  hệ tọa độ địa phương” sau: f  TF 87 23 5/30/2015 Phần tử dàn – truss (t.theo) – Quan hệ chuyển vị nút lực nút hệ tọa độ địa o phương: EA... Quan hệ lực nút chuyển vị nút phần tử 1 theo hệ tọa độ tổng thể:   K1  K    K1  U1   f    K1  U    f 0  U   i j      f i1 1 f j1 i j u j1 u i1 (a) – Quan hệ lực