ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH LỜI NÓI ĐẦU Phương pháp Ép tích thời gian qua khiến vô số em học sinh, thầy cô giáo người đam mê toán học đau đầu phương pháp nhóm nhân tử đặc biệt Có nhiều thủ thuật Ép tích hôm nay, nhóm tác giả xin chia sẻ phần bí Đoàn Trí Dũng – Trần Đình Khánh Cuốn sách thuộc Bản Làng Casio Men – Già Làng: Đoàn Trí Dũng Mọi chi tiết xin vui lòng ngâm cứu Website: casiomen.com 180 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH A ÉP TÍCH BẰNG ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN I Đặt vấn đề: Phương pháp ép tích đặt ẩn phụ hoàn toàn phương pháp dùng để nhóm biểu thức chứa thành dạng tích thông qua việc giản ước thức cách đặt ẩn phụ Trong mục này, ưu tiên phương pháp đặt ẩn phụ biến đổi để rèn luyện tư ẩn phụ biến đổi tương đương II Các phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn ép tích:  Đặt ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử  Đặt hai ẩn phụ kết hợp nhóm nhân tử  Đặt từ ẩn phụ trở lên kết hợp nhóm nhân tử  Đặt ẩn phụ đưa hệ kết nối hai phương trình  Đặt hai ẩn phụ đưa hệ kết nối hai phương trình II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình: 2x2  x    x  1 x  Cách 1: Đặt ẩn phụ nâng lũy thừa: Điều kiện xác định: x  Đặt t  x   x  t  1, t    Khi ta có: x2  x    x  1 x   t   t   t     2t  7t  5t    t  t   t        x   x   1      2x   x    x 1  x 1   Vì x   x   0x   2 0    2x   x   x 1   0 x 1   x  Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa hệ kết nối hai phương trình: Điều kiện: x  Xét phương trình 2x2  x    x  1 x  Đặt y  x   Khi ta có hệ phương trình : 181 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   x  1 y   8 x  xy  17 x  y  25  2 x  x       y  16 x  y  25   y   16 x       Trừ hai vế hai phương trình hệ ta có:  8 x  xy  17 x  y  25   x2  xy  17 x  y  25  y  16 x  y  25     y  16 x  y  25           x  y  1 x  y    x  x    x  x         x   2x  x   x   Với x  ta có  x   2x      Do :  x   x  x   x    x   x    16  x  1   x     x     x  2 Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 2: Giải phương trình: x2  x    x  x Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  Sau tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t4  t2  t    t2   Nhân tử liên hợp cần tìm: t    t  Để đưa nhân tử cần ý liên hợp ngược: t    t2 t     t  2t  2t  Bài giải Đặt ẩn phụ nhóm nhân tử: Điều kiện:  x  Đặt t  x  Khi đó: x2  x    x  x  t  t  t    t    t     t  t  2t   t    t         t  t2  t   t    t2      2t  2t  t  t   t    t  182 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH      2 2 t   t   t   t    t    t t  t  1  t    t    t    t    t   t  t  1       t   t    t  t  1  t     t   t    t  t  1  t    t2 2 2 2 2 2    x 1  x x x 1 x  x 1   Vì x x   x  x   3x 0  x  00  x  x 1  x   x  1  x  x   x   x  x    x  x  3 x     x 2   x     x  x  3x    Kết luận: Phương trình có nghiệm x  3 Bài 3: Giải phương trình: 20 x2  14 x   14 x  11 x2   Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: Điều kiện xác định: x Đặt y  x2   ta hệ phương trình :  4 1 20 x  14 x   14 x  11  y   60 x  56 xy  28 x  44 y  16    3 3   2 18 x  16 y  y    y   x2       Trừ hai vế hai phương trình cho ta được: 24 x2  56 xy  32 y  28 x  28 y   4 x  y  x  y        x2    x2    x   4 x  7     4     x2   x  2  x   4x  2 x   2x     2 x2   2x      183 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   Trường hợp 1: x2   x   x2    x  1  x  2  14  14 Kết luận: Phương trình có ba nghiệm phân biệt x  2, x    Trường hợp 2: 2 x2   x   x2    x    x  Bài 4: Giải phương trình: x   x2    x   x    x   x   Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình: Điều kiện xác định: x  1,   Đặt a  x  b  x  ta được: Ta có: x   x2    x   x    x   x   2  a  b    3 2  2 a  2b  a  ab  b  a  b   Trừ hai vế hai phương trình ta được:  2a     2b  1 a   2b  b     a3  2a2   b  a  a  3b   a  3b       2b3  a2  ab  b2  a  b   a2  b2       x 1  x 1 x 1   x 1 x 1  x 1    x 1  x 1   Vì x    3 x    x   x   x    x 1  x 1 0 Do x   x     x   x     x  1    x 1    2 x 1 1   8x   x    x    64  x  1   x 1 1 x  Kết luận: Phương trình có nghiệm x  Bài 5: Giải bất phương trình: x3  3x2  x   2x2 x   2x  11 184 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x   Sau tiến hành đặt ẩn phụ, bất phương trình có dạng: t  2t  9t  16t  25t  32t  18  2t    Nhân tử liên hợp cần tìm: 2t   2t   Để đưa nhân tử cần ý liên hợp ngược:  2t     2t  2t   2t   2t  4t  Bài giải  x  4   x  4  Điều kiện:    x  3  x   x2     x  3x  x  2  3      Đặt t  x   , ta đưa bất phương trình trở thành: t 4     t  4   t   t  t    11  48t  64    3t  24t  48   t   2t  16t  32t   t2    t  12t 2 2 2  t  2t  9t  16t  25t  32t  18  2t     t   2t    t  2t  9t  16t  25t  34t  17  2t   2t        8t  17 t  2t   x   2t         t  8t  17 2t   2t  2t   2t   2t   2t   1   2t   2t   t  8t  17 2t   2t     2           x  x    x  11   x    x  11   1        x3 Vì x2  x    x  11  x     0x  3 x 1   Do   x    x    x  11     0x  3   2 x    x  11 4  x    12  x  2 x  11 Vậy    x  3   x  3 185 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  x2  x    x   x  11     x  1  2  x  2  x  3    Kết luận: Bất phương trình có tập nghiệm x   1  2;   x    x  x2  8x  18 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x   0;    Sau tiến hành đặt ẩn phụ, bất phương trình có dạng: Bài 6: Giải bất phương trình: t  2t  t    t   Nhân tử liên hợp cần tìm:  t   t  Để đưa nhân tử cần ý liên hợp ngược: 2  t   t2   t    t  2t  4t  Bài giải Điều kiện:  x  Đặt t  x   0;  , ta biến đổi bất phương trình trở    thành: t   t  t         t   18  t  2t  t    t      t  2t    t   t    t  1  t  1   t   t       2  t   t 2  t   t  t  1   t   t  2 1    t   t   t   t  t  1    2            1   2 x3  5x  2 x3  5x x    1  2          x2  x  15    x    x x    1            x      x2  x  15     5x      x   Vì  1 x  5x  22 x3       x    1     x     03  x  186 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  3  x  3  x   Do đó:   2     x  x  15  2    x  x  15  3  x   3  x    x4  x  x  15    x     Kết luận: Phương trình có nghiệm x   x   x   x2  2x2  2x  Phân tích Bài 7: Giải phương trình: Ẩn phụ cần đặt: t   x Sau tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t  1   t  2t  6t  t  Nhân tử liên hợp cần tìm:  t   t  Để đưa nhân tử cần ý liên hợp ngược: t    t2 t     t  2t  2t  Bài giải Điều kiện: 2  x  Đặt t   x   t   x   x   x2  2x2  2x  Ta có:   t   t2  t  t2  t2      t2     t  1  t  2t  6t  t    t   t  1   2t  7t  t  3   t   t  1   2t  7t  t      2t  2t   t  t  1   t    t   t  1    t    t  t    t   t  t  1   t    t   t  1    t    t    t    t   t  t  1  t        t    t   t  t    t  t  1  t     t    t    t  2t    t  t   t   t    t       t    t2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 187 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH         t    t  t t    t  1  t  t    t      t    t  2t  t   t    t  1  t   t   t    t       Chú ý rằng: 2t  t    t    t t     t2 t    t    t2     t  t    t  t    x 1  x t     t2      t Do đó: t   t  1 t  4t   2t  3t    t   t        t2   2x 2 2x A0 Trong đó: A   x   x   2x    x2  0x  2;  Vậy:  x  1  x   x   x  2  x 1  x2 x (Thỏa mãn)  2  x  2x    2 4   x   x  x   Trường hợp 1: Trường hợp 2:   x 2  2x 2 2x 0      x   x     x 2   x   2x 2 2x  2 2x 2 2x 0   2x 0 Vì   x   x  x  2 (Thỏa mãn điều kiện) Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x  2, x  Bài 8: Giải phương trình: 7x      2x   2 Đặt t  2x   , phương trình trở thành: Điều kiện: x   t2   7t  7t   t  2t   t  2t 7     t  1     2        2t  12t  24t  16t  7t     t  1 t   2t  t  1  4t      2x     x     x  1     2x    2x      188 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Vì  x  1    x  1 x  Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x   x  2 x    x    0, x  Bài 9: Giải phương trình: 5x   x   x2   Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  Sau tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 5t   5t  t t    Nhân tử liên hợp cần tìm: 3t   t   Để đưa nhân tử cần ý liên hợp ngược:  3t       t  3t   t   8t  6t  Bài giải Điều kiện: x  Đặt t  x  , phương trình trở thành: 5t   5t  t t          3t   t   t   3t   t   3t     3t   t   2t   t      3t   t  t  8t  6t   2    x 1  x 1 1 Vì  t2    x 1  x 1 1  x   x    x    x   9x   x   x   x    8x  45  17 1  x   x (Thỏa mãn điều kiện) 32 36  x  1    x   Kết luận: Phương trình có nghiệm x  45  17 32 Bài 10: Giải phương trình: 4x    x2   x  Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t   x Sau tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 189 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH        x  1   x   3x     x  t  x2  t  x3  2x2  3x   2  x2     x     x2  x  Khi đó, công thức nghiệm phương trình bậc 2, ta thu hai nghiệm sau :   x2   x2  2x  x2  x  t   2   x2   x2  2x  t   x1 2   Đến phương trình viết dạng nhân tử sau :  x2  x   t     t  x  1   2t  x  x   t  x  1          x2  x   x3  x  x   x3  x   Bài giải Điều kiên xác định x  x  1  x3  x   x2  x     x2  x   x3  x  x   x3  x     1    x     x3  x   x   x3  x     4      1 Vì  x     x3  x   0x  4     x3  x  x  x 1  x 1    x    đó:    x  1 2     x  x   x  2x    x     x3  x2  x    x   x  x      x2   x   x   Kết luận: Vậy nghiệm phương trình x  Bài 2: Giải phương trình sau :  x  1 6x2  6x  25  23x  13 Phân tích 204 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Trong toán ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ không hòan toàn Đặt 6x2  6x  25  t với t  ta tìm   theo phương trình tổng quát cho có dạng sau  t   x  1 t   23x  13     6x2  6x  25   ( ) Ta gán cho giá trị x  100 phương trình ( )đã cho có dạng  t  101t  2287  59425     101  4  2287  59425    101  4  2287  59425  Xét hàm số f      101  4  2287  59425  Sử dụng chức TABLE Casio tìm   có giá trị nguyên Với Start = -9 , End = 9, Step = ta có :       507  500   5x      5x      f    507 Khi phương trình cho có dạng   t   x  1 t   23x  13   x2  x  25     t   x  1 t  6x2  17 x  12  Tới giải phương trình theo ẩn t       x  1  6x2  17 x  12  25x2  70 x  49   5x   2 Nghiệm phương trình là:    x  1   x    2x  t      x  1   x      3x   t   Bài giải Điều kiện xác định x  Ta có :  x  1 6x  6x  25  23 x  13     x   x2  x  25 3x   x2  x  25  205 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  x   Trường hợp :   3x    x  x  25    3x  2  x  x  25   x     x  2  (Thỏa mãn) 3x  30 x    6x2  6x  25  2x  Trường hợp :    x  x  25  x  x  25  x     2 x      2x  3 2 2 x  18 x  16  2  x  4 x  12 x   x  x  25      x  2 x   x      Kết luận: Tập nghiệm phương trình cho : x  1;8; 5    Bài 3: Giải phương trình : x2  x2  x  15  x3  2x2  6x  Phân tích Đặt 2x2  x  15  t với t  ta tìm  theo phương trình tổng quát cho sau :  t   x2  1 t   x3  2x2  6x      2x2  x  15   ( ) Gán giá trị cho x  100 phương trình ( ) có dạng :  t  9999t  1020591  19915  Núc ta coi ẩn t  tham số, tính  cho phương trình    9999   4 1020591  19915     9999   4 1020591  19915  , Xét hàm số f       9999   4 1020591  19915  Dùng chưc TABLE Casio tìm   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = ta có : 206 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH       10205  10000  200   x2  x   f   10205     Phương trình cho có dạng :    x    1   x   x  5x     x  x       x    x  1   x  x   t  x3 t  x  t  x  x  5x   2 2   2x  2    x2   x2  2x  t   x2  x       Bài giải Điều kiện xác định x  x  1 x2  x  15  x3  2x2  6x    1 x  x  15    x      4    x     x   x2  x  15 x2  x   x2  x  15   x  x  15     2  1 Vì  x     x  x  15  0x  4  Do x   x2  x  15   x      x    x  x  15   x  6x   2x  x  15  x  2   x  3 x  Kết Luận: Vậy tập nghiệm phương trình x 1; 6  Bài 4: Giải phương trình : x2   x2  12 x  14  x3  x2  14 x  29 Phân tích Đặt 2x2  12x  14  t , t   t  2x2  12x  14 theo phương trình tổng quát ta tìm  phương trình cho có dạng  t   x2   t   x3  4x2  14x  29     2x2  12x  14   ( ) 207 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Gán x  100 cho phương trình ( ) ta có  t  10008t  961371  18814  Tới ta coi t ẩn phương trình  tham số tính   10008   4  961371  18814    10008   4  961371  18814  Xét hàm số f      10008   4  961371  18814  Dùng chức TABLE Casio ta tim  cho   số nguyên Với Start = -9, End = 9, Step = ta thu       10202  10000  200   x2  x     f    10202   Phương trình cho   x      t   t   x  2x  2x  15      x     x  x  x  15   x  x  x  x    x     x  2x      x     x  2x   t  x3  t  x2  t  x3  4x2  14x  29  2x2  12x  14  2 2 2 2  2x   2 2    x2   x2  2x  t   x2  x       Bài giải Điều kiện xác định x   Ta có: x2   x2  12 x  14  x3  x2  14 x  29    17 x  12 x  14    x      4    x     x   x2  12 x  14 x2  x   2x2  12x  14   x  12 x  14     2   17  x  12 x  14  0x  Vì  x    4  208 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Do x   2x2  12x  14   x   x    x4  2 x  x   x   x  12 x  14       Kết luận : Vậy nghiệm phương trình cho x   Bài 5: Giải phương trình : x2  2x   2x2  12x  11  x3  x2  11x  21 Phân tích 2x2  12x  11  t , t  , t  2x2  12x  11 theo phương trình tổng Đặt quát ta tìm  có dạng sau:  t   x2  2x   t   x3  x2  11x  21    2x2  12x  11  Gán giá trị cho x = 100 vào phương trình   t  10207t  991079  18811    10207   4  991079  18811    10207   4  991079  18811  Xét hàm số f      10207   4  991079  18811  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau       10403  10000  400   x2  x     f    10403 Khi phương trình cho:   x      t  2x   t   x  x  x  10   ( )    x  2x     x  x  x  10  =  x  4x      x    x  2x     x  4x  3 t  x2  t  x2  2x  t  x3  x2  11x  21  2x2  12x  11  2 3 2 2 2 2    x2  2x   x2  4x  t    x  3x     4x       209 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Bài giải Điều kiện xác định x   Ta có: x2  2x    2x2  12x  11  x3  x2  11x  21    x2  3x   x2  12 x  11 x   x2  12 x  11     11    x     x  12 x  11  x   x  12 x  11    2       11 Vì  x     x  12 x  11  x  2  Do x   2x2  12x  11 x    x   x       x   x  2 x  8x     x   x    x  12 x  11   Kết luận : Vậy nghiệm phương trình cho x   Bài : Giải phương trình x2  x  10  10x2  47 x  53  3x3  11x2  42x  74 Phân tích Đặt 10x2  47 x  53  t , t  0, t  10x2  47 x  53 Núc ta tìm  theo phương trình tổng quát  t   x2  x  10  t   3x3  11x2  42x  74    10x2  47 x  53   ( 2) ta gán giá trị x  100 vào phương trình ( )  t  9910t  2894126  95353     9910   4  2894126  95353     9910   4  2894126  95353  Xét hàm số f       9910   4  2894126  95353  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau       f    10496  10000  400  90   x2  5x   f   10496     210 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Phương trình cho       x  x  10    3x   t  x2  x  10 t  3x3  4x2  5x  21  2     4x2  5x  21  x2  5x            x  x  10  x  5x  t   3x   Nghiệm phương trình   x  x  10  x  5x  t   x2  2x   Bài giải Điều kiện xác định x   Ta có: x2  x  10    3x    10x2  47 x  53  3x3  11x2  42x  74  10x  47 x  53    x  1    10x  47 x  53    3x   10x2  47 x  53 x2  2x   10x2  47 x  53  2 Vì  x  1   10x2  47 x  53  0x  Do đó: 3x   10x2  47 x  53  x    x    x     x4  2  x   x  5x      3x    10 x  47 x  53    x  Kết luận : Vậy x  nghiệm phương trình cho Bài 7: Giải phương trình x2  2x    x  1 x   Phân tích : Đặt x   t , t  t  x  Núc ta tìm  theo phương   trình tổng quát  t   x  1 t  x2  2x     x    ( ) Gán x  100 cho phương trình ( ) ta có  t  99t  10199  102     101  4 10199  102     Xét hàm số f       99   99   4 10199  102   4 10199  102  211 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau    2  f      305  300   3x   f   305     Khi phương trình cho có dạng   2t   x  1 t  x2  2x    x       2t   x  1 t  x2  4x        x  1  x2  4x   9x2  30x  25   3x   2    x  1   x    2x  3  t  4     x  1   x    x1 t  4  Bài giải Điều kiện xác định x  2 Ta có: x2  2x    x  1 x       2x   x  x   x   Trường hợp 1: x   x    1  x    x  1   x 2  x  x     x  1  x   2 2  x   x Trường hợp 2: x   2 x     x  2   x    Kết luận : Nghiệm phương trình cho x  Bài : Giải phương trình x  5x  1  2 ,x   2 5x2  3x   x3  12 x2  16 x  15 Phân tích 212 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Đặt 5x2  3x   t , t  , t  5x2  3x  núc ta tìm hệ số  theo phương trình tổng quát  t   x2  5x  t   2x3  12x2  16x  15     5x2  3x    Gán cho giá trị x  100 phương trình tổng quát cho  t  9500t  1881585  49706     9500   4 1881585  49706   9500     4 1881585  49706  Xét hàm số f       9500   4 1881585  49706  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau     f      10706  10000  700   x2  x   f   10706           x  5x   12  2x  3x  x   =  x  x      x  5x    x  x   t   6x   Phương trình cho  3t  x2  5x t  2x3  3x2  x   2 2 2    x2  x  2    x  5x  x  x  t   x2  x       Bài giải Điều kiện xác định x  Ta có: x  5x  5x2  3x   x3  12 x2  16 x  15    6x      23 5x  3x     x      2    x   5x  3x  x  x   5x  3x   2  5x  3x        23  5x2  3x   0x  Vì  x    2  213 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH  39  1149 x   Do đó: 6x   5x  3x    x 62  x  2  5x  3x   Kết luận : Vậy nghiệm phương trình x    Bài Giải phương trình x2  x  39  1149 62 x2  x   x3  x2  x  Phân tích Đặt 2x2  8x   t , t  , t  2x2  8x  tới ta tim hệ số  theo phương trình tổng quát  t   x2  x  1 t   x3  2x2  x      2x2  8x    ( ) Gán x  10 vào phương trình ( )   t  111t  1199  277     111  4 1199  277     111 Xét hàm số f      111 2  4 1199  277   4 1199  277  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau     f      135  100  30   x2  3x   f   135       Kkhi phương trình cho có dạng:    x    x  1   x  t  x2  x  t  x3  4x2  x   2      x  x  1   x t    x  x   x  3x  2  3x   x2    x  3x      x  x   x  3x  t   x2  2x       Bài giải   4  22   4  22 Điều kiện xác định x   ;  ;      2     214 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH   Ta có: x2  x  x2  x   x3  x2  x   x  x     x  1     x    2x  8x     x   x2  x  x2  x   x2  x   2   4  22   4  22 Vì  x  1   x2  x   0x   ;  ;      2      x   Do x   2x2  8x    2   x    x  x   x  2  x  2       x  2  11  x  2  11 (Thỏa mãn điều kiện)  x  4x       x  2  11 Kết luận : Vậy nghiệm phương trình x  2  11  Bài 10: Giải phương trình x2   2x2  x  11  x3  16x  21 Phân tích Đặt 2x2  x  11  t , t  , t  2x2  x  11 tới ta tim hệ số  theo phương trình tổng quát  t   x2  5 t   x3  16x  21    2x2  x  11  Gán giá trị cho x  100 vào phương trình tổng quát  t  9995t  1001579  19911     9995   4 1001579  19911     9995  4 1001579  19911  Xét hàm số f       9995  4 1001579  19911  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau     f      10613  10000  600  13  x2  6x  13  f   10613       215 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH        x    12  x  x  13x  12    x  x  13      x  x  13     x     x  x  13  t  x3     x  x  13      x   x  x  13     2x  6x  t   Phương trình cho  3t  x2  t  x3  6x2  13x  12  2 2 2 2 2  6 Bài giải Điều kiện xác định x   Ta có: x2    x    2x2  x  11  x3  16x  21    3 x  x  11    x       2    x   2x2  x  11 2x2  6x   2x2  x  11  2  x  x  11      3 Vì  x     x2  x  11  x  2    37 x   x    Do đó: x   2x2  x  11   2   37  x    x  x  11 x      37  37   Kết luận : nghiệm phương trình x   ;      Bài 11: Giải phương trình sau:  15x3  x2  3x   15x2  x   x2  x   Phân tích 216 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH x2  x   t , t  , t  x2  x  tới ta tim hệ số  theo Đặt phương trình tổng quát  t  15x2  x  5 t  15x3  x2  3x     x2  x  1  Gán giá trị cho x  100 vào phương trình tổng quát  t  150095t  15009702  10101    150095   4 15009702  10101  150095    4 15009702  10101  Xét hàm số f      150095  4 15009702  10101  Dùng chức TABLE Casio để tìm  cho   số nguyên với Start = - 9, End = 9, Step = thu kêt sau     f      149695  140000  9600  95    f    149695    140000  10000  400  100   150000  300   15x2  3x  Phương trình cho    2t  15x2  x  t  15x3  x2  5x          15x2  x   15x3  x2  5x  15x2  3x     15x2  3x       15x  x   15x  3x  15x  x  t     15x  x   15x  3x  t  x  Bài giải Điều kiện xác định x   Ta có: 15x3  x2  3x   15x2  x     x2  x     15x2  x   x2  x  x  x2  x    *  Tiếp tục sử dụng kỹ thuật tách nhân tử đặt ẩn phụ không hoàn toàn ta được:  *    2x     x2  x  10x   x2  x  x  x  x   217 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH x   13  Trường hợp 1: x  x  x     x  3 x  x   Trường hợp 2: 10x   x2  x    x2  x   10x  2  75x  15x  21  25 x  x   10 x      10 x     10 x     1  29 (Thỏa mãn điều kiện) 10 x   Trường hợp 3: x  x  x    (vô nghiệm)  x  x  x  x Kết luận : Nghiệm phương trình x   13 1  29 x 10 218 [...]...   x 6 25 x  5  Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  36  4 31 25 201 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH B ÉP TÍCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN I Đặt vấn đề: Đây là một dạng phương pháp giải quyết các phương trình có dạng A B  C bằng cách nhóm về nhân tử mà không cần quan tâm đến nghiệm của phương trình Các bươc làm như sau:... 25  18  25x 2  900  1  x   Kết luận: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x    Bài 12: Giải phương trình: x2  1   x  1  x2  1 3 24 và x   5 25 x  1  x2  2  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x  1 Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t 4  2t 2  t 2  2  t 5  t 4  2t 3  2t 2  2t  1  0 191 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN... x  1  0 x  1  0 Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là x  2 Bài 2: Giải phương trình sau :  x  1 6x2  6x  25  23x  13 Phân tích 204 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH Trong bài toán này ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ không hòan toàn Đặt 6x2  6x  25  t với t  0 khi đó ta đi tìm   0 theo phương trình tổng quát đã cho có dạng như sau ... 1 (Phương trình vô nghiệm) 2 Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  3 19  36 50 Bài 11: Giải phương trình: 5x  15  6 1  x  12 1  x  15 1  x2  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 5t 2  20  6t  15t  12  2  t 2  0  Nhân tử liên hợp cần tìm: t  2 2  t 2  Để đưa ra được nhân tử trên cần chú ý liên hợp ngược: 190 ÉP TÍCH BẰNG... này, chúng ta sẽ chỉ đề cập đến việc đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình, kỹ năng đặt ẩn phụ không hoàn toàn giải hệ phương trình sẽ được đề cập sau II Bài tập áp dụng:   Bài 1: Giải phương trình sau: x2  1 x3  x  1  2x2  2x  3 ( 1) Phân tích Đặt x3  x  1  t với t  0  t 2  x3  x  1 khi đó theo phương trình tổng quát ta đi tìm  vậy phương trình đã cho có dạng như sau : ... 197 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH x  2 x  3  x2  1  0, x  0 Do đó: Vì x  2 x  3  3  0  x  3  2 x  3  x  6 x  9  4x  12  3x  6 x  3  0  3   2 x 1  0  x 1 Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x  1 Bài 19: Giải phương trình: x2  2 x  3   2x  3  1  x2   x  3  1  x   2 x  3  1  x  0 Phân tích Ẩn phụ. .. Luận: Vậy tập nghiệm của phương trình là x 1; 6  Bài 4: Giải phương trình : x2  8  2 x2  12 x  14  x3  4 x2  14 x  29 Phân tích Đặt 2x2  12x  14  t , t  0  t 2  2x2  12x  14 khi đó theo phương trình tổng quát ta đi tìm  và phương trình đã cho có dạng  t 2   x2  8  t   x3  4x2  14x  29     2x2  12x  14   0 ( 2 ) 207 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ... đó, nếu ta lựa chọn:     123  x2  2 x  3   f    123 Vậy với cách đặt ẩn phụ là t và   1 ta được phương trình có   2   123  100  20  3  x2  2 x  3    x2  2 x  3 Vậy khi đó phương trình đã cho có dạng như sau:       t 2  x2  1 t  2x2  2x  3  x3  x  1  0 203 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH        x ... 1:  8  4x  9  12 2  x  2  x  12 2  x  15  5x  5  3  x   12 2  x  0 (Phương trình vô nghiệm   2  x  2 ) Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x   6 5 Bài 18: Giải phương trình: 3x2  3x  9  2 x2  2   x  3  x2  4  x 0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng:  t 5  3t 4  3t 2  4t  9  2 t 4  2   Nhân tử liên hợp cần...    2   1 3   x  1 x  1 x  1     x  1  x x  1  1   2 4    Phương trình vô nghiệm với mọi x  1 Kết luận: Phương trình vô nghiệm  2 2    2  0   Bài 16: Giải phương trình: x  3  1  x  1  x  3 1  x2  0 Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t  1  x Sau khi tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: t 2  t  2   3t  1 2  t 2  0  Nhân tử liên hợp cần tìm: t .. .ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ NHÓM TÁC GIẢ: ĐOÀN TRÍ DŨNG – HÀ HỮU HẢI – TRẦN ĐÌNH KHÁNH A ÉP TÍCH BẰNG ĐẶT ẨN PHỤ HOÀN TOÀN I Đặt vấn đề: Phương pháp ép tích đặt ẩn phụ hoàn toàn phương pháp dùng... dạng tích thông qua việc giản ước thức cách đặt ẩn phụ Trong mục này, ưu tiên phương pháp đặt ẩn phụ biến đổi để rèn luyện tư ẩn phụ biến đổi tương đương II Các phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn ép. .. luận: Phương trình có nghiệm x  45  17 32 Bài 10: Giải phương trình: 4x    x2   x  Phân tích Ẩn phụ cần đặt: t   x Sau tiến hành đặt ẩn phụ, phương trình có dạng: 189 ÉP TÍCH BẰNG ẨN PHỤ