BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGUYỄN THỊ THÚY HOA HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN BÙ TỔNG QUÁT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều HÀ NỘI - NĂM 2016 ii LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án công trình nghiên cứu tôi, hoàn thành hướng dẫn GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Các kết trình bày luận án chưa công bố công trình người khác Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hoa iii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Viện Công nghệ thông tin, Học viện Khoa học Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường TS Nguyễn Công Điều Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô giáo thuộc Viện Công nghệ thông tin, Viện Toán học, Học viện Khoa học Công nghệ tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Nội vụ Hà Nội, Trung tâm Tin học, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Cảm ơn anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp trao đổi kiến thức kinh nghiệm thời gian tác giả học tập, nghiên cứu Viện Công nghệ Thông tin Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình động viên, chia sẻ khích lệ tác giả trình nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hoa Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Một số ký hiệu viết tắt vi Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 7 1.2 Bài toán đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực trị tổng quát 10 1.3 Bài toán bù 12 1.3.1 Bài toán bù tuyến tính 12 1.3.2 Bài toán bù phi tuyến 18 Chương Bài toán bù tổng quát phương pháp hiệu chỉnh 39 2.1 Vấn đề tồn nghiệm toán bù tổng quát 39 2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát 40 2.2.1 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa phiếm hàm Tikhonov 40 2.2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát có ràng buộc 49 2.3 Một số toán dẫn tới toán bù 52 v Chương Bài toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát 62 3.1 Phát biểu toán 62 3.2 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán đặt 67 3.3 Ví dụ số minh họa 72 Kết luận chung 79 Kiến nghị hướng nghiên cứu 80 Danh mục công trình công bố liên quan đến luận án 81 Tài liệu tham khảo 82 Một số ký hiệu viết tắt Rn không gian Ơclit n - chiều Rn×m không gian ma trận cấp n × m R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực không âm R++ tập hợp số thực dương xT chuyển vị véctơ x {xk } dãy véctơ x1 , x2 , x3 , chuẩn không gian Rn x, y tích vô hướng x y Rn y≤0 ∇θ thành phần yi ≤ 0, i = 1, 2, , n ∂θ ∂xj − gradient hàm θ : Rn → R AT chuyển vị ma trận A PC (x) phép chiếu mêtric phần tử x lên tập đóng lồi C V I(., ) toán bất đẳng thức biến phân LCP (., ) toán bù tuyến tính N CP (.) toán bù phi tuyến P N CP (., ) toán bù phi tuyến nhiễu GCP (., ) toán bù tổng quát CGCP toán bù tổng quát có ràng buộc tập C đóng, lồi M P EC toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát R(., ) toán tử hiệu chỉnh H(., ) khoảng cách Hausdorff x∗ − M N S x∗ - chuẩn nhỏ x∗ − CM N S x∗ - C chuẩn nhỏ Mở đầu Trong ấn phẩm toán, tìm thấy trường hợp riêng toán bù sớm vào năm 1940, nhiên toán bù thực thu hút nhà toán học từ đầu năm 1960 [10], toán trở thành chủ đề nghiên cứu riêng Bài toán bù có nguồn gốc từ toán bất đẳng thức biến phân, toán quy hoạch toàn phương, toán cân thị trường, toán điểm dừng tối ưu, trò chơi song ma trận, [10] có nhiều ứng dụng lĩnh vực như: kinh tế, tài chính, kỹ thuật, vật lý, sinh thái điều khiển tối ưu, Chính vậy, việc nghiên cứu toán bù vấn đề thời [15], [20], [24], [25], đặc biệt việc nghiên cứu tìm phương pháp giải toán bù cho hiệu Trong bối cảnh đó, luận án đề cập tới phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bù tổng quát, toán: tìm x˜ ∈ Rn cho g(˜ x) ≤ 0, h(˜ x) ≤ 0, g(˜ x), h(˜ x) Rm = 0, (0.1) g(x), h(x) hai hàm liên tục từ không gian Rn tới không gian Rm , , , Rn tích vô hướng chuẩn Rn ; phương pháp hiệu chỉnh toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát, ˜ thỏa mãn điều kiện phát biểu sau: tìm phần tử x˜ ∈ C ∩ S, ˜ ϕ(˜ x) = ϕ(y), C˜ = C ∩ S, (0.2) y∈C˜ C tập đóng, lồi không gian Ơclit Rn , S˜ = S˜1 ∩ S˜2 , ˜ S˜1 = {x ∈ Rn : g˜(x) ≤ 0, h(x) = 0}, S˜2 = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) ≤ 0, g(x), h(x) (0.3) Rq = 0}, ˜ : Rn −→ Rp , g h : Rn −→ hàm thực ϕ : Rn −→ R, g˜ : Rn −→ Rm , h Rq liên tục, ký hiệu y = (y1 , y2 , , ym ) ≤ có nghĩa yi ≤ với i = 1, 2, , m Ta giả thiết tập nghiệm toán (0.1), (0.2) (0.3) khác rỗng Những toán có dạng (0.2)-(0.3) biết đến toán với ràng buộc bù, ký hiệu MPEC Thông thường, toán MPEC toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân Tuy nhiên, số trường hợp MPEC viết dạng (0.2)-(0.3) [38] Trong trường hợp đặc biệt, m = n, g(x) = −x h(x) = −F (x), F : Rn −→ Rn ánh xạ affin, nghĩa F (x) = M x + q, M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , toán (0.1) gọi toán bù tuyến tính, ký hiệu LCP (q, M ) Tìm hiểu nghiệm toán này, Olsson D [44] thu kết sau Định lí 0.1 Khi M ∈ Rn×n P - ma trận với tất định thức M dương LCP (q, M ) có nghiệm với q ∈ Rn Định lí 0.2 Nếu q không âm toán bù tuyến tính LCP (q, M ) giải x = nghiệm tầm thường Nghiên cứu mối quan hệ toán bù tuyến tính toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu V I(K, F ), toán tìm vectơ x ∈ K ⊂ Rn cho y − x, F (x) ≥ 0, ∀y ∈ K, F : K −→ Rn hàm liên tục K tập đóng, lồi, Olsson D [44] chứng minh tiếp kết Định lí 0.3 Nếu F = M x + q, M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , x ∈ Rn+ V I(F, Rn+ ) toán bù tuyến tính LCP (q, M ) có nghiệm hoàn toàn trùng Khi n = m, g(x) = −x h(x) = −F (x) F ánh xạ phi tuyến từ Rn vào Rn , toán (0.1) gọi toán bù phi tuyến, ký hiệu N CP (F ), toán tìm vectơ x ∈ Rn cho x ≥ 0, F (x) ≥ 0, x, F (x) = 0, (0.4) nhà khoa học tìm nhiều phương pháp giải cho loại toán [13], [17], [18], [23], [33]-[35] Tất phương pháp đưa dẫn tới giải toán cực tiểu hệ phương trình tương đương Có thể chia thành lớp phương pháp sau: • Phương pháp sử dụng hàm khoảng Trong phương pháp này, họ biến đổi toán N CP (F ) thành toán tương đương nhờ hàm gọi hàm khoảng (merit function) để đưa toán tìm cực tiểu có ràng buộc phiếm hàm Công cụ thuận tiện để thiết lập hàm khoảng C - hàm [12], hàm φ : R2 −→ R thỏa mãn tính chất: φ(a, b) = ⇐⇒ ab = 0, a ≥ 0, b ≥ Có số C - hàm sau: φN R (a, b) = min{a, b}; φM S (a, b) = ab + max{0, a − αb}2 − a2 + max{0, b − αa}2 − b2 , α > 1; 2α φF B (a, b) = a2 + b2 − a − b Hàm khoảng xây dựng hàm φN R gọi hàm số dư tự nhiên Hàm φM S không âm R2 hàm khoảng xây dựng gọi hàm Lagrange ẩn giới thiệu Mangasarian Solodov [41] Hàm φF B gọi hàm Fischer [16] Gần đây, dựa hàm φF B nhiều nhà khoa học mở rộng nghiên cứu đưa số hàm có tính chất tốt Luo Tseng [39] đưa lớp hàm khoảng f˜ : Rn −→ R xác định n f˜(x) = ψ0 ( x, F (x) Rn ) ψi (−xi , −Fi ), + i=1 ψ0 : R −→ [0, ∞) ψi : R2 −→ [0, ∞), i = 1, 2, , n hàm liên tục Ý tưởng Kanzow C., Yamashita N Fukushima M [32] sử dụng để xây dựng hàm khoảng • Phương pháp hiệu chỉnh Thay tìm nghiệm trực tiếp, phương pháp tìm nghiệm dãy toán đặt chỉnh mà nghiệm chúng hội tụ tới nghiệm toán ban đầu Lược đồ hiệu chỉnh Tikhonov [11], [22] toán bù bao gồm việc giải dãy toán: x ≥ 0, Fε (x) ≥ 0, x, Fε (x) Rn = 0, (0.5) đây, Fε (x) = F (x) + εx ε tham số dương hội tụ tới • Phương pháp kết hợp hàm khoảng hiệu chỉnh Trong phương pháp này, việc hiệu chỉnh dựa hàm H hàm từ không gian Rn+1 tới Rn+1 , xác định H(ε, z) = ⇐⇒ ε = 0, x ∈ S , (0.6) S tập nghiệm (0.4), z := (ε, x) ∈ R × Rn , H(ε, z) := ε, G(ε, z) hàm khoảng G : Rn+1 −→ Rn , với Gi (ε, x) := φ(xi , Fε,i (x)), i = 1, 2, , n, φ(.) hàm Fischer, Fε,i thành phần thứ i Fε Sự hội tụ nghiệm hiệu chỉnh (0.5) (0.6) thiết lập trường hợp F đơn điệu P0 - hàm Hơn nữa, tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh chưa xem xét Trong [5], N Bường sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để biến đổi toán (0.2) thành toán cực trị không ràng buộc Tiếp nối ý tưởng trên, luận án này, nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị trường hợp toán có ràng buộc toán bù tổng quát chứng minh kết hội tụ nghiệm hiệu chỉnh Như vậy, trường hợp đặc biệt, toán bù có nhiều phương pháp giải khác Tuy nhiên, kết đưa đòi hỏi hàm toán phải có tính chất đơn điệu P0 - hàm Mặt khác, toán bù tổng quát, chưa có thuật toán hiệu chỉnh Chính thế, luận án tập trung nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát nhằm khắc phục nhược điểm Chúng tiếp cận toán theo hướng khác đưa phương pháp giải toán Phương pháp không yêu cầu hàm g(x) h(x) phải có tính P0 hàm Thuật toán hiệu chỉnh dẫn tới cực tiểu phiếm hàm phụ thuộc tham số ràng buộc, việc giải toán trở nên đơn giản nhiều Các kết thu luận án là: 1) Đưa thuật toán hiệu chỉnh cho toán bù tổng quát; 2) Đưa thuật toán hiệu chỉnh cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; 3) Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh; 72 l y ∈ C ∩ (∩N j=0 Sj )ϕj (y) = fi (y) = 0, từ (3.13) ϕj (x ) ≥ 0, ta có ϕδi l (xl ) + αlµ ϕδl (xl ) ≤ PC (y) − PCδl (y) Rn + F δl (y) − F (y) RM + ϕδi l (y) N ϕδjl (y) − ϕδjl (xl ) + αlµ ϕδl (y) + αl y − x∗ + Rn j=i ≤ PC (y) − PCδl (y) Rn + F δl (y) − F (y) RM + ϕδi l (y) N ϕδjl (y) − ϕj (y) + ϕj (xl ) − ϕδjl (xl ) + αlµ ϕδl (y) + αl y − x∗ + Rn j=i Tiếp theo, từ ϕ(xl ) ≥ ta có: ≤ ϕi (xl ) ≤ (1 + M )δl2 + 2δl + 2(N − 1)δl + ϕδi l (y) + αlµ ϕδl (y) + ϕ(xl ) − ϕδl (xl ) + αl y − x∗ Rn ≤ (1 + M )δl2 + 2δl + 2(N − 1)δl + ϕδi l (y) + αlµ ϕδl (y) + αlµ δl + αl y − x∗ Rn Cho l −→ ∞ bất đẳng thức cuối, ta có ≤ ϕi (x) ≤ ϕi (y) = Nghĩa x ∈ Si Cuối cùng, cần phải chứng minh x nghiệm (3.7) Như trên, với phần tử y ∈ C ∩ (∩N j=0 Sj ), từ (3.15) suy ϕ(x) ≤ ϕ(y)∀y ∈ C ∩ (∩N ˜ dãy {xk } hội tụ tới x˜ j=0 Sj ) Rõ ràng, x k −→ ∞ Định lí chứng minh 3.3 Ví dụ số minh họa Xét hàm: ϕ(x) = (x1 − 3)2 + (x2 − 2)2 + x23 , ˜ hàm g˜(x) chọn cho g˜(x) ≤ với x ∈ R3 , h(x) = Ax − b, A ma trận vuông cấp có a22 = 1, aij = với i, j = b = (b1 , b2 , b3 )T = (0, 1, 0)T , hàm g, h : R3 −→ R2 có dạng sau g(x1 , x2 , x3 ) = x21 + x22 + x23 − 25, −x1 + , h(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3)2 + x22 + x23 − 4, x1 − , 73 √ tập C = {x ∈ R3 : (x1 − 3)2 + x22 + (x3 − 3)2 ≤ 1} Dễ thấy toán √ (3.4)-(3.5) có nghiệm x˜ = (3, 1, 3) Chọn µ = 12 với x∗ = (0, 0, 0), tham số hiệu chỉnh αk = (1 + k)−1 điểm ban đầu cho trường hợp k = x0 = (20, 45, 15) để cực tiểu hàm trơn Tikhonov Fαk (x) = x − PC (x) R3 + F (x) R3 + ϕ˜j (x) + αk2 ϕ(x) + αk x R3 , j=1 F (x) = x2 −1, (x21 +x22 +x23 −25)((x1 −3)2 +x22 +x23 −4), (−x1 +3)(x1 −4) ,  x2 + x2 + x2 − 25 x2 + x2 + x2 − 25 > 3 ϕ1 (x) = ϕ1 (x) = 0 x21 + x22 + x23 − 25 ≤ 0,  (x − 3)2 x > x , x 1 ϕ2 (x) = ϕ2 (x) = 0 x1 ≤ x2 , x3 bất kỳ,    (x1 − 3)2 + x22 + x23 −      (x − 3)2 + x2 + x2 − > ϕ3 (x) = ϕ3 (x) =        (x − 3)2 + x2 + x2 − ≤ 0,  (x − 4)2 x > x , x 1 ϕ4 (x) = ϕ4 (x) = 0 x ≤ x , x Kết tính toán trình bày Bảng 3.1 74 Bảng 3.1 Nghiệm toán (3.4)-(3.5) k x1 x2 x3 2.22617752 1.73961673 0.60911083 10 2.82890120 1.48853060 1.32389751 20 2.87889883 1.24800461 1.55790157 30 2.88642848 1.23910182 1.56561525 40 2.90441598 1.21571323 1.58486825 50 2.93691732 1.16743557 1.62256541 60 2.93857392 1.16441191 1.62481343 70 2.94563566 1.15134628 1.63436461 80 2.94821819 1.14636356 1.63779081 90 2.95629719 1.13072547 1.64894557 100 2.95709700 1.12912992 1.65005716 200 2.97978459 1.08001178 1.68311594 300 2.98236006 1.07381792 1.68714302 400 2.98440847 1.06816050 1.69074209 500 2.98642922 1.06226537 1.69448237 600 2.98830900 1.05646888 1.69811606 700 2.99215064 1.04504156 1.70520034 800 2.99292643 1.04275022 1.70661266 900 2.99362504 1.04053666 1.70796416 1000 2.99419400 1.03861268 1.70913600 2000 2.99687256 1.02778146 1.71567661 3000 2.99893451 1.01874959 1.72106917 4000 2.99921063 1.01620238 1.72257838 5000 2.99940392 1.01413771 1.72379657 6000 2.99948760 1.01307106 1.72442493 7000 2.99956805 1.01202460 1.72504035 8000 2.99962420 1.01121787 1.72551419 9000 2.99966118 1.01062142 1.72586420 10000 2.99970112 1.01000111 1.72622786 15000 2.99979858 1.00819773 1.72728363 20000 2.99984952 1.00708848 1.72793173 75 Trong trường hợp {C, fi , ϕj , ϕ} có nhiễu δk , tính {Cδk , fiδk , ϕδjk , ϕδk } với Cδk = {x ∈ R3 : (x1 − 3)2 + x22 + (x3 − √ 3)2 ≤ (1 + δk )2 }, ϕδk (x) = ϕ(x) + δk , g δk (x) = g(x), bδk = b + δk , g δk (x1 , x2 , x3 ) = (x21 + x22 + x23 − 25 + δk , −x1 + + δk ), hδk (x1 , x2 , x3 ) = ((x1 − 3)2 + x22 + x23 − + δk , x1 − + δk ) Bài toán ban đầu toán đặt không chỉnh; thêm nữa, bδ1k bδ3k khác phương trình Ax = bδk nghiệm Do đó, toán nhiễu không giải được; nhiên, sử dụng phương pháp xk cực tiểu hàm sau Fαδkk (x) = x − PCδk (x) R3 + F δk (x) R3 ϕ˜δjk (x) + αk2 ϕδk (x) + αk x + R3 , j=1 tính toán với δk = (1 + k)−2 αk = (1 + k)−1 , F δk (x) = (δk , x2 − + δk , δk , f4δk , f5δk ), f4δk = (x21 + x22 + x23 − 25 + δk )((x1 − 3)2 + x22 + x23 − + δk ), f5δk = (−x1 + + δk )(x1 − + δk ), ϕ˜δjk (x) xác định ϕ˜j (x) Kết số trường hợp minh họa Bảng 3.2 76 Bảng 3.2 Nghiệm Bài toán (3.4)-(3.5) trường hợp có nhiễu k x1 x2 x3 2.45728013 1.74298981 0.64319973 10 2.78666727 1.59300286 1.18635715 20 2.87968377 1.27566841 1.53457217 30 2.91264529 1.21463046 1.58592177 40 2.91589764 1.20887642 1.59072989 50 2.93453088 1.17591471 1.61618795 60 2.93633718 1.17237476 1.61874852 70 2.93973109 1.16579044 1.62366330 80 2.95961299 1.12648097 1.65193451 90 2.95997798 1.12571731 1.65247219 100 2.96326233 1.11875932 1.65729403 200 2.97670522 1.08818511 1.67781058 300 2.98119661 1.07679986 1.68521279 400 2.98397720 1.06921080 1.69008240 500 2.98882700 1.05549612 1.69872376 600 2.98941658 1.05375713 1.69980920 700 2.99072875 1.04959228 1.70239109 800 2.99584625 1.03662873 1.71033455 900 2.99624944 1.03482510 1.71143029 1000 2.99633765 1.03437002 1.71170286 2000 2.99838693 1.02326186 1.71838434 3000 2.99897344 1.01855471 1.72118505 4000 2.99922556 1.01609508 1.72264174 5000 2.99937736 1.01439213 1.72364556 6000 2.99949927 1.01294374 1.72449968 7000 2.99957441 1.01193384 1.72509357 8000 2.99961933 1.01127768 1.72547867 9000 2.99966688 1.01055854 1.72590107 10000 2.99969901 1.01003329 1.72620881 77 Nghiệm Bài toán (3.4)-(3.5) x˜ = (3, 1, √ 3) thể dấu chấm tròn Hình 3.1 Hình 3.1 Biểu diễn nghiệm Bài toán (3.4)-(3.5) Có thể thấy nghiệm hiệu chỉnh Bài toán (3.4)-(3.5) hội tụ gần tới √ nghiệm x˜ = (3, 1, 3) hai trường hợp toán nhiễu (Bảng 3.1.) có nhiễu (Bảng 3.2.) 78 KẾT LUẬN Chương đề cập tới khái niệm toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát số kết nghiên cứu Mục 3.2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho toán Phương pháp dẫn tới tìm cực trị phiếm hàm phụ thuộc tham số ràng buộc Các định lí chứng minh tồn nghiệm trình bày Cuối chương, Mục 3.3 đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh toán cụ thể hai trường hợp: toán nhiễu có nhiễu Kết tính toán hoàn toàn phù hợp với lý thuyết 79 KẾT LUẬN CHUNG Luận án đề cập đến vấn đề sau: • Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán bù tổng quát; • Nghiên cứu áp dụng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; • Nghiên cứu hội tụ nghiệm hiệu chỉnh; • Nghiên cứu tốc độ nghiệm hiệu chỉnh Kết đạt luận án bao gồm: • Đưa chứng minh định lí hội tụ nghiệm hiệu chỉnh toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí hội tụ nghiệm hiệu chỉnh toán cực trị với ràng buộc toán bù tổng quát; • Đưa chứng minh định lí đánh giá tốc độ nghiệm hiệu chỉnh; • Đưa ví dụ số minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh trình bày luận án 80 KIẾN NGHỊ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Nghiên cứu việc mở rộng kết thu luận án với trường hợp không gian vô hạn chiều - không gian Hilbert; • Nghiên cứu việc hiệu chỉnh toán bù tổng quát kết hợp với toán tìm điểm bất động ánh xạ không giãn nửa nhóm không giãn; • Nghiên cứu toán quy hoạch với ràng buộc toán bù tổng quát tập C tập điểm bất động ánh xạ nửa nhóm không giãn 81 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N Buong and N.T.T Hoa (2009), "Regularization for complementarity problems", Int Journal of Math Analysis, pp 1683-1691 N Buong and N.T.T Hoa (2010), "Tikhonov regularization for nonlinear complementarity problem with approximative data", Int Math Forum, 56, pp 2787-2794 N Buong and N.T.T Hoa (2012), "Bài toán bù tổng quát", Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ XV "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông", pp 32-36 N Buong and N.T.T Hoa (2013), "Regularization for constrained generalized complementarity problems", Kỷ yếu Hội thảo khoa học quốc gia lần thứ XVI "Một số vấn đề chọn lọc Công nghệ thông tin truyền thông", pp 277-279 N.T.T Hoa and N Buong (2014), "About regularization for constrained generalized complementarity problems", Journal of Science of Hnue, 59(7), pp 44-51 N Buong and N.T.T Hoa (2015), "Tikhonov regularization for mathematical programs with generalized complementarity constraints", Comput Math Math phys, 55(4), pp 564-571 Tài liệu tham khảo [1] P.K Anh, N Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB ĐHQGHN [2] Alefeld G and Chen X (2008), "A regularized projection method for complementarity problems with non - Lipschitzian functions", Math Comp., 77(261), pp 379 - 395 [3] Burke J and Xu S (2000), "A non-interior predictor-corrector path following algorithm for the monotone linear complementarity problem", Math Program., 87(1), pp 113-130 [4] N Buong (2006), "Regularization for unconstrained vector optimization of convex functionals in Banach spaces", Comput Math Math Phys, 46(3), pp 372-378 [5] N Buong (2007), "Tikhonov regularization for a general nonlinear constrained optimization proplem", Comput Math Math Phys, 47(10), pp 1583-1588 [6] N Buong and N.T.T Hoa (2009), "Regularization for complementarity problems", Int.Journal of Math Analysis, pp 1683-1691 [7] N Buong and N.T.T Hoa (2010), "Tikhonov regularization for nonlinear complementarity problem with approximative data", Int Math Forum, 56, pp 2787-2794 [8] N Buong and N.T.T Hoa (2015), "Tikhonov regularization for mathematical programs with generalized complementarity constraints", Comput Math Math phys, 55(4), pp 564-571 [9] Chen -S J and Pan S (2008), "A family of NCP functions and a descent method for the nonlinear complementarity problem", Comput Optim Appl., 40(3), pp 389-404 83 [10] Cottle W R , Pang S J and Stone E R (1992), The linear complementarity problem, Computer Science and Scientific Computing [11] Facchinei F and Kanzow C (1997), "Beond monotonicity in regularization methods for nonlinear complementarity problems", SIAM J Control Optim, 9(2), pp 1150-1161 [12] Facchinei F and Pang S J (2003), Finite-dimensional variational inequalities and complementarity problems, Springer, [13] Facchinei F and Soares J (1997), "A new merit function for nonlinear complementarity problems and related algorithm", SIAM J Optim., 7(1), pp 225-247 [14] Fang L (2010), "A new one-step smoothing Newton method for nonlinear complementarity problem with P0 -function", Appl Math Comput., 216, pp 1087-1095 [15] Ferris M C and Pang J S (1997), "Engineering and economic applications of complementarity problems", SIAM Rev, 39(4), pp 669-713 [16] Fischer A (1992), "A special Newton-type optimization method", Optim., 24(3-4), pp 269-284 [17] Fischer A (1997), "Solution of monotone complementarity problems with locally Lipschitzian functions", Math Program., 76(3), pp 513532 [18] Flegel M L and Kanzow C (2005), "On M - stationary points for mathematical programs with equilibirum constraints", J Math Anal Appl., 310(1), pp 286-302 [19] Fletcher R., Leyffer S., Ralph D and Scholtes S (2002), "Local convergence of SQP methods for mathematical programs with equilibrium constraints", SIAM J.Optim, 17(1), pp 259-286 [20] Fukushima M (1996), "Merit functions for variational inequality and complementarity problems", In Nonlinear Optim and Appl., G Di Pillo and F Giannessi eds., Plenum Plenum Publishing Corporation, New York, pp 155-170 84 [21] Geiger C and Kanzow C (1996), "On the resolution of monotone complementarity problems", Comput Optim Appl., 5(2), pp 155-173 [22] Gowda S M and Sznajdar R (1999), "On the limiting behavior of the trajectory of regularized solutions of a P0 complementarity problem", Appl Optim, 22, pp 371-379 [23] Hadamard J (1902), "Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique", Princeton University Bulletin, 13, pp 49-52 [24] Harker T P (1995), "Complementarity problem", In Handbook of Global Optim., R Horst and P Pardalos, eds, Kluwer Academic Publishers, Boston, pp 271-338 [25] Harker T P and Pang -S J (1990), "Finite-dimensional variational inequality and nonlinear complementarity problem: A survey of theory, algorithms and applications", Math Program., 48(2), pp 161-220 [26] N.T.T Hoa and N Buong (2014), "About regularization for constrained generalized complementarity problems", Journal of Science of Hnue, 59(7), pp 3-10 [27] Kadrani A., Dussault P J and Benchakroun A (2009), "A new regularization scheme for mathematical programs with complementarity constraints", SIAM J Optim., 20(1), pp 78-103 [28] Kanzow C (1996), "Nonlinear complementarity as unconstrained optimization", J Optim Theory Appl, 88(1), pp 139-155 [29] Kanzow C (1997), "A new approach to continuation methods for complementarity problems with uniform P − functions", Oper Res Lett., 20(2), pp 85-92 [30] Kanzow C and Fukushima M (1996), "Equivalence of the generalized complementarity problem to differentiable unconstrained minimization", J Optim Theory Appl., 90(3), pp 581-603 [31] Kanzow C and Schwartz A., "A new regularization method for mathematical programs with complementarity constraints with strong convergence properties", SIAM J Optim., 23(2), pp 770-798 85 [32] Kanzow C., Yamashita N and Fukushima M (1997), "New N CP functions and their properties", J Optim Theory Appl., 94(1), pp 115-135 [33] Kanzow and M Zupke M (1999), "Inexact trust-region methods for complementarity problems", Appl Optim., 22, pp 211-233 [34] Kojima M., Mizuno S and Noma T (1989), "A new continuation method for complementarity problems with uniform P −functions", Math Program., 43(1), pp 107-113 [35] Kojima M., Megiddo N and Noma T (1991), "Homotopy continuation methods for nonlinear complementarity problems", Math Oper Res., 16(4), pp 754-774 [36] Lin H G and Fukushima M (2005), "A modified relaxation scheme for mathematical programs with complementarity constraints", Ann Oper Res., 133, pp 63-84 [37] Liskovets A O (1981), "Variational methods for the solution of unstable problems", Naukai Tekhnika, Minsk [38] Luo -Q Z., Pang S J and Ralph D (1996), "Mathematical programs with equilibrium constraints", Cambridge University Press, Cambridge, United Kindom [39] Luo -Q Z., and Tseng P (1995), "A New Class of Merit Functions for the Nonlinear Complementarity Problem", Working Paper, Department of Electrical and Computer Engineering, McMaster University, Hamilton, Ontario, Canada [40] Mangasarian L O and Solodov V M (1993), "Nonlinear complementarity as unconstrained and constrained minimization", Math Program., 62, pp 277-297 [41] Mangasarian L O and Solodov V M (1999), "A linearly convergent derivative - free descent method for strongly monotone complementarity problems", Comput Optim Appl., 14, pp 15 - 16 86 [42] McLinden L (1980), "The complementarity problem for maximal monotone multifunctions", Wiley, Chichester, pp 251-270 [43] More’ J J (1974), "Classes of functions and feasibility conditions in nonlinear complementarity problems", Math Program., 6, pp 327338 [44] Olsson D (2010), "The linear complementarity problem: Methods and applications", Springer, SF2827 Topics in Optim [45] Outrata J., Kocvara M and Zowe J (1998), "Nonsmooth approach to optimization problem with equilibrium constaraints", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 28, xxii+273 pp ISBN: 0-7923 - 5170-3 [46] Scholtes S (2001), "Convergence properties of a regularization scheme for mathematical programs with coplementarity constraitnts", SIAM J Optim., 11(4), pp 918-936 [47] Silva P J G and Oliveira R P (2005), "A proximal algorithm with variable meiric for the P0 complementarity problem", SIAM J.Optim [48] Sun D (1999), "A regularization Newton method for solving nonlinear complementarity problems", Appl Math Optim., 40(3), pp 315-339 [49] Stefensen S and Ulbrich M (2010), "A new regularization scheme for mathematical programs with equilibrium constraints", SIAM J Optim, 20, pp 2504-2539 [50] Vasilev P F (1980), "Numerical methods for solving extreme problems", "Nauka", Moscow [...]... bài toán bù tuyến tính, bài toán bù phi tuyến và một số phương pháp giải các bài toán này Chương 2 trình bày định nghĩa và phương pháp hiệu chỉnh bài toán bù tổng quát; các định lí chứng minh sự tồn tại nghiệm và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Ngoài ra, chương 2 còn giới thiệu một số bài toán dẫn tới bài toán bù tổng quát như: bài toán qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận và bài. .. các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp bài toán không chính qui hay bài toán đặt không chỉnh Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán loại này 1.2.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh Khái niệm bài toán chỉnh. .. 1.3.1 Bài toán bù Bài toán bù tuyến tính Định nghĩa 1.4 Bài toán bù tuyến tính, ký hiệu bởi LCP (q, M ), là bài toán tìm vectơ x ∈ Rn sao cho x ≥ 0, F (x) ≥ 0, x, F (x) = 0, trong đó F : Rn −→ Rn là ánh xạ affin, nghĩa là F (x) = M x + q, M ∈ Rn×n , q ∈ Rn 13 Một số phương pháp giải bài toán bù tuyến tính • Phương pháp Lemke Hiện nay có khá nhiều thuật toán đã được đề xuất để giải bài toán bù tuyến... , bài toán (1.2) là bài toán cực trị không ràng buộc, có nghĩa là bài toán tìm một phần tử x˜ ∈ Rn sao cho ϕN (˜ x) = minn ϕN (x) (1.3) x∈R Do việc giải bài toán cực trị không ràng buộc đơn giản hơn so với bài toán cực trị có ràng buộc nên N Bường [4] đã biến đổi bài toán tối ưu phi tuyến tổng quát ban đầu thành bài toán tối ưu không ràng buộc, phụ thuộc tham số, bằng cách sử dụng phương pháp hiệu chỉnh. .. gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.1) và α = α(fδ , δ) gọi là tham số hiệu chỉnh Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp nổi tiếng và được sử dụng nhiều cho việc nghiên cứu và giải các bài toán đặt không chỉnh Chú ý 1.1 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có dạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh, nếu:... Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Trong những bài toán mà chúng ta đặt ra, đặc biệt là lớp những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra (nghiệm của bài toán) , thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm Ta có thể nói rằng, lớp các bài. .. qui hoạch toàn phương, trò chơi song ma trận và bài toán cân bằng thị trường Ví dụ số cùng kết quả tính toán minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh được trình bày ở cuối chương Chương 3 giới thiệu bài toán cực trị với ràng buộc là bài toán bù tổng quát, bao gồm: định nghĩa và một số kết quả nghiên cứu gần đây; phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán này và một số định lí chứng minh sự tồn tại nghiệm... i của F (i ∈ I := {1, , n}) Giữa bài toán bù tuyến tính N CP (F ) và bài toán tối ưu không ràng buộc có mối liên hệ thông qua bổ đề sau Bổ đề 1.2 ([21]) Giả sử bài toán bù N CP (F ) có ít nhất một nghiệm thì x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán bù khi và chỉ khi x∗ là cực tiểu toàn cục của bài toán cực tiểu không ràng buộc (1.15)-(1.16) Giả thiết tồn tại nghiệm của bài toán N CP (F ) là điều kiện cần Nếu... thiệu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cực trị tổng quát Mục 1.3 trình bày khái niệm về bài toán bù tuyến tính, bài toán bù phi tuyến và một số phương pháp giải các bài toán này trong trường hợp đơn điệu hoặc P0 - hàm Một số khái niệm trong chương này được trình bày dựa trên các tài liệu [1], [23] và [48] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Ánh xạ F : Rn → Rn được... ra bằng bài toán cụ thể Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luận án được bố cục gồm ba chương Chương 1 có tính chất bổ trợ, trình bày sơ lược về một số vấn đề có liên quan như: P0 - hàm, P - hàm, P - hàm đều, hàm đơn điệu, hàm đơn điệu mạnh, P0 - ma trận, P - ma trận; giới thiệu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cực trị tổng quát Chương ... phương pháp hiệu chỉnh toán bù tổng quát, là: hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa phiếm hàm Tikhonov hiệu chỉnh toán bù tổng quát có ràng buộc; định lí chứng minh tồn nghiệm hiệu chỉnh đánh giá tốc... quát 39 2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát 40 2.2.1 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát dựa phiếm hàm Tikhonov 40 2.2.2 Hiệu chỉnh toán bù tổng quát có ràng buộc... C V I(., ) toán bất đẳng thức biến phân LCP (., ) toán bù tuyến tính N CP (.) toán bù phi tuyến P N CP (., ) toán bù phi tuyến nhiễu GCP (., ) toán bù tổng quát CGCP toán bù tổng quát có ràng