LỜI GIỚI THIỆU Một tốn có nhiều cách giải, ta phải chọn cách tiếp cận, cách giải hợp lí Để tiến tới cách giải hay đơi phải trải qua q trình thử sai nhiều cách giải, kết hợp nhiều phương pháp giải khác Q trình khơng đơn giản, đòi hỏi người giải tốn phải nắm vững kiến thức có hướng cho tốn cụ thể Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng lớp tốn định Trong đề tài chúng tơi trình bày “Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng phổ thơng” Đây phương pháp hay dùng lập luận tốn học, thể chặt chẽ, lý luận hợp lơgic người giải tốn Điều quan trọng phương pháp tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh, từ dẫn đến vơ lý với giả thiết tốn hay mâu thuẫn với kiến thức tốn học biết Trong q trình nghiên cứu tốn giải phương pháp phản chứng, chúng tơi phân thành dạng sau: Suy luận loại trừ Sự vơ lý suy từ kiến thức biết Sự vơ lý suy từ giả thiết tốn Trong giới hạn cho phép chúng tơi đưa số tốn đặc trưng cho dạng số đề tham khảo tương ứng Đề tài chưa nêu hết hay đầy đủ dạng tốn phương pháp phản chứng Bài tập đưa thể phần cho dạng nêu Những kinh nghiệm đưa rút từ thân nên nhiều thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy bạn MỞ ĐẦU I.Tên đề tài: Tên đề tài: “Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng phổ thơng” Người thực hiện: Sv Mai Vũ Huy Sv Nguyễn Thị Thúy Lam II Lý chọn đề tài: Phương pháp phản chứng phương pháp hay, vận dụng để giải nhiều tốn phổ thơng Nhưng SGK số lượng tập giải phương pháp khơng nhiều Trong q trình giảng dạy, giáo viên thường trọng đến phương pháp phản chứng việc giải tốn Chúng tơi chọn đề tài “ Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng phổ thơng” với mong muốn bạn sinh viên sư phạm học sinh thấy hay quan trọng phương pháp giải tốn phổ thơng Từ đó, vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng phổ biến giải tốn THCS III Mục đích đề tài: Chúng tơi nghiên cứu đề tài nhằm đánh giá số lượng tốn áp dụng phương pháp chứng minh phản chứng SGK Ngồi ra, việc nghiên cứu tập tài liệu khác nhằm thể hay quan trọng phương pháp việc giải tốn phổ thơng IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Những tốn chứng minh phương pháp phản chứng Phạm vi nghiên cứu: - Bộ SGK 6, 7, 8, - Một số sách tham khảo khác V Nhiệm vụ đề tài: Tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng Phân loại tốn chứng minh phương pháp chứng minh phản chứng thành dạng Nghiên cứu tập SGK 6, 7, 8, chứng minh phương pháp phản chứng số tập sách tham khảo khác Khai thác số tốn, dự đốn sai lầm học sinh mắc phải rút số kinh nghiệm cho bạn sinh viên sư phạm VI Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận: *Phương pháp đọc sách nghiên cứu tài liệu a Mục đích: Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng b Cách tiến hành: Chúng tơi tiến hành đọc sách, tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài này, chúng liệt kê phần “ Tài liệu tham khảo” Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: a Mục đích: Chúng tơi sử dụng phương pháp nhằm tìm hiểu mức độ vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng việc giải tốn phổ thơng b Cách tiến hành: Nghiên cứu tốn cụ thể SGK 6, 7, 8, số sách tham khảo khác chương trình THCS CHƯƠNG I: CƠ SỞ LƠGIC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG I Cơ sở lơgic: Dựa vào hiểu biết lơgic mệnh đề Trong sử dụng phép liên kết lơgic chủ yếu * Phép liên kết lơgic gì?  Phép liên kết lơgic hay gọi phép tốn lơgic, cho phép từ mệnh đề sơ cấp cho trước xây dựng mệnh đề ngày phức tạp  Các phép liên kết bao gồm: Phép phủ định (  ) Phép tuyển (  ) Phép hội (  ) Phép kéo theo (  ) *Phương pháp chứng minh phản chứng mơ tả q trình lập luận sau: Cần chứng minh mệnh đề A  B Để chứng minh A  B đúng, ta xây dựng giả thiết : A đúng, A  B sai Bởi A  B sai, mà A nên B phải có giá trị sai nghĩa B Từ B thơng qua số phép biến đổi tương đương dẫn đến A Từ giả thiết qua q trình lập luận ta có A A đồng thời đúng, dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ giả thiết B sai Vậy B Hay A  B (điều phải chứng minh) II Các bước suy luận phản chứng: Phương pháp chứng minh phản chứng sử dụng nào? Gặp tốn khẳng định hệ thức đúng, khẳng định nghiệm phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức… đại số, hình học, số học người ta hay dùng phương pháp phản chứng Các bước suy luận phản chứng: Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng minh ) Bước 2: Từ điều giả sử ta suy số tính chất quan hệ mới, mà tính chất mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất ta biết Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu sai Vậy tốn chứng minh Chú ý: Trong hai bước suy luận phản chứng nêu trên, bước quan trọng cần tạo mệnh đề phủ định điều cần chứng minh phải xác III Tìm mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: Tìm mệnh đề phủ định: * C ác dạng mệnh đề: 1.1 Mệnh đề tồn tại: Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tồn thường có dạng:  Tồn x  X cho T(x) Hay thường viết:  x X: T(x) Mệnh đề tồn có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ:  Mệnh đề tồn đúng: “ Tồn số thực x cho x chia hết cho 3.”  x  R: x  (1)  Mệnh đề tồn sai: “ Tồn số thực x nghiệm phương trình x2+x+1= 0.”  x0 R: x02 +x0 +1= (2) 1.2.Mệnh đề tổng qt: Một mệnh đề ký hiệu P(x) xác định miền X Mệnh đề tổng qt thường có dạng:  Với số thực x thuộc X cho T(x). Hay thường viết: x X, T(x) Mệnh đề tổng qt có mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ:  Mệnh đề tổng qt sai: “Với số thực x chia hết cho 3.”  x  R, x  (3)  Mệnh đề tổng qt đúng: “Với số thực x khơng nghiệm phương trình: x2+x+1= 0.”  x  R, x2+x+1 (4) * Phủ định mệnh đề tồn mệnh đề tổng qt:  (  x X: T(x))  x X,  T(x)  ( x X, T(x))   x X:  T(x) Như hai mệnh đề (x X, T(x))và ( x X: T(x)) phủ định Ví dụ:  Mệnh đề phủ định (1) là: “Với số thực x x khơng chia hết cho 3.”  x  R, x khơng chia hết cho  Mệnh đề phủ định (2) (4) Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: Ở phần ta xét số ví dụ cụ thể quan tâm đến việc lập mệnh đề phủ định Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n, ta có n5 - n chia hết cho  Mệnh đề cần chứng minh: n N, n5 - n chia hết cho  Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh: n N: n - n khơng chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh khơng tồn số ngun m, n cho : m2 – n2 =2002  Mệnh đề cần chứng minh: (m, n Z: m2-n2 = 2002)  Mệnh đề phủ định điều cần chứng minh:  m, n Z: m 2-n2=2002 CHƯƠNG II: NỘI DUNG Trong phần nội dung, chúng tơi vào dạng tốn cụ thể Trong dạng, chúng tơi khảo sát tập tiêu biểu SGK, ngồi chúng tơi chọn thêm tốn tiêu biểu sách khác I.Dạng 1:Suy luận loại trừ 1.Bài tập 1: Trong mặt phẳng cho năm điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Mỗi cặp điểm năm điểm nối với đoạn thẳng tơ màu xanh đỏ cho ba cạnh tạo thành tam giác khơng màu Chứng minh: Qua điểm có hai cạnh màu xanh hai cạnh màu đỏ 1.1 Phân tích tìm lời giải: Với năm điểm cho trước A, B,C, D, E qua điểm có bốn đường thẳng nối điểm với điểm lại Ta cần bốn đường có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ Với đặc điểm tốn ta khơng thể chứng minh trực tiếp, mà ta xét trường hợp xảy tốn Bằng suy luận ta trường hợp đỉnh có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ 1.2 Lời giải: Khơng tính tổng qt ta xét đỉnh A Qua A ta kẻ bốn đường thẳng AB, AC, AD, AE có màu xanh màu đỏ Các trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Cả bốn đường thẳng màu xanh (hoặc đỏ) Vì ba cạnh tạo nên tam giác khơng màu nên cạnh tạo từ bốn đỉnh lại ( trừ đỉnh A) màu đỏ (hoặc xanh) Nhận thấy ba bốn cạnh tạo nên tam giác màu đỏ (hoặc xanh) Điều trái với giả thiết tốn Vậy trường hợp khơng thể xảy Trường hợp 2: Trong bốn đường thẳng có ba đường màu xanh đường màu đỏ ( ba đường màu đỏ đường màu xanh ) Xét ba đỉnh tạo với A ba đường thẳng màu xanh Vì ba cạnh tam giác khơng màu nên ba cạnh tạo từ ba đỉnh nói phải màu đỏ Do hình thành tam giác màu đỏ từ ba đỉnh Khơng với giả thiết tốn Vậy trường hợp khơng thể xảy Trường hợp 3: Tại đỉnh có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ Kết luận:Trường hợp trường hợp khơng thể xảy ra, xảy trường hợp Vậy đỉnh có hai đường màu xanh hai đường màu đỏ 1.3 Bài học kinh nghiệm: 1.3.1 Khó khăn học sinh: - Tiếp xúc với tốn, nhiều học sinh khơng rõ đề tốn khơng tìm hướng giải - Học sinh khơng đưa đầy đủ trường hợp, khơng chia thành trường hợp cụ thể mà lý luận chung chung - Học sinh gặp khó khăn cách diễn đạt 1.3.2 Kinh nghiệm giảng dạy: Qua tốn này, người dạy cần: - Làm cho học sinh hiểu rõ u cầu tốn hướng học sinh tới việc lựa chọn cách giải cho phù hợp - Khái qt tốn thành dạng xây dựng phương pháp chung để giải tốn - Rèn luyện cho học sinh khả suy luận chặt chẽ, hợp lơgic 2.Bài tập 2: Người ta đồn ngơi đền thiêng có ba vị thần ngự vị: thần thật (ln nói thật), thần dối trá (ln nói dối) thần khơn ngoan (lúc nói thật, lúc nói dối) Các vị thần ngự bệ thờ sẵn sàng trả lời câu hỏi có người thỉnh cầu Nhưng hình dạng ba vị thần giống hệt nên người ta khơng biết vị thần trả lời để tin hay khơng tin Một hơm có học giả từ phương xa đến đền xin thỉnh cầu Bước vào miếu học giả hỏi vị thần ngồi bên phải: -Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần dối trá Tiếp hỏi vị thần ngồi giữa: - Ngài thần gì? - Tơi thần khơn ngoan Cuối ơng ta quay sang hỏi vị thần ngồi bên trái: - Ai ngồi cạnh ngài? - Đó thần thật Nghe xong học giả khẳng định vị thần Bạn cho biết học giả suy luận nào? 2.1 Phân tích tìm lời giải: Nhận thấy ba câu hỏi học giả nhằm xác định thơng tin : Thần ngồi thần gì? Dựa vào câu hỏi học giả ta suy luận vị thần thật Sau từ lời thần thật thà, ta biết đâu thần dối trá, đâu thần khơn ngoan 2.2 Lời giải: Từ câu trả lời thần ngồi “ Tơi thần khơn ngoan”, nên thần ngồi khơng phải thần thật Nếu thần ngồi bên trái thần thật khơng thể trả lời cho câu hỏi“Ai ngồi cạnh ngài?” “Đó thần thật thà.” Vậy ngồi bên phải thần thật Câu trả lời thần thật cho câu hỏi “ Ai ngồi bên cạnh ngài?” “Đó thần dối trá.”Nên ngồi thần dối trá Vậy ngồi bên trái thần khơn ngoan 2.3 Bài học kinhnghiệm: - Khi dạy tốn người dạy nên khái qt thành dạng xây dựng hướng chung - Tập cho học sinh suy luận chặt chẽ hợp lơgic - Một tốn có nhiều cách suy luận nên cần chọn cách suy luận hay Điều quan trọng kiên nhẫn đọc nhiều lần để phân tích, hiểu rõ u cầu tốn Một số tốn khác: Bài 1: Tổ Tốn trường phổ thơng trung học có năm người: thầy Hùng, thầy Qn, Vân, Hạnh, Cúc.Kỳ nghỉ hè tổ hai phiếu nghỉ mát.Mọi người nhường nhau, thầy hiệu trưởng đề nghị người đề xuất ý kiến Kết sau: Thầy Hùng thầy Qn Thầy Hùng Vân Thầy Qn Hạnh Cơ Cúc Hạnh Thầy Hùng Hạnh Cuối thầy hiệu trưởng định chọn đề nghị Cúc, theo đề nghị đề nghị thỏa mãn phần bác bỏ phần Bạn cho biết nghỉ mát kỳ nghỉ hè đó? Hướng dẫn: Nếu chọn đề nghị thứ đề nghị thứ tư bị bác bỏ hồn tồn Vậy khơng thể chọn đề nghị thứ đề nghị thứ tư Nếu chọn đề nghị thứ hai đề nghị thứ ba bị bác bỏ hồn tồn Vậy khơng thể chọn đề nghị thứ hai đề nghị thứ ba Nếu chọn đề nghị thứ năm đề nghị bốn đề nghị lại thỏa mãn phần bác bỏ phần Vậy đề nghị thứ năm chọn Bài 2: Có ba cam ba qt đựng vào ba hộp khác nhau: hộp đựng hai cam ( CC ), hộp đựng cam qt ( CQ ), hộp đựng hai qt ( QQ ) Khi dán nhãn sơ xuất, người ta dán nhầm nhãn cho ba hộp khơng hộp dán nhãn Một người nói: “ Tơi cần mở hộp lấy hộp tơi nói xác hộp đựng gì.” Bạn cho biết người mở hộp suy luận Hướng dẫn: Ta mở hộp CQ Nếu lấy qt hộp đựng hai qt Hộp dán nhãn CC đựng cam qt Hộp dán nhãn QQ đựng hai cam Nếu lấy cam hộp đựng hai cam Hộp dán nhãn CC đựng hai qt Hộp dán nhãn QQ đựng cam qt Bài 3: Thầy Nghiêm nhà trường cử đưa bốn học sinh Lê, Huy, Hồng, Tiến thi đấu điền kinh Kết có ba em đạt giải nhất, nhì, ba em khơng đạt giải Khi trường người hỏi kết em trả lời sau: Lê: Mình đạt giải nhì ba Huy: Mình đạt giải Hồng: Mình đạt giải Tiến: Mình khơng đạt giải Nghe xong thầy Nghiêm mỉm cười nói: “ Chỉ có ba bạn nói thật, bạn nói đùa.” Bạn cho biết học sinh nói đùa, đạt giải khơng đạt giải? Hướng dẫn: Nếu Lê nói đùa ba bạn Huy, Hồng, Tiến nói thật Như Lê Hồng đạt giải Điều vơ lý, Lê nói thật Suy luận tương tự, ta kết luận Huy Tiến nói thật Vậy Hồng nói đùa Có nghĩa Hồng đạt giải nhì ba, Lê đạt giải nhì ba, Huy đạt giải nhất, Tiến khơng đạt giải II Dạng 2: Sự vơ lý suy từ kiến thức biết Bài tập 1: a.Vẽ d’ // d d” // d ( d’ d” phân biệt ) b Suy d’ // d” cách trả lời câu hỏi sau: - Nếu d’ cắt d” M M có nằm d khơng? Vì sao? - Qua điểm M nằm ngồi d vừa có d’ // d, vừa có d” // d có trái với tiên đề Ơclit khơng? Vì sao? - Nếu d’ d” khơng thể cắt ( trái với tiên đề Ơclit ) chúng nào? ( Bài 45 trang 98 SGK tập I) Lời giải: d" M d' d a.Bạn đọc tự vẽ b Nếu d’ d” cắt điểm M, M khơng thể nằm d d // d’ d // d” Khi qua điểm M nằm ngồi d, ta vừa có d’ // d vừa có d” // d ( d’ d” phân biệt ) Điều trái với tiên đề Ơclit Để khơng trái với tiên đề Ơclit d’ d” khơng giao hay d’ //d” Vậy d // d’ d // d” d’ // d” Bài tập 2: Vẽ hai đường thẳng a, b cho a // b Vẽ đường thẳng c cắt a điểm A Hỏi c có cắt b khơng? a.Vẽ hình, quan sát trả lời câu hỏi b Hãy suy : Nếu a song song b c cắt a c cắt b ( Bài 29 trang 79 SBT tập I ) ( Bài 29 trang 79 SBT tập I ) Lời giải: a A a Bạn đọc tự làm b b Giả sử c khơng cắt b Suy c // b Khi qua A ta vừa có a // b, vừa có c // b Điều trái với tiên đề Ơclit Suy c cắt b Vậy : Nếu a // b c cắt a c cắt b Bài tập 3: Hai đường thẳng a b song song với nhau, đường thẳng c cắt a A, cắt b B  B1 a Lấy cặp góc so le ( chẳng hạn cặp Â4 ) đo xem hai góc có khơng ?  b Chứng minh Â4 = B1 ( Bài 30 trang 79 SBT tập I ) Lời giải: c a A P b B a.Bạn đọc tự kiểm tra  b Giả sử Â4  B1 Qua A vẽ tia AP cho Mà PAB B1 nằm vị trí so le nên AP // b Khi qua A ta vừa có a // b, vừa có AP // b Điều trái với tiên đề Ơclit đường thẳng song song  Vậy đường thằng AP a Nói cách khác PAB = Â4, nghĩa Â4 = (điều phải chứng minh) B1 Bài tập 4: a Vẽ ba đường thằng a, b, c cho b // a c // a b Kiểm tra xem b c có song song với khơng? c Lý luận a // b a //c b // c ( Bài 34 trang 80 SBT tập I) Lời giải: a,b Bạn đọc tự giải c Giả sử b khơng song song với c Khi b cắt c điểm O Như qua O ta vừa có b // a, vừa có c // a Điều trái với tiên đề Ơclit Suy b // c Vậy b // a c // a b // c Bài tập 5: Chứng minh góc tứ giác khơng thể góc nhọn, khơng thể góc tù (Bài trang 61 SGK tập I) Lời giải: Giả sử bốn góc tứ giác góc nhọn tổng số đo bốn góc nhỏ 360 Điều trái với tính chất tổng góc tứ giác 3600 Vậy bốn góc tứ giác khơng thể góc nhọn Giả sử bốn góc tứ giác góc tù tổng số đo bốn góc lớn 3600 Điều trái với tính chất tổng góc tứ giác 3600 Vậy bốn góc tứ giác khơng thể góc tù Bài tập 6: Khơng vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng ?3 ( Chú ý trang 98 SGK tập I) Lời giải: l d A B C Giả sử có đường tròn (O) qua ba điểm thẳng hàng A, B, C tâm O giao điểm đường trung trực d AB (vì OA = OB) đường trung trực l đoạn BC ( OB = OC ) Ta có : d  AB, l  BC Mà A, B, C thẳng hàng, suy d // l Do khơng tồn giao điểm d l, mâu thuẫn với giả thiết Vậy khơng vẽ đường tròn qua ba điểm thẳng hàng Bài tập 7: Chứng minh tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn Lời giải: Trong tam giác, giả sử góc đối diện với cạnh nhỏ có số đo lớn 900 Theo tính chất mối quan hệ góc cạnh tam giác hai góc lại có số đo lớn 900 Do tổng số đo ba góc tam giác lớn 1800 Điều trái với tính chất tổng ba góc tam giác 1800 Vậy góc đối diện với cạnh nhỏ tam giác phải góc nhọn Bài tập 8: Cho hai đường tròn tâm O O’ giao A B Một cát tuyến qua A giao với hai đường tròn C D Vẽ hai đường kính CC’ DD’ hai đường tròn Chứng minh:A, C’, D’ thẳng hàng 8.1 Lời giải: GT (O) (O’) giao A, B; cát tuyến CAD ( C(O),D(O’)) CC’, DD’ hai đường kính KL A, C’, D’ thẳng hàng C A O D D ' O ' B C ' Giả sử A, C’, D’ khơng thẳng hàng hay AC’ AD’ hai đường thẳng phân biệt Vì DD’ đường kính (O’) nên góc DAD’ = 900 CC’ đường kính (O) nên góc CAC’ = 900 Như qua A ta vừa có AD’ AC’ vng góc với CD Điều trái với tiên đề Ơclit Do AC’ AD’ phải trùng hay A, C’, D’ thẳng hàng 8.2 Khai thác: Bài tốn hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với đỉnh A D ' C D C ' A O A O O' D ' O ' C C ' D Bài tốn: Cho hai đường tròn giao A Một cát tuyến thay đổi qua A, giao hai đường tròn C D Vẽ đường kính CC’ DD’ hai đường tròn Chứng minh C’D’ ln qua điểm cố định Bài tập 9: Chứng minh định lý đảo định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung, cụ thể là: Nếu góc BAx ( với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB ), có số đo nửa số đo cung AB dây cung nằm bên góc đó, cạnh Ax tiếp tuyến đường tròn 9.1 Lời giải: B B O C O x C A x A Hình Hình Giả sử Ax khơng tiếp tuyến đường tròn A Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Ax cắt đường tròn C1 thuộc cung lớn AB (hình1) Ta có:   BA x  sd AB (Gt)   sd BC1 (Góc nội tiếp chắn cung)     Suy ra: BAx  C1 AB  (sd AB sd BC1 )   C1 Ax  sd ABC C1 AB  10 Hay  sd ABC 180 =  Suy ra: sd ABC  360 (vơ lý số đo cung ABC1900 Chứng minh khơng thể có đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa đường phân giác góc 3.1 Phân tích tìm lời giải: B ABC, góc A>90 AM = MC ( M AC) GT KL A    B1  B2 C M  Muốn B1  B2 ta có cách sau: - Số đo hai góc (1) - Sử dụng quan hệ cạnh góc tam giác ( thơng qua góc trung gian ) (2) - Giả sử B1 = B2 ta chứng minh điều giả sử vơ lý (3) Nhận thấy cách (1) khơng phù hợp ta chứng minh cho tam giác Nếu áp dụng cách giải (2) ta cần phải tạo góc hai góc nằm tam giác với góc lại ( hai góc ta xét nằm hai tam giác khác ) Với giả thiết đề cho cách làm phức tạp, đơi bế tắc u cầu tốn gợi cho ta nghĩ đến việc chứng minh phương pháp phản chứng Tức giả sử BM vừa trung tuyến, vừa phân giác tam giác ABC điều vơ lý 3.2 Lời giải: Vì  ABC có Â >90 nên BC > AB Trên BC lấy D cho BD = BA Giả sử BM phân giác góc B B Xét hai tam giác ABM DBM có: BM: cạnh chung,   ABM  DBM , D BA = DB Suy : ABM = DBM ( c.g.c) Suy : AM = DM, Mà AM = MC nên MD = MC  A M C  Vậy  DMC cân M, hay MDC  MCD  Mặt khác: ABM  DBM (vì ABM = DBM ) Ta có:   BDM  MDC  180 ( hai góc kề bù )   BAM  ACB  180 14 (1) (2) Kết hợp (1) (2) ta Điều vơ lý ABC tam giác Vậy BM khơng thể phân giác góc B.( điều phải chứng minh ) 3.3.Khai thác: - Giữ ngun giả thiết tốn thay đổi cách hỏi sau: Chứng minh khơng thể có đường phân giác xuất phát từ đỉnh góc nhọn vừa trung tuyến góc - Bài tốn áp dụng với tam giác vng - Xây dựng tốn mới: Bài tốn: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải: Giả sử tam giác ABC khơng cân A Khơngmất tính tổng qt xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH ( với AH đường trung tuyến ) Xét hai tam giác ABL ALD có: AL: cạnh chung,  A D L  LAD  LAB, B H C AB = AD Suy : ABL = ADL (c.g.c ) Suy : BL = DL Trong BDC có: BL = DL, BH= HC Nên HL đường trung bình  BDC Suy HL // DC hay AH // AC (vơ lý) Vậy tam giác ABC cân A 3.4 Bài học kin nghiệm: 3.4.1 Sai lầm học sinh: - Học sinh thường chứng minh sau: ABC vừa có đường trung tuyến đường phân giác nên ABC cân B (1) Mặt khác ABC có Â > 900 nên BC > AB (2) Từ (1) (2) ta suy điều vơ lý *Người dạy cần lưu ý cho học sinh điều (1) nêu tốn phải chứng minh ( trình bày trên) khơng thể suy - Học sinh thường nhầm lẫn chứng minh sau: A Xét hai tam giác ABM ACM ta có: AM : cạnh chung,  BAM  CAM , BM = CM Suy ABM = ACM (c.g.c ) B M 3.4.2 Chú ý giảng dạy: 15 C Trong q trình giảng dạy người dạy cần phải: - Đối với sai lầm thứ nhất, người dạy phải u càu học sinh chứng minh điều vừa kết luận để sai học sinh - Đối với sai lầm thứ hai, người dạy vẽ hình ý cho học sinh vị trí góc cạnh tương ứng trường hợp tam giác Một số tập khác: Bài 1: Cho a b hai số ngun tố Chứng minh a a + b ngun tố Hướng dẫn: Giả sử a a+b khơng ngun tố Như tồn số p, q 1, q2 thuộc Z thỏa: a = p.q1 (1) a+b = p.q2 (2) Từ (2) ta được: b = p.q2 – a = p.q2 –p.q1 (kết hợp (1)) = p.( q2 – q1) = p.q (3) Từ (1) (3) ta kết luận a b khơng ngun tố Trài với giả thiết Bài 2: Cơ giáo chủ nhiệm phân phối 102 tập cho 50 em học sinh lớp 6A Chứng minh có em nhận nhiếu hai tập Hướng dẫn: Giả sử khơng học sinh nhận nhiều hai tập Như tối đa có 100 tập cho 50 học sinh Trong giáo viên cần phân phối 102 tập Điều vơ lý Bài 3: Cho phân số p tối giản Chứng minh phân số p  q q q tối giản Hướng dẫn: Tham khảo Bài 4: Chứng minh : Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c độ dài cạnh nhỏ tam giác Hướng dẫn: Giả sử c khơng phải cạnh nhỏ tam giác Khơng tínhư tổng qt, giả sử a  c, a2  c2 Theo bất đẳng thức tam giác, ta có b< a+c nên b2 < (a+c)2 Do a  c nên (a + c)2  4c2, suy b2  4c2 Từ ta có a2 + b2  5c2 Điều trái với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Bài 5: Tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, trung tuyến BI, phân giác CK cắt ba điểm phân biệt D, E, F Tam giác DEF tam giác hay khơng? Hướng dẫn: Giả sử DEF tam giác Ta có: F  60  C  30  HAC  30 Suy ra: BI  AC Vậy tam giác ABC Suy D, E, F trùng Điều trái với giả thiết 16 KẾT LUẬN Đề tài viết theo chương trình THCS, dùng cho học sinh, sinh viên sư phạm việc nhiên cứu tham khảo Nó bổ ích việc hình thành khả tư duy, lý luận chặt chẽ toán học ngành khoa học khác Chứng minh toán phương pháp phản chứng dạng toán hay giúp ta giải toán với tính đắn thấy mà cách chứng minh khác làm Trong đề tài, đưa sở lý thuyết, phân loại dạng toán với đề xuất, học rút trình nghiên cứu toán Ngoài ra, có tổng hợp phân loại cho khối lớp THCS Tuy nhiên, đề xuất, mở rộng mang tính cá nhân nên nhiều hạn chế Cuối cùng, chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp bổ ích, với khích lệ, động viên tinh thần thầy cô, đặc biệt thầy hướng dẫn Nguyễn Chính, thầy Tạ Quang Sơn Nha Trang, ngày 07 tháng 05 năm 2006 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hồng Xn Sính (chủ biên), Tập hợp lơgic, Nhà xuất giáo dục, năm 1999 [2] Nguyễn Hữu Điển, Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Vĩnh Cận, Phương pháp chứng minh hình học, Nhà xuất giáo dục [4] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Thực hành giải tốn, Nhà xuất giáo dục [5] Vũ Dương Thụy (chủ biên), Tốn nâng cao chun đề hình học 7, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 [6] Trần Diên Hiển, Các tốn suy luận lơgic, Nhà xuất giáo dục, năm 2001 [7] Nguyễn Vĩnh Cận, Tốn hình học nâng cao THCS, Nhà xuất Đại học Sư phạm, năm 2003 [8] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tậpI, tập II, Nhà xuất giáo dục,năm 2003 [9] Tơn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 [10] Tơn Thân (chủ biên), Sách tập tập I, Nhà xuất gióa dục, năm 2003 [11] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách giáo khoa tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 [12] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Sách tập tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2003 [13] Nguyễn Vũ Thanh (Chủ biên), Số học, Nhà xuất giáo dục [14] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 [15] Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn tập I, tập II, Nhà xuất giáo dục, năm 2005 18 MỤC LỤC Mở đầu ………………………………………………… Chương I: Cơ sở lơgic phương pháp chứng minh phản chứng ………………………………… Chương II: Nội dung I Dạng 1: Suy luận loại trừ……………… II Dạng 2: Sự vơ lý suy từ kiến thức biết……………………….12 III Dạng 3: Sự vơ lý suy từ giả thiết tốn………………………………18 Phụ lục Lớp 24 Lớp 27 Lớp 31 Lớp 34 Kết luận ………………………………………………….39 Tài liệu tham khảo …………………………………… 40 Mục lục .41 19