Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình chứa căn thức là một trong những bài toán thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia, cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi. Tài liệu này xoay quanh nội dung về các dạng và phương pháp giải các dạng phương trình chứa căn thức,trình bày chi tiết có bài tập minh họa và bài tập tự luyện để giúp các em nâng cao kiến thức, kỹ năng cũng như giúp các thầy cô có một tài liệu lên lớp theo hệ thống nhằm đạt được kết quả cao nhất
Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng : Phương trình Dạng 2: Phương trình A ≥ 0( B ≥ 0) A= B⇔ A = B B ≥ A=B⇔ Tổng quát: A = B 2k B ≥ A=B⇔ 2k A = B Dạng 3: Phương trình A ≥ +) A + B = C ⇔ B ≥ (chuyển dạng 2) A + B + AB = C 3 3 +) A + B = C ⇔ A + B + A.B ( ) A + B = C (1) ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C (2) Dạng 4: A = B ⇔ A = B3 ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 Chú ý: - Phương trình (2) phương trình hệ ph tr (1) - Phép bình phương vế phương trình mà điều kiện cho vế không âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Giải phương trình sau: 1) x2 − 4x + = x + 2) x − 2x + = − x 3) ( x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 7) 3x − 3x − = 16) x + + x + = x + 11 x −1 − x − = x − x + − − x = 2x − x + − − x = − 2x y − 14 − 12 − y = 18) x + 3x + + x + x + = x + x + 20) x2 + − x2 − = 10) 12) 13) 15) 11) 3x − x + = x − x + + x − = 5x x +1 + x + + x + = 14) x − − 3x − − x − = 17) 3x + x + 16 + x + x = x + x + 19) x +1 = x + − (20) x + + x + = x + x + Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , ta biến đổi phương trình dạng f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ x3 + (21) + x + = x2 − x + + x + x+3 Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ ta biến đổi PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : ∗ α A.B + β A.B + γ = , đặt t = A.B ⇒ A.B = t ∗ α f ( x) + β f ( x) + γ = , đặt t = f ( x) ⇒ f ( x) = t ∗ α ( x − a )( x − b) + β ( x − a ) x −b x −b + γ = đặt t = ( x − a ) ⇒ ( x − a)( x − b) = t x−a x−a Chú ý: ∗ Nếu điều kiện cho t, sau tìm x phải thử lại Bài Giải phương trình sau: 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 2) ( x − 3) + x − 22 = x − x + 3) x( x + 5) = 23 x + x − − 5) − (4 − x)(2 + x) = x − x − 12 4) x − x + = x − x + 6) (4 + x )(6 − x ) = x − x − 12 7) x + 10 x + = − x − x Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x)(3 − x) = x − x + + m b) − x + x + ( − x )( x + 1) = m − Bài Cho phương trình: − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x +1 Bài Cho phương trình: (x − 3)( x + 1) + 4(x − 3) (Đ3) =m x−3 a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? Dạng 2: Các phương trình có dạng: A± B± ( A± B ) +C = Đặt t= A± B Bài Giải phương trình sau: x − x2 = x + 1− x a) (QGHN-HVNH’00) + b) x + + x + = x + 2 x + x + - c) (AN’01) x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x x+4 + x−4 d) = x + x − 16 − e) x + x = 2x + g) (TN- KA, B ‘01) x + h) +4 2x (Đ36) = 2x + −7 2x x z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z x − + x − = x − + 3x − x + (KTQS‘01) + x + − x − (1 + x )( − x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? i) Bài Cho phương trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) Bài Cho phương trình: (ĐHSP Vinh 2000) a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: + x + − x − ( + x )( − x ) = a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vô nghiệm? Dạng 3: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn ) ( Từ phương trình tích ( 2x + − x )( )( x +1 −1 ) ) x +1 − x + = , 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ) ( 2 ví dụ sau Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: Đặt t = t = t = x − x + , ta có : t − ( + x ) t − + 3x = ⇔ Bài Giải phương trình : ( x + 1) x2 − 2x + = x2 + Giải: Đặt : t = Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + x − x + 3, t ≥ ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t = x − Từ phương trình đơn giản : ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ( ) Ta rút x = − t thay vào pt: 3t − + + x t + ( ) 1+ x −1 = Nhưng may mắn để giải phương trình theo t ( ∆ = + 1+ x ) − 48 ( ) x + − dạng bình phương Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : x = − ( − x ) + ( + x ) ( ) ( 1− x , thay vào pt (1) ta được: Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải 1+ x ) ( ) 2 Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 − x + 16 ( − x ) = x + 16 ( ) = α ( − x ) + ( + 2α ) x Ta đặt : t = − x ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = Ta phải tách x 2 − 8α cho ∆ t có dạng phương Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau 1) ( x − 1) x + = x + x + 2) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 3) x + x + 12 x + = 36 4) + x − 2x = 4x − − 2x + 5) 1+ x − = x + 1− x + 1− x2 6) sin x + sin x + sin x + cos x = x −1 1 8) − 1− −3 x − = x x x x+ y 3 x − x sin + cos( x + y ) = 13 + cos ( x + y ) 12 12 (9) 12 − + x − = x x x 7) 2x + Một số dạng khác ( 1) 9( x + 1) = ( 3x + ) − 3x + x − = x + 3x − ( 4) 10 x + = x − x + ) ) 2) x − x + = − 5) x4 + x2 +1 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 3) 6) 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 7) x + 10) x x −1 = 35 12 x x +1 −2 = (Đ141) x +1 x 3x 1− x + x 3x = − ⇔ = −1 8) 2 1− x 1− x 1− x 1− x 4x = 2x + 11) 1− + 2x ( ) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách u u Xét v ≠ phương trình trở thành : ÷ + α ÷+ β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vô tỉ theo dạng a) Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” ( ) Bài Giải phương trình : x + = x + Giải: Đặt u = x + 1, v = x − x + u = 2v Phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ u = v Bài Giải phương trình : x − x + = − x + x2 + 2 Tìm được: x = ± 37 Bài 3: giải phương trình sau : x + x − = x − Giải: Đk: x ≥ ( ) ( x − 1) ( x + x + 1) Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + = ( ) Đồng thức ta được: ( x − 1) + x + x + = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − 3x + ( x + 2) − 6x = Giải: Nhận xét : Đặt y = x + ta biến pt phương trình bậc x y : x = y x − 3x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = 2−2 b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : x + x − = Giải: x4 − x2 + u = x Ta đặt : phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − Bài 2.Giải phương trình sau : Giải Đk x ≥ (x x + x + x − = 3x + x + 1 Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) 1− u= v u = x + x 2 Ta đặt : ta có hệ : uv = u − v ⇔ v = x − 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 x − 14 x + − x − x − 20 = x + Bài giải phương trình : Giải: Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = ( (x − x − 20 ) ( x + 1) ) 2 Nhận xét : không tồn số α , β để : x − x + = α x − x − 20 + β ( x + 1) ta đặt u = x − x − 20 v = x + ( 2( x ) − x − 5) + ( x + ) = ( ) 2 Nhưng may mắn ta có : x − x − 20 ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) x − x − Ta viết lại phương trình: ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vô tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b + c + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , giải hệ ta được: 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = u = − x Giải : v = − x , ta có : w = − x 30 239 u= ⇔x= 60 120 Bài Giải phương trình sau : x − + x − x − = x + x + + x − x + a = b = Giải Ta đặt : c = d = 2x2 − x − 3x − 2x2 + 2x + a + b = c + d , ta có : 2 2 a − b = c − d ⇔ x = −2 x2 − x + Bài Giải phương trình sau 1) x2 + 5x + − x2 − x + = x − x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x3 + x2 ( − x ) 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Sử dụng đẳng thức u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = ax + b ± cx + d = ( a - c) x + ( b - d ) m A = B ⇔ ( A − B )( A + B ) = a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b 2 Bài Giải phương trình : Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔ x = −1 3 ) Bi Giải phương trình : x + + x = Giải: + x = , nghiệm + x ≠ , ta chia hai vế cho x: Bài Giải phương trình: Giải: dk : x ≥ −1 3 x + x2 + x x +1 x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ − 1÷ x x ( x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 −1 = ⇔ x = 4x =4 x Bài Giải phương trình : x + + x+3 pt ⇔ ( x + − 2x )( ) Giải: Đk: x ≥ ) x −1 = ⇔ x = 4x 4x 4x =2 ⇔ 1 − x + : 1+ ÷ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x + Chia hai vế cho Dùng đẳng thức Biến đổi phương trình dạng : Ak = B k ⇔ ( A − B )( AK −1 + AK −2 B + AK −3 B + + A.B K −2 + B K −1 ) Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x Giải: Đk: ≤ x ≤ pt đ cho tương đương : x + x + x − = 3 10 10 − ⇔x+ ⇔x= ÷ = 3 3 Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − Giải: Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : (1+ 3+ x ) x = x + + = 3x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + + = −3 x 18 Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Giải : pttt ⇔ ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 ĐS: x=1 Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : 1) 2) 4) 8) x + x + 15 = x + + x + − x2 + 7x + 5) = x (ĐHDL ( x + 1) + 3n ( x − 1) + 2n x − = (với n ∈ N; n ≥ 2) x+2 x + 10 x + 21 = x + + x + − n ĐĐ’01) 3) x2 − x − − x − + = x + ( x + 2)( x − 1) − x + = − ( x + 6)( x − 1) + x + 7) x − x − − ( x − 1) x + x − x = (1) 6) (HVKT QS - 2001) PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC (ĐHSPHN2’00) x( x − 1) + x ( x + 2) = x 2 x − 3x + + x − x + = x − 5x + x − 2002 x + 2001 + x − 2003x + 2002 = x − 2004 x + 2003 x( x − − x( x + 2) = x x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) x − 3x + + x − x + ≥ x − x + 8) (Đ8) x ( x − 1) + x ( x − 2) = x( x + 3) (BKHN- 2001) x + 3x + + x + x + = x + x + PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x − x + − x − 10 x + 50 = x + x −1 + x − x −1 = x+3 x + − x −1 + x + − x −1 = x + + 2x − + x − − 2x − = 2 x + x −1 − x − x −1 = (HVCNBC’01) x − 2x + = − x (Đ24) x + = x +1 + x − 4x − + x + 4x − = x + 15 − x − + x + − x − = PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1 Nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm b) Ví dụ x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Bài Giải phương trình sau : Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Ta nhận thấy : x − x + − x − x − = −2 ( x − ) v x − − x − x + = ( x − ) Ta trục thức vế : −2 x + x − x + + ( x − x + 1) = 3x − x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x=2 nghiệm phương trình Bài Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x + 12 + = x + x + Giải: Để phương trình có nghiệm : x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy : x=2 nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x + 12 − = x − + x + − ⇔ x2 − x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + + x+2 x +1 ⇔ ( x − 2) − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + + x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh : x + 12 + x2 + + Bài Giải phương trình : x − + x = x3 − Giải :Đk x ≥ Nhận thấy x=3 nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 + ( x − 3) ( x + x + ) = 3 x2 − x3 − + ( ) + x − + x+3 x+3 1+ = 1+ < < x + 3x + 2 Ta chứng minh : 3 x2 − x −1 +1 + ( ) + x2 − + x3 − + x+3 ( ) Vậy pt có nghiệm x=3 6.2 Đưa “hệ tạm “ a) Phương pháp Nếu phương trình vô tỉ có dạng A + B = C , mà : A − B = α C dây C hàng số ,có thể biểu thức x Ta giải sau : A + B = C A− B = C ⇒ A − B = α , đĩ ta có hệ: ⇒ A = C +α A− B A − B = α b) Ví dụ Bài Giải phương trình sau : x + x + + x − x + = x + Giải: ( ) ( ) 2 Ta thấy : x + x + − x − x + = ( x + ) x = −4 nghiệm Xét x ≠ −4 Trục thức ta có : 2x + 2x + x + − 2x − x + 2 = x + ⇒ x2 + x + − x2 − x + = x = x + x + − x − x + = 2 ⇒ 2x + x + = x + ⇔ Vậy ta có hệ: 2 x = x + x + + x − x + = x + Thử lại thỏa; phương trình có nghiệm : x=0 v x= x + x + + x − x + = 3x 2 Ta thấy : ( x + x + 1) − ( x − x + 1) = x + x , không thỏa mãn điều kiện Bài Giải phương trình : Ta chia hai vế cho x đặt t = toán trở nên đơn giản x Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : x + x + = ( x + 3) x + − 10 − x = x − (HSG Toàn Quốc 2002) ( − x) ( − x) = x+ ( − x ) ( 10 − x ) x − + 3x3 − = x − 2 x − 11x + 21 − 3 x − = (OLYMPIC 30/4-2007) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 2 x + 16 x + 18 + x − = x + x + 15 = x − + x + x2 + = x − + 2x − Giải phương trình sau: 10 1) x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 2) x( x − 1) − x( x + 2) = x 3) 2x + − 2x −1 = x 4) 21 + x + 21 − x 21 = x 21 + x − 21 − x 5) 7− x −3 x −5 = 6− x 7− x +3 x −5 6) x − 3x + + x − 4x + = x − 5x + 7) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + 8) x − x + − x − = x − x − − x − 3x + 9) x − 2003 x + 2002 + x − 2004 x + 2003 = x − 2005 x + 2004 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ Dùng đẳng thức : A = Từ đánh giá bình phương : A2 + B ≥ , phương trình dạng A2 + B = ⇔ B = Dùng bất đẳng thức A ≥ m dấu ỏ (1) B ≤ m Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức: (2) dạt x0 x0 nghiệm phương trình A = B Ta có : + x + − x ≤ Dấu x = và x=0 Vậy ta có phương trình: x +1 + − 2008 x + + 2008 x = ≥ , dấu x +1 + 1+ x x +1 A = f ( x ) A ≥ f ( x ) : A = B ⇔ B ≤ f ( x) B = f ( x ) Đôi số phương trình tạo từ ý tưởng : Nếu ta đoán trước nghiệm việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá Bài Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): Giải: Đk x ≥ 2 x = x+9 + x +1 + x + x + ÷ 1 ⇔x= x +1 2 + x÷ ≤ 2 Ta có : x +1 Dấu ⇔ 2 = x +1 2 + x = x+9 x +1 ( ) Bài Giải phương trình : 13 x − x + x + x = 16 Giải: Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có : x 13 − x + + x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ) = 256 ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) 11 ( Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16 − 10 x 2 ) 16 ≤ ÷ = 64 2 x= + x2 1− x = ⇔ Dấu ⇔ 10 x = 16 − 10 x x = − Bài giải phương trình: x 3` − x − x + 40 − 4 x + = Ta chứng minh : 4 x + ≤ x + 13 x − x − x + 40 ≥ ⇔ ( x − 3) Bài tập đề nghị Bài 1: Giải phương trình sau − 2x + 2x + + 2x − 2x x + 1− x + x − 1− x = + ( x + 3) ≥ x + 13 16 x + = x + x x 3` − 3x − x + 40 − 4 x + = − 2x + + 2x = + x + 64 − x3 = x − x + 28 1 − x2 + − = − x + ÷ x x 2x4 + = 4 + x4 + x4 − Bài 2: Giải phương trình sau: 1) x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 3) x − x + 15 2) = x − x + 18 x − x + 11 4) x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + x − x + 3,5 = 5) (x − x + 2)( x − x + 5) 6) x − x + 12 = − x − 12 x + 13 7) x2 − 2x + + x − = 2( − x + x ) = − x + x 8) − x + + x = − 2x + 2x + + 2x − 2x 9) 10) x − x + = x − x + + 3x − x x − + − x = x − x + 11 11) (Đ11) x − + 10 − x = x − 12 x + 52 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ Dạng 1: Đưa hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại Đặt u = α ( x ) , v = β ( x ) tìm mối quan hệ α ( x ) β ( x ) từ tìm hệ theo u,v ( ) 3 Bài Giải phương trình: x 25 − x x + 25 − x = 30 Đặt y = 35 − x3 ⇒ x + y = 35 xy ( x + y ) = 30 , giải hệ ta tìm 3 x + y = 35 ( x; y ) = (2;3) = (3;2) Tức nghiệm phương trình x ∈ {2;3} −1 − x + x = Bài Giải phương trình: Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: 12 Điều kiện: ≤ x ≤ − − − x = u ⇒0≤u≤ Đặt x = v − 1,0 ≤ v ≤ −1 u = −v u + v = ⇔ Ta đưa hệ phương trình sau: u + v = − − v + v = − ÷ Giải phương trình thứ 2: (v + 1) − v + ÷ = , từ tìm v thay vào tìm nghiệm 2 2 phương trình Bài Giải phương trình sau: x + + x − = Điều kiện: x ≥ Đặt a = x − 1, b = + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) ta đưa hệ phương trình sau: a + b = → (a + b)(a − b + 1) = ⇒ a − b + = ⇒ a = b − b − a = 11 − 17 Vậy x − + = + x − ⇔ x − = − x ⇒ x = − 2x + 2x + = Bài Giải phương trình: 5− x 5+ x Giải Điều kiện: −5 < x < ( ) Đặt u = − x , v = − y < u , v < 10 (u + v )2 = 10 + 2uv u + v = 10 Khi ta hệ phương trình: 4 2 8⇔ − − + 2(u + z ) = (u + v ) 1 − ÷ = u v uv Bài tập đề nghị : Giải phương trình sau 1) − x = − x − (ĐHTCKTHN - 2001) 2) − x + x2 − + x − x2 = 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) x + x +1 − x + x = − x + x −1 = x − 3x + + x − 3x + = 3 x + 34 − x − = (Đ12) x + 97 − x = 14 + x + 12 − x = 10) x + 17 − x + x 17 − x = 1 + =2 − x2 x 11) 12) (ĐHDL HP’01) 13) 14) 15) 16) 1+ x + 1− x = 65 x2 + = x2 − +1 1 +x +3 −x =1 2 + tgx + − tgx = 3 24 + x + 12 − x = ( 34 − x ) x + − ( x + 1) 34 − x = 30 17) 34 − x − x + ( x + 8) + ( x − 8) + x − 64 = 18) + − x2 19) 13 [ (1 − x ) 3 − (1 + x ) ]=2+ − x2 + x + x2 + − x − x2 = 20) 21) 3 ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + x − = ( − x ) + ( + x ) − ( − x )( + x ) = 3 27) 2001) 28) 2001) 29) 22) 2x + x + + + 2x − x + = x + + 23) sin x + cos x = 24) sin x + − sin x + sin x − sin x = 25) 26) 30) 31) 32) 33) 34) 1 − cos x + + cos 2x = 2 17 + x − 17 − x = (DL Hùng vương- x −1 +1 = − x (CĐ mẫu giáo TW1- x + x − + x + 8x − = x2 + x + − x2 − x + = (Đ142) x 35 − x x + 35 − x = 30 ( ) 3x + 5x + − 3x + 5x + = 2 x + 5x + − 2 x + x − = 47 − x + 35 + x = 10 + sin x − cos x − = Dạng 2: Đưa phương trình cho hệ đối xứng loại hai Ta tìm nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa hệ đối xứng loại II ( x + 1) = y + Ta xét hệ phương trình đối xứng loại II sau : ( y + 1) = x + đơn giản Bây giời ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f ( x ) (1) (2) việc giải hệ cho (2) , y = x + − , ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + − 1) + ⇔ x + x = x + 2 Vậy để giải phương trình : x + x = x + ta đặt lại đưa hệ ( α x + β ) = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc : , ta xây dựng α y + β = ax + b ( ) phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , ta có phương trình : a β ( α x + β ) = ax + b + b − α α a β n Tương tự cho bậc cao : ( α x + β ) = n ax + b + b − α α Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết dạng : (αx + β ) n = p n a ' x + b ' + γ v đặt α y + β = n ax + b để đưa hệ , ý dấu α ??? Việc chọn α ; β thông thường cần viết dạng : ( α x + β ) = p n a ' x + b ' + γ n chọn Bài Điều kiện: x ≥ Giải phương trình: x − x = 2 x − 1 Ta có phương trình viết lại là: ( x − 1) − = 2 x − x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau: y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Kết luận: Nghiệm phương trình {1 − 2; + 3} 14 Bài Giải phương trình: x − x − = x + Giải Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau: (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇒ y = − x → x = − Bài tập đề nghị : Giải phương trình sau 1) x + = 23 x − 2) x + = 33 3x − 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4) x − = x + 5) − x + = − x 6) x + − x = 7) − + x = x 4x + , x > (ĐHAN-D) 9) − + x = x 10) x − = ( x − 3) + 28 11) x + + x = 12) x − 33 3x + = 13) x + + x = 14) 8) 7x + 7x = 3+ 3+ x = x PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM Các bước: Tìm tập xác định phương trình Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) biểu thức Tính đạo hàm f(x), dựa vào tính đồng biến(nbiến) hàm số để kết luận nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình sau: x + + x + + x + = (1) Giải: Tập xác định: D = R Đặt f(x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + ( x + 2) + 3 > 0; ∀x ≠ − ,−1,− 2 (2 x + 3) 1 2 3 ,−1 ∪ − 1,− ∪ − ,+∞ 2 Suy hàm số f(x) đồng biến tập M= − ∞,− ∪ − Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 nghiệm (1) Ta có: f ( − ) = 3; f (− ) = −3 Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): x f’(x) -∞ − -1 15 − +∞ F(x) +∞ -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = ⇔ x = -1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) ( Từ 2, ta có tập ( ( x + 1) 2000 + ( x + 1) + 1999 3) x + + x + 19 = ) 2 2) ( x + 1) + ( x + 1) + + 3x + x + = x + + x + = 2x + + 2x ) + x(2000 + ) x + 1999 = 4) y + + y + 19 5) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ) ( m 1+ x2 − 1− x2 + = 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 6) (ĐH.A’08) Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x + (1 − x ) = x − x (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với ≤ t ≤ π (A) Khi phương trình (1) trở thành: cos t + (1 − cos t ) = cos t 2(1 − cos t ) (3) Với ∈ t (A), ta (3) ⇔ cos t + sin t = cos t sin t ⇔ ( cos t + sin t )(1 − sin t cos t ) = cos t sin t ( 4) Đặt X = cost + sint (5), X ≤ (B)⇒ X2 = + 2sint.cost ⇒ sint.cost = X −1 Phương trình (4) trở thành phương trình ẩn X: X −1 X −1 X 1 − = ⇔ X − X = X −1 ⇔ X + X − 3X − = ( ) ( ) X = ⇔ X − X + 2X +1 = ⇔ ⇔ X + 2 X + = ( )( ) 16 X = X = − −1 X = − + có: Ta thấy có nghiệm X = X = - + thoả mãn điều kiện (B) + Với X = , thay vào (5) ta được: π π π π π sin t + cos t = ⇔ sin t + = ⇔ sin t + = ⇔ t + = + k 2π ⇔ t = + k 2π , k ∈ Z 4 4 4 Vì t ∈ (A) nên ta có t = + Với X = - π π Thay vào (*) ta được: x = cos = (thoả mãn tập xác định D) 4 + 1, thay vào (5) ta được: π π − +1 sin t + cos t = − + (**) ⇔ sin t + = − + ⇔ sin t + = 4 4 Khi đó, ta có: 2 − + 1 π π = ± 1− − 2 = ± 2 −1 cos t + = ± − sin t + = ± − 4 2 ⇒ 2 −1 π cos t + = ± 4 ⇔ cos t cos π π 2 −1 ( cos t − sin t ) = ± 2 − ⇔ cos t − sin t = ± 2 − 1(6) − sin t.sin = ± ⇔ 4 2 Từ (**) (6) suy cost = − +1± 2 −1 − +1± 2 −1 Thay vào (5), ta x = 2 Nhưng có nghiệm x = − + − 2 − thoả mãn tập xác định D Vậy, phương trình cho có hai nghiệm x = Bài tập tương tự 3) + − x2 x = − + − 2 − 2 1) x − x = − x (HVQHQT- 2001) + 2x − x = − 2x 2 [ (1 − x ) − (1 + x ) 2) x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) 4) ]=2 + − x2 Một số tập tham khảo: A Giải phương trình sau: x−2 = x−4 1) + x = − x + 8) 2x − 2) 25 − x = x − 9) 3x + − x + = 15) − x − − x = − − x 16) 5x − − 3x − − x − = 3) + 2x − x = x − 10) 11 − x − x − = 17) 1− x4 − x2 = x −1 4) x −1 = x2 −1 11) + x − = − 16 − x 18) − x − = 13 − x 17 6) x − 2x + = − x 13) x + − x + 14 = x − 20) 12 − x + + x = 7) x + x − = x − 14) − x + x + − x = − x 21) x − + x − = x − B Giải phương trình sau: 1) x − = x − x + 12 + x 9) x + ( x + 1)(2 − x) = + x 2) ( x + 5)(2 − x) = x + x 10) 3) x − x − x + = x + 11) (4 x − 1) x + = 2( x + x ) + 4) ( x + 1)( x + 4) − x + x + = 12) x + x + = ( x + 3) x + 5) x + + − x = + ( x + 3)(6 − x) 6) + x − x = 3( x + − x ) 7) x + x + + x + x + = x + x + 13 13) 2( x − 1) x + = x + x − 14) x − 3x + + x + x + = x + + x + + 16 = x + 2 x + x + 15) x + + x + x + x + = x + 3x + 19 C Giải phương trình sau: (ẩn phụ → hệ) 1) x +3 = x −3 2) − x2 + x + + x2 + x = 3) x + + 10 − x = 4) 3x − x + 15 + x − x + = D Giải phương trình sau (Đánh giá) 1) x − x + + x − = 3) x − + − x = x − x + 18 2) − x + 23 − x = 4) x + x + − x + − x = E Tìm m để phương trình có nghiệm 1) x − + − x − ( x − 1)(3 − x) = m 2) x + + − x = a 4) ( x + 2)(4 − x ) + x = x − m F Tìm m để phương trình có nghiệm 1) − x + x + = m 4) x + − x = m 2) x + − x = m 5) − x + 23 − x = m 3) x − + x − + − x + − x = m 6) x + x + − x + − x = m G Giải phương trình, hệ phương trình: a) − x + x − = x − 12 x + 38 b) − x + x − = x − 12 x + 14 c) x + x + 2004 = 2004 x + + y = x + + y = 2x 1 d) e) f) + + =2 x + y = 1+ x 2x x + y + = II XÂY DỰNG BÀI TOÁN TỪ TÍNH CHẤT CỰC TRỊ HÌNH HỌC 11.1 Dùng tọa độ véc tơ r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho véc tơ: u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x2 ; y2 ) ta có 18 r r r r u+v ≤ u + v ⇔ ( x1 + x2 ) + ( y1 + y2 ) ≤ x12 + y12 + x22 + y22 r r Dấu xẩy hai véc tơ u , v hướng ⇔ dương x1 y1 = = k ≥ , ý tỉ số phải x2 y2 rr r r r r r u.v = u v cos α ≤ u v , dấu xẩy cos α = ⇔ u ↑↑ v 11.2 Sử dụng tính chất đặc biệt tam giác Nếu tam giác ABC tam giác , với điểm M mặt phẳng tam giác, ta có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC với O tâm đường tròn Dấu xẩy M ≡ O Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ điểm M nhìn cạnh AB,BC,AC góc 1200 Bài tập: giải phương trình, hệ phương trình sau: 1) 2x2 − 2x + + 2x2 − ( ) − x + + 2x2 + ( ) +1 x +1 = 2) x − x + − x − 10 x + 50 = 3) 5( x + yz ) + 6( y + xz ) + 5( z + xy ) = 4( x + y + z ) 4) x + y + x − y + x + = 6( x + 1) + x1 + + x2 + + x3 + + + x100 = 100 + 100 5) − x + − x + − x + + − x = 100 − 1 100 100 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC: I/ Dạng 1: Giải phương trình 1/ (Dự bị khối D 2006) : x + − x = x − + −x2 + 8x − + , x ∈ R 2/ (Dự bị khối B 2006) : 3x − + x − = 4x − + 3x2 − 5x + , x ∈ R 3/ (Dự bị khối B 2005) : 3x − − − x = 2x − 4/ ( ĐH KD-2005) x + + x + − x + = ; 5/ ( ĐH KD-2006) : ( )( 2x − + x − 3x + = , x ∈ R ) 8/ 10x − − x + = ; 7/ 2x2 + 3x + + 2x2 − 3x + = 3x 9/ 3x + − x − = 10/ 2x − + x + = 2x + ; 11/ 6/ 1+ x +1 + x + 2x − = x ; 1 x +1 x2 − = x + 1÷ 2 x −1 12/ + 2x − x + 2x2 = II/ Dạng 2: Giải bất phương trình 1/ (Dự bị khối B 2005) : 8x2 − 6x + − 4x + ≤ ; 2/ (Dự bị khối D 2005) : 2x + − − x ≥ 3x − ; 19 ( 3/ ( ĐH KD - 02) x − 3x ) 2x − 3x − ≥ ; 4/ ( ĐH KA-05) 5x − − x − > 2x − ; 5/ ( ĐH KA-04) ( x − 16 x −3 6/ ( ĐH KA-2010): )+ x −3 > x− x − 2(x − x + 1) 7−x ; x −3 ≥1 III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm Thông thường dạng ta sử dụng phương pháp sau: * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến hàm số * PP2: Sử dụng tương giao đồ thị hàm số 1/ (Dự bị khối B 2007) : Tìm m để phương trình: x2 + − x = m có nghiệm 2/ (Dự bị khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : m x2 − 2x + + 1÷+ x(2 − x) ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 + 3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình x − + m x + = 24 x − có nghiệm thực 4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị m, phương trình x + 2x − = m(x − 2) có nghiệm thực phân biệt 5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 2x + 2x + 24 − x + − x = m , ( m∈R) có hai nghiệm thực phân biệt 6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có nghiệm : x5 − x2 − 2x − = 7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm : m + x2 − − x2 + ÷= − x4 + + x2 − − x 8/ ( ĐH KB-2006): Tìm m để pt: x + mx + = 2x + có nghiệm thực phân biệt 20 [...]... 2004 x + 2003 = 2 x 2 − 2005 x + 2004 7 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ 1 Dùng hằng đẳng thức : A = 0 Từ những đánh giá bình phương : A2 + B 2 ≥ 0 , phương trình dạng A2 + B 2 = 0 ⇔ B = 0 2 Dùng bất đẳng thức A ≥ m nếu dấu bằng ỏ (1) và B ≤ m Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: (2) cùng dạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A = B Ta có : 1 + x + 1 − x ≤... là nghiệm của phương trình là x ∈ {2;3} 1 2 −1 − x + 4 x = 4 Bài 2 Giải phương trình: 2 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 12 Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 − 1 2 − 1 − x = u ⇒0≤u≤ Đặt 4 x = v 2 − 1,0 ≤ v ≤ 4 2 −1 1 u = 4 −v 1 2 u + v = 4 2 ⇔ Ta đưa về hệ phương trình sau: 2 u 2 + v 4 = 2 − 1 1 − v + v 4 = 2 − 1 ÷ 4 2 2 1 Giải phương trình thứ 2: (v + 1)... = 2 x − 1 thì ta đưa về hệ sau: 2 y − 2 y = 2( x − 1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x − y )( x + y ) = 0 Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x = 2 + 2 Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 − 2; 1 + 3} 14 Bài 2 Giải phương trình: 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Giải Điều kiện x ≥ − 5 4 Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2 − 12 x − 2 = 2 4 x + 5 ⇔ (2 x − 3) 2 = 2 4 x + 5 + 11... − 33 3x + 2 = 2 13) x 2 + 1 + x = 1 14) 8) 7x 2 + 7x = 3+ 3+ x = x 9 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 1 Các bước: Tìm tập xác định của phương trình Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình 2 Ví dụ Giải phương trình sau: 3 2 x + 1 + 3 2 x + 2 + 3 2 x + 3 = 0 (1) Giải: Tập xác định:... Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II ( x + 1) 2 = y + 2 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : 2 ( y + 1) = x + 2 đơn giản Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y = f ( x ) (1) (2) việc giải hệ này thì sao cho (2) luôn đúng , y = x + 2 − 1 , khi đó ta có phương. .. thay vào tìm nghiệm của 2 2 2 phương trình Bài 3 Giải phương trình sau: x + 5 + x − 1 = 6 Điều kiện: x ≥ 1 Đặt a = x − 1, b = 5 + x − 1(a ≥ 0, b ≥ 0) thì ta đưa về hệ phương trình sau: a 2 + b = 5 → (a + b)(a − b + 1) = 0 ⇒ a − b + 1 = 0 ⇒ a = b − 1 2 b − a = 5 11 − 17 Vậy x − 1 + 1 = 5 + x − 1 ⇔ x − 1 = 5 − x ⇒ x = 2 6 − 2x 6 + 2x 8 + = Bài 4 Giải phương trình: 5− x 5+ x 3 Giải Điều kiện:... thực 4/ ( ĐH KB-2007) CMR với giá trị của mọi m, phương trình x 2 + 2x − 8 = m(x − 2) có 2 nghiệm thực phân biệt 5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 4 2x + 2x + 24 6 − x + 2 6 − x = m , ( m∈R) có đúng hai nghiệm thực phân biệt 6/ (Khối D-2004): CMR: phương trình sau có đúng một nghiệm : x5 − x2 − 2x − 1 = 0 7/ ( ĐH KB-2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm : m 1 + x2 − 1 − x2 + 2... 1− x4 + 1+ x2 − 1− x2 6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2 x + 2 x + 24 6 − x + 2 6 − x = m 10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ Ví dụ Giải phương trình sau: x 3 + (1 − x 2 ) 3 = x 2 − 2 x 2 (1) Giải: Tập xác định: D = [-1; 1] (2) Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤ π (A) Khi đó phương trình (1) trở thành: cos 3 t + (1 − cos 2 t ) 3 = cos t 2(1... sử dụng một trong các phương pháp sau: * PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghịch biến của hàm số * PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thị hàm số 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) : Tìm m để phương trình: 4 x2 + 1 − x = m có nghiệm 2/ (Dự bị 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương trình : m x2 − 2x + 2 + 1÷+ x(2 − x) ≤ 0 có nghiệm x ∈ 0;1 + 3 3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình 3 x − 1 + m x +... , y = x + 2 − 1 , khi đó ta có phương trình : ( x + 1) = ( x + 2 − 1) + 1 ⇔ x 2 + 2 x = x + 2 2 Vậy để giải phương trình : x 2 + 2 x = x + 2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ ( α x + β ) 2 = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được 2 α y + β = ax + b ( ) phương trình dạng sau : đặt α y + β = ax + b , khi đó ta có phương trình : a β 2 ( α x + β ) = ax + b +