MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Khái niệm đặc điểm tư 1.2 Tư sáng tạo 1.3 Hoạt động chứng minh PHẦN II: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Tập luyện cho học sinh lực dự đoán chứng minh BĐT 2.2 Tập luyện cho học sinh tìm nhiều cách giải lời giải hay 13 cho toán 2.3 Phát sửa chữa số sai lầm giải toán BĐT 17 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 MỞ ĐẦU Luật giáo dục năm 2005 quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Cho thấy việc tích cực, chủ động học tập cần thiết giúp rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Trong trình dạy học môn Toán trường phổ thông, việc dạy học giải tập toán học có vị trí quan trọng hàng đầu, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng Toán học vào thực tiễn… Bài toán chứng minh bất đẳng thức trường THPT đa dạng phong phú; sử dụng nhiều kì thi tuyển sinh đại học cao đẳng, kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Vì thông qua dạy học giải tập toán phần bất đẳng thức trường phổ thông ta rèn luyện cho học sinh khả tư sáng tạo Với lí trên, chọn đề tài: “Rèn luyện tư sáng tạo dạy học giải tập chứng minh Bất đẳng thức” chuyên đề “Tư Toán học” chò tiểu luận Nhân đây, cho xin bày tỏ biết ơn đến thầy giáo TS Nguyễn Văn Thuận nhiệt tình giảng dạy cho lớp Cao học 18 Phương pháp Tóa thân thời gian qua Vinh, tháng 04 năm 2012 Học viên: Cao Hải Vân Phần I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm đặc điểm tư 1.1.1 Khái niệm Theo Trần Thúc Trình thì: “Tư trình nhận thức, phản ánh chất, mối quan hệ có tính chất qui luật vật tượng mà trước chủ thể chưa biết” Theo Rubistein: “Tư – khôi phục ý nghĩ chủ thể khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện so với tư liệu cảm tính xuất tác động khách thể” Như tư nhận thức lý tính, nghĩa phải có suy nghĩ đầu óc cảm thấy mang tính chất thoáng qua, chủ quan; mà phải có lập luận, phân tích, diễn giải có đầu óc người Nói cách khác, tư bao gồm lý trí lý tính 1.1.2 Đặc điểm tư duy: Tư có đặc điểm chủ yếu sau: - Tư nảy sinh gặp hoàn cảnh có vấn đề; - Tư có tính khái quát; - Tư có tính gián tiếp; - Tư người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, không đồng với Sự thống giữ tư ngôn ngữ thể rõ khâu biểu đạt kết trình tư duy; - Tư có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tư thường nhận thức cảm tính, dù tư có khái quát trừu tượng đến đâu nội dung tư chứa đựng thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tượng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính có trừu tượng, tựa hồ làm thành chỗ dựa cho tư duy” - Tư trình: tư xét trình, nghĩa tư có nảy sinh, diễn biến kết thúc Các thao tác tư duy:  Phân tích – tổng hợp Phân tích trình dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành “bộ phận”, thuộc tính, mối liên hệ quan hệ chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc Tổng hợp trình dùng trí óc để hợp “bộ phận” phân tích Phân tích tổng hợp có quan hệ mật thiết với nhau, bổ sung cho tạo thành thống không tách rời  So sánh So sánh trình dùng trí óc để xác định giống hay khác nhau, đồng hay không đồng nhất, hay không đối tượng nhận thức  Trừu tượng hóa khái quát hóa Trừu tượng hóa trình dùng trí óc để gạt bỏ mặt, thuộc tính không cần thiết phương diện giữ lại yếu tố cần thiết để tư Ví dụ: Khi nói đến hình chóp ta nghĩ đến hình có đáy đa giác, đỉnh mặt bên tam giác, ta không để ý đến thuộc tính cụ thể hình chóp đều, hình chóp tam giác, … Khái quát hóa trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác thành nhóm, loại theo thuộc tính chung định Cấu trúc tư Toán học: Hoạt động tư phụ thuộc vào đối tượng tư Trong toán học có số loại hình tư sau: (1) Tư cụ thể; (2) Tư trừu tượng; (3) Tư trực giác; (4) Tư hàm; (5) Tư biện chứng; (6) Tư sáng tạo; (7) Các phong cách toán học tư Đặc biệt, tư trừu tượng tách thành phần: - Tư phân tích - Tư logic - Tư lược đồ không gian 1.2 Tư sáng tạo Tư sáng tạo hình thức tư duy, có tác dụng to lớn việc phát triển tư cho học sinh đặc biệt đối tượng học sinh giỏi Giáo viên phải biết phát huy hết khả tìm tòi, phát vẻ đẹp Toán học Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập tính phê phán điều kiện cần thiết tư sáng tạo, đặc điểm mặt khác tư sáng tạo Tính sáng tạo tư thể rõ nét khả tạo mới, phát vấn đề mới, tìm hướng mới, tạo kết Nhấn mạnh nghĩa coi nhẹ cũ" (Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học môn Toán) G.Polya cho rằng: "Một tư gọi có hiệu tư dẫn đến lời giải toán cụ thể Có thể coi sáng tạo tư tạo tư liệu, phương tiện giải toán sau Các toán vận dụng tư liệu phương tiện có số lượng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, mức độ sáng tạo tư cao, thí dụ: lúc cố gắng người giải vạch phương thức giải áp dụng cho toán khác Việc làm người giải sáng tạo cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại toán không giải tốt gợi cho người khác suy nghĩ có hiệu quả" Tư sáng tạo tích cực tư độc lập, nói đến tư sáng tạo ta nói đến việc học sinh tự khám phá, tự tìm cách giải vấn đề giải toán Bắt đầu từ tình gợi vấn đề, tư sáng tạo giải mâu thuận tồn tình với hiệu cao, có tính hợp lý tạo cho học sinh niềm tin, phấn khích sau tìm giải pháp Nói tóm lại, tư sáng tạo tư độc lập, tạo ý tưởng có tính độc đáo hiệu giải vấn đề cao 1.3 Hoạt động chứng minh Chứng minh hình thức suy luận, dựa vào phán đoán (mệnh đề) mà tính chân thực (đúng) công nhận, để khẳng định tính chân thực mệnh đề khác chứng minh Một chứng minh gồm ba phận cấu thành 1) Luận đề: mệnh đề cần phải chứng minh (trong chứng minh trả lời câu hỏi “Chứng minh điều gì” 2) Luận cứ: mệnh đề thừa nhận (định nghĩa, tiên đề, định lý, ) lấy làm tiền đề suy luận Trong chứng minh trả lời cho câu hỏi “Chứng minh gì” 3) Luận chứng: suy luận tổng quát vận dụng bước suy luận chứng minh (Nó trả lời cho câu hỏi: Chứng minh nào, dùng quy tắc suy luận gì) Có phương pháp chứng minh chủ yếu chứng minh trực tiếp chứng minh gián tiếp Chứng minh trực tiếp đưa luận dùng quy tắc suy luận để rút luận đề Sử dụng quy tắc suy luận để thẳng từ giả thiết đến kết luận Một phương pháp chứng minh gián tiếp hay sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Phần II: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Tập luyện cho học sinh lực dự đoán chứng minh BĐT “Dự đoán phương pháp tư tưởng ứng dụng rộng rãi nghiên cứu khoa học Đó nguyên lý thật biết để nêu lên giả định tượng quy luật chưa biết” Dự đoán giúp ta thật hiểu toán mà giải tập giảm cách giải mày mò, mù quáng, trước toán khó không vội vào tính toán, chứng minh mà biết vào kiện mục tiêu cần giải để có trù liệu, phán đoán Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên đâu? Sau bắt tay vào tính toán, chứng minh Khi đạt kết kết hợp với mục tiêu dự đoán, cảm nhận cách giải đạt kết Nếu thấy tiếp tục phương pháp đó, cảm nhận thấy không phải quay lại điều kiện ban đầu để dự đoán, tìm cách giải khác, điều chỉnh giải toán Ví dụ 1: Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức P  x  y   Đối với học sinh giỏi việc tìm lời giải toán không khó khăn Tuy nhiên, học sinh giải theo cách máy móc mắc sai lầm giải toán cách áp dụng BĐT Cô – si GV tập luyện cho HS dự đoán từ đề để tìm lời giải Chúng ta biết biểu thức đạt GTLN NN tồn giá trị biến đề dấu “=” xẩy Đối với toán thi biểu thức điều kiện biểu thức P đối xứng biến x, y GTNN biểu thức đạt x=y= Do để vận dụng BDT Cô-si cách xác phải tìm biểu thức phù hợp để x, y ½ Khi hướng cho học sinh phân tích toán theo hướng: P  4x  1  y   3x  y  x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có 4x  1  x  x   x x x y Tương tự y   Theo giả thiết ta có x  y   3x  y   3 Do đó: P  x  ; y    x  y 1  p    4x  x y x    4y  y  Vậy GTNN P Một tương tự trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: Chứng minh rằng: (2)(Đề thi TSĐH Khối A 2003) Ta dự đoán để dấu “=” xảy BDT x=y=z=1/3 Khi cách biến đổi biểu thức sử dụng BDT C-S ta phép chứng minh sau: Ta có Tương tự ta có: Vậy BDT cần chứng minh quy chứng minh BDT: Thật vậy, theo BDT Cô-si ta có ; Vậy BDT chứng minh xong Ví dụ 3: Từ bất đẳng thức Cô - si hai số không âm: “Với a  0, b  ta có ab  ab Đẳng thức xảy a=b” bất đẳng thức Cô - si ba số không âm: “Với a  0, b  0, c  ta có abc  abc Đẳng thức xảy a=b=c”, khái quát hóa ta có dự đoán: “Với 10 a1  0, a  0, a n  ta có a1  a   a n n  a1 a a n Đẳng thức xảy n a1= a2= =an” Phép tương tự hóa phép dự đoán hiệu quả, trình sáng tạo học sinh thường tìm tương tự với toán mà họ gặp trước Sau ta xét số toán mà việc dự đoán học sinh dựa tảng tương tự Ví dụ 4: Với hai số dương x y ta có: 1 1  (  ) x y x y (4) Đẳng thức xảy x =y Bất đẳng thức (4) có nhiều cách chứng minh đưa hai cách chứng minh phổ biến Cách Với hai số dương x y ta có: 2 ( x  y )   (x + y)  xy  1 1  (  ) x y x y Rõ ràng, đẳng thức xảy x = y Cách áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có x  y  xy, x y 1 1  2  x y x y xy Từ đó: ( x  y ) (  )   11 1 1  (  ) x y x y Và đẳng thức xảy x =y Cho số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có 1 1 1 1 1 1  (  );  (  );  (  ) ab a b bc b c ca c a Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được: Bài toán 4.1 Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1    (   ) ab bc ca a b c (4.1) Đẳng thức xảy a = b = c * Áp dụng (4.1) cho số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  b b  c c  a * Kết hợpj với (4.1) ta có Bài toán4.2 Với a, b, c số dương: 1 1 1    (   ) a  2b  c b  2c  a c  2a  b a b c (4.2) Đẳng thức xảy a = b = c Bài toán 4.3 Chứng minh với a, b, c dương: 1 1 1      a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có: 12 (4.3) 1    a  3b b  2c  a (a  3b)  (b  2c  a ) a  2b  c 1    b  3c c  2a  b (b  3c)  (c  2a  b) b  2c  a 1    c  3a a  2b  c (c  3a )  (a  2b  c) c  2a  b Cộng vế với vế bất đẳng thức rút gọn ta co bất đẳng thức (4.3) a  3b  b  2c  a Đẳng thức xảy khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Kết luận: “Tìm lời giải cho toán phát minh” (Polya) Sẽ thông minh ta biết vận dụng để sáng tạo tìm lời giải cho toán 2.2 Tập luyện cho học sinh tìm nhiều cách giải lời giải hay cho toán Tìm nhiều lời giải cho toán giúp cho học sinh có cách nhìn toàn diện, biết hệ thống hóa sử dụng kiến thức, kỹ phương pháp giải toán cách chắn, mềm dẻo linh hoạt Đó đặc trưng lực giải toán Tập hợp nhiều cách giải tìm cách giải tối ưu cho toán trình suy nghĩ đến cách giải Từ phát vấn đề mới, toán mới; Dễ dàng áp dụng vào thực tiễn, vào trường hợp riêng toán hay đến hướng giải tổng quát cho loại toán 13 Ví dụ 5: (USA MO 1998) Chứng minh với số dương a, b, c Để chứng minh BDT ta cần chứng minh a  b  aba  b  Việc chứng minh BDT (*) có nhiều cách chứng minh khác Sau ta xét số cách chứng minh BDT (*): Cách 1: (*)  a  b a  b 2  Cách 2: Vì vai trò a b toán bình đẳng nên không tính tổng quát ta giả sử: a  b  Khi (*)  a  b a  b  (Bất đẳng thức a  b  nên a b  a  b  ) Cách 3: (1)  a  2a b  ab  b  2ab  a b   aa  b 2  ba  b 2  Cách 4: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có a b  a a b  a  a  b3 ab  a b b  a  b3  b3 Cộng theo vế theo vế BDT ta có điều phải chứng minh Cách 5: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có a  ab  a ab  2a b 14 b  a b  b a b  2ab Cộng theo vế theo vé BDT ta có điều phải chứng minh Như vậy, từ toán GV định hướng cho HS tìm tòi, phát minh lời giải theo suy nghĩ cách tự nhiên em Không nên áp đặt hay biết vẻ đường cho HS, làm làm thui chột khả sáng tạo trẻ con.GV phải người biết gợi cho em sáng tạo Sau ta xét ví dụ khác phong phú cách tìm lời giải cho toán chứng minh BDT Ví dụ 6: (IMO 1961): Cho a, b, c độ dài ba cạnh S diện tích tam giác ABC Chứng minh với ΔABC ta có: Sau ta xét số định hướng việc tìm lời giải toán: Cách 1: Sử dụng công thức Hê – rông ta có: S= => BDT quy chứng minh BDT: ]; Hay Đây kết biết từ BDT: 15 Cách 2: Sử dụng công thức Heron BDT AM-GM Và C-S ta có: Cách 3: Sử dụng công thức lượng giác ta có: sử dụng kết khác là: ta có điều phải chứng minh Cách 4: Sử dụng BDT Mặt khác: Theo BDT C-S ta có: (vì ) Từ suy điều phải chứng minh Cách Xét 5: biểu thức nên BDT cần chứng minh Cách 6: Trước hết ta chứng minh BDT: 16 Thật vậy, theo BDT AM-GM ta có: Theo công thức Heron ta cần chứng minh BDT sau; 48 ta cần chứng minh BDT: Sử dụng BDT C-S ta có: Mặt khác theo BDT AM-GM Nhân vế theo vế hai BDT nói lấy bậc hai hai vế BDT thu ta có kết Bất đẳng thức nói số cách giải nữa, nhiên khuôn khổ tiểu luận trình bày số phép chứng minh Trong trình dạy học, GV nên cho học sinh tập luyện biến đổi đối tượng cách nhìn nhận khác để tìm lờ giải khác Qua kích thích học sinh tìm tòi mục đích cuối nhằm phát triển tư cho Hs đặc biệt tư sáng tạo 2.3 Phát sửa chữa số sai lầm giải toán BĐT Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học Toán trường phổ thông có lúc, có chỗ chưa tốt, biểu qua việc lực giải Toán học sinh hạn 17 chế học sinh mắc nhiều sai lầm Một nguyên nhân quan trọng giáo viên chưa ý cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa sai lầm cho học sinh học Toán G Pôlia phát biểu: “Con người phải biết học sai lầm thiếu sót mình” Điều quan trọng GV phải biết tạo pha dạy học , gài tình mà HS mắc sai lầm; từ để HS nhận sai lầm học tri thức từ sai lầm mắc phải Sau đây, xét số sai lầm học sinh thường mắc phải trình tư sáng tao chứng minh BDT Ví dụ Cho  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức f  x   x  x2 Rất nhiều em giải sau: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số ta có f  x  x  x  1  3 x.x  x x Dấu “=” xẩy x  Nhưng  x  nên f  x  giá trị nhỏ nhất! Đây có lẽ lỗi HS thường măc phải Để làm sáng tỏ điều mà HS vừa trình bày, GV yêu cầu HS lập bảng số giá trị đặc biệt khoảng (0;1/2), quan sát dự đoán Mục đích ta nhằm làm cho HS ý tới danh sách giá trị f  x  thiết lập tương ứng với giá trị x lựa chọn từ lớn đến nhỏ miền xác định Việc quan sát bảng phải gợi cho HS nhiều nhận xét Ở thầy giáo gợi ý tốt Nếu có khó khăn thầy giáo 18 khuấy động tranh luận cách thận trọng đưa lúc câu hỏi hợp lí Từ HS đến kết luận (dự đoán): f  x  đạt giá trị nhỏ x  Hiển nhiên điều khẳng định dựa bảng chứng minh Tuy nhiên bảng dùng làm sở để tin vào khẳng định định hướng cho việc chứng minh Quả vậy,  phải biến đổi biểu thức f  x  dạng f  x     x   x     g  x  x  cho áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số  x,  x, dấu đạt  x2 1 x  , g  x    x g  x    Từ nảy sinh hai hướng chứng minh x  Hướng f  x     x   x      x Trong trường hợp   Khi  x    x   x   x2     x   Từ ta đến lời giải  Hướng f  x     x   x      Trong trường hợp   Khi  x  x   x  x   x     x   Từ ta đến lời giải: 19  7 7.4  f  x   x  x     33     8x  8x 8x  Phương pháp gọi phương pháp chọn điểm rơi chứng minh BDT GV HS tham khảo phương pháp sách “Những viên kim cương bất đẳng thức” Trần Phương(Chủ biên) Ví dụ 8: Cho a, b hai số tự nhiên a + b = 2003, a  1002 Tìm giá trị lớn biểu thức A = ab (Cho học sinh lớp 10) Có nhiều học sinh giải toán sau: Do a, b  N tổng a + b không đổi nên áp dụng bất đẳng thức Cauchi cho số ta có: a  b ab      2 2003  a b  Vậy Max ab        Mà a +b = 2003 nên ab   Sai lầm học sinh chưa nắm đầy đủ cấu trúc định nghĩa giá trị lớn nhất: Nếu biêu thức A  a chưa khẳng định chắn giá trị lớn a mà phải xét thêm điều kiện dấu “=” xẩy Bên cạnh có học sinh giải sau: 2003  Sau chứng minh ab    họ xét điều kiện để dấu “=” xẩy  là: 20  a  b  a  1002    a  b  2003  a , b  N Hệ vô nghiệm nên kết luận không tồn giá trị lớn Học sinh thắc mắc sai lầm A  a giá trị lớn biểu thức A có a Mà A không a nên A giá trị lớn Nếu học sinh có thói quen dự đoán biết thử số trường hợp: Ta cho (a,b) cặp giá trị, chẳng hạn a tự tăng dần Cho a = b = 2003 ab = Cho a = b = 2002 ab = 2002 Cho a = b = 2001 ab = 4002 Cho a = 1002 b = 1001 Ta nhận thấy a lớn ab lớn Mặt khác, a lớn, b giảm hay a lớn b – a nhỏ Vì ta đoán rằng, b – a nhỏ ab lớn Đó điều dự đoán Do ta cần phải tiến hành bước chứng minh để khẳng định hay bác bỏ điều dự đoán Ta biểu diễn tích ab qua a + b (giả thiết) b – a (điều dự đoán) 21 Để xuất tích ab ta bình phương a + b b – a Khi đó: a  b2  b  a2 ab = Vì a + b = 2003 nên toán chuyển thành: Tìm giá trị lớn biểu thức ab = 20032  b  a2 với điều kiện ràng buộc toán Qua mò mẫm, dự đoán giúp cho học sinh giải toán cách hoàn chỉnh, có sở, điều mà nhiều học sinh không làm Ví dụ Cho x, y thỏa mãn x  y  xy  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ     x2 x2   y2 y2  S x2  y2  Tóm tắt lời giải HS: Sử dụng giả thiết x  y  xy  biến đổi ta có S    x x2 x2   y y  x  x2  y2   y2   2x2 y2  x2  y xy   y  x2  y x2  y  1  xy    x y  xy  xy  Đặt t  xy, toán trở thành Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f t   t  3t  t2 22 Rõ ràng lời giải học sinh quên việc tìm điều kiện t, HS khá, em dễ dàng phát  x  y  xy  xy Từ kết luận điều kiện t t  Ta lại thấy  x  y  xy   x  y   xy  3 xy Dẫn đến t   Tóm lại, toán mà HS cần hướng tới là: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f t    t  3t    , t   ;1 t 2   KẾT LUẬN Tư đặc biệt tư sáng tạo có tầm ảnh hưởng lớn đến trình phát triển tư Toán học cho học sinh Là giáo viên việc nghiên cứu lý luận dạy học khoa học giáo dục phương pháp toán quan trọng nên hiểu tâm lý trẻ em, biết em nghĩ gì, đầu chúng tồn thiếu để hoàn thiện phát triển trí tuệ cho trẻ Trên thân tìm hiểu mảng nhỏ tư nói chung tư sáng tạo gắn với toán chứng minh bất đẳng thức Qua việc nghiên cứu tài liệu thấy có nhiều thứ cần phải học tập để mong có hiệu giáo 23 dục cao Tuy nhiên nội tiểu luận này, nêu lên số vấn đề tư là: - Khái niệm đặc điểm tư duy; - Một số khái niệm liên quan đến tư sáng tạo; - Biết vận dụng đặc trưng tư sáng tạo để phát triển tư cho học sinh thông qua toán chứng minh Bất đẳng thức Cuốn tiểu luận tài liệu tham khảo cho giáo viên sinh viên chuyên ngành phương pháp dạy học toán Tuy nhiên, trình làm tiểu luận, thời gian hạn hẹp nội dung tiểu luận thiếu sót Rất mong nhận bảo góp ý từ quý thầy cô bạn đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang(2003), Sai lầm phổ biến giải toán, NXB Giáo Dục Phan Đức Chính (1997), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình(1981), Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 24 Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư qua việc giải tập toán, NXB Giáo dục Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB ĐHSP, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Pôlia G (1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội Trần Phương(2009), Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, NXB Tri thức, Hà Nội 10.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn(2006), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB ĐHQG Hà Nội 11.Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông(2006), Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội 12.Đào Tam, Lê Hiển Dương (2008), Tiếp cận phương pháp dạy học không truyền thống dạy học toán trường đại học trường phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội 13 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu(2010), Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thông, NXB ĐHSP Hà Nội 25 [...]... mảng rất nhỏ của tư duy nói chung là tư duy sáng tạo gắn với bài toán chứng minh bất đẳng thức Qua việc nghiên cứu tài liệu tôi thấy có rất nhiều thứ mình cần phải học tập để mong có hiệu quả giáo 23 dục cao nhất Tuy nhiên nội trong cuốn tiểu luận này, tôi cũng chỉ nêu lên được một số vấn đề về tư duy đó là: - Khái niệm và đặc điểm của tư duy; - Một số khái niệm liên quan đến tư duy sáng tạo; - Biết vận... các bất đẳng thức trên và rút gọn ta co bất đẳng thức (4.3) a  3b  b  2c  a Đẳng thức xảy ra khi: b  3c  c  2a  b  a  b  c c  3a  a  2b  c  Kết luận: “Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh (Polya) Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới 2.2 Tập luyện cho học sinh tìm ra nhiều cách giải và lời giải hay cho một bài. .. Bất đẳng thức nói trên còn một số cách giải nữa, tuy nhiên trong khuôn khổ cuốn tiểu luận này tôi chỉ trình bày một số phép chứng minh như trên Trong quá trình dạy học, GV nên cho học sinh tập luyện biến đổi đối tư ng về những cách nhìn nhận khác nhau để tìm ra được những lờ giải khác nhau Qua đó kích thích học sinh tìm tòi và mục đích cuối cùng là nhằm phát triển tư duy cho Hs đặc biệt là tư duy sáng. .. của bài toán hay đi đến hướng giải tổng quát cho từng loại bài toán 13 Ví dụ 5: (USA MO 1998) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c Để chứng minh BDT trên ta cần chứng minh a 3  b 3  aba  b  Việc chứng minh BDT (*) có nhiều cách chứng minh khác nhau Sau đây ta sẽ xét một số cách chứng minh BDT (*): Cách 1: (*)  a  b a  b 2  0 Cách 2: Vì vai trò của a và b trong bài toán bình đẳng. .. lầm phổ biến khi giải toán, NXB Giáo Dục 2 Phan Đức Chính (1997), Bất đẳng thức, NXB Giáo dục 3 Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình(1981), Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 24 4 Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXB Giáo dục 5 Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội, Hà Nội 6 Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn toán, NXB... duy sáng tạo; - Biết vận dụng những đặc trưng của tư duy sáng tạo để phát triển tư duy cho học sinh thông qua bài toán chứng minh Bất đẳng thức Cuốn tiểu luận có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên cũng như sinh viên chuyên ngành phương pháp dạy học toán Tuy nhiên, trong quá trình làm tiểu luận, thời gian cũng đang còn hạn hẹp do đó nội dung của bài tiểu luận không thể không có những thiếu sót Rất... chọn điểm rơi trong chứng minh BDT GV và HS có thể tham khảo phương pháp này trong cuốn sách “Những viên kim cương trong bất đẳng thức của Trần Phương(Chủ biên) Ví dụ 8: Cho a, b là hai số tự nhiên và a + b = 2003, a  1002 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (Cho học sinh lớp 10) Có nhiều học sinh giải bài toán như sau: Do a, b  N và tổng a + b không đổi nên áp dụng bất đẳng thức Cauchi cho... dụng công thức lượng giác ta có: và sử dụng một kết quả khác là: ta cũng có điều phải chứng minh Cách 4: Sử dụng BDT Mặt khác: Theo BDT C-S ta cũng có: (vì ) Từ đó suy ra điều phải chứng minh Cách Xét 5: biểu thức nên BDT cần chứng minh đúng Cách 6: Trước hết ta chứng minh BDT: 16 Thật vậy, theo BDT AM-GM ta có: Theo công thức Heron ta cần chứng minh BDT sau; 48 và như thế ta chỉ cần chứng minh BDT:... dạy học môn toán, NXB ĐHSP, Hà Nội 7 Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức, định lý và áp dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội 8 Pôlia G (1997), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục, Hà Nội 9 Trần Phương(2009), Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, NXB Tri thức, Hà Nội 10.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn(2006), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB ĐHQG Hà Nội 11.Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan,... 2 a n Đẳng thức xảy ra khi và n chỉ khi a1= a2= =an” Phép tư ng tự hóa là một phép dự đoán hết sức hiệu quả, trong quá trình sáng tạo học sinh thường tìm được một sự tư ng tự nào đó với những bài toán mà họ đã gặp trước đó Sau đây ta sẽ xét một số bài toán mà việc dự đoán học sinh dựa trên nền tảng là sự tư ng tự Ví dụ 4: Với hai số dương x và y ta có: 1 1 1 1  (  ) x y 4 x y (4) Đẳng thức xảy ... pháp chứng minh gián tiếp hay sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Phần II: RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO QUA BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Tập luyện cho học sinh lực dự đoán chứng minh. .. tài: “Rèn luyện tư sáng tạo dạy học giải tập chứng minh Bất đẳng thức chuyên đề Tư Toán học chò tiểu luận Nhân đây, cho xin bày tỏ biết ơn đến thầy giáo TS Nguyễn Văn Thuận nhiệt tình giảng dạy. .. đại học cao đẳng, kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Vì thông qua dạy học giải tập toán phần bất đẳng thức trường phổ thông ta rèn luyện cho học sinh khả tư sáng tạo