Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung của chương trình toán, được áp dụng nhiều vào giải các bài tập . Phương pháp này cũng là một công cụ hữu ích cho học sinh trong quá trình luyện tập như : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… không những vận dụng giải các bài toán ở chương trình lớp 8 mà còn vận dụng giải các bài tập của các lớp 9 ,10 và về sau này.Bản thân tôi là giáo viên giảng dạy môn Toán, qua một số năm dạy tôi thấy học sinh sau khi học vẫn còn lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử và thường mắc phải những sai sót khi làm bài tập . Để giúp học sinh tự học, học thêm ở nhà tránh những sai sót và định hướng được một số cách giải khi gặp các dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, do đó tôi chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” . phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức là giáo viên đưa ra các phương pháp cụ thể cho học sinh nhưng phải theo từng đối tượng học sinh thì với mỗi bài toán cụ thể các em có thể đưa ra phương pháp giải một cách chính xác. Đó là các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được tôi tích lũy trong quá trình học và dạy toán, với niềm mong ước giúp các em học sinh dễ dàng giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp trong chương trình lớp 8 cũng như trong các cuộc thi học sinh giỏi các cấp
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG CỦA SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong chương trình Đại số lớp 8, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nội dung chương trình toán, áp dụng nhiều vào giải tập Phương pháp công cụ hữu ích cho học sinh trình luyện tập : Rút gọn biểu thức, giải phương trình tích, chia đa thức… vận dụng giải toán chương trình lớp mà vận dụng giải tập lớp ,10 sau Bản thân giáo viên giảng dạy môn Toán, qua số năm dạy thấy học sinh sau học lúng túng phân tích đa thức thành nhân tử thường mắc phải sai sót làm tập Để giúp học sinh tự học, học thêm nhà tránh sai sót định hướng số cách giải gặp dạng toán phải dùng đến việc phân tích đa thức thành nhân tử, chọn viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức giáo viên đưa phương pháp cụ thể cho học sinh phải theo đối tượng học sinh với toán cụ thể em đưa phương pháp giải cách xác Đó phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tích lũy trình học dạy toán, với niềm mong ước giúp em học sinh dễ dàng giải dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp chương trình lớp thi học sinh giỏi cấp Tên chuyên đề “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” Tác giả chuyên đề Chủ đầu tư chuyên đề Lĩnh vực áp dụng chuyên đề Áp dụng vào giảng dạy môn Toán ,9 có nội dung liên quan đến kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử Ngày chuyên đề áp dụng lần đầu áp dụng thử Từ tháng 11 năm 2014 Mô tả chất chuyên đề 7.1 Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu 7.1.1 Mục đích nghiên cứu Trong khuôn khổ đề tài thân trình bày số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Cụ thể là: + Các phương pháp thường dùng giải phân tích đa thức thành nhân tử + Rèn kỹ vận dụng kiến thức để giải toán có liên quan + Củng cố hướng dẫn học sinh làm tập 7.1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu + Xây dựng hệ thống lý luận vấn đề nghiên cứu + Đánh giá thực trạng vấn đề nghiên cứu + Đề xuất giải pháp nghiên cứu + Tiến hành thử nghiệm đối chiếu kết 7.1.3 Địa điểm, thời gian, đối tượng phạm vi nghiên cứu + Địa điểm: Lớp Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh Tường -Vĩnh Phúc + Thời gian: Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng năm 2016 + Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp Trường THCS Lũng Hòa -Vĩnh TườngVĩnh Phúc + Phạm vi nghiên cứu qua tiết dạy phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8, qua buổi chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi 7.1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn có liên quan + Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách tập + Một số vấn đề phương pháp dạy học trường phổ thông + Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán + Đổi phương pháp dạy học toán + Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 8,tài liệu chuyên toán lớp ,nâng cao phát triển toán 8, Điều tra: a Dự giờ: - Dự học hỏi kinh nghiệm giáo viên tổ - Rút kinh nghiệm tiết dạy lớp, tiết dự Qua đó, ý đến phương pháp giảng dạy cách tổ chức tiết dạy giáo viên, từ giúp tích lũy số kinh nghiệm hiệu việc đổi phương pháp dạy học b Đàm thoại: - Trong trình giảng dạy giáo viên trao đổi với học sinh để tìm nguyên nhân học sinh chưa có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán cụ thể Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phần học sinh chưa biết cách trình bày để có biện pháp xử lí kịp thời - Trao đổi với giáo viên tổ chuyên môn nhà trường bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân học sinh học yếu lớp khác c Thực nghiệm: - Toán học môn khoa học thực nghiệm đòi hỏi học sinh phải thực hành lớp, để thực điều giáo viên phải giúp học sinh cố kiến thức lớp qua tập ?/SGK nhằm giúp em nắm vững kiến thức cách sâu sắc từ hình thành kĩ giải toán cho học sinh Đồng thời giáo viên phải trọng bước hướng dẫn học sinh tự học nhà để học sinh củng cố lại kiến thức học vận dụng giải tập nhà tạo thói quen tự học cho học sinh Ngoài học sinh giỏi giáo viến nên có thêm tập đỏi hỏi tính tư cao d.Theo dõi kiểm tra: - Khi kiểm tra miệng, 15 phút, tiết phân loại học sinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểm riêng Từ giáo viên tìm giải pháp thích hợp cho đối tượng học sinh 7.2 Định nghĩa phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 7.2.1.Định nghĩa : phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác 7.2.2 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Sắp xếp toán theo mức độ từ dễ đến khó - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử 1) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp: Dùng hạng tử đa thức có nhân tử chung A.B + A.C = A ( B + C) Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) Tìm nhân tử chung biến (lấy với số mũ nhỏ nhất) Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x ( x − y ) − 15 x ( x − y ) GV: Tìm nhân tử chung hệ số? HS: Nhân tử chung hệ số ƯCLN(5;15) = GV: Tìm nhân tử chung biến? HS: x(x – 2y) Giải: x ( x − y ) − 15 x ( x − y ) = x ( x − y ) ( x − 3) 2) 10 x ( x − y ) − y ( y − x ) GV: Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? HS: GV: Tìm nhân tử chung x( x – y) y( y – x)? HS: ( x – y) ( y – x) GV: Hãy thực đổi dấu tích 10x( x – y) – 8y( y – x) để có nhân tử chung ( x– y) ( y – x)? HS: Đổi dấu tích 10x( x – y) = - 10x( y – x) Hoặc đổi dấu tích – 8y( y – x) = 8y( x – y) Giải: 10x( x – y) – 8y( y – x) = 10x( x – y) + 8y( x – y) = 2( x – y).5x + 2( x – y).4y = 2( x – y)( 5x + 4y) 3) 9x( x – y) – 10( y – x) Cách giải sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 = ( x – y) [9x + 10( x – y)] = ( x – y)(19x – 10y) Sai lầm: - Thực đổi dấu sai: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) + 10( x - y)2 - Sai lầm đổi dấu ba nhân tử: - 10 ( y – x)2 tích – 10( y – x)2 Vì – 10( y – x)2 = - 10( y – x)( y –x) Cách giải đúng: 9x( x – y) – 10( y – x)2 = 9x( x – y) - 10( x - y)2 = ( x – y) [9x - 10( x – y)] = ( x – y)(10y – x) • Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Cách tìm nhân tử chung hạng tử - Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Bài tập áp dụng: 1) 2axy − 4a xy + 6a3 x 2) -7x y5 -14x y -21y3 3) xy ( a − 1) − x y ( − a ) 4) 5a ( x − y ) + 10a ( x − y ) 5) 3ab ( x − ) + 9a ( − x ) 6) 2a b ( x + y ) − 4a b ( − x − y ) 7) x m+1 − x m 8) x m+ − x 9) x m+ − x m 10) x m+1 − x m +1 Dạng 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp: Biến đổi để xuất đẳng thức đáng nhớ 1) ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3) A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4) ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5) ( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7) A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ( a – b )2 – ( a + b )2 GV: Đa thức có dạng đẳng thức nào? HS: Có dạng A2 - B2 Cách giải sai: ( a – b )2 – ( a + b )2 = ( a – b + a + b ) – ( a – b – a + b ) = 2a.0 = Sai lầm: Thực thiếu dấu ngoặc Cách giải đúng: ( x – y )2 – ( x + y )2 = [( x – y ) + ( x + y )].[( x – y ) – ( x + y )] = ( x – y + x + y ).( x – y – x – y ) = 2x.( –2y) = –4xy Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi giáo viên cho tập dạng phức tạp 3) x3 − 2) 10 x − 25 − x 4) x3 + 12 x y + xy + y 5) x − 64 y 25 Giải: 2) 10 x − 25 − x = − ( x − 10 x + 25 ) = − ( x − ) 1 1 1 3) x − = ( x ) − ÷ = x − ÷ x + x + ÷ 4 2 4) x3 + 12 x y + xy + y = ( x ) + ( x ) y + 3.2 x y + y = ( x + y ) 3 2 1 1 5) x − 64 y = x ÷ − ( y ) = x + y ÷ x − y ÷ 25 5 5 • Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Quy tắc dấu ngoặc - Kỹ nhận dạng đẳng thức qua toán dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử để sử dụng đẳng thức thích hợp, xác Bài tập áp dụng: x + y3 7) x − 125 y 64 1) 25a − 6) 2) 144a − 81 3) ( a − 2b ) − 4b 4) x + 10 x + 25 5) 25 x − 20 xy + y 2 8) x3 + 15 x + 75 x + 125 9) 27a3 − 54a 2b + 36ab − 8b3 10) x − x Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp: Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp đa thức đa thức chưa có nhân tử chung chưa áp dụng đẳng thức Phát nhân tử chung đẳng thức nhóm Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung đẳng thức Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 3x − 3xy − x + y 2) x + x − y + – 4y2 – 4y Giải: 1) 3x − 3xy − x + y Cách giải sai: 3x − 3xy − x + y = 3x ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) 3x Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung Cách giải đúng: 3x − 3xy − x + y = 3x ( x − y ) − ( x − y ) = ( x − y ) ( 3x − ) 3) x2 – 2x 2) x + x − y + Sai lầm: HS nhóm hạng tử với GV: Nếu nhóm hạng tử không ta nhóm ba hạng tử Cách giải đúng: x + x − y + = x + x + − y = ( x + ) − y = ( x + − y ) ( x + + y ) 3) x2 – 2x – 4y2 – 4y Cách giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y) = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y ) = ( x – 2y )( x + 2y – ) Sai lầm: Đặt dấu sai nhóm hạng tử nhóm thứ hai Cách giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x + 4y) = ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x + 2y ) = ( x + 2y )( x – 2y – ) • Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Lựa chọn hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử - Kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm hạng tử đa thức Bài tập áp dụng: 1) ax + ay + x + y 6) 3ax + 3bx + ax + bx + 5a + 5b 2) x − xy − x + y 7) ax − bx − 2ax + 2bx − 3a + 3b 3) 10ax − 5ax − 5ay + x − y 8) ax − x − õ + x + a − 4) 2a x − 5by − 5a y + 2bx 9) ax + bx + cx − 2a − 2b − 2c 5) x − xy + x − 15 y 10) ax − bx − 2cx − 2a + 2b + 4c 2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng phát triển kỹ Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp • Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán • Cũng cố phép biến đổi hoàn thiện kỹ thực hành • Tìm cách giải hay, khai thác toán Phương pháp: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp bản: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x Giải: 1) x4 – 9x3 + x2 – 9x Cách giải chưa hoàn chỉnh: 2) 8xy + x ( x − y ) Cách 1: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – ) Cách 2: x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x) = x3( x – ) + x( x – ) = ( x – )( x3 + x ) Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm phân tích chưa triệt để Cách giải đúng: x4 – 9x3 + x2 – 9x = x( x3 – 9x2 + x – ) = x[(x3 – 9x2 ) + ( x – )]= x[x2( x – ) + ( x – )]= x( x – )(x2 + 1) 2) 8xy + x ( x − y ) Cách giải chưa hoàn chỉnh: 3 xy + x ( x − y ) = x 8 y + ( x − y ) Sai lầm: Học sinh thường mắc phải sai lầm phân tích chưa triệt để Cách giải đúng: 3 xy + x ( x − y ) = x 8 y + ( x − y ) = x ( y + x − y ) y + y ( x − y ) + ( x − y ) = x ( x + y ) ( y + xy − y + x − xy + y ) = x ( x + y ) ( y + x ) • Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Khi số mũ phần biến lớn ta phân tích - Củng cố công thức: ( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = A3+ B3 + 3AB( A + B) ⇒ A3+ B3 = ( A + B )3 – 3AB( A + B) Bài tập áp dụng: 1) ( a + 4b ) − 16a 2b 2 6) x − ( 2a + b ) xy + 2aby 2) x + xy + y − 25 7) ab ( x + y ) + xy ( a + b ) 3) x − x + − a − 2ab − b 8) x + 12 xy + y 2 2 4) x ( a − b ) − xy ( a − b ) + ay − by 9) −12 x y + 12 x3 y − 3x y 5) x3 + x y + xy − x 10) x + xy + y − a + 2ab − b 3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư Dạng 5: Kĩ thuật bổ sung đẳng thức 2 Phương pháp: Thêm, bớt hạng tử để nhóm với hạng tử có đa thức nhằm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức, đặc biệt xuất hiệu hai bình phương Đây kỹ thuật quan trọng liên quan đến dạng toán tìm Min, Max, GV cần phải hướng dẫn thật kỹ phương pháp cho HS Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x − x − 2) x + xy − y Giải: 1) x − x − GV: Đối với phương pháp em nên tách để đưa dạng A2 ± AB + B GV: Theo em câu nên tách hạng tử để xuất đẳng thức? HS: Tách hạng tử –3 = – GV: Khi ta x − x + − Tới ta đưa dạng nhóm hạng tử để xuất đẳng thức HS : x − x + − = ( x − 1) − 22 GV: Biểu thức thu thuộc đẳng thức nào? HS: A2 − B Cách giải đúng: x − x − = x − x + − = ( x − 1) − 22 = ( x − − ) ( x − + ) = ( x − 3) ( x + 1) 2) x + xy − y Đối với câu GV hướng dẫn học sinh câu Cách giải đúng: x + xy − y = x + xy + y − y = ( x + y ) − ( y ) = ( x + y − y ) ( x + y + y ) = ( x − y ) ( x + y ) 2 • Qua ví dụ giáo viên củng cố kiến thức cho học sinh: - Áp dụng linh hoạt đẳng thức - Biết cách nhóm ba hạng tử để xuất hàng đẳng thức Dạng 6: Kĩ thuật tách hạng tử Phương pháp: Cho đa thức : ax + bx + c - Tìm tích ac - Phân tích tích ac tích hai thừa số nguyên cách ac = a1c1 = a2 c2 = a3c3 = a j c j = - Chọn hai thừa số mà tổng ( b = a j + c j ) Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 3x + x − 2) 10 x − 11x − 3) x + 10 x − Giải: 1) 3x + x − GV: Hãy tìm tích ac HS: ac = 3.(-6) = -18 GV: Phân tích tích ac tích hai thừa số nguyên cách HS: ( −6 ) = −18 = ( −3) = ( −2 ) = ( −9 ) = ( −1) 18 = ( −18 ) GV: Hãy chọn hai thừa số a,c mà có tổng 10 Khai triển dạng ta đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a + c = −6 ac + b + d = 12 ad + bc = −14 bd = Xét bd = 3, với b, d ∈ Z, b ∈ {±1; ±3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a + c = −6 ac = a + 3c = −14 Từ ta tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Ta trình bày lời giải sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + 1)(x2 2x +3) Bài tập áp dụng: 1) f(x) = x − x + 26 x − 24 2) g(x) = x − x + 12 x − 14 x + 3) h(x) = x − x + 63 Dạng 17: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Áp dụng linh hoạt phương pháp học Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b) Giải: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x - y Hơn thay x y, y z, z x P không thay đổi ( Ta nới đa thức P hoán vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y P chia hết cho y - z z - x Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); a số, không chứa biến P có bậc tập hợp biến Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) với x, y, z ∈ R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọ tùy ý, cần chúng đôi khác để tránh P = Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x z) 20 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a b) Nhận xét: với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trò bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc Trên số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo ví dụ tập vận dụng Các toán phân tích đa thức thành nhân tử thật đa dạng phong phú kèm theo mức độ khó ,dễ Vì vậy,Chúng ta nên hướng dẫn học sinh giải tập phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức học sinh đối tượng học sinh làm dạng toán theo mức độ nhận thức mình.Qua tập ta thấy dạng tập sử dụng phương pháp biến đổi khác có liên quan tới nhiều kiến thức toán khác để làm tốt dạng toán yêu cầu học sinh phải nắm kiến thức : bảy đẳng thức đáng nhớ ,phương pháp hệ số bất định ,dấu hiệu chía hết , Đồng thời giáo viên phải lựa chọn đưa tập phân tích đa thức thành nhân tử theo dạng toán theo mức độ từ dễ đến khó để học sinh nắm cách giài dạng toán mà không bị lúng túng có sai lầm kho gặp dạng toán này.Khi làm việc giải toán phân tích đa thức thành thân tử trở thành niềm say ,mê hứng thú cho học sinh từ học sinh giải dạng toán khác có liên quan chương trình toán lớp 8,lớp Những thông tin cần bảo mật chuyên đề Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh,tài liệu tham khảo 10 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề 10.1 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tác giả Chúng ta biết: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác Do số dạng toán áp dụng kết phân tích đa thức thành nhân tử giải dễ dàng số dạng toán sau: Dạng 1: Tính nhanh 21 Ví dụ 1: (Bài 46, trang 21 SGK) Tính nhanh: 732 - 272 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 100 = 4600 20022 - = 20022 - 22 = (2002 + 2)(2002 - 2) = 2004 2000 = 4008000 Ví dụ : (Bài 49, trang 22 SGK) Tính nhanh: 37,5.6,5 -7,5.3,4 - 6,6.7,5 + 3,5.37,5 = (37,5.6,5 + 3,5.37,5) - (7,5.3,4 + 6,6.7,5) = 37,5(6,5 + 3,5) - 7,5(3,4 + 6,6) = 37,5.10 - 7,5.10 = 375 - 75 = 300 452 + 402 - 152 + 80.45 = 452 + 2.40.45 + 402 - 152 = (45 + 40)2 - 152 = 852 - 152 = (85 - 15)(85 + 15) = 70.100 = 7000 Ví dụ : (Bài 56, trang 25 SGK) Tính nhanh: x2 + 1 x+ 16 x2 + 1 1 1 x+ = x + x + ÷ = x + ÷ = ( x + 0, 25 ) 16 4 4 x = 49, 75 2 x = 49, 75 ⇒ ( x + 0, 25 ) = ( 49, 75 + 0, 25 ) = 502 = 2500 2 Trong ví dụ ta thấy để thực việc tính nhanh phương pháp chung là: Phân tích biểu thức cấn tính nhanh thừa số tính Dạng 2: Tính giá trị biểu thức: Ví dụ : (Bài 40, trang 19 SGK) Tính giá trị biểu thức sau: a 15.91,5 + 150.0,85 b 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 Giải a 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5 = 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500 b 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) = 5x5 (x - 2z + 2z - x) = 5x5.0 = Víi x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1 biểu thức 22 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức: 432 − 112 a, 36.52 − 27.52 973 + 833 − 97.83 b, 180 Giải a, ( 43 − 11) ( 43 + 11) 432 − 112 = 2 36,5 − 27,5 ( 36,5 − 27,5 ) ( 36,5 + 27,5 ) = 32.54 32 = 9.54 ( b, ) ( 97 + 83) 972 − 97.83 + 832 973 + 833 − 97.83 = − 97.83 180 180 180.8247 = − 97.83 = 8247 − 97.83 = 8247 − 8051 = 196 180 Trong ví dụ đặc biệt ví dụ nhận thấy học sinh không sử dụng đẳng thức để phân tích thành nhân tử việc tính toán gặp nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho em: - Trước hết phân tích biểu thức cho thành nhân tử - Thay giá trị biến vào biểu thức phân tích để tính Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) x = 2000, y = 1999 Nếu theo cách làm thông thường học sinh thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm phức tạp cho kết Vì giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử thay số tính giá trị biểu thức Giải: Ta có x(x - 1) - y(1- x) = x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1)(x + y) Thay x = 2001, y = 1999 ta (2001 - 1) (2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000 Dạng 3: Tìm x thoả mãn đẳng thức cho trước : Ví dụ 1: (Bài 50, trang 23 SGK) Tìm x biết: a x(x - 2) + x - = b 5x(x - 3) - x + = Giải a x(x - 2) + x - = Ta có x(x - 2) + x - = x(x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x + 1) x=2 23 Nên (x - 2)(x + 1) = ⇔ x=-1 b 5x(x - 3) - x + = Ta có 5x(x - 3) - x + = 5x(x - 3) - (x - 3) = (x - 3)(5x - 1) x=3 Nên (x - 3)(5x - 1) = ⇔ x= Ví dụ : Tìm x biết a 8x3 - 50x = b (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = Giải a 8x - 50x = 2x(4x - 25) x=0 = 2x(2x - 5)(2x + 5) = ⇔ x= x=− (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x2 - 4) - 5(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 7) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2) = (x - 2)[x2 + 2x + + 2(x + 2) - 5] = (x - 2)(x2 + 4x + 6) = v× x2 + 4x + = (x + 2)2 + > nên (x - 2)(x2 + 4x + 6) = x - = hay x = Ví dụ 3: Tìm x biết 5x(x - 1) = x - ⇔ 5x(x - 1) - (x - 1) = x =1 ⇔ (x - 1)(5x - 1) = ⇔ x= Trong dạng toán nhận thấy cách biến đổi để đưa phương trình tích với phép biến đổi phân tích đa thức thành nhân tử, hướng dẫn en theo trìng tự sau: - Chuyển tất cảc số hạng vế trái vế phải A=0 ⇔ - Phân tích vế trái thành nhân tử để A.B = B=0 - Lần lượt tìm x từ đẳng thức A = 0, B = ta kết 24 Dạng 4: Áp dụng vào số học Đây dạng toán không khó việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải lại khó cho em học sinh, hướng dẫn cho em giải định hướng sau đây: - Số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác có số nguyên k cho a = bk - Phân tích biểu thức thừa số để xuất số chia Ví dụ 1: (Bài 42, trang 19 SGK) CMR 55n + - 55n chia hết cho 54 (n số tự nhiên) Giải 55n + - 55n = 55n(55 - 1) = 55n.54 chia hết cho 54 Ví dụ 2: (Bài 52, trang 24 SGK) CMR (5n + 2)2 - chia hết cho Giải (5n + 2)2 - = (5n + - 2)(5n + + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho Ví dụ 3: CMR ta có: a n3 - 13n chia hết cho b n5 - 5n3 + 4n chia hết cho 120; c n3 - 3n2 - n + chia hết cho 48 với n lẻ Giải 3 a n - 13n = (n - n) - 12n = n(n - 1)(n + 1) - 12n Vì n, n + 1, n - ba số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết tích n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 2.3 = (2 nguyên tố nhau), 12n chia hết cho vậy: n3 - 13n = n(n - 1)(n + 1) - 12n chia hết cho b n5 - 5n3 + 4n = n5 - n3 - 4n3 + 4n = n3(n2 - 1) - 4n(n2 - 1) = n(n2 - 1)(n2 - 4) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có số bội (Trong có số bội 4, bội bội 5) Do tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 8.3.5= 120 (vì 8, 5, đôi nguyên tố nhau) n3 - 3n2 - n + = n2(n - 3) - (n - 3) = (n - 3)(n2 - 1) = (n - 3)(n - 1)(n + 1) thay n = 2k + (vì n lẻ) vào ta được: (n - 3)(n - 1)(n + 1) = (2k - 2)2k(2k + 2) = 8(k - 1)k(k + 1) Vì (k - 1)k(k + 1) tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.3 = tích chia hết cho 48 Qua ví dụ vừa nêu ta nhận thấy biểu thức cho phân tích thành nhân tử việc chứng minh trở nên đơn giản giúp 25 em phân tích biểu thức thành nhân tử ta giúp em hoàn thành toán Trên học sinh nhận biết lợi ích việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng số toán nêu SGK, nhiên em học sinh khá, giỏi giới thiệu cho em thêm vài lợi ích khác nhằm giúp em thích thú tìm hiểu học toán dạng sau: Dạng 5: Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn đẳng thức cho trước Ví dụ 1: Tìm cặp số nguên (x,y) thoả mãn đẳng thức sau: a x + y = xy b xy - x + 2(y - 1) = 13 Giải a Ta có x + y = xy viết thành xy - x - y = nên x(y - 1) - (y - 1) = hay (y - 1)(x - 1) = x, y ∈ Z mà = 1.1 = (-1).(-1) nên ta có: y-1=1 y - = -1 x=2 x=0 hoặc x-1=1 x - = -1 y=2 y=0 Vậy hai cặp số nguyên (0, 0) (2, 2) b xy - x + 2(y - 1) = 13 Phân tích vế trái thừa số ta có xy - x + 2(y - 1) = x(y - 1) + 2(y - 1) = (y - 1)(x + 2) Do x, y ∈ Z vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (-1).(-13) = (-13).(-1) nên ta có: y-1=1 y - = 13 y - = -1 y - = -13 hoặc x + = 13 x+2=1 x + = -13 x + = -1 Hay : x = 11 x = -1 x = -15 x = -3 hoặc y=2 y = 14 y=0 y = -12 Vậy cặp số cần tìm (11, 2) ; (-1, 14) ; (-15 , 0) ; (-3, -12) Ví dụ : Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn đẳng thức sau : a xy + 3x - 2y - = b xy + 3x - 4y = 12 Giải a Phân tích vế trái thừa số nguyên tố ta có xy + 3x - 2y - = x(y + 3) - 2(y + 3) - = (y + 3)(x - 2) - = hay (y + 3)(x - 2) = Do x, y ∈ Z nên (y + 3)(x - 2) = = 1.1 = (-1)(-1) nên ta có y+3=1 y + = -1 x=3 x=1 hoặc x-2=1 x - = -1 y=-2 y = -4 Vậy hai cặp số nguyên cần tìm (3, -2) (1, -4) b xy + 3x - 4y = 12 xy + 3x - 4y - 12 = x(y + 3) - 4(y + 3) = x-4=0 (xy + 3x) - (4y + 12) = (y + 3)(x - 4) = Do x, y ∈ Z nên y+3=0 x=4 26 ∀x ∀y ∀x ∀y y = -3 Trong hai ví dụ ta thực hiện: - Phân tích vế đẳng thức thành tích hai thừa số, số lại số nguyên n - Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số tất cách từ tìm số nguyên x, y Như kĩ việc giải toán phân tích biểu thức cho thành nhân tử Không dừng lại toán nêu, việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp cho em học sinh thực giải toán mang tính chất phức tạp hai dạng toán sau : Dạng 6: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: CMR a3 + b3 + c3 = 3abc a = b = c a + b + c = Giải Từ đẳng thức cho suy a3 + b3 + c3 - 3abc = Ta có : b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 - bc) = (b + c)[(b + c)2 - 3bc] = (b + c)3 - 3bc(b + c) a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3) = a3 + (b + c)3 - 3bc(b + c) = (a + b +c) [a2 - a(b + c) + (b + c)2] - 3bc(a + b +c) = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) Do a3 + b3 + c3 - 3abc = Thì a + b + c = : a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = hay (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a) = suy a = b = c Ví dụ 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn a + b + c = a3 + b3 + c3 = CMR a2005 + b2005 + c2005 = Giải Áp dụng (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) = suy ba số a, b, c ó số hai số lại đối nên a 2005 + b2005 + c2005 = Qua hai ví dụ nhận thấy cách phân tích đa thức thành nhân tử vế trái để đưa đẳng thức dạng tích sau xét thừa số chứng minh đẳng thức ta có kết cần tìm Sau ta xét ví dụ dạng khác ứng dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử việc chứng minh bất đẳng thức Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức Trong dạng toán vấn đề đặt là: Để chứng minh A ≥ B A ≤ B ta ta lập hiệu A - B sau chứng minh A - B ≥ A - B ≤ 0, ta sử dụng phương án phân tích A - B thành nhân tử để kết luận A ≥ B A ≤ B Ví dụ: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < víi a < b < c 27 b a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Giải 2 2 2 a a (b - c ) + (c - a ) + c (a - b ) = a3[(b2 - a2) + (a2 - c2)] + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = a3(b2 - a2) + a3(a2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3(a2 - b2) = (a2 - b2)(c3 - a3) + (a2 - c2)(a3 - c3) = (a - b)(c - a)[(a + b)(c2 + ca + a2)] + (a - c)(a - b)[(a + c)(a2 + ab + b2)] = (a - b)(c - a)[ (a + b)(c2 + ca + a2) - (a + c)(a2 + ab + b2)] = (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) Vì < a < b < c nên a - b < 0, c - a > 0, c - b > ab + bc + ca > (a - b)(c - a)(c - b)(ab + bc + ca) < Vậy a3(b2 - c2) + (c2 - a2) + c2(a2 - b2) < víi a < b < c b Xét hiệu: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 - a3 - b3 - c3 = [a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2 - b3] + [c(a + b)2 - c3] = a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2 - b2] + c[(a + b)2 - c2] = a(b + a - c)(b - c - a) + b(c + b - a)(c - b - a) + c(a + b - c)(a + b + c) = (a + b - c)(ab - ac - a2 - bc - b2 + ab + ac + bc + c2) = (a + b - c)(2ab - a2 - b2 + c2) = (a + b - c)[c2 - (a - b)2] = (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: a + b - c > ; c + a - b > ; b + c - a > đó: (a + b - c)(c + a - b)(b + c - a) > Vậy a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 Nhận xét : Trong hai ví dụ ta nhận thấy vấn đề quan trọng phân tích đa thức thành nhân tử sau sử dụng kết bất đẳng thức tổng tam giác để kết luận Tóm lại: Qua việc hướng dẫn đối tượng học sinh thông qua mức độ nhận thức phương pháp phân tích thành nhân tử, khai thác kết toán từ có hướng đề xuất áp dụng giải toán tương tự tạo tập phong phú đa dạng đồng thời có hướng đề xuất cách giải hay giúp học sinh hứng thú học tập Việc khai thác đề xuất ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhiều mức độ kiến thức toán THCS hạn hẹp nên chưa thể mở rộng Tuy nhiên áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho em học sinh giỏi lớp em tiếp thu tốt có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi toán có nội dung tương tự từ chỗ mặc cảm với dạng toán em có hứng thú học - Kết học tập: Với tập giáo viên đưa ra, học sinh giải cách độc lập tự giác, thống kê theo bảng sau: Trước áp dụng chuyên đề: Số HS giải theo mức độ Năm học Số Giỏi HS Khá 28 TB Yếu 2014 - 2015 35 SL % SL 14,3 12 % SL % SL % 34,3 14 40,0 11,4 Sau áp dụng chuyên đề: Số HS giải theo mức độ Năm học Số Giỏi HS SL % 2015 - 2016 36 Khá SL 22,2 14 TB Yếu % SL % SL % 38,9 12 33,3 5,6 10.2 Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng chuyên đề theo ý kiến tổ chức cá nhân Phần phân tích đa thức thành nhân tử lớp nội dung quan trọng kiến thức có liên quan chặt chẽ, tiền đề cho học sinh học tốt kiến thức sau đặc biệt có ứng dụng nhiều Do vậy, trước hết cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử , phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt phương pháp thông thường Để học sinh nắm vững hứng thú học tập, cần liên hệ kiến thức biết để xây dựng kiến thức mới, chọn lọc hệ thống tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Khi học phải cho học sinh nhận dạng sau bắt tay vào giải theo nhiều cách (nếu có thể) không thiết phải giải nhiều tập Cần rèn luyện nhiều cách suy luận để tìm hướng giải cách lập luận trình bày học sinh học sinh đầu cấp Với dạng quy tắc tổng quát, song sau giải giáo viên nên đặc điểm, hướng giải để gặp tương tự học sinh liên hệ 10.3 Kết luận 1)Bài học kinh nghiệm: - Đối với học sinh yếu, kém: Là trình liên tục củng cố rèn luyện kỹ để vận dụng tốt phương pháp phân tích vào giải toán Giáo viên cần cho học sinh thực hành theo tập mẫu với tương tự từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên cho học sinh làm tập khác với nội dung SGK - Đối với học sinh trung bình: Cần ý cho học sinh nắm phương pháp bản, kỹ biến đổi vận dụng phương pháp đa dạng vào tập cụ thể từ rèn luyện khả tự học, chủ động chiếm lĩnh kiến thức 29 - Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc nắm phương pháp bản, giáo viên cần cho học sinh tìm hiểu thêm phương pháp phân tích nâng cao khác thông qua tập dạng nâng cao giúp học sinh vận dụng thành thạo kỹ biến đổi, linh hoạt lựa chọn phương pháp Qua kích thích óc tìm tòi, sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác toán nhằm phát triển tư cách toàn diện cho học sinh - Đối với giáo viên: Phải định hướng vạch dạng toán giúp học sinh tìm phương pháp giải hợp lý từ nắm vững dạng toán, rèn kỹ phân tích dạng tập Thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu vận dụng học sinh trình cung cấp thông tin có liên quan chương trình đại số đề cập Đồng thời giáo viên phải tạo không khí tích cực giải tập đối tượng học sinh Muốn giáo viên cần tác động đến đối tượng cho phù hợp Chẳng hạn học sinh yếu, kém, trung bình nên gợi ý tỉ mỉ, học sinh khá, giỏi cần nêu nét hướng học sinh theo đường cần đến Nên học sinh tích cực tìm tòi sáng tạo phát triển tư trí tuệ cho học sinh 2)Hướng phổ biến, áp dụng nghiên cứu tiếp đề tài: - Sau thời gian nghiên cứu, vận dụng phương pháp rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử chương trình đại số Tôi nhận thấy kết bước đầu học sinh tiến đáng kể, giúp học sinh tự tin giải toán khó toán sách giáo khoa - Đề tài áp dụng thực tổ chuyên môn, khối đồng thời làm tài liệu tham khảo khối khác năm học tới - Đề tài có nội dung kiến thức tương đối rộng gần xuyên suốt chương trình đại số 8, áp dụng để nâng cao chất lượng học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi Vì việc tổ chức cho học sinh nắm vững kiến thức theo yêu cầu chương trình, có kỹ giải toán thành thạo quan trọng Việc áp dụng đề tài cần phải có thời gian, phải tiến hành cách hệ thống Do hình thức tổ chức buổi luyện tập, ôn tập giáo viên phân dạng tập trình bày theo hệ thống kiến thức 30 - Để áp dụng đề tài đạt hiệu cao giáo viên phải có phương pháp giảng dạy tích cực, kích thích động cơ, hứng thú học tập cho học sinh trình dạy phải khắc sâu kiến thức cho học sinh, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp học tự học Giáo viên phải tích cực nghiên cứu tìm tòi tập liên quan, cách giải hay độc đáo phân loại dạng tập chương trình sách giáo khoa THCS - Đề tài nghiên cứu, rút kinh nghiệm thân tôi, thông qua thực trạng học sinh lớp 8A7 năm học 2012 – 2013 mà xây dựng tiết học đạt hiệu Song số thiếu sót, hạn chế mong góp ý bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện - Với đề tài này, áp dụng nghiên cứu tiếp năm học sau tự tìm tòi rút kinh nghiệm thực tiễn để nâng cao chất lượng dạy học 11 Danh sách tổ chức/ cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu TT Tên tổ chức/ cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng Nguyễn Thị Thu Hằng THCSLũng Hòa PP phân tích đa thức thành nhân tử Trần Thị Thanh Tâm THCS Lũng Hòa PP phân tích đa thức thành nhân tử Lê Thị Hạnh THCS Lũng Hòa PP phân tích đa thức thành nhân tử Lũng Hòa ,ngày 15 tháng năm 2016 Thủ trưởng đơn vị Tác giả Lê Thị Thanh Hương 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận -Sách tập toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận - Sách Để học tốt toán tập Tác giả Lê Hồng Đức- Đào Thiện Khải -Sách Các dạng toán phương pháp giải Toán Tác giả Vũ Hữu Bình- Nguyễn Vũ Thanh- Bùi Văn Tuyên -Sách Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả Vũ Hữu Bình- Tôn Thân- Đỗ Quang Thiều - Sách Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Tác giả Bùi Văn Tuyên -Sách Một số vấn đề phát triển nâng cao Toán tập Tác giả Vũ Hữu Bình 32 33 34 [...]... pháp phân tích đa thức thành nhân tử kèm theo ví dụ và bài tập vận dụng Các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử thật đa dạng và phong phú kèm theo cả mức độ khó ,dễ Vì vậy,Chúng ta nên hướng dẫn học sinh giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử theo các mức độ nhận thức của học sinh để cho từng đối tượng học sinh đều làm được dạng toán này theo mức độ nhận thức của mình.Qua các bài... đề theo ý kiến tổ chức cá nhân Phần phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 là một nội dung quan trọng bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt nó có ứng dụng rất nhiều Do vậy, trước hết chúng ta cần cho học sinh nắm thật vững định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử , các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt là các. .. thực hiện: - Phân tích một vế của đẳng thức thành tích của hai thừa số, số còn lại là một số nguyên n - Phân tích số nguyên n thành tích hai thừa số bằng tất cả các cách và từ đó tìm ra số nguyên x, y Như vậy kĩ năng chính trong việc giải các bài toán chính là phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử Không chỉ dừng lại các bài toán đã nêu, việc phân tích đa thức thành nhân tử còn giúp cho các em học... dụ vừa nêu ta nhận thấy nếu như các biểu thức đã cho được phân tích thành nhân tử thì việc chứng minh sẽ trở nên đơn giản hơn vì vậy giúp các 25 em phân tích được biểu thức thành nhân tử thì ta đã giúp các em hoàn thành được bài toán Trên đây học sinh đã được nhận biết lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng trong một số bài toán được nêu trong SGK, tuy nhiên đối với các em học sinh... qua mức độ nhận thức các phương pháp phân tích thành nhân tử, khai thác các kết quả của bài toán từ đó có hướng đề xuất và áp dụng trong giải các bài toán tương tự đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng đồng thời có những hướng đề xuất các cách giải hay giúp học sinh hứng thú trong học tập Việc khai thác và đề xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử còn nhiều nhưng vì mức độ kiến... x − 7 x + 10 ) − 72 Dạng 11: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích ra nhân tử, sau khi phân tích ra nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 4 2 1) ( x 2 + 1) + 3x ( x 2 + 1) + 2 x 2 2)10 ( x 2 − 2 x + 3) − 9 x... các hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử thì việc tính toán gặp rất nhiều khó khăn nên cần hướng dẫn cho các em: - Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử - Thay giá trị của các biến vào biểu thức đã phân tích để tính Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999 Nếu theo cách làm thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức. .. dụng chuyên đề 10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đơn thức và đa thức khác Do vậy đối với một số dạng toán nếu áp dụng kết quả phân tích đa thức thành nhân tử thì sẽ giải được dễ dàng như một số dạng toán sau: Dạng 1: Tính nhanh 21 Ví dụ 1: (Bài... c2005 = 1 Qua hai ví dụ trên nhận thấy bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để đưa đẳng thức về dạng tích bằng 0 sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức ta có được kết quả cần tìm Sau đây ta xét một ví dụ ở một dạng khác về ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việc chứng minh các bất đẳng thức Dạng 7: Chứng minh bất đẳng thức Trong dạng toán này vấn... = 0 ⇔ x= 1 5 Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi để đưa về phương trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có thể hướng dẫn các en theo trìng tự sau: - Chuyển tất cảc các số hạng về vế trái và vế phải bằng 0 A=0 ⇔ - Phân tích vế trái thành nhân tử để được A.B = 0 B=0 - Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A = 0, B = 0 ta được kết quả 24 Dạng ... phân tích đa thức thành nhân tử 7.2.1.Định nghĩa : phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đa thức khác 7.2.2 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Sắp xếp toán theo. .. viết đề tài: “PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ THEO CÁC MỨC ĐỘ NHẬN THỨC ” phân tích đa thức thành nhân tử theo mức độ nhận thức tức giáo viên đưa phương pháp cụ thể cho học sinh phải theo đối tượng... chuyên đề theo ý kiến tác giả Chúng ta biết: Phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức khác Do số dạng toán áp dụng kết phân tích đa thức thành nhân tử giải dễ