CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2015 -2016 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2015 – 2016) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 22/3/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab  a  b Tính giá trị biểu thức: A  a b   ab b a Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 5x   x   4x  Bài 3: (3 điểm) Cho hai số x1 ,x nghiệm phương trình: x2  ax  b  , đồng thời x12  1 x 2  2  1 nghiệm phương trình x2   a2   x  b2   Tìm a b 2  Bài 4: (4 điểm)   xy  a) Cho hai số thực x, y  x  y   Chứng minh rằng: x  y    2  xy  b) Trong hình vng có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh ln tồn hai điểm có khoảng cách khơng vượt q 2 Bài 5: (5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt cạnh AB, AC P, Q cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng: a) CAD  FAB PQ DP.DQ  b) BC DB.DC Bài 6: (3 điểm) Chiều ngày 13/3, Cơng ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa cho biết kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sơng Sài Gòn Đây lần xả nước thứ từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nơng nghiệp Đợt xả nước cơng suất 30m3 / s kéo dài ngày, mặn đẩy cửa sơng Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước hồ cao khoảng 20m, trữ lượng nước gần 850 triệu m3 Tuy giúp nhà máy nước hạ lưu hoạt động nhiều chun gia bày tỏ lo lắng trữ lượng hồ đầu nguồn thấp dự báo đợt hạn mặn kéo dài đến tháng Hiện hồ phải kéo việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nơng nghiệp hoạt động sản xuất nước Về ngun nhân xâm nhập mặn, ơng Phạm Thế Vinh – Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam – cho rằng, hạn mặn diễn mạnh El Nino kéo dài khiến khu vực Nam mưa Ngồi ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2; khiến nước mặn sâu vào cửa sơng Ơng Bùi Thanh Giang – Phó tổng giám đốc Cơng ty cấp nước Sài Gòn (Sawaco) – cho biết, năm trữ lượng nước hồ đầu nguồn giảm mạnh Trong đó, lượng nước tích trữ hệ thống hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa thượng nguồn sơng Sài Gòn Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 đạt 70% Lưu lượng hồ Trị An sơng Đồng Nai đạt khoảng 80% so với trung bình hàng năm Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thơ cho nguồn nước sơng Sài Gòn với vốn thực từ ngân sách Ngồi ra, đơn vị đề xuất nâng cao cơng nghệ xử lý nước việc đòi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao (Nguồn vnexpress.net) a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng xả ngày qua? b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước có đề ngăn mặn (với tốc độ xả trên) cơng việc ngày c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn liên tục từ hơm (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng nước mà hồ xả khoảng thời gian   HẾT   Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2015 -2016 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2014 – 2015) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 22/3/2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab  a  b Tính giá trị biểu thức: A  a b   ab b a a2  b2   ab a2  b2   a  b a b a2  b2  a2  2ab  b2 Ta có: A    ab    2 b a ab ab ab 2 Bài 2: (3 điểm) Giải phương trình: 5x   x   4x   5x   x  Điều kiện:   x x   x  2    a  5x  a  5x  Đặt   a2  b2  4x   a, b       b  x  b  x  Phương trình cho trở thành: a  b  a  b  a2  b2   a  b a  b      a  b    x  TH1: a  b   5x   x    5x   x     x   nhận 5x   x   TH2: a  b    5x   x     5x   x     5x   x    25  5x   x    5x  1 x    25  5x  1 x    12  3x 12  3x  x     4x  81x  146   5x  1 x    12  3x  3  x  Vậy S   ;2   x  4   x      x   nhận   x  73  x   4x  73     Bài 3: (3 điểm) Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 Cho hai số x1 ,x nghiệm phương trình: x2  ax  b  , đồng thời x12  1 x 2  2  1 nghiệm phương trình x2   a2   x  b2   Tìm a b 2  Cách 1: x  x  a Vì x1 ,x nghiệm phương trình: x2  ax  b  nên theo định lí Vi-et, ta có:  x1x  b 1 Đặt X1  x12  ;X2  x2  2  1 2  X  X   x  x 2  2x x   X1  X2  x1   x  2 2     1 1  X X   x    X1X2   x1x   x12  x 22  x        2     X  X   x  x 2  2x x  2   2 1  X1X2   x1x    x1  x   2x1x       X  X   a2  2b   X1  X2  a2  2b  1     2 1  X1X2  b   a  2b   X1X2  b  a  b       1 Vì X1 , X2 nghiệm phương trình: x2   a2   x  b2   2    X1  X2   a nên theo định lí Vi-et, ta có:   X X  b2   2  X1  X2  a2  2b   mà  2  X1X2  b  a  b    a  a  2b    a2 2   4a  4b  2a      nên  3 2 2a  4b  3  2a  4b  3  b2  a2  b   b2  b      Cách 2: Ta có : a2  4b  x  ax  b  1   có nghiệm nên có điều kiện :   1    1 x   a   x  b      a     b    2 2 2      Do x1 ,x nghiệm pt (1), theo định lý Vi – ét, ta có : x1  x  a  x1 x  b Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016  1  1 Do  x12   ; x 2   nghiệm pt (2), theo định lý Vi – ét , ta có : 2  2   1  2 x1  x 2   a2  x1   x   a       1  x x 2  x  x   b2   x   x 2    b2      2 2      3 x1  x   2x1x  a2  a  2b  a2       2    x x 2   x  x 2  2x x   b2   b2  a2  2b  b2  2          b   b      nhận a2   a    2  3 Vậy  a;b   0;   thỏa đề 4    Bài 4: (4 điểm)   xy  a) Cho hai số thực x, y  x  y   Chứng minh rằng: x  y    2  xy  Cách 1: 2 2   xy    xy  x y      x  y   2xy    2  xy   xy  2 2   xy    xy    x  y   1  xy       x  y     bất đẳng thức  xy   xy   Cách 2: Áp dụng BĐT Cơ – si cho hai số khơng âm, ta được: 2    x  y    1xxyy   1  xy    xy   2xy     xy   x  y  2xy      2xy  xy    xy   x2  y2   2  xy  Vậy BĐT chứng minh b) Trong hình vng có cạnh 1, ta lấy điểm tùy ý Chứng minh ln tồn hai điểm có khoảng cách khơng vượt q Trang 2 HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 A B C D  Ta chia hình vng có cạnh thành hình vng nhỏ có cạnh hình vẽ 1   4  Lấy điểm tùy ý hình vng có cạnh (số thỏ) cho vào hình vng nhỏ có cạnh 1 hình vẽ (số chuồng), theo ngun lý Dirichle có hình vng nhỏ có cạnh 2 chứa hai điểm mà khoảng cách điểm khơng lớn đường chéo hình vng nhỏ  Ta có: AC  AB2  BC2  Vậy ln tồn điểm có khoảng cách khơng vượt q 2 Bài 5: (5 điểm) Cho ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn (K) qua A tiếp xúc với cạnh BC D, cắt cạnh AB, AC P, Q cắt (O) E khác A Tia ED cắt (O) F khác E Chứng minh rằng: A K E O Q P B C D M F a) CAD  FAB Ta có: Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 EAC  EFC  180  Tứ giác EACF nội tiếp   EFC  EDQ Mà hai góc nằm vị trí đồng vị  EAC  EDQ  180 Tư ù giá c EAQD nộ i tiế p     Nên DQ // FC  BCF  QDC   QDC  CAD góc tạo tt dc chắn DQ (K)  Mặt khác:   CAD  FAB FAB  BCF hai gnt chắn BF (O)   b)  PQ DP.DQ  BC DB.DC Gọi M giao điểm AD (O) (M khác A) Ta có: CAD  FAB (cma)  CAF  MAF  BAM  MAF  CAF  BAM  CF  BM  CF  BM Xét PQD CBF , ta có:    QDP  BFC bù BAC PQ PD PQ DP.DQ   PQD ∽ CBF  g  g      1  BC CF BC CF.DQ QPD  BCF  QDC  Xét DBM QDC , ta có:     BMD  DCQ hai gnt chắn AB (O)   DBM  QDC  CAM  DB BM  DBM ∽ QDC g  g     DB.DC  BM.DQ  DB.DC  CF.DQ   DQ CD Từ (1) (2) suy ra:  PQ DP.DQ  BC DB.DC Bài 6: (3 điểm) Chiều ngày 13/3, Cơng ty khai thác thủy lợi hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa cho biết kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sơng Sài Gòn Đây lần xả nước thứ từ đầu năm, giúp người dân Sài Gòn đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nơng nghiệp Đợt xả nước cơng suất 30m3 / s kéo dài ngày, mặn đẩy cửa sơng Theo đơn vị này, sau đợt xả, mực nước hồ cao khoảng 20m, trữ lượng nước gần 850 triệu m3 Tuy giúp nhà máy nước hạ lưu hoạt động nhiều chun gia bày tỏ lo lắng trữ lượng hồ đầu nguồn thấp dự báo đợt hạn mặn kéo dài đến tháng Hiện hồ phải kéo việc xả nước đẩy mặn để phục vụ cho nơng nghiệp hoạt động sản xuất nước Về ngun nhân xâm nhập mặn, ơng Phạm Thế Vinh – Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam – cho rằng, hạn mặn diễn mạnh El Nino kéo dài khiến khu vực Nam mưa Ngồi ra, việc triều cường kéo dài đến tháng 2,3 khiến nước mặn sâu vào cửa sơng Ơng Bùi Thanh Giang – Phó tổng giám đốc Cơng ty cấp nước Sài Gòn (Sawaco) – cho biết, năm trữ lượng nước hồ đầu nguồn giảm mạnh Trong đó, lượng nước tích trữ hệ thống hồ Dầu Tiếng – Phước Hòa thượng nguồn sơng Sài Gòn đạt 70% Lưu lượng hồ Trị An sơng Đồng Nai đạt khoảng 80% so với trung bình hàng năm Về giải pháp lâu dài, Sawaco kiến nghị UBND TP.HCM cho phép xây dựng hồ trữ nước thơ cho nguồn nước sơng Sài Gòn với vốn thực từ ngân sách Ngồi ra, đơn vị đề xuất nâng cao cơng nghệ xử lý nước việc đòi hỏi chi phí đầu tư, vận hành cao (Nguồn vnexpress.net) Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng xả ngày qua? Thời gian xả nước: 3*24*60*60  259200(s) Lượng nước mà hồ Dầu Tiếng xả ngày:   30 *259200  7.776.000 m3 b) Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước có đề ngăn mặn (với tốc độ xả trên) cơng việc ngày   Lượng nước xả ngày là: 30 *24 *60 *60  2.592.000  m  20% lượng nước có là: 850.000.000 *20 :100  170.000.000 m3 Thời gian hồn thành cơng việc là: 170.000.000 :2.592.000  66  ngày  Vậy thời gian xả là: 66 ngày c) Giả sử việc xả nước chống mặn diễn liên tục từ hơm (22/3) đến hết ngày 15/5, tính lượng nước mà hồ xả khoảng thời gian Từ ngày 22/3 đến ngày 15/5 có: 10  30  15  55  ngày    Lượng nước mà hồ xả 55 ngày là: 55*2.592.000  142.560.000 m3   HẾT   Trang HSG LỚP TP.HCM(2015-2016) ... TP.HCM (2015- 2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2015 -2016 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2014 – 2015) MÔN TOÁN... TP.HCM (2015- 2016) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2015 -2016 a) Hãy cho biết lượng nước mà hồ Dầu Tiếng xả ngày qua? Thời gian xả nước: 3*24*60*60  2 592 00(s) Lượng nước mà hồ Dầu... GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP – THCS (NĂM 2014 – 2015) MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 22/3 /2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Cho hai số thực phân biệt a, b thỏa điều kiện: ab  a  b Tính