ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH Trong nhiều toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, tìm giới hạn dãy số …chúng ta giải cách “đẹp đẻ” phương pháp lượng giác Sau số cách đặt toán minh họa I Một số cách đặt để đưa toán dạng lượng giác Các biểu thức thường gặp  x = a cos t ( ≤ t ≤ π )  π a − x đặt   π  x = a sin t  − ≤ t ≤ ÷ 2  a π 3π   đặt x = cos t  ≤ t < ∨ π ≤ t < ÷   π  π đặt x = a tan t  − < t < ÷ 2   x2 − a2 a2 + x2 x+ y x− y  x = tan t  π  x = tan t  π π π − < t , u < ÷ ; − < t , u < ÷   đặt đặt   − xy + xy 2 2  y = tan u   y = tan u  2 Nếu biến x toán thỏa x ≤  x = cos t  Đặt   x = sin t  ( 0≤t ≤π ) π  π − ≤ t ≤ ÷   Nếu biến x, y toán thỏa a x + b y = c2 ( a,b,c > ) c   x = a sin t ( ≤ t ≤ 2π ) Đặt   y = c cost  b Nếu biến x, y, z toán thỏa x + y + z = xyz xy + yz + zx =  x = tan t π   π Đặt  y = tan u  − < t , u, v < ÷   z = tan v   II Một số toán minh họa Phương trình, hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình x3 − 3x − = Lời giải: Đặt f ( x ) = x − 3x − Ta có f ( −1) = −1,5, f ( −0,5) = 0,5, f ( ) = −0,5, f ( 1) = 0,5 Do phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( −1;1) ta biết cos3α =4cos3α − 3cosα , đặt x = cos t ( ≤ t ≤ π ) phương trình có dạng cos3t = ⇔ t = ± π + k 2π với π 5π 7π π 5π 7π ≤ t ≤ π ⇒ t1 = ; t2 = ;t = ⇒ x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 9 9 9 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT π 5π 7π ; x3 = cos phương trình có nghiệm x1 = cos ; x2 = cos 9 ( Đặt 2t = ( + 1) ) ( x Bài 2: Giải phương trình + 2 = Lời giải: ⇔ 4t − 3t − = x ) x − + ( 1) ( t > 0) phương trình có dạng 4t − − 2t = ( *) π Đặt t = cos u ( ≤ u ≤ π ) phương trình có dạng cos3u = ⇔ u = ± + k 2π ⇒ π π π ; t = cos phương trình ( *) có nghiệm t1 = cos ; t2 = cos 9 Vậy Phương trình ( 1) có nghiệm π 5π  7π    x1 = log +1  cos ÷; x2 = log +1  cos ÷ ; x3 = log +1  cos ÷ 9      Bài 3: Giải phương trình 16 x5 − 20 x3 + x − = Lời giải: Đặt f ( x ) = 16 x5 − 20 x3 + 5x − Ta có f ( −1) = −1,5; f ( −0,9 ) = 0,1321; f ( ) = −0,5; Do phương trình có f ( 0,2 ) = 0,3451; f ( 0,5) = 0; f ( 0,6 ) = −0,575; f ( 1) = 0,5 nghiệm thuộc khoảng ( −1;1) ta biết cos5α =16cos5α − 20cos3α + 5cosα , π k 2π đặt x = cos t ( ≤ t ≤ π ) phương trình có dạng cos5t = ⇔ t = ± + với 15 π 5π 7π 11π 13π ≤ t ≤ π ⇒ t1 = ; t2 = ; t3 = ; t4 = ; t5 = 15 15 15 15 15 π π 7π 11π 13π ⇒ x1 = cos ; x2 = cos = ; x3 = cos ; x4 = cos ; x5 = cos Vậy phương 15 15 15 15 π π 7π 11π 13π ; x5 = cos trình có nghiệm x1 = cos ; x2 = cos = ; x3 = cos ; x4 = cos 15 15 15 15 Bài 4: Giải phương trình x − x3 − x2 + 3x + = Lời giải: Đặt f ( x ) = x − 8x3 − x + 3x + Ta có f ( −1) = 10; f ( −0,4 ) = −0,123; f ( ) = 1; Do phương trình có nghiệm thuộc f ( 0,6 ) = −0,575; f ( 1) = khoảng ( −1;1) Ta viết laị phương trình dạng ( x − 1) − = x3 − x Do đặt x = cos t ( ≤ t ≤ π ) t = k 2π  phương trình có dạng cos4t =cos3t ⇔  k 2π t=  2π 4π 6π ; t3 = ; t4 = 7 2π 4π 6π ⇒ x1 = 1; x2 = cos ; x3 = cos ; x4 = cos 7 với ≤ t ≤ π ⇒ t1 = 0; t2 = 2π 4π 6π ; x3 = cos ; x4 = cos Vậy phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = cos 7 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Bài 5: (Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi tỉnh Bến Tre năm học 2013-2014)  x = y(4 − y)  Cho hệ phương trình  y = z(4 − z) ( 1) Gọi ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình  z = x(4 − x)  (1) Tìm tất giá trị tổng T = x + y + z 2 Lời giải: Cộng vế hệ ta x + y + z = ( x + y + z ) − ( x + y + z ) ⇒ 3T = x2 + y + z ⇒ T ≥ ⇒ số x y z có số không âm giả sử x ≥ ⇔ y ( − y ) ≥ ⇔ ≤ y ≤ Với ≤ y ≤ ⇔ ≤ z ( − z ) ≤ ⇔ ≤ z ≤ ≤ z ≤ ⇔ ≤ x( − x) ≤ ⇔ ≤ x ≤ π  Đặt x = 4sin α  ≤ α ≤ ÷ (4) Từ (3), (2), (1)   ( ⇒ ) z = 4sin α − 4sin α =16sin α cos 2α = 4sin 2α ( ) x = 4sin 4α ( − 4sin 4α ) =16sin 4α cos2 4α = 4sin 8α y = 4sin 2α − 4sin 2α =16sin 2α cos2 2α = 4sin 4α (5) Từ (4) (5) suy 4sin 8α = 4sin α ⇔ cos16α = cos2α  α ⇔  α  = kπ = kπ ( k ∈Z ) π kπ Với α = ≤ α ≤ ⇒ k = 0; 1; 2; Với k = ⇒ x = 4sin = 0; y = 4sin ( 2.0 ) = 0; z = 4sin ( 4.0 ) = ⇒ T = Với k = 1; 2; ⇒ ta giá trị   ⇒ T =  sin π + sin 2π + sin 3π ÷ 7     = 1 − cos 2π +1 − cos 4π +1 − cos 6π ÷ 7     = −  cos 2π + cos 4π + cos 6π ÷ 7   π π π A= cos + cos + cos 7 π π π ⇒ 2sin A = 2sin cos + 2sin π cos 4π + 2sin π cos 6π 7 7 7 π π π π π π = sin − sin + sin − sin + sin − sin = − sin π 7 7 7 ⇒ A=- ⇒ T = π kπ Với α = ≤ α ≤ ⇒ k = 0; 1; 2; 3; Với k = ⇒ Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT x = 4sin = 0; y = 4sin ( 2.0 ) = 0; z = 4sin ( 4.0 ) = ⇒ T = Với k = 1; 2; ⇒ ta giá trị   ⇒ T =  sin π + sin 2π + sin 4π ÷ 9      = 1 − cos 2π +1 − cos 4π +1 − cos 8π ÷ = −  cos 2π + cos 4π + cos 8π 9  9   A= cos 2π + cos 4π + cos 8π 9 ⇒ 2sin π A = 2sin π cos 2π + 2sin π cos 4π + 2sin π cos 8π 9 9 9 = sin 3π − sin π + sin 5π − sin 3π + sin 9π − sin 7π 9 9 9 π π π π π = − sin + sin − sin = − sin − 2cos sin π ⇒ A=0 ⇒ S=6 9 9  3π 6π 12π  Với k = ⇒ S =  sin + sin + sin ÷ =   Vậy T nhận giá trị 0; 6; 7;  ÷  3   Bài 6: Giải phương trình + − x  ( + x ) − ( − x ) ÷ = + − x   Lời giải: Đặt x = cos t ( ≤ t ≤ π ) phương trình có dạng 3 + sin t  ( + cost ) − ( − cost ) ÷ = + sin t   t t 2 t t ⇔  cos + sin ÷  23 cos6 − 23 sin  ÷ = + sin t 2÷  2  t t t t ⇔ 2  cos + sin  cos3 − sin ÷ = + sin t ÷ 2  2  t t t t t t ⇔ 2  cos2 − sin  cos + cos sin + sin ÷ = + sin t ÷ 2  2 2  1     ⇔ 2cost 1 + sin t ÷ = + sin t ⇔ 2cost - 1 + sin t ÷ = 2       2cost - = ⇔ cost = ⇔  1 + sin t = ( VN )   ( Vậy phương trình có nghiệm x = ) 2 Chứng minh hệ thức a −b b −c c −a a −b b −c c −a + + = Bài 1: Chứng minh Với + ab + bc + ca + ab + bc + ca ab, bc, ca khác -1 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Lời giải: Đặt a = tan α ; b = tan β ; c = tan γ a − b tan α − tan β b − c tan β − tan γ = = tan ( α − β ) ; = = tan ( β − γ ) ; + ab + tan α tan β + bc + tan β tan γ c − a tan γ − tan α = = tan ( γ − α ) + ca + tan γ tan α a −b b −c c −a + + = tan ( α − β ) + tan ( β − γ ) + tan ( γ − α ) Ta có + ab + bc + ca sin ( A + B) sin C tan A + tan B + tan C = + cosA + cosB cosC sin ( A + B) cosC + sin Csin ( A + B ) = cosAcosBcosC sin ( A + B + C ) -cos ( A + B ) sin C + cosAcosBsin C = cosAcosBcosC sin ( A + B + C ) +sin Asin Bsin C sin ( A + B + C ) = = + tan A tan Btan C cosAcosBcosC cosAcosBcosC sin ( A + B + C ) ⇒ tan A + tan B + tan C = + tan A tan Btan C cosAcosBcosC a −b b −c c −a ⇒ + + = tan ( α − β ) + tan ( β − γ ) + tan ( γ − α ) + ab + bc + ca sin ( α − β + β − γ + γ − α ) = + tan α tan β tan α cosα cosβ cosγ sin = + tan α tan β tan α cosα cosβ cosγ a −b b −c c −a = (đpcm) + ab + bc + ca 3a − a 3b − b 3c − c2 3a − a 3b − b 3c − c + + = Bài 2: Chứng minh Với − 3a − 3b − 3c2 − 3a − 3b2 − 3c a + b + c = abc a, b, c có giá trị tuyệt đối khác Lời giải: Đặt a = tan α ; b = tan β ; c = tan γ sin ( α + β + γ ) tan α + tan β + tan γ = + tan α tan β tan γ cosα cosβ cosγ Do tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ α + β + γ = kπ ( k ∈ Z ) 3a − a 3tan α − tan α 3b − b 3tan β − tan β = = tan3 α ; = = tan3β ; − 3a − 3tan α − 3b2 − 3tan β 3c − c 3tan γ − tan γ = = tan3γ − 3c − 3tan γ α + β + γ = kπ ( k ∈ Z ) ⇔ 3α + 3β + 3γ = 3kπ Vậy tan3α + tan3β + tan3γ = tan3α tan3β tan3γ 3a − a 3b − b2 3c − c 3a − a 3b − b 3c − c ⇔ + + = (đpcm) − 3a − 3b − 3c − 3a − 3b − 3c Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Bài 3: Cho ab + bc + ca = ( a, b, c > ) Chứng minh 1 + + = 2 bc ( + a ) ca ( + b ) ab ( + c ) abc + a + b + c Lời giải: Đặt a = tan α ; b = tan β ; c = tan γ ta có tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = ⇔ tan β tan γ + tan γ tan α = − tan α tan β tan α + tan β ⇔ tan γ ( tan β + tan α ) = tan ( α + β ) ⇒ tan γ = Ta có π   < α , β , γ < ÷ theo giả thiết   = cot ( α + β ) ⇒ α + β + γ = tan ( α + β ) π  1  = = co t β co t γ cos 2α  bc + a tan β tan γ + tan α   1 = = co t γ co t α cos β  2 ca + b tan γ tan α + tan β   1   ab + c = tan α tan β + tan γ = co t α co t β cos γ  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do VT = co t β co t γ cos 2α + co t γ co t α cos β + co t α co t β cos 2γ = co t β co t γ cos 2α + co t γ co t α cos β + co t α co t β cos 2γ = co t α co t β co t γ ( tan α cos 2α + tan β cos β + tan γ cos 2γ ) = co t α co t β co t γ ( sin 2α + sin 2β + sin 2γ ) = co t α co t β co t γ 4cosα cosβ cosγ ( 2α + 2β + 2γ = π ) 2 ⇒ 2co t α co t β co t γ cosα cosβ cosγ = (đpcm) abc + a + b + c 3.Bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ n n Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có ( + a ) + ( − a ) ≤ 2n Với a ≤ Lời giải: Đặt a = cost ( + a ) + ( − a ) = ( + cost ) + ( − cost ) t t t t   = 2n  cos n + sin n ÷ ≤ 2n  cos2 + sin ÷ = 2n n  2  t t t cos2 ≤ ⇒ cos2 n ≤ cos2 Vì 2 t t t sin ≤ ⇒ sin n ≤ sin 2 n n n 2 2 Bài 2: Cho a + b − 2a − 4b + = Chứng minh a + b + 3ab − + ab + − b − + ≤ 2 ( ) ( ) Lời giải: Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Ta có a + b2 − 2a − 4b + = ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) =  a − = sin t ⇔ a = + sin t Đặt  b − = cost ⇔ b = + cost 2 π ≤2 ÷  + x4 y = Bài 3: Tìm gía trị lớn giá trị nhỏ hàm số ( + x2 ) ( ) ( ) a + b + 3ab − + ab + − b − + = 2sin  2t − + x4  2x  =1−   + x ÷ 1+ 2x + x π  π  2tan t  = − sin 2t Đặt x = tan t  − < t < ÷ hàm số có dạng y = −  ÷ 2  + tan t   Vậy ymax = sin2t = 0, ( -π < 2t < π ) ⇒ t = ⇒ x = tan = π π ymin = sin2t = ±1, ( -π < 2t < π ) ⇒ 2t = ± ⇒ x = ± tan = ±1 2 4 Tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số un + − , n = 1,2,3, Tính u2013 Bài 1: Cho dãy số { un } thỏa u1 = 2, un+1 = − un + Lời giải: Ta viết laị hàm số dạng y = ( ) π π ý − = tan Khi π π π tan  α + ÷+ tan tan α + tan π 8 = tan  α + π   = tan α +  , u = u2 =  ÷  π π π 8 ÷   + tan α tan + tan α + ÷tan 8  π  Bằng qui nạp ta chứng minh un = tan  α + ( n − 1) ÷, ∀n ≥ 8  π 1  Vậy u2013 = tan α + 2012 ÷ = − cot α = − tan α = −   Bài 2: Cho dãy số { un } thỏa u0 = 2, un+1 = + un , ∀n ∈ N Tính limun π π π  Lời giải: Ta có u0 = = 2cos , u1 = + u0 = 1 + cos ÷ = 2cos 4  π Bằng qui nạp ta chứng minh un = 2cos n + , ∀n ≥ π   Vậy lim un = lim  2cos n+ ÷ = 2cos0 =   III Bài tập tự giải Chứng minh a + b2 = c + d = ac + bd ≤ Giải phương trình −4 x3 + 3x − = 2 Giải phương trình 32 x ( x − 1) ( x − 1) = − x , khoảng ( 0;1) Lời giải: Đặt u1 = = tan α , < α < Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Cho ≤ ≤ 1, i = 1,2, , n ∀n ∈ N * Chứng minh ( + a ) ( + a ) ( + a ) + ( − a ) ( − a ) ( − a ) ≤ 2 2 n 2 2 n n Cho a, b, c > thỏa mãn ab + bc + ca =1 Tính giá trị biểu thức (1+ b ) (1+ c ) + b (1+ c ) (1+ a ) + c (1+ a ) (1+ b ) M =a + a2 2 + b2 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT 2 + c2 ... Tính giới hạn tìm số hạng tổng quát dãy số un + − , n = 1,2,3, Tính u2013 Bài 1: Cho dãy số { un } thỏa u1 = 2, un+1 = − un + Lời giải: Ta viết laị hàm số dạng y = ( ) π π ý − = tan Khi π π... Lời giải: Ta có u0 = = 2cos , u1 = + u0 = 1 + cos ÷ = 2cos 4  π Bằng qui nạp ta chứng minh un = 2cos n + , ∀n ≥ π   Vậy lim un = lim  2cos n+ ÷ = 2cos0 =   III Bài tập tự giải Chứng... 2 Chứng minh hệ thức a −b b −c c −a a −b b −c c −a + + = Bài 1: Chứng minh Với + ab + bc + ca + ab + bc + ca ab, bc, ca khác -1 Phạm Đình Luyến, Chuyên viên Phòng GDTrH, Sở GD&ĐT Lời giải: