Chương II: BIẾN NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN) II.1 Định nghĩa phân loại II.2 Biểu diễn phân phối xác suất biến ngẫu nhiên II.2.1 Bảng phân phối XS BNN rời rạc II.2.2 Hàm phân phối XS BNN II.2.3 Hàm mật độ XS BNN liên tục II.3 Một số tham số đặc trưng BNN II.3.1 Kz vọng toán II.3.2 Phương sai độ lệch II.3.3 Mốt II.3.4 Trung vị II.3.5 Mômen, Hệ số bất đối xứng,Hệ số nhọn (tham khảo) II.3.7 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính số tham số đặc trưng II.4 Một số phân phối xác suất thông dụng II.4.1 Phân phối Bernoulli II.4.2 Phân phối nhị thức II.4.3 Phân phối hình học II.4.4 Phân phối siêu bội II.4.5 Phân phối Poisson II.4.6 Phân phối II.4.7 Phân phối mũ II.4.8 Phân phối chuẩn II.4.9 Phân phối Student II.4.10 Phân phối Khi Bình phương II.4.11 Phân phối Fisher II.5 Các định lý giới hạn ( Từ II.5.1 đến II.5.4 : tham khảo) II.6 Hàm Biến ngẫu nhiên (phần đọc thêm file word kèm theo) II.1 Định nghĩa phân loại Định nghĩa: Một biến số gọi biến ngẫu nhiên ( hay gọi biến số ngẫu nhiên – random variable, đại lượng ngẫu nhiên) kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động yếu tố ngẫu nhiên Kí hiệu cho biến ngẫu nhiên: X, Y, Z , X1 , X2 …, Xn, … Các giá trị có chúng kí hiệu chữ in thường x, x1, x2, ,xn, y1, y2… Biến X gọi ngẫu nhiên trước tiến hành phép thử ta chưa thể biết chắn nhận giá trị bao nhiêu, dự đốn điều với xác suất định Biến ngẫu nhiên phân làm loại: * Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc ta đếm giá trị có ( hữu hạn vơ hạn) VD: - Số chấm xuất tung xúc xắc BNN rời rạc - Một người định mua vé số thường xuyên trúng giải đặc biệt thơi Gọi X số tờ vé số không trúng giải đặc biệt người đó, X BNN rời rạc * Biến ngẫu nhiên gọi liên tục giá trị có lấp đầy hay nhiều khoảng trục số Như biến ngẫu nhiên liên tục , người ta đếm giá trị có Chiều cao trẻ em địa phương, mực nước mưa đo sau trận mưa… ví dụ biến ngẫu nhiên liên tục Nếu kí hiệu { xi ,iI } tập giá trị có X việc X nhận giá trị “X= x1”, “X=x2”… thực chất biến cố ngẫu nhiên Hơn nữa, thực phép thử, X định nhận giá trị có tập {xi ,iI} , tập tất biến cố ,“X= xi” ,iI } tạo nên nhóm biến cố đầy đủ Lưu {: cần phân biệt khái niệm “Biến cố ” “Biến ngẫu nhiên“ II.2 Biểu diễn phân phối xác suất BNN • Quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên tương ứng giá trị có với XS tương ứng • Người ta thường dùng hình thức mơ tả quy luật phân phối xác suất BNN là: - Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho BNN rời rạc ) - Hàm mật độ xác suất (chỉ dùng cho BNN liên tục ) - Hàm phân phối xác suất (dùng cho loại BNN ) II.2.1 Bảng phân phối xác suất BNN rời rạc Bảng phân phối xác suất BNN rời rạc đặc trưng cho phân phối xác suất BNN X điểm, có dạng: X P x1 p1 x2 … xn (…) p2 … pn (…) đây: x1 < x2 < …< xn (…) ; xi giá trị có X pi = P( “X= xi “) , i Các tính chất :   pi   p i 1 i II.2.2 Hàm mật độ xác suất BNN liên tục Để biểu thị mức độ tập trung xác suất biến ngẫu nhiên liên tục lân cận điểm, người ta đưa vào khái niệm hàm mật độ xác suất Ta nói f(x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên  liên tục  f ( x)  0, x      f ( x)dx    Các tính chất:  P( a X  b) = b  f ( x )dx a  P( X = x0) = , x0 ; * P( a  X < b) = P( a  X  b) = P( a < X < b) = P( a < X  b) II.2.3 Hàm phân phối xác suất Giả sử X biến ngẫu nhiên , x số thực bất kz Khi x thay đổi xác suất biến cố “ X < x ” thay đổi theo Ta định nghĩa F(x) = P( X< x) , x  (*) hàm phân phối xác suất X, (còn gọi hàm phân bố tích lũy – cumulative distribution function ) Về mặt { nghĩa, giá trị hàm phân phối xác suất biến X điểm x0 phản ánh mức độ tập trung xác suất BNN X phía bên trái số thực x0 (*): số tài liệu khác, người ta định nghĩa F(x) = P( X x) , x Các tính chất hàm phân phối xác suất :   F(x)  1, x  F(-) = F(+) =  Nếu x1 < x2 F(x1)  F(x2)  F(x) hàm tăng  P( a  X < b) = F(b) – F(a)  Nếu X BNN rời rạc F(x)   pi xi  x x  Nếu X BNN liên tục F(x)   f (t )dt ;  f(x) = F’(x) P( aX  b) = F(b) – F(a) * F(x) hàm khả vi ( trừ số đếm điểm) Hàm phân phối BNN liên tục liên tục Ví dụ Một hộp gồm bi trắng bi xanh cỡ Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Gọi X biến ngẫu nhiên số bi xanh bi lấy a) Lập bảng phân phối XS X b) Gọi F(x) hàm phân phối XS X Tìm F(-1); F(2); F(2,3) biểu thức F(x) c) Vẽ đồ thị hàm phân phối XS X d) Tính E(X); E(X2); D(X); Mod(X); Med(X), e) Tính E(2X+1); E(3X2+5) ( câu d) e) xem phần L{ thuyết II.3 phía sau) 10 Gọi X tuổi thọ sản phẩm loại X  N( 11, (2 năm)2) a) P( X ≤ 10) = P( ≤ X ≤ 10) =  10  11   11         (0,5)  0,5   0,1915  0,5  0,3085     b) Gọi A thời hạn bảo hành cần tìm theo yêu cầu Từ giả thiết suy P( X ≤ A)= 10%, hay  A  11 A  11     0,4   (  1,28)   1,28     A  11    0,5  0,1   (do hàm  đơn điệu) Suy A= 8,4 năm c) A b/c sản phẩm hoạt động tốt qua thời gian bảo hành, B biến cố sản phẩm hoạt động tốt năm tiếp Xác suất cần tìm: 13-11 0,5-Φ( ) P(AB) P(X>13) P(B/A)= = = =0,5142 10-11 P(A) P(X>10) 0,5-Φ( ) 60 SV đọc giáo trình để tìm hiểu thêm dạng phân phối sau: 0.4 0.35 (A) 0.3 0.25 f(t) II.4.9 Phân phối Student (A) Khi n  30, PP Student coi xấp xỉ PP Chuẩn chuẩn tắc II.4.10 Phân phối Chi bình phương (B) ( hay Khi bình phương) II.4.11 Phân phối Fisher (C) 0.2 0.15 0.1 0.05 -5 -4 -3 -2 -1 t 0.9 Xem Giáo trình 0.8 (C) 0.7 (B) f(x) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.5 1.5 x 2.5 3.5 61 II.5 CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN II.5.1 Bất đẳng thức Chebyshev: Nếu X biến ngẫu nhiên có kz vọng tốn phương sai hữu hạn với số dương  tùy ý ta ln có: Ví dụ 21: P  X  E( X )     1 D( X ) 2 Thu nhập trung bình hàng năm dân cư vùng 18 triệu độ lệch chuẩn 3,2 triệu đồng Hãy tìm khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình 95% cư dân vùng HD: Gọi X BNN mức thu nhập hàng năm dân cư vùng Ta chưa biết phân phối xác suất X biết E(X)=18 triệu, D(X)= (3,2 triệu đồng)2 3, 22 Theo bđt Chebyshev : P  X  18       Cho vế phải =0,95   =14,3108 Khoảng cần tìm ( 18 -14,3108; 18+14,3108) II.5.2 Định lý Chebyshev: • Nếu BNN X1, X2, …,Xn độc lập đơi, có kz vọng tốn hữu hạn phương sai bị chặn số C với số dương  tùy ý ta ln có:  X  X   X n E  X   E  X    E  X n   lim P      1   n  n n   • Trường hợp riêng, BNN X1, X2, …,Xn độc lập đơi, có kz vọng E(Xi) = m, i=1,2,…,n; phương sai bị chặn với số dương  tùy ý ta ln có:  X  X   X n  lim P   m    1 n  n   Định l{ gọi luật số lớn Chebyshev • Định lý Chebyshev chứng minh hội tụ theo xác suất trung bình số học số lớn BNN trung bình số học kz vọng tốn tương ứng, BNN độc lập nhận giá trị khác nhiều so với kz vọng toán chúng • Định lý Chebyshev có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác Ví dụ: + Trong việc đo lường đại lượng vật lý, người ta thường tiến hành đo nhiều lần lấy trung bình số học kết đo làm giá trị thực đại lượng cần đo Định lý Chebyshev trung bình số học kết đo sai lệch so với giá trị thực đại lượng cần đo + Định lý Chebyshev cho phép dự đoán giá trị trung bình số học BNN Nó sở phương pháp mẫu thống kê: dựa vào mẫu ngẫu nhiên nhỏ kết luận tồn tập hợp tổng quát đối tượng nghiên cứu II.5.3 Định lý Bernoulli: m Nếu fn = tần suất xuất biến cố A n phép thử độc n lập p xác suất xuất biến cố phép thử với số dương  tùy ý ta ln có: lim P  f n  p     n  • Định lý cịn gọi luật số lớn Bernoulli, xem sở toán học định nghĩa xác suất theo thống kê • Ở hội tụ theo xác suất tần suất f = m/n  p khác với hội tụ theo nghĩa giải tích cổ điển Theo nghĩa giải tích, với  >0 cho trước, ln tồn số tự nhiên N để với n> N |m/n – p|<  Sự hội tụ hiểu theo nghĩa xác suất chỗ dù n lớn xảy trường hợp cá biệt mà biểu thức |m/n – p|<  không thỏa mãn II.5.4 Định lý Giới hạn trung tâm: ( Trường hợp riêng) Giả sử X1, X2,…,Xn BNN độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất Kí hiệu E(Xi)= a D(Xi)=  2, i Khi n  , có hội tụ theo xs BNN sau: a) Bnn X = X1+ X2+ …+ Xn hội tụ phân phối chuẩn N(n.a,n. 2) 2 X  X   X n b) Bnn X  hội tụ phânphối chuẩn N(a, ), n n X a hay Bnn U   n hội tụ phân phối chuẩn tắc N(0,1) Nói cách khác, n  , ta có: P(U  x)  2 x e t2  dt  Trong phần thống kê, n>30 ta sử dụng công thức xấp xỉ Ví dụ 22: Tung xúc xắc 200 lần Tính xác suất tổng số chấm thu lần tung nhận giá trị từ 300 đến 650 Gọi Xi số chấm xuất xúc xắc lần tung thứ i, i=1,2,…,200 Các Xi độc lập, ta tính E(Xi) = 3,5 D(Xi)  2,9167 Đặt X = X1+ X2 + … + X200 E(X) = 2003,5 = 700; D(X) = 200 2,9167 = 583,3333 Theo định l{ giới hạn trung tâm: X  N(700; 583,3333) Do xác suất cần tìm:  650  700   300  700  P(300  X  650)        1,92%  583,3333   583,3333  Ví dụ 23: Chọn ngẫu nhiên 500 số đoạn [1; 2] Tính xác suất giá trị trung bình số nằm khoảng (1,45; 1,55) Gọi Bnn Xi giá trị số thứ i chọn, i=1,2,…,500 Ta xem Xi có phân phối liên tục *1; 2+ Các Xi độc lập ta tính E(Xi) = 1,5; D(Xi) =1/12 0,0833 Đặt: X= X1 + X + … + X500 500 0,8333   =0,000167  Theo định l{ giới hạn trung tâm: X N 1,5; 500   Do xác suất cần tìm:  1,55  1,5   1, 45  1,5  P(700  X  800)        99,99%  0, 000167   0, 000167  II.5.5 Các công thức gần đúng: ( trích từ GT, sử dụng mục II.4.2; II.4.4) 1- Xấp xỉ Phân phối Siêu bội vớiø phân phối Nhị thức M  p với k  0, n , ta coù N  N Định lý 4.18 Cho X ~ H (N, M, n) Nếu n cố định lim lim P ( X  k)  Cnk p k qn  k ˆ N   M Theo định lý 4.18, N lớn so với n coi X ~ B  n,   N tức ta có công thức gần k n k CM CN M n CN  M  M  Cnk  k M  1   N  n k , k  0, n 2- Xấp xỉ Phân phối Nhị thức vớiø phân phối Poisson Định lý 4.19 Cho X ~ B (n, p) Nếu p  np   n   với k  0, n ta coù lim P ( X  k)  e  n k k! Theo định lý 4.19, p bé n lớn coi X ~ P (np), tức ta có công thức gần đúng: Cnk p k qn  k e  np npk , k  0, n k! 3- Phân phối Nhị thức phân phối Chuẩn Định lý 4.20 (Định lý Moivre - Laplace địa phương) Cho X ~ B (n, p) Neáu n, k  N  k  np  k  np . n cho x  bị chặn n   P( X  k)  f   npq  npq  npq n  n   f hàm mật độ Gauss Theo định lý 4.20, n lớn ta có công thức gần Cnk p k qn  k   k  np  , k  0, n f  npq  npq  Định lý 4.21 (Định lý Moivre - Laplace tích phân) Với giả thiết định lý 4.20,   k  np   k1  np       P k1  X  k2   n    ta coù       npq   npq  đó: n  n    tích phân Laplace Theo định lý 4.21, n lớn ta có công thức gần đúng: P k1  X  k2   k2  k  np        k1  np  Cnk p k qn  k     npq   npq  k  k1      Hai công thức gần sau thường sử dụng p không gần 1, trường hợp sai số lớn II.6 HÀM CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Dạng bài: Cho biết quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X, tìm quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y=f(X) Ví dụ 24 Cho X có bảng phân phối xác suất: X P 22 n 2n   Tìm bảng phân phối xác suất BNN Y  cos  X  2  Hướng dẫn: X P Y  P(Y=0) = 2 23 22 -1  n … 24 25 Y pi … 2n … ……  ; P(Y=-1) =  1 1   2 1   P(Y=1) = 24 15   1 1   2 1  1 1   2 -1 4/15  15 2/3 1/15 Ví dụ 25 Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối đoạn *1, 4+ Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y = lnX + Hướng dẫn: Hàm mật độ xác suất X: Hàm phân phối XS X : 1  f X ( x)   0  1  FX (x)   x  3  x  [1; 4] x  [1; 4] x 1 1 x  x4 Kí hiệu FY(y) hàm phân phối xác suất Y Ta thấy: FY(y) = P(Y< y) = P(lnX+1 < y) = P(X < ey-1) = FX(ey-1 ) với yR    y 1  e  3   e y 1  1  e y 1  e y 1  y 1  1  y 1  e  3    y  ln  y  ln  Từ tìm thêm hàm mật độ XS Y:  y 1  e fY ( y )    0  y  ln  y [1; ln  1] .. .II. 4 Một số phân phối xác suất thông dụng II. 4.1 Phân phối Bernoulli II. 4.2 Phân phối nhị thức II. 4.3 Phân phối hình học II. 4.4 Phân phối siêu bội II. 4.5 Phân phối Poisson II. 4.6 Phân phối II. 4.7... Phân phối mũ II. 4.8 Phân phối chuẩn II. 4.9 Phân phối Student II. 4.10 Phân phối Khi Bình phương II. 4.11 Phân phối Fisher II. 5 Các định lý giới hạn ( Từ II. 5.1 đến II. 5.4 : tham khảo) II. 6 Hàm Biến... phân phối biến ngẫu nhiên không phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên nhận giá trị bao nhiêu, xem thêm chương III)  Tham khảo: Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên Y = (X), thì: + E(Y)=  φ(x i ).pi X BNN rời rạc