Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp Ép tích từ khi được viết thành 1 phương pháp hoàn chỉnh đã khiến cho nhiều thầy cô giáo và học sinh cảm thấy sự hiệu quả rõ rệt trong bài toán giải PT, BPT, HPT vô tỉ. Nói nôm na đó là pp phân tích PT vô tỷ thành nhân tử (ép thành tích). Nhưng cũng vì thế nên nhiều người vẫn còn khó hiểu và áp dụng pp này dù đã xem nhiều cao nhân biểu diễn. Chính vì vậy VNC Team xin tiết lộ một vài phần của bí mật Ép tích mà các bạn vẫn trăn trở để các bạn nghiên cứu và phát triển nó, vì đây là một phương pháp rất hay và rộng. Lưu ý: Tài liệu của Team chúng tôi share hoàn toàn miễn phí, do đó để không bị mất phí do người khác đăng lại, các bạn hãy theo dõi Web của chúng tôi để đón xem những tài liệu mới sớm nhất: vietnamcasioerteam.blogspot.com Xin cảm ơn
V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn CÁC KỸ THUẬT CẦN NẮM Đây kỹ thuật, phương pháp mà bạn cần nắm trước theo dõi tập: Kỹ thuật 1: Tối ưu hóa Solve Hiểu đơn giản cách tìm nghiệm PT Solve cho tối ưu (không sót nghiệm) Kinh nghiệm Solve tích lũy dần qua luyện tập, ra, bạn xem phần đầu sách CASIO công phá Toán để biết vài điều bản: http://vietnamcasioerteam.blogspot.com/2015/12/cuon-sach-hot-nhat-cua-toi.html Kỹ thuật 2: Kiểm tra bội nghiệm Nghiệm x x0 gọi nghiệm bội k (hoặc nghiệm kép k ) PT f ( x) ta phân tích f ( x) ( x x0 )k g ( x) Khi để kiểm tra xem nghiệm f ( x) 0 k 1 xlim x0 ( x x0 ) bội ta áp dụng Đặc biệt f ( x) đa thức đơn giản f ( x ) lim 0 x x0 ( x x0 ) k f ( x) ( x x0 ) k k 1 f ( x) ( x x0 ) (i ) f ( x ) i 0, k Về mặt đạo hàm ta có (i ) , nên để kiểm tra nghiệm kép, ta có f ( x ) i k d 0 dx ( f ( X )) x x0 thể kiểm tra điều kiện có thỏa hay không, d d ( f ( X )) ( f ( X )) 0 dx dx x x0 0,1 x x0 0,1 dùng TABLE để đánh giá bấm theo cách đạo hàm bị lỗi “Time Out” vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Còn nghiệm bội PT f ( x) , theo tính chất nghiệm kép PT f '( x) , nên ta đạo hàm tay f '( x) kiểm tra nghiệm kép Kỹ thuật 3: Sử dụng TABLE xét biến thiên TABLE dùng để đánh giá biến thiên f ( x) để dò khoảng chứa nghiệm PT (may mắn dò nghiệm đúng), định hướng sử dụng phương pháp đánh giá Ngoài ra, dùng TABLE để đánh giá nghiệm kép, ta vào việc f (a) f (b) với a, b giá trị gần nằm bên nghiệm x0 (trong lân cận x0 ) để biết x0 có nghiệm kép hay không Kỹ thuật 4: Sử dụng TABLE tìm nhân tử Bản chất công việc quét giá trị vài hệ số chưa biết nhân tử để dò hệ số lại nó, dựa vào hệ số hữu tỉ, nhân tử có chứa nghiệm vô tỉ x0 A (là nghiệm Solve được) Ví dụ nhân tử cần truy có dạng ax b c g ( x) , ta có c g ( A) aA b nên TABLE ta nhập f ( X ) g ( A) XA cho X nguyên chạy khoảng định (thường [ 14;14] ) xem có giá trị f ( X ) hữu tỉ hay không Nếu không có, nâng hệ số lên thành f ( X ) g ( A) XA tiếp tục dò Cứ đến tìm Thông thường nâng đến c tối đa rồi, không nên dừng Dạng a b g ( x) c h( x) hoàn toàn tương tự, ta nhập f ( X ) g ( A) X h( A) b d c g ( x) nên Đối với nhân tử dạng ax bx c d g ( x) , lí x x a a a ta nhập f ( X ) g ( A) XA A2 dò giá trị f ( X ) hữu tỉ Một lần dò chưa nâng hệ số lên tiếp tục Lưu ý, với kiểu nhân tử ta phải thay đổi hệ vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn số số âm đảm bảo, nghĩa không đoạn [1; 5] mà đoạn [ 5; 1] Thực tùy thuộc vào hệ số PT ban đầu to hay nhỏ Còn với dạng ax b c g ( x) d h( x) , ý tưởng tương tự trên: nhập f ( X ) g ( A) X h( A) A , thay đổi hệ số g ( A) đoạn [1; 5] [ 5; 1] Kỹ thuật 5: Chia biểu thức vô tỉ CASIO Đây nghệ thuật! Có nhiều tài liệu viết cách khác để chia biểu thức từ biến đến biến mà bạn tìm đọc, tựu chung phải thay giá trị biến phù hợp với phân tích, đánh giá kết thu Thành viên Đỗ Hoàng Việt VNC Team (facebook.com/viet.kynl.771) sáng tạo cách chia mới, sử dụng MODE số phức Phương pháp khắc phục số khó khăn gặp pải thay giá trị biến, giá trị bị giới hạn điều kiện Phương pháp nói kỹ tài liệu riêng Team Kỹ thuật 6: Phân tích đa thức biến thành nhân tử Đây kỹ thuật thông dụng, không sử dụng CASIO mà không biết, nên bạn dễ dàng search Google chưa biết! Kỹ thuật 7: Phương pháp ép tích Hiểu nôm na tập hợp cách thức để phân tích PT vô tỉ thành nhân tử, có nhiều cách khác Trong tập phía bạn biết vài cách đơn giản Ngoài ra, bạn tham khảo “Phương pháp ép tích” tác giả phương pháp (Phạm Quốc Đông) để nắm rõ chất phương pháp vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn BÀI I x2 x x x ĐK: x Solve thấy có nghiệm: X 2,618033989 A (lưu vào A) Start 14 Sử dụng TABLE với f ( X ) A XA End 14 ta dò giá trị nguyên, tìm Step f (1) 2 A A 2 hay x ( x 2) biểu thức liên hợp chứa nghiệm A Tương tự, với x , ta sửa f ( X ) A XA , biểu thức liên hợp x ( x 1) Ngoài ra, với f ( X ) A X A ta tìm nhân tử Cách Liên hợp trực tiếp PT x 3x ( x 2) x ( x 1) x x 3x x 3x x 3x 0 x x x 1 x 1 x x 1 1 0 x x x x Xét ĐK dễ thấy x x 1 1 0 x x x 1 x Cách Ép tích trực tiếp chia vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m Ta chia RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x x x2 x g ( x) để tìm nhân tử lại g(x) x x 1 Vì PT cho có bậc 2, mà nhân tử chia có bậc , nên g(x) có bậc , 2 dạng g(x), (a1x b1 ) x (a2 x b2 ) x a x(3 x) bx c , nhỏ Vì vậy, phép chia táo bạo, biết dạng, việc chia dễ chia mò Ở ta có x [0; 3] , gán X vào g(X) ta g (0) , mà g (0) theo 2 1 dạng b1 c , suy b1 c Tiếp theo, ta tính g (3) , đối 2 chiếu với g (3) (3a2 b2 ) 3b ta b , đến ta thu b a 2 1 g ( x) a1 x x a2 x 3a2 x a x(3 x) 2 2 Lần lượt cho nốt X , X ta g (1) 3 , g (2) , ứng với 2 1 3 2a2 a1 a 2a1 a a2 , a a1 a2 2 2 Vậy: PT x x 1 x x x x x(3 x) 2 2 2 x x ( x 1) x x x x(3 x) 1 Cách Đặt ẩn phụ Đặt x t x t PT: t t t t ( t ) vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Lúc ta có nghiệm t x A 1,618033989 B Tìm biểu thức liên hợp căn, vào TABLE cho f ( X ) B XB , ta thu f (1) 1 B B 1 (t 1) t biểu thức cần tìm Do đó, ta biến đổi: t t 2t t t t t 1 t t 1 t t () Cách nhỏ 3.1 Liên hợp gián tiếp () t t 1 t t 1 2 t t 1 t t 1 t t t 1 t2 Rõ ràng t t 0 t 1 t2 t 1 t 0 t 2; Cách nhỏ 3.2 Ép tích gián tiếp t t t t t t 1 t t () t t 1 t t t 1 x x 1 x 1 x Dễ thấy x x Nếu đặt t2 x x 2 x x x (2; 3] x t việc biến đổi hoàn toàn tương tự, vai trò ngang Cách nhỏ 3.3 Bình phương gián tiếp, triệt vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn PT t t t t t t 1 t t t 4t 3t 1 Solve PT t t t 4t 3t ta nghiệm t 1,476282537 2; , nghiệm không thỏa mãn PT t t t t , nguyên điều kiện t ban đầu ta đặt chưa (vì suy trực tiếp qua phép đặt dễ thấy điều t t t phải t x t ), Vì điều kiện PT ẩn t t0 t với t nghiệm dương số nghiệm PT t t t (nghiệm xấu!) Ta lợi dụng nghiệm t vào việc chứng minh đa thức bậc (gọi f(t)) t t t 4t 3t vô nghiệm sau: ta chia có dư CASIO Gán t4 t2 t t 100 vào phép chia ta 10101,01, phần nguyên 10101 t t , sửa t t t 4t 3t t t 1 t t t , biểu thức hình thành t t t 2 f (t ) t3 1 bấm ta 1000001 t , vậy: , nghĩa t t 1 t t t 2 t t t 2 ta có phân tích sau: t t t 4t 3t t t 1 t t t t Vì t04 t02 t0 nên f (t0 ) t03 , mặt khác t0 nên f (t0 ) , PT bậc f (t ) vô nghiệm Vậy ta trình bày nào? Ta viết sau: Đặt PT trở thành t t t t ( t ), mặt khác ta phải có g (t ) t t t Và g t0 g nên PT t t t có nghiệm 2; vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m Lại có: với {t1, t2} RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 2; t1 t2 , ta thấy: g (t1 ) g (t2 ) t14 t24 t12 t22 (t1 t2 ) (t1 t2 ) (t1 t2 ) t12 t22 1 1 , g (t1 ) g (t2 ) g (t ) đồng biến t 2; Vậy g (t ) g (t0 ) t t0 , nên điều kiện xác t t0 t Ta có: f (t ) t t t 4t 3t t t 1 g (t ) t nên f (t ) đồng biến (vì hàm t t , g (t ) , t đồng biến t t0 ; ), với t t0 ta có f (t ) f (t0 ) t03 Suy PT f (t ) vô nghiệm Xong! Cách Bình phương trực tiếp Cách nhỏ 4.1 Bình phương lần, dồn PT x x x(3 x) x x 3x x x(3 x) () Vì x(3 x) x A x(3 x) 1 nhân tử PT Do ta liên hợp, ép tích trực tiếp dễ dàng PT ban đầu: PT x x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 1 x x x x 1 x x x x x x 2 Dễ thấy x x 1 x x x (2; 3] Cách nhỏ 4.2 Bình phương triệt để vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn () x x3 3x x x(3 x) x x3 3x x 1 x(3 x) x 3x 1 x6 x5 x 3x3 10 x x 1 Việc chứng minh x6 x5 x 3x3 10 x x vô nghiệm giống hệt Cách nhỏ 3.3, PT cách hệ PT qua việc đặt ẩn mà Solve ta thấy PT có nghiệm (2; 3] x 2,17940999397953 , cách chứng minh tương tự Sau bình ta có thêm ĐK x x3 3x x , tìm ĐK xem dễ Cách nhỏ 3.3 ta phân tích được: x x x x , suy ĐK hoàn chỉnh là: 1 x3 Mặt khác: f ( x) x x 1 x x3 3x x 1 x x ( f ( x) đa thức 1 ; ta có bậc xử lí), f ( x) đồng biến, suy x 1 1 1 2 2 20 f ( x) f 2 Vậy PT x6 x5 x 3x3 10 x x vô nghiệm Nói chung, cách bình phương có tác dụng với dạng PT (thậm chí ok), ta bình phương cách tự do, không lo điều kiện Thực điều kiện dễ dàng nhìn nên ghi vào, không bình phương thử lại nghiệm Tuy nhiên, bạn bị… tạch chứng minh đa thức vô nghiệm qua điều kiện trực tiếp gián tiếp vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn BÀI II 3x 10 x x 4 x ĐK: 2 x Solve nghiệm đơn X Dùng TABLE dò giá trị f(X) nguyên, với f ( X ) 6 X , ta 5 f (2) 6 2 , nghiệm tìm nghiệm nhân tử 5 2 x 2 2 x Cách Liên hợp trực tiếp PT x 2 x 4 x (10 x) 3(5 x 6) (5 x 6) 0 x 2 x 4 x x 10 5x (5 x 6) 0 2 x 2 x 4 x x 10 Dễ dàng chứng minh 5x x [ 2; 2] x 2 x 4 x 3x 10 Cách Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích phân tách 2 x 2 2 x PT (2 x) 2 x 2 x 4(2 x) 2 x 2 2 x 3 2 x 2 2 x 0 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Dùng TABLE duyệt giá trị đẹp f ( X ) A2 A4 XA ta f (0) , nghĩa A2 A4 4t t biểu thức liên hợp cho t t t Tương tự, biểu thức liên hợp cho 4t t Cách nhỏ 3.1 Liên hợp gián tiếp PT 15t 15t 80 30 t 20 4t t 15t 48 15 t t 4t t 5t 16 15 5t 16 t t2 5t 16 5t 4t t 0 15 16 20t 5t 16 0 2 t t t t Cách nhỏ 3.2 Ép tích gián tiếp t t t t t t t PT 5t 16 t t 2t t t t t2 2 t 2t t t 2 x 2 2 x 2 x 2 x 3 0 Cách Đặt ẩn phụ, ép tích gián tiếp a b a 1 Đầu tiên, tách 3x 10 a(2 x) b(2 x) , ta có , đó: 2a 2b 10 b 4 PT (2 x) 4(2 x) x x x x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x u PT: u 4v 4uv 3u 6v (u 2v)(u 2v 3) Đặt x v 2 x 2 2 x 2 x 2 2 x 3 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn BÀI III 3x ( x 2)3 ( x 5) x 2 x x ĐK: x ( x 2)3 ( x 5) x x 1 Solve nghiệm nguyên x , x 5x x 1 trước hết ta thấy liên hợp biểu thức: ( x 2)3 ( x 5) x x2 5x Nhưng lưu ý rằng, d ( f ( X )) nên x nghiệm kép, ta có dx x 1 thể kiểm tra cách chắn điều cách sử dụng TABLE để đánh giá Nhập f ( X ) X ( X 2)3 ( X 5) X 2 X X vào TABLE, Start 0,5 End cho (vì x ), xét biến thiên f(X) xung quanh điểm X Step 3,5 29 X 0,9482758621 Ta thấy giá trị (gần X nhất) giá trị f(X) X 1,068965517 nhỏ bảng, X cực tiểu, nghiệm kép Cách Liên hợp trực tiếp Nhận thấy ( x 2) ( x 5) x ( x 1)2 (2 x 7) ( x 2)3 ( x 5) x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm thỏa mãn V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x x ổn nghiệm kép rồi, ta phải lo bên Rõ ràng liên hợp x x với số dạng ( x 1)2 được, với bậc lại lớn, vậy, ta thử liên hợp với phần lại PT xem sao: 3x 2 x x ( x 1)2 3x 2 x x Ok ngon! PT 3x 2 x x ( x 2)3 ( x 5) x 2x ( x 1) 0 3x 2 x x 2 ( x 2) ( x 5) x Dễ thấy 3x 2 x x 2x ( x 2)3 ( x 5) x x Cách liên hợp thể điều: toán có nhiều khác nhau, ta cần nhóm biểu thức lại với biểu thức liên hợp Cách Đặt ẩn phụ Giả sử ta đặt 2x t x t2 1 , nghiệm t A , PT cho trở thành: t 3t 9t 2t 2t t 3 2t 2t t Nhận thấy: , lưu ý t nghiệm kép nên để 3 t 3 12 4t t liên hợp ta phải tách khôn khéo sau: PT 3t 3 2t 2t t 3 t 9t vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m t 3 RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn t t 3 t 3 t 9t 2 3t 2t 2t 2 3 t2 0 t 3 2 3 t t t t 3 t 9t Ngoài ra, ta đặt x t nghiệm t A , PT trở dạng dễ trước: 2t 3t t 2t 3 2t Sử dụng TABLE với f ( X ) A2 XA , dễ dàng có f (1) 2t t nhân tử PT Đây lợi thứ việc đặt ẩn phụ, chuyển từ nghiệm nguyên thành nghiệm xấu, nhờ khiến cho TABLE từ bất lực trở thành áp dụng Cách nhỏ 2.1 Liên hợp gián tiếp PT t t 3t t 2t 3 (t 1) t 3 t 2t t 2t 3 t 3 2t t 0 t 2t t 3 t 0 2t t t 1 t 2t 2t t (t 1) 2t t (t 1) 2t (t 3) t 2t t 6t t 3 t 2t Hoặc liên hợp lần (tới cùng) luôn: vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn (t 1) 2t t t (t 1) t 1 2t t t 3 1 0 2t t Như gộp lần liên hợp vào chung chuỗi biến đổi ta được: PT t 3 2t 2t 2t t ( x 1) 2 0 x 2x x 2x Cách nhỏ 2.2 Ép tích gián tiếp từ liên hợp ngược PT (t 1) t 3 t 2t 3 2t t (t 1) 2t t t 2t 3 t (t 1) 2t t t 3 t (t 1) 2t t 2t t 2t t 2t 2t 1 2t t 2t t t 2t 3 2t t (t 1) 2t 2t 2t 2 2t t 2 2 2 3 t 0 Cách nhỏ 2.3 Ép tích gián tiếp chia TABLE cho ta biết nhân tử tiếp nhân tử xác tìm nhân tử lại: g (t ) 2t t , nhờ đó, việc có nghiệm kép lại cho biết 2t t , vậy, ta sử dụng kỹ thuật chia để 2t 3t t 2t 3 2t 2t t vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Nhận xét trước chia: PT có bậc 3, nhân tử chia có bậc 2, g(t) có bậc g (t ) có dạng a 2t bt c Nhập g(X) vào máy, cho X ta g (2) X a , đó, xét biểu thức X X X X 3 X 2X X X bX c , gán b X 1000 ta kết 2001 X c 1 Vậy PT 2t t 2x x 2 2t 2t 2x x Cái lợi thứ việc đặt ẩn đây: ép tích dễ dàng để nguyên ẩn Cách Đặt ẩn phụ, ép tích gián tiếp x u Đặt , PT cho trở thành: u v 2u 3u v v 2uv , hay x v 2u v3 3u 2v u v 2uv (u v)2 (2u v 1) x 2x 2 x x , việc ép tích ẩn phụ trường hợp nhanh vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn BÀI IV x x ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) x ĐK: 1 x x1 Solve nghiệm đẹp: , kiểm tra kỹ lại thấy x2 nghiệm x2 kép, tạo nhân tử cần phải khôn khéo Nhận thấy x x1 x x vô tỉ, ta sử dụng TABLE với f (X ) 1 3 X , tìm nhân tử x x chứa nghiệm 5 Ngoài x nghiệm kép nên giả sử có nhân tử 1 x 1 x Xét x , giả sử x (ax b) chứa nghiệm trên, ta dễ dàng tìm hệ bậc ẩn: 3 x ( x 3) , nhiên tạo nhân tử này, chưa bao nghiệm kép, dẫn đến phải sử dụng liên hợp lần Nhân tử liên hợp cần tạo toán phải có bậc Để ý thấy ( x 3) x (2 x 3) x x x (2 x 3) x nghiệm tìm được, nhóm biểu thức để liên hợp triệt để Vừa suy đoán hướng làm, ta làm cách Cách Liên hợp trực tiếp PT x x (2 x 3) x ( x 3) x (2 x 3) x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x (5 x 3)( x 1) x (5 x 3) 0 x x (2 x 3) x ( x 3) x (2 x 3) x x 1 x (5 x 3) 0 2 ( x 3) x (2 x 3) x x x (2 x 3) x Dễ thấy x 1 x x (2 x 3) x x [ 1;1] ( x 3) x (2 x 3) x Ta thử liên hợp theo nhân tử 3 x ( x 3) xem sao: PT x 3x ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) 3 x ( x 3) 3x (5 x 3) x(2 x 3)(5 x 3) x(5 x 3) 0 ( x 3) x (2 x 3) x x2 x 3x 2(2 x 3) x(5 x 3) 1 0 ( x 3) x (2 x 3) x x x Như ban đầu không đánh giá nghiệm kép liên hợp bế tắc! Cách Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích phân tách Ép tạo nhân tử suy đoán: PT ( x 3) x ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) x x ( x 3) x x (2 x 3) x x x ( x 3) x (2 x 3) x x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m 1 x RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x x2 x x x x 1 x 1 x x2 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 0 Cách nhỏ 2.2 Ép tích chia Ta làm phép chia x x ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) x 2 1 x 1 x 1 x 1 x Đánh giá: PT cho có bậc 2, mẫu phép chia có bậc bậc , nghĩa có dạng a b x c x , nhân tử lại có a Cho X 1 ta a X , sửa lại biểu thức thành c x x ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 0,5 Cho tiếp X ta b 1 x b 2 1 Vậy kết x , hay: 2 PT x x x 1 x 1 x 0 Cách Đặt ẩn phụ Vai trò ngang nhau, thích đặt vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Đặt x t x t 1, ta có nghiệm vô tỉ t 10 nghiệm kép t , PT trở thành: t t 4t 4t 2t 2t t 1 t 10 Nhân tử cho nghiệm t t 2t Ta có: PT (t 1) t 4t (t 1) 2t 1 t (t 1) t 4t 2t 1 t t 4t 2t 1 t () Cách nhỏ 3.1 Liên hợp gián tiếp () 5t 2t 2t 1 t 2t t 5t 2 2t 1 5t t 2t 0 2t 5t t 0 2 t 2t t 2t t t t 1 2 t 2t Như đặt ẩn phụ giúp cho kiểu liên hợp nửa chừng (nghĩa tất biểu thức ngoặc sau liên hợp nghiệm) trở nên khả dụng, không lo bế tắc liên hợp nửa chừng trực tiếp với biến x Cách nhỏ 3.2 Ép tích gián tiếp 2t t t 2t t 2t t t 2t t 2t t 2t t 2t t () t t 2t 2 2 2 2 2 2 t2 t t2 1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m 1 x 1 x RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x2 Ta thấy cách ép tích giống cách ép trực tiếp, khác ta triệt tiêu cách đặt ẩn phụ, nên nhìn nhân tử dễ dàng Ngoài chia dễ Cách nhỏ 3.3 Bình phương triệt () t 4t 2t 1 t t 4t 2t 1 t 2 (t 1) (t 1) 5t Cách Đặt ẩn phụ Ta có: PT ( x 3)( x 1) ( x 3) x (2 x 3) x (2 x 3) x x x u Đặt , PT trở thành: x v u 5 5 2v u u 2v u u v v u v uv 2 2 2u 4u 2v uv3 5u 3v 2u v3 4uv 5u 2v (u 1)(2u v)(u v) 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 0 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn BÀI V x x 10 x 19 x3 x 13 x x 1 x ĐK: 1 x Nghiệm Solve được: x 2 ; x , nghiệm kép Thay nghiệm vào ta số 1, nhân tử x2 x x2 x Cách Liên hợp trực tiếp PT x x3 x 3x x x 13 x 3 x x 2 x x 13 x x x2 x 0 x3 x 13 x x 2 x 0 x2 x x2 x3 x 13 x x 1 1 x3 x x 16 x 3 x x () x3 x x 16 x 3 x x x x x 16 x 3 x x 1 2 x x x3 19 x 36 x 53 Rõ ràng nghiệm x x không thỏa () , nên ta xét x3 19 x 36 x 53 Giả sử có nghiệm x x0 , ta có: x03 x02 x0 16 x03 19 x02 36 x0 53 20 x02 43x0 69 20 x02 43x0 69 x03 x02 x0 16 x02 3 x02 x0 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Vậy () vô nghiệm Cách Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích phân tách x x 1 x 3 x x x x 13 x x 1 x 3 x x 1 x x 1 x x 13 x x 1 x x 1 x x x 16 x 3 x x PT x x3 x 3x x3 x 13 2 2 2 3 2 Việc chứng minh x3 x x 16 x 3 x x vô nghiệm ta làm xong cách trên! Cách nhỏ 2.2 Ép tích chia Phép chia g ( x) x x 10 x 19 x3 x 13 x x x2 x Thấy tử có bậc 4, mẫu có bậc nên g(x) có bậc 3, có dạng ax3 bx cx d mx nx p x x Ta tìm mx nx p trước, có hệ số nên ta cần giá trị g(x), ta có: g (2) 14 14 x x , g (3) 19 12 19 12 x x , 89 21 89 21 g 11 x x 1 8 2 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 4m 2n p m 9m 3n p 12 n Vậy ta được: m n p 21 p 4 Suy ra: ax3 bx cx d g ( x) x 3 x x , gán X 1000 ta g ( x ) x 3 x x 1000993016 x3 x x 16 x1000 Vậy: PT x x x3 x x 16 x 3 x x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm [...]... 3 3x 2(2 x 3) x(5 x 3) 1 0 2 ( x 3) 1 x (2 x 3) 1 x 3 1 x x 3 Như vậy nếu ban đầu không đánh giá được nghiệm kép thì liên hợp có thể bế tắc! Cách 2 Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích bằng phân tách Ép tạo ra những nhân tử như đã suy đoán: PT ( x 3) 2 x 1 ( x 3) 1 x (2 x 3) 1 x (2 x 3) 1 x 1 x 0 ( x 3) 1 x 1 ... lợi thứ 2 của việc đặt 1 ẩn là đây: ép tích dễ dàng hơn để nguyên 2 ẩn Cách 3 Đặt 2 ẩn phụ, ép tích gián tiếp x 2 u 0 Đặt , PT đã cho trở thành: u 2 v 2 2u 3 3u 2 v 2 v 2uv 0 , hay 2 x 1 v 0 2u 3 v3 3u 2v u 2 v 2 2uv 0 (u v)2 (2u v 1) 0 x 2 2x 1 2 2 x 2 2 x 1 1 0 , như vậy việc ép tích bằng 2 ẩn phụ trong trường hợp... 0 Cách nhỏ 2.2 Ép tích bằng chia căn Ta sẽ chia g ( x) 3 x 10 3 2 x 6 2 x 4 4 x 2 để tìm nhân tử còn lại 2 x 2 2 x Đánh giá 1 chút: PT đã cho có bậc 1, nhân tử g(x) (nhân tử còn lại) sẽ có bậc 1 1 , do đó 2 2 x , 2 x là 1 , suy ra 2 2 x 2 2 x có bậc 1 1 Mà bậc của 2 2 g(x) sẽ có dạng a 2 x b 2 x c Như vậy, việc chia sẽ rất đơn giản Để tìm a, gán... 0 2 2 4 t 2 4 t 5 4 t t 8 2 Cách nhỏ 3.2 Ép tích gián tiếp 4 t t 2 4 t 3 t 2 4 t 3 t 2 4 t 0 PT 5t 2 16 3 t 2 4 t 2 2t 2 4 t 2 t 0 t 2 t2 2 2 2 4 t 2 2t t 2 4 t 2 0 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 3 0 Cách 4 Đặt 2 ẩn phụ, ép tích gián tiếp a b 3 a 1 Đầu tiên, tách 3x 10 ... x 0 1 x 1 x 1 x2 1 0 1 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 0 Cách nhỏ 2.2 Ép tích bằng chia căn Ta sẽ làm phép chia x 2 2 x 3 ( x 3) 1 x (2 x 3) 1 x (2 x 3) 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x 1 x Đánh giá: PT đã cho có bậc 2, mẫu của phép chia có bậc bậc 1 , nghĩa là có dạng a b 1 x c 1 x 2 2 3 , vậy nhân tử còn lại sẽ có 2 1 1... Oe err TTe ea am m 2 1 x 1 x RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 1 x2 1 0 Ta thấy cách ép tích này giống như cách ép trực tiếp, chỉ khác là ta đã triệt tiêu 1 căn bằng cách đặt 1 ẩn phụ, nên nhìn ra nhân tử dễ dàng hơn Ngoài ra chia căn cũng dễ hơn Cách nhỏ 3.3 Bình phương triệt căn () t 3 4t 2t 2 1 2 t 2 t 3 4t 2t 2 1 2 t 2 2 2 (t 1)... x02 x0 1 0 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm bbllooggssppoott ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Vậy () vô nghiệm Cách 2 Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích bằng phân tách x x 1 1 0 x 3 x x 2 x 7 x 13 x x 1 1 0 x 3 x x 1 1 x x 1 1 x 7 x 13 x x 1 1... 2 2t 3 2t 2 3 t (t 1) 2t 2 2t 2 2t 2 2 2t 2 3 t 0 2 2 2 2 2 2 2 3 t 0 2 Cách nhỏ 2.3 Ép tích gián tiếp bằng chia căn TABLE cho ta biết nhân tử tiếp nhân tử chính xác là tìm nhân tử còn lại: g (t ) 2t 2 3 t , nhờ đó, việc có nghiệm kép lại cho biết 2 2t 2 3 t , vì vậy, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chia căn để 2t 3 3t 2 3 t 2 2t 3 2t 2 3... 4 x3 x 2 3x 6 x3 7 x 13 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 Việc chứng minh x3 x 2 7 x 16 x 2 3 x 2 x 1 0 vô nghiệm ta đã làm xong ở cách trên! Cách nhỏ 2.2 Ép tích bằng chia căn Phép chia của chúng ta là g ( x) x 4 x 2 10 x 19 x3 7 x 13 x 2 x 1 x2 x 1 1 Thấy rằng tử có bậc 4, mẫu có bậc 1 nên g(x) sẽ có bậc 3, do đó nó có dạng ax3 bx 2 ... liên hợp nửa chừng như thế này (nghĩa là tất cả các biểu thức trong các ngoặc sau liên hợp đều còn nghiệm) trở nên khả dụng, không lo bế tắc như liên hợp nửa chừng trực tiếp với biến x Cách nhỏ 3.2 Ép tích gián tiếp 2t 2 t 2 t 2t 0 2 t 2t 2 t 2 t 2t 0 2 t 2t 2 t 2t 2 t 0 2t t () t t 2t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... 7: Phương pháp ép tích Hiểu nôm na tập hợp cách thức để phân tích PT vô tỉ thành nhân tử, có nhiều cách khác Trong tập phía bạn biết vài cách đơn giản Ngoài ra, bạn tham khảo Phương pháp ép tích ... biến, giá trị bị giới hạn điều kiện Phương pháp nói kỹ tài liệu riêng Team Kỹ thuật 6: Phân tích đa thức biến thành nhân tử Đây kỹ thuật thông dụng, không sử dụng CASIO mà không biết, nên bạn... 3) x x x Như ban đầu không đánh giá nghiệm kép liên hợp bế tắc! Cách Ép tích trực tiếp Cách nhỏ 2.1 Ép tích phân tách Ép tạo nhân tử suy đoán: PT ( x 3) x ( x 3)