Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong ĐỀ KIỂM TRA TẬP TRUNG LẦN MÔN TOÁN lớp 12 Thời gian làm bài: 90 phút Học sinh phải ghi lớp vào phần phách ghi “Ban A, B” hay “Ban D” vào phần làm Ban A, B làm các câu 1, 2, 3, 4, Điểm câu theo thứ tự là: 3,5; 1,5; 3; 1; Ban D làm các câu 1, 2, 3ab, 4, Điểm câu theo thứ tự là: 4; 1,5; 2,5; 1; x−2 có đồ thị (C) x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): y = x + c) Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm (d) (C) Câu 1: Cho hàm số y = Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: x+2 y = f(x) = đoạn [–1; 2] x2 + Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, ∆ SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SA HC c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Câu 4: Giải hệ phương trình sau: cos x − cos y = y − x   x + y − ( x + 1) y + = Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 2AB, D(–7; 3), trung điểm BC E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng (d): x + 4y – = diện tích hình thang 30 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết A có tọa độ nguyên – Hết – Câu ĐÁP ÁN Đáp án Ý x−2 x −1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số * Tập xác định: D = R\{1} * lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị Cho hàm số y = a Biểu điểm Ban D Σ =4 Σ =2 0,25 x →±∞  lim+ y = −∞ x →1 ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị  y = +∞  xlim − →1 * y' = > 0, ∀ x ∈ D ( x − 1) ⇒ Hàm số đồng biến khoảng xác định * Bảng biến thiên: x –∞ +∞ y' + + +∞ y –∞ * Đồ thị: 0,25 0, 0,5 0,5 b c Đồ thị nhận I(1; 1) làm tâm đối xứng Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (∆): y = x + Tiếp tuyến (D) // (∆) ⇒ (D) có hệ số góc k = Gọi x0 hoành độ tiếp điểm (D) (C) x = =1 ⇔  ⇒ y'(x0) = k = ⇔ ( x0 − 1)  x0 = Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ (D): y = 1(x – 0) + = x + Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ (D): y = 1(x – 2) + = x – Đường thẳng (d) qua điểm A(–1; –3) có hệ số góc m Biện luận theo m số giao điểm (d) (C) Σ =1 0,25 0,25 0,25 0,25 Σ =1 (d) qua A có hệ số góc m ⇒ (d): y = m(x + 1) – Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) x−2 = mx + m − x −1 ⇔ x – = (mx + m – 3)(x – 1) (Vì x = không nghiệm phương trình) ⇔ mx2 – 4x – m + 5= (1) * m = 0: (1) ⇔ x = ⇒ (d) (C) có giao điểm * m ≠ 0: ∆' = m2 – 5m + + < m < 4: (1) VN ⇒ (d) (C) giao điểm + m = hay m = 4: (d) (C) có giao điểm \ + m < hay m > 4: (d) (C) có giao điểm phân biệt Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: x+2 y = f(x) = đoạn [–1; 2] x2 + Hàm số xác định liên tục đoạn [–1; 2] − 2x y' = ; f'(x) = ⇔ x = ∈ [–1; 2] ( x + 2)3 Ta có f(–1) = ; f(1) = ; f(2) = 3 f ( x) = ; Min f ( x) = Vậy Max [ −1;2] [ −1;2] Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a, ∆SAB nằm mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AB a Tính thể tích khối chóp S.ABCD (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ∩ (ABCD) = AB, SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) AB a Ta có: SABCD = a2; SH = = 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Σ = 1,5 0,25 0,5 0,25 0,5 Σ = 2,5 Σ =1 0.25 0,25 S ABCD SH a a3 = a = Tính khoảng cách hai đường thẳng SA HC Gọi E trung điểm CD ⇒ AE // HC ⇒ HC // (SAE) ⇒ d(HC, SA) = d(HC, SAE) = d(H, SAE) Dựng HK ⊥ AE K; HI ⊥ SK I Ta có AE ⊥ SH; AE ⊥ HK ⇒ AE ⊥ (SHK) ⇒ HI ⊥ AE Do HI ⊥ (SAE) ⇒ d(H; SAE) = HI 1 = + = 2+ = ∆ AHE vuông H ⇒ 2 HK HA HE a a a 1 19 = + = 2+ = ∆ SHK vuông H ⇒ 2 HI HK HS a 3a 3a Do VSABCD = b ⇒ HI = a 57 19 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Dựng HM ⊥ BD M, HN ⊥ SM N Ta có BD ⊥ SH, BD ⊥ HM ⇒ BD ⊥ (SHM) ⇒ HN ⊥ BD mà HN ⊥ SM ⇒ HN ⊥ (SBD) ⇒ d(H; SBD) = HN BH a Ta có ∆ BMH vuông cân M ⇒ MH = = 1 28 a 21 = + + = ⇒ HN = 2 = HN HM HS a 3a 3a 14 Vì H trung điểm AB ⇒ d(A; SBD) = 2d(H; SBD) = 0,25 Σ = 1,5 0,25 0,5 0, a 57 19 Vậy d(HC, SA) = HI = c 0,25 cos x − cos y = y − x Giải hệ phương trình :   x + y − ( x + 1) y + = Xét f(t) = cost + 2t có f'(t) = –sint + > ∀ t ⇒ f(t) đồng biến R Do (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y Thay vào (2) ta được: a 21 (1) (2) 0,25 Σ =1 0,25 0,25 x3 + x − ( x + 1) x + = ⇔ (2 x)3 + x = ( x + 1)2 + x + (3) Xét g(t) = t3 + t có g'(t) = 3t2 + > 0, ∀ t ⇒ g(t) đồng biến R Do (3) ⇔ f(2x) = f( x + ) ⇔ x + = 2x 0,25 2 x ≥ 1+ ⇔ ⇔ x= 4 x − x + = Cho hình thang ABCD có AB // CD, CD = 2AB, D(–7; 3), trung điểm BC E(4; 5), đỉnh A thuộc đường thẳng (d): x + 4y – = diện tích hình thang 30 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết A có tọa độ nguyên Ta có A ∈ (d) ⇒ A(1 – 4a; a) Gọi F giao điểm AE DC ⇒ E trung điểm AF ⇒ ∆ ABE = ∆ FCE ⇒ SABCD = SADF = 2SADE ⇒ SADE = 15 uuur Ta có DE = (11; 2) vtcp DE x−4 y −5 = ⇒ DE: 2x – 11y + 47 = 11 2(1 − 4a ) − 11a + 47 −19a + 49 = d(A; DE) = 2 125 + 11 −19a + 49 = 30 Do đó: DE.d ( A; DE ) = 15 ⇔ 125 125 ⇒ DE: a =  −19a + 49 = 30  ⇔  −19a + 49 = −30 ⇔ b = 79 Vậy A(–3; 1)  19  uuur E trung điểm AF ⇒ F(11; 9) ⇒ DF = (18; 6) = 6(3; 1) x+7 y −3 = ⇒ ⇒ DF: x – 3y + 16 = ⇒ C(3c – 16; c) uuur Ta có AB = (27 – 3c; – c) uuur uuur DC = (3c – 9; c – 3) = AB 3c − = 54 − 6c ⇔ ⇔ c = Vậy C(5; 7)  c − = 18 − 2c E trung điểm BC ⇒ B(3; 3) 0,25 Σ =1 0.5 0,25 0.25