ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Huỳnh Văn Đức XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ GIẢI BÀI TOÁN TÌM KIẾM VỚI TRI THỨC HEURISTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Tp Hồ Chí Minh – Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Huỳnh Văn Đức XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ GIẢI BÀI TOÁN TÌM KIẾM VỚI TRI THỨC HEURISTIC Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số chuyên ngành: 62 48 01 01 Phản biện 1: PGS.TS Phan Trung Huy Phản biện 2: PGS.TS Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS Trần Nam Dũng Phản biện độc lập 1: PGS.TS Đoàn Văn Ban Phản biện độc lập 2: TS Hồ Trung Dũng Phản biện độc lập 3: PGS.TS Bùi Xuân Hải NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp GS.TSKH Bùi Doãn Khanh Tp Hồ Chí Minh – Năm 2013 ii Chân thành tri ân: GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam; GS TSKH Bùi Doãn Khanh, Đại học Paris VI, Cộng hòa Pháp Những người thầy đáng kính, dày công hướng dẫn giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án iii Tác giả xin chân thành cảm ơn:  Quý Thầy Cô Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia TP.HCM;  Quý Thầy Cô, Nhân viên Khoa Hệ thống Thông tin kinh doanh, Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;  Quý Thầy Cô, Nhân viên Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM; quan tâm giúp đỡ tận tâm thiết thực trình nghiên cứu trình hoàn thành luận án Xin chân thành cám ơn quý Giáo sư, Phó Giáo sư đọc góp ý chân thành để tác giả hoàn thiện luận án Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân động viên giúp đỡ suốt trình thực luận án Cuối xin cảm ơn người vợ thân yêu hai ngoan đóng góp giá trị tinh thần to lớn để chồng, cha hoàn thành công việc Tp Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2013 Huỳnh Văn Đức iv Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu hướng dẫn tập thể giáo sư hướng dẫn Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Huỳnh Văn Đức v Mục lục Lời cam đoan iv Mục lục v Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ix Danh mục hình vẽ, đồ thị x MỞ ĐẦU .1 Chương 1 TỔNG QUAN 10 Các khái niệm tính toán lượng tử 10 1.1 Thanh ghi lượng tử .10 1.2 Đo lượng tử 12 1.3 Cổng lượng tử .14 Thuật toán lượng tử .16 2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát 16 2.2 Mô hình dây 18 2.3 Chương trình 23 Tích nửa trực tiếp .25 3.1 Khái niệm 25 3.2 Tích bện 26 Cấu trúc đại số Lie .27 4.1 Hệ nghiệm nhóm Lie 28 4.2 Cấu trúc su(N) 29 vi 4.3 Cấu trúc so(2N) 31 4.4 Nhóm Weyl 33 Phép biến đổi Hough 34 Kết luận 37 Chương - THUẬT TOÁN TÌM MẪU .38 Mở đầu 38 Phép biến đổi Hough nhóm 42 2.1 Phép biến đổi Hough 42 2.2 Phép biến đổi Hough tổng quát 43 2.3 Tổng quát hóa .44 2.4 Thuật toán tìm mẫu .47 Xây dựng thuật toán tìm mẫu 48 3.1 Mô tả hàm Boole định 48 3.2 Cài đặt hàm Boole định 51 3.3 Bổ sung heuristic 57 Các ví dụ minh họa 60 4.1 Tìm mẫu tịnh tiến 60 4.2 Tìm chu trình Hamilton 64 Kết luận 65 Chương - HỘP ĐEN 67 Mở đầu 68 Biểu diễn hộp đen 71 2.1 Chéo hóa đồng thời hộp đen 72 vii 2.2 Biểu diễn hộp đen qua đại số Lie 73 Hai sở đại số Lie xuyến tối đại chuẩn .75 3.1 Cơ sở chuẩn 76 3.2 Cơ sở Hadamard 77 3.3 Họ tổ hợp tuyến tính ngắn 78 3.4 Cài đặt sở W .79 3.5 Cài đặt sở W sở B 81 Cài đặt 87 4.1 Cài đặt cổng tịnh tiến 88 4.2 Cài đặt cổng so sánh .90 4.3 Hộp đen nhóm hoán vị 94 Kết luận 100 Chương - PHÂN RÃ 102 Mở đầu .102 Phân rã Cartan chuẩn 106 2.1 Phân rã không gian nghiệm 106 2.2 Phân rã Cartan chuẩn 111 Phân rã su(N) .113 Phân rã so(2N) 116 Cài đặt 120 5.1 Phép biến đổi hoán vị 120 5.2 Cài đặt phép biến đổi dịch chuyển bit 121 Kết luận 128 viii KẾT LUẬN .129 KIẾN NGHỊ 130 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ .131 TÀI LIỆU THAM KHẢO .132 CHỈ MỤC 142 ix Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Trong suốt luận án này, dùng thống nhất: Ký hiệu  U(n): nhóm unita cấp n;  SU(n): nhóm unita cấp n có định thức đơn vị;  SO(n): nhóm trực giao cấp n có định thức đơn vị;  u(n): đại số Lie U(n);  su(n): đại số Lie SU(n);  so(n): đại số Lie SO(n) ;  Pr(A): xác suất xảy biến cố A;   f : B n  B m  : tập mẫu ; đó, B = {0, 1} thành phần  x  B k đánh số từ bên phải x   xk 1 , , x1 , x0   xk 1 x1x0 ;  G g : nhóm Lie đại số Lie tương ứng;  T t : xuyến tối đại chuẩn đại số Lie tương ứng;  H: phép biến đổi Hadamard;  F: phép biến đổi Fourier lượng tử ;  Uf : hộp đen lượng giá hàm mẫu f;  Gf : phần thuật toán Grover áp dụng lên hàm Boole f;  U : phép biến đổi điều khiển (U tác động điều kiện thỏa) Viết tắt  Qubit: bít lượng tử;  HSP: toán tìm nhóm ẩn, thường nhóm giao hoán;  NHSP: toán tìm nhóm ẩn nhóm không giao hoán 128 Kết luận Với đại số giao hoán cực đại có phân rã không gian nghiệm (1.23); chọn phân rã Cartan nhận đại số đại số Cartan phân rã (Định lý 4.3) Kết hợp hai phân rã lại đề xuất định lý phân rã (Định lý 4.2, Định lý 4.4 (Định lý phân rã)) Với SU(2n) SO(2n), dùng lại sở (1.28), (1.35), áp dụng Định lý 4.3, chọn phân rã Cartan; kết nhận hai trường hợp riêng (Hệ 4.2, Hệ 4.3); qua xây dựng hai thủ tục phân rã (Thuật toán 4.2 (phân rã su(N)), Thuật toán 4.3 (phân rã so(2N))) Ngoài ra, để dùng Định lý 4.2, cần phải mô tả phần tử nhóm qua phần tử đại số Lie, đưa hai kết nhỏ (Bổ đề 4.1, Bổ đề 4.2) Cuối cùng, áp dụng xây dựng phép biến đổi nhóm hoán vị, phân rã Cartan chuẩn khả thi cho lớp phép biến đổi (Mệnh đề 4.2) Cách làm Các kết phân rã trước thường tập trung vào SU(N) [21], [22], [38], [69], [86], lúc tập trung vào SO(2N), phù hợp với phép biến đổi trực giao thực, phép biến đổi hoán vị 129 KẾT LUẬN Những kết luận án gồm có: Thuật toán lượng tử giải toán tìm mẫu với thông tin heuristic Mẫu chịu tác động nhóm G thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định G, xác định lời giải toán Hàm f sử dụng thuật toán Grover để giải toán Mô hình cho phép dùng phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm kiếm lớp kề nhóm cho trước Kỹ thuật phân tích hộp đen thành cổng lượng tử Hộp đen biểu diễn qua phần tử đại số Lie xuyến tối đại chuẩn Các phần tử xây dựng hiệu dãy tác động phụ hợp cổng CNOT Toffoli lên sở đại số Lie su(2) Dùng kỹ thuật này, phép biến đổi so sánh, tịnh tiến hoán vị dùng để thiết kế thuật toán tìm mẫu cài đặt hiệu Thủ tục phân rã Cartan chuẩn Chọn phân rã Cartan hạng cực đại từ xuyến tối đại chuẩn nhóm tương ứng, thủ tục xây dựng có kết hợp phân rã không gian nghiệm Áp dụng phân rã đồng thời phép biến đổi hoán vị, cung cấp cách cài đặt khác phép biến đổi nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ người xây dựng thuật toán giải toán cụ thể 130 KIẾN NGHỊ Những nghiên cứu tập trung vào: Áp dụng giải nhiều toán cụ thể; Sử dụng thuật toán đếm lượng tử để cải tiến thuật toán tìm mẫu; Cài đặt nhóm nhóm Sn hộp đen; Tìm kiếm lớp hộp đen cài đặt hiệu kỹ thuật cài đặt hộp đen luận án; Xây dựng phương pháp xấp xỉ dựa khái niệm tổ hợp tuyến tính ngắn; Cài đặt phiên lượng tử phép biến đổi cổ điển khác tìm cách áp dụng xây dựng thuật toán lượng tử 131 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [D1] Huynh Van Duc, Bui Doan Khanh, Do Ngoc Diep (2008), Pattern Search Quantum Algorithms, Addendum Contributions to 2008 IEEE International Conference RIVF, ISSN 1242-5125 ENST S (Paris), July 1317, 2008, Ho Chi Minh City, Vietnam, pp 36-40 [D2] Huynh Van Duc, Bui Doan Khanh, Do Ngoc Diep (2008), “Quantum Algorithm for Searching Patterns”, Journal of Science and Technology, Vol46, N5A, 2008, pp 67-78 [D3] Huỳnh Văn Đức, Đỗ Ngọc Diệp, Bùi Doãn Khanh (2009), “Tiếp cận đại số xây dựng thuật toán lượng tử”, Tạp chí Ứng dụng Toán học, Tập VII, số 01, 06-2009, pp 093-110 [D4] Huynh Van Duc, Bui Doan Khanh, Do Ngoc Diep (2011), “A Quantum Algorithm for Solving the Traveling Salesman Problem”, Journal of Science and Technology, Vol49, N5, 2011, pp 25-34 [D5] Huỳnh Văn Đức (2012), “Thuật toán phân rã Cartan hạng cực đại”, Tuyển tập Công trình nghiên cứu Công nghệ Thông tin Truyền thông 2012, ICTFIT’ 12, 2012, pp 11-17 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aaronson, S and Ambainis, A (2009), The Need for Structure in Quantum Speedups, arXiv: quant-ph/0911.0996v1 [2] Agaian, S S and Klappenecker, A (2002), Quantum Computing and a Unified Approach to Fast Unitary Transforms, arXiv:quant- ph/0201120v1 [3] Alagic, G et al (2006), Subexponential-Time Algorithms for Hidden Subgroup Problems Over Product Groups, arXiv:quant-ph/0603251v1 [4] Ambainis, A (2007), A nearly optimal discrete query quantum algorithm for evaluating NAND formulas, arXiv: quant-ph/0704.3628v1 [5] Ambainis, A (2010), New Developments in Quantum Algorithms, arXiv: quant-ph/1006.4014v1 [6] Amini, S M (2009), "Quantum Algorithms of Decision and Planning Problems", Oriental J Math., Vol 1, No 1, pp 27-49 [7] Angelakis, D G et al (2006), Quantum Information Processing, IOS Press, Amsterdam [8] Bacon, D (2007), How a Clebsch-Gordan Transform Helps to Solve the Heisenberg Hidden Subgroup Problem, arXiv:quant-ph/0612107v2 [9] Bacon, D (2008), Simon’s Algorithm, Clebsch-Gordan Sieves, and Hidden Symmetries of Multiple Squares, arXiv: quant-ph/0808.0174v1 [10] Bacon, D and Flammia, S T (2010), Adiabatic Cluster State Quantum Computing, arXiv: quant-ph/0912.2098v2 [11] Bacon, D et al (2005), From optimal measurement to efficient quantum algorithms for the hidden subgroup problem over semidirect product groups, arXiv:quant-ph/0504083v2 133 [12] Ballard, D H (1981), "Generalizating the Hough Transform to Detect Arbitrary Shapes", Pattern Recognition, 13(2), pp.111-122 [13] Barenco, A et al (1995), Elementary gates for quantum computation, arXiv:quant-ph/9503016v1 [14] Batty, M et al (2003), Quantum Algorithms In Group Theory, arXiv:quant-ph/0310133v2 [15] Beach, G et al (2003), "Quantum Image Processing (QuIP)", Proceedings of the 32nd Applied Imagery Pattern Recognition Workshop (IEEE AIPR’03), pp 39-44 [16] Bernstein, E and Vazirani, U (1997), "Quantum complexity theory", SIAM J on Computing, Vol 26 No 5, pp 1411-1473 [17] Boyer, M et al (1996), "Tight bounds on quantum searching", Proc of the Workshop on Physics and Computation (PhysComp96), pp 36-43 [18] Brassard, G et al (1998), Quantum Counting, arXiv:quant-ph/9805082v1 [19] Brassard, G et al (2000), Quantum Amplitude Amplification and Estimation, arXiv:quant-ph/0005055v1 [20] Bullock, S S (2003), Quantum Computations and Unitary Matrix Decompositions, MCSD Seminar Series, Yearly Report, National Institute of Standards and Technology [21] Bullock, S S et al (2008), Note on the Khaneja Glaser Decomposition, arXiv:quant-ph/0403141v2 [22] Bullock, S S and Brennen, G K (2004), Canonical Decompositions of nqubit Quantum Computations and Concurrence, arXiv:quant- ph/0309104v3 [23] Bullock, S S et al (2004), Time Reversal and n-qubit Canonical Decompositions, arXiv:quant-ph/0402051v2 [24] Carter, R et al (1995), Lectures on Lie Groups and Lie Algebras, Cambridge University Press, London 134 [25] Cerf, N, J et al (1998), Nested quantum search and NP-complete problems, arXiv:quant-ph/9806078v1 [26] Chang, W Y (2004), Image Processing with Wreath Products, PhD Thesis, Harvey Mudd College [27] Childs, A M (2009), On the relationship between continuous and discrete-time quantum walk, arXiv: quant-ph/0810.0312v3 [28] Childs, A M et al (2007), Every NAND formula of size N can be evaluated in time N^{1/2+o(1)} on a quantum computer, arXiv:quantph/0703015v3 [29] Childs, A M et al (2009), "Discrete-Query Quantum Algorithm for NAND Trees", Theory of Computing,Vol.5 (2009), pp 119–123 [30] Choi, Y H et al (2007), "A Line Feature Based SLAM with Low Grade Range Sensors Using Geometric Constraints and Active Exploration for Mobile Robot", Journal of Robotics, Vol 2011, 12 pages [31] Cleve, R et al (2007), Quantum Algorithms for evaluating MIN-MAX Trees, arXiv: quant-ph/0710.5794v1 [32] Cornwell, J F (2006), Group Theorem in Physics: An Introduction, Elsevire (Singapore) Pte Ltd, Beijing [33] Dagli, M (2008), Lie algebra decompositions with applications to quantum dynamics, PhD Thesis, Iowa State University, Ames, Iowa [34] Deutsch, D (1985), "Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer", Proceedings of the Royal Society of London A 400, pp 97-117 [35] Deutsch, D (1989), "Quantum computational networks", Proc R Soc Lond A, Vol.425 No.1868, pp 73-90 [36] Deutsch, D and Jozsa, R (1992), "Rapid Solution of Problems by Quantum Computation Rapid Solution of Problems by Quantum Computation", Proc R Soc Lond A, 439: 553-558 135 [37] Dorn, S (2007), Quantum Complexity of Graph and Algebraic Problems, PhD Thesis, University of Ulm [38] Drury, B and Love, P (2008), Constructive Quantum Shannon Decomposition from Cartan Involutions, arXiv: quant-ph/0806.4015v1 [39] Earp, H N and Pachos, J K (2005), A constructive algorithm for the Cartan decomposition of SU(2N), arXiv:quant-ph/0505128v2 [40] Ekert, A et al (2000), Basis concepts in quantum computation, Centre for Quantum Computation, University of Oxford [41] Ettinger, M and Hoyer, P (1998), On Quantum Algorithms for Noncommutative Hidden Subgroups, arXiv:quant-ph/9807029v1 [42] Farhi, E et al (2002), Quantum Adiabatic Evolution Algorithms with Different Paths, arXiv:quant-ph/0208135v1 [43] Feynman, R P (1982), "Simulating Physics with Computers", International Journal of Theoretical Physics, Vol 21 No 6/7, pp 467488 [44] Fijany, A and Williams, C P (1998), Quantum Wavelet Transforms: Fast Algorithms and Complete Circuits, arXiv:quant-ph/9809004v1 [45] Florio, G and Picca, D (2004), Quantum implementation of elementary arithmetic operations, arXiv:quant-ph/0403048 [46] Furrow, B (2006), A Panoply of Quantum Algorithms, arXiv:quantph/0606127v1 [47] Ginkel, M et al (2004), A short introduction to the Radon and Hough transforms and how they relate to each other, Number QI-2004-01, in the Quantitative Imaging Group Technical Report Series [48] Grigni, M et al (2000), "Quantum mechanical algorithms for the NHSP", In Proceedings of STOC'2001, pp.68-74 [49] Grover, L K (1996), A fast quantum mechanical algorithm for database search, arxiv/quant-ph/9605043v3 136 [50] Hallgren, S et al (2005), Limitations of Quantum Coset States for Graph Isomorphism, arXiv:quant-ph/0511148v1 [51] Heinrich, S (2001), Quantum Summation with an Application to Integration, arXiv:quant-ph/0105116v1 [52] Hirvensalo, M (2001), Quantum Computing, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Berlin [53] Hogg, T (1995), Quantum Computing and Phase Transitions in Combinatorial Search, arXiv:quant-ph/9508012 [54] Hogg, T (1996), A Framework for Quantum Search Heuristics, arXiv:quant-ph/9611004v1 [55] Hogg, T (1999), "Solving Highly Constrained Search Problems with Quantum Computers", Journal of Artificial Intelligence Research, 10 (1999), pp 39-66 [56] Hogg, T (2000), "Quantum search heuristics", Physical Review A, Vol 61:052311 [57] Hogg, T (2008), Local Search Methods for Quantum Computers, arXiv:quant-ph/9802043v1 [58] Hogg, T and Portnov, D (2008), Quantum Optimization, arXiv:quantph/0006090v1 [59] Hogg, T et al (2008), Tools for Quantum Algorithms, arXiv:quantph/9811073v2 [60] Hogg, T et al (2008), Quantum Auctions, arXiv: quant-ph/0704.0800v1 [61] Høyer, P (1997), Efficient Quantum Transforms, arXiv:quant- ph/9702028v1 [62] Illingworth, J and Kittler, J (1988), "A Survey of Efficient Hough Transform Methods", Computer Vision, Graphics, and Image, Vol 44 No 2, pp 87-116 137 [63] Ivanyos, G et al (2008), "An efficient quantum algorithm for the hidden subgroup problem in nil-2 groups", Algorithmica, Vol 62 No 1-2, pp 480-498 [64] Jordan, S P (2008), Quantum Computation Beyond the Circuit Model, PhD Thesis, arXiv:quant-ph\0809.2307v1 [65] Jordan, S P (2009), Fast quantum algorithms for approximating some irreducible representations of groups, arXiv: quant-ph/0811.0562v2 [66] Jozsa, R (2000), Quantum factoring, discrete logarithms and the hidden subgroup problem, arXiv:quant-ph/0012084v1 [67] Kaye, P et al (2007), An Introduction to Quantum Computing, Oxford University Press, New York [68] Kempe, J (2009), Quantum Algorithms, Lecture Notes, Tel Aviv University, Israel [69] Khaneja, N and Glaser, S J (2001), "Cartan Decomposition of SU(2n) and Control of Spin Systems", Chemical Physics, Elsevier, Vol 267, No 1–3, pp 11–23 [70] Khaneja, N and Glaser, S J (2008), Cartan Decomposition of SU(2n), Constructive Controllability of Spin Systems and Universal Quantum Computing, arXiv:quant-ph/0010100v1 [71] Khoshelham, K (2007), "Extending Generalized Hough Transform to Detect 3D Objects in Laser Range Data", Proceedings of the ISPRS Workshop on Laser Scanning 2007 and SilviLaser 2007, Vol XXXVI3/W52, pp 206-210 [72] Kitaev, A Yu (2008), Quantum measurements and the Abelian Stabilizer Problem, arXiv:quant-ph/9511026v1 [73] Klappenecker, A and Rotteler, M (2001), Discrete Cosine Transforms on Quantum Computers, arXiv:quant-ph/0111038v1 138 [74] Klappenecker, A and Rotteler, M (2008), On the Irresistible Efficiency of Signal Processing Methods in Quantum Computing, arXiv:quantph/0111039v1 [75] Krovi, H and Rotteler, M (2008), An Efficient Quantum Algorithm for the Hidden Subgroup Problem over Weyl-Heisenberg Groups, arXiv: quantph/0810.3695v1 [76] Kuperberg, G (2004), A subexponential-time quantum algorithm for the dihedral hidden subgroup problem, arXiv:quant-ph/0302112 v2 [77] Kwas, M (2005), Quantum algorithms and complexity for certain continuous and related discrete problems, PhD Thesis, Columbia University, Columbia [78] Lavor, C et al (2004), Shor’s Algorithm for Factoring Large Integers, arXiv:quant-ph/0303175v1 [79] Li, Z et al (2008), "Knowledge-based Power Line Detection for UAV Surveillance and Inspection Systems", 23rd International Conference on Image and Vision Computing New Zealand (IVCNZ 2008), pp 1-6 [80] Lomonaco, S J and Kauffman, L H (2006), Is Grover's Algorithm a Quantum Hidden Subgroup Algorithm ?, arXiv:quant-ph/0603140v1 [81] Maji, S and Malik, J (2009), "Object Detection using a Max-Margin Hough Transform", In Proceedings of CVPR'2009, pp.1038-1045 [82] Mateus, P and Omar, Y (2003), A Quantum Algorithm for Closest Pattern Matching, IOS Press, 2003 [83] Mateus, P and Omar, Y (2005), Quantum Pattern Matching, arXiv:quant-ph/0508237v1 [84] Mermin, N D (2007), Quantum Computer Science: An Introduction, Cambridge University Press, New York [85] Moore, C et al (2008), Generic Quantum Fourier Transforms, arXiv:quant-ph/0304064v1 139 [86] Nakajima, Yu Et al (2005), "A new algorithm for producing quantum circuits using KAK decompositions", Quantum Information and Computation, Rinton Press, Vol No 1, pp 067–080, arXiv:quantph/0509196v4 [87] Ohya, M and Volovich, I V (1999), Quantum Computing, NP-complete Problems and Chaotic Dynamics, arXiv:quant-ph/9912100 v1 [88] Pfister, O (2003), Group representation theory and quantum physics, Lecture notes of Algebra Seminar of the Department of Mathematics, University of Virginia, April 23, 2003 [89] Pittenger, A O (2000), An Introduction to Quantum Computing Algorithms, Birkhauser, Boston [90] Pound, A et al (2009), Independent Component Analysis Using the Hough Transformation, Utah State University, Logan, Utah [91] Puschel, M and Rotteler, M (1998), Fast Quantum Fourier Transforms for a Class of Non-abelian Groups, arXiv:quant-ph/9807064v1 [92] Radhakrishnan, J et al (2005), On the Power of Random Bases in Fourier Sampling: Hidden Subgroup Problem in the Heisenberg Group, arXiv:quant-ph/0503114v1 [93] Ramesh, H and Vinay, V (2000), String Matching in O  n m  Quantum Time, arXiv:quant-ph/0011049v1 [94] Rezakhani, A T et al (2009), Quantum Adiabatic Brachistochrone, arXiv: quant-ph/0905.2376v1 [95] Rotteler, M (2009), Quantum algorithms to solve the hidden shift problem for quadratics and for functions of large Gowers norm, arXiv: quantph/0911.4724v1 [96] Rotteler, M and Beth, T (1998), Polynomial-Time Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of non-abelian Groups, arXiv:quantph/9812070v1 140 [97] Shor, P W (1996), Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer, arXiv:quantph/9508027v2 [98] Shor, P W (2005), "Progress in quantum algorithms", Quantum Information Processing, Vol.3, pp.5-13 [99] Smith, J and Mosca, M (2010), Algorithms for Quantum Computers, arXiv: quant-ph/1001.0767v2 [100] Sousa, P B and Ramos, R V (2006), Universal Quantum Circuit for nQubit Quantum Gate: A Programmable Quantum Gate, arXiv:quantph/0602174 [101] Steane, A (1997), Quantum computing, arXiv:quant-ph/9708022v2 [102] Su, Z Y (2006), A Scheme of Cartan Decomposition for su(N), arXiv:quant-ph/0603190v1 [103] Takahashi, Ya Et al (2009), Quantum Addition Circuits and Unbounded Fan-Out, arXiv: quant-ph/0910.2530v1 [104] Tapp, K (2005), Matrix Groups for Undergraduates, AMS, United States [105] Tapp, K (2009), Roots of a Compact Lie Group, arXiv:0908.4117v1 [106] Tucci, R R (2008), An Introduction to Cartan’s KAK Decomposition for QC Programmers, arXiv:quant-ph/0507171v1 [107] Tucci, R R (2008), A Rudimentary Quantum Compiler (2cnd Ed.), arXiv:quant-ph/9902062v1 [108] Vatan, F and Williams, C P (2004), Realization of a General ThreeQubit Quantum Gate, arXiv:quant-ph/0401178v2 [109] Vatan, F and Williams, C P (2008), Optimal Quantum Circuits for General Two-Qubit Gates, arXiv:quant-ph/0308006v3 [110] Vidal, G and Dawson, C M (2008), A universal quantum circuit for twoqubit transformations with three CNOT gates, arXiv:quant-ph/0307177v2 [111] Vlasov, A Yu (2000), Clifford algebras and universal sets of quantum gates, arXiv:quant-ph/0010071v2 141 [112] Vlasov, A Yu (2001), Clifford algebras, noncommutative tori anduniversal quantum computers, arXiv: quant-ph/0109010 [113] Watrous, J (2001), Quantum algorithms for solvable groups, arXiv:quantph/0011023v2 [114] Williams, C P (2011), Explorations in Quantum Computing, SpringerVerlag London Ltd, London 142 CHỈ MỤC Cơ sở chuẩn 76 Cơ sở Hadamard 77 Cổng lượng tử chuyển pha 14 CNOT 14 Deutsch – Toffoli 23 điều khiển 23 Hadamard 14 Pauli 14 SWAP 14 Toffoli 14 XOR 14 Độ phức tạp sở B 86 sở W 85 hộp đen so sánh 94 hộp đen tịnh tiến 88 thuật toán tìm mẫu 66 tính toán 19 truy vấn 20 Hệ nghiệm 28 Họ tổ hợp tuyến tính ngắn 78 Hộp đen biểu diễn 73 lượng giá hàm 15, 67 nhóm 54 nhóm hoán vị 94 so sánh 53 tịnh tiến 53 Ma trận Cartan 30, 32 Nghiệm đối ngẫu 29 Nhóm tích bện 26, 52 Nhóm Weyl 33 Phân rã Cartan 102 Cartan chuẩn 106 không gian nghiệm .28, 106 Phép biến đổi điều khiển .15 Fourier 15 Hadamard .15 lượng giá hàm 15 tách pha 15 Phép biến đổi Hough đường thẳng 34, 42 đường tròn 34, 43 tổng quát .35, 43 tổng quát hóa 44 Qubit 10 tập mẫu .38 Thanh ghi 11 Thuật toán Deutsch – Jozsa 20 Grover 21 tìm chu kỳ 22 xấp xỉ pha .22 Trạng thái chồng chất 11 .11 tính toán .11 [...]... dùng trong các thuật toán lượng tử) Bài toán tìm mẫu dùng hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán Có nhiều thuật toán lượng tử giải bài toán thực tế dùng trực tiếp các hộp đen gốc, biểu diễn dữ liệu gốc của bài toán Cách xây dựng thuật toán phần lớn mang tính trực giác có được từ cách giải cổ điển [82], [83] Phân rã phép biến đổi unita Thuật toán lượng tử được xây dựng bởi các cổng lượng tử Như vậy một... niệm cơ bản của tính toán lượng tử và tổng quan về thuật toán lượng tử 1 Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử Các khái niệm cơ bản của tính toán lượng tử bao gồm: thanh ghi lượng tử, đo lượng tử, cổng lượng tử Chúng tôi cũng giới thiệu một số phép biến đổi unita quan trọng thường được dùng trong xây dựng các thuật toán lượng tử Về thanh ghi lượng tử, đo lượng tử và cổng lượng tử có thể xem [6],... đó là thuật toán phân tích số nguyên của Shor [ ] và thuật toán tìm kiếm của Grover [4 ]; trong đó, thuật toán Shor tăng tốc mũ còn thuật toán Grover tăng tốc bậc hai so với các thuật toán cổ điển tốt nhất được biết Bài toán tìm kiếm Một lớp lớn các bài toán trong khoa học máy tính có thể được quy về bài toán tìm kiếm: Tìm phần tử x ∈ D ⊂ X thỏa điều kiện P ” Trong lĩnh vực tính toán lượng tử, dĩ... án bao gồm: 1 Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic Mẫu chịu tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán Hàm f được sử dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán Thuật toán cho phép dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước 2 Kỹ thuật phân tích... một không gian con nào đó bị thay đổi Để xây dựng thành công một thuật toán lượng tử, lập trình viên lúc này cần có kiến thức về toán học và vật lý học hiện đại Như vậy thuật toán lượng tử chỉ ưu việt hơn thuật toán cổ điển khi nó được hiện thực trên một máy tính lượng tử thật sự 2.1 Thuật toán lượng tử mức tổng quát Trong tính toán lượng tử bài toán chính là tìm một phép biến đổi unita đưa hệ từ trạng... thuật toán Deutsch – Jozsa vào năm 1992 [36] Các thuật toán lượng tử khi được đưa ra đều phải hiệu quả hơn thuật toán cổ điển khi cùng giải quyết một 3 bài toán Cho đến hiện nay, chúng ta đang có nhiều bài toán NP khó [87] và việc tìm ra một thuật toán giải quyết một bài toán như vậy thật sự có ý nghĩa Tiếp sau thuật toán của Deutsch, vào các năm 1 4 và 1 , lần lượt xuất hiện hai thuật toán lượng tử. .. dĩ nhiên thuật toán nổi tiếng của Grover là tìm kiếm, nhưng ngay cả một thuật toán nổi tiếng khác, thuật toán phân tích số nguyên của Shor, cũng là tìm kiếm; một cách tổng quát, thuật toán Shor đi tìm các phần tử sinh của một nhóm con chưa biết Bài toán tìm các phần tử sinh của một nhóm con chưa biết như vậy được gọi là bài toán tìm nhóm con ẩn (Hidden Subgroup Problem – HSP) Trong lúc bài toán HSP... cần giải quyết Heuristic Thuật toán Grover giúp giải bài toán tìm kiếm tổng quát Hạn chế chủ yếu của nó nằm ở khả năng tăng tốc chỉ ở mức bậc hai so với cổ điển Như vậy một thuật toán cổ điển nếu được bổ sung thông tin heuristic sẽ vẫn hiệu quả hơn nhiều so với thuật toán Grover Quan tâm đến thuật toán Grover, chúng tôi cho rằng để dùng hiệu quả thuật toán này nên xem xét đến khả năng sử dụng heuristic. .. tin học tìm kiếm các thuật toán lượng tử và xây dựng ngôn ngữ mô phỏng tính toán lượng tử Trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành Ở Việt Nam, có thể xem việc nghiên cứu về tính toán lượng tử được khởi đầu vào năm 2004 với một số bài báo tổng quan trên Tạp chí Ứng dụng Toán học của Đỗ Ngọc... kế thuật toán lượng tử giải bài toán NHSP, xem [8], [9], [75] Gần đây xuất hiện phiên bản lượng tử của phép biến đổi wavelet, xem [44], [61], vốn được dùng rộng rãi trong lĩnh vực xử lý ảnh Các phép biến đổi loại này có thể mang những nét tươi mới trong xây dựng thuật toán lượng tử [114] Chưa có các nghiên cứu về hộp đen một cách có hệ thống Hầu hết các thuật toán lượng tử đều sử dụng hộp đen Trong thuật ... tìm cách chế tạo máy tính lượng tử; nhà toán học xây dựng mô hình tính toán lượng tử; nhà tin học tìm kiếm thuật toán lượng tử xây dựng ngôn ngữ mô tính toán lượng tử Trong lúc chờ đợi nhà vật... thuật toán lượng tử) Bài toán tìm mẫu dùng hộp đen biểu diễn liệu toán Có nhiều thuật toán lượng tử giải toán thực tế dùng trực tiếp hộp đen gốc, biểu diễn liệu gốc toán Cách xây dựng thuật toán. .. thiệu khái niệm tính toán lượng tử tổng quan thuật toán lượng tử Các khái niệm tính toán lượng tử Các khái niệm tính toán lượng tử bao gồm: ghi lượng tử, đo lượng tử, cổng lượng tử Chúng giới thiệu