http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA  -Truy cập http://dethithu.net thường xuyên để cập nhật nhiều Đề Thi Thử, Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán, Lý , Hóa, Anh , Văn , Sinh, Sử, Địa DeThiThu.Net cập nhật ngày phục vụ sĩ tử! De Like Fanpage ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ÔN THI: http://facebook.com/dethithu.net để cập nhật nhiều Đề Thi Thử Tham gia Group: ÔN THI ĐH TOÁN - ANH để học tập, ôn thi http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Th KỸ THUẬT XỬ LÝ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VÔ TỶ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH ĐẠO HÀM MỘT BIẾN LƯỢNG GIÁC HÓA ĐẶT ẨN PHỤ PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Biên soạn: ĐOÀN TRÍ DŨNG et u.N iTh PHẦN I: PHẦN II: PHẦN III: PHẦN IV: PHẦN V: PHẦN VI: PHẦN VII: 1|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU  Phương pháp xét tổng hiệu sử dụng cho phương trình vô tỷ phương trình có hệ phương trình dạng x2  x  x   x  De BÀI 1: A  B  C Điều kiện sử dụng chỗ ta nhận thấy C nhân tử  A  B  Nhận thấy A  B   x  x    x  1  x  có nhân tử C  x  x2  2x  2x   x2  x  x 1 x2  x  x   x2 1  x 1 x 1   x  2x  2x 1  x 1   x2  2x  2x  x    x  2x  2x 1  x 1 Th BÀI 2: x3  x   x   x  x  Nhận thấy A  B   x3  x  1   x    x3  có nhân tử C  x2  x  x  x 1  x 2 x 2     x2   x2   x3  x   x  x3   x 1 x2  x   x3  x   x   x  x    x   x  x    x  1  x   x    x3  x   x   x   iTh  Thử lại nghiệm ta thấy có x  thỏa mãn nên phương trình có nghiệm x  BÀI 3: x  x  x  x 1  x 1     Nhận thấy A  B  x  x  x  x   x  có nhân tử C  x  x 8 xx   x 1 x 1  x 1 x 1 et u.N x  x  x  x 1  x  x  x  x 1  x  x  x  x 1  x 1   x  x 1   x  x   x    x  x  x  x   x    y  3x   y  x   BÀI 4:    y   x   2x 1  y Nhận thấy phương trình đầu có A  B   y  3x  4   y  5x    8x có liên quan đến giá trị y  3x   y  x    y  3x     y  x    8 x  2 x y  3x   y  x  4   y  3x   y  x     y  3x    x  y  3x    x  y  x  x, x    y  3x   y  x   2 x Thay vào phương trình thứ ta 2|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! 5x2  5x   x   x2  x        x  x    x  1  x  x   x  x   *   1  x2  x     1   5x  5x   x  x  x     1  17  17      x2  x    x  ,y 32 5x  5x   x  x  x  De Vì x  Trong phần có chi tiết trục thức bước * giải thích Phần II: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH   Th  y  24 x  x 1  y  0 BÀI 5:  y2 1   5x  y    x  y  Phương trình thứ có A  B   5x  y  5  1  x  y    x  1 có liên quan đến giá trị 5x  y    x  y   x  y  5  1  x  y    x  1  x  5x  y    x  y iTh    5x  y    x  y  x  x    1 x  y   x   4 y   x    20  y   5x  y    x  y    Để ý phương trình có x  x   y   y  24 y2 1  0   x 1    y  5  y  y   y2 1  0y  Vậy hệ có nghiệm x  y  2x  y  2x  y   et u.N   2x  y  2x  y   BÀI 6:  2   x  x  y  y  x  1   Nhận thấy phương trình đầu có A  B   x  y    x  y  4   y   có liên quan đến giá trị  2x  y    2x  y  4   y  2  2x  y  2x  y  4 y2  2x  y  2x  y   y  2  y6   y   2 x  y   x  32    2x  y  2x  y    Mặt khác phương trình thứ biến đổi thành: x3  x  y  y  x  1        x3   x  xy  y  y  y      x3    x  y    y    2 Vì VT  0x  hệ phương trình có nghiệm x  1, y  3|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!   y  2x 1  1 y  y  BÀI 7:    x x  y ( x  1)  x  y Nhận thấy phương trình đầu có A  B   y  x  1  1  y   y  x  không liên quan đến C  y  Còn phương trình thứ có A  B  y( x  1)   x  y   x  y  x  rút gọn với C  x x  y ( x  1)  x  y De y ( x  1)  x  y   y ( x  1)  x  y  x  y  x x x  yx x  y ( x  1)  x  y  x x yx x2  x  y    y ( x  1)   x x  yx x x  y ( x  1)  x  y  x        x   y x2  x  x2  x  y  y x2  x    x y   x   x y   y  x2  x Th Thay vào phương trình thứ ta được: x2  x    x2  x   x  x  Đến tình ta dung kỹ thuật nhẩm nghiệm nhận phương trình có nghiệm x  (Hoặc sử dụng máy tính SHIFT SOLVE) Khi x  Cauchy để đánh giá: x  x  = 1,  x  x  = Do ta sử dụng bất đẳng thức  x  x 1  x 2 iTh   x2  x 1 x2  x 2  x  x 1  1 x  x   2  2 1  x  x    x  x    x  x    x  x   2 x  x 1   x     x2  x  2  x2  x    x2  x   x  Vì x   x    x  1  x   x  x   x  x    x  x   x  x  2 et u.N Vậy đẳng thức xảy x  1, y  BÀI 8: x2  16  x  3x   x   Bài toán nghiệm đẹp  x  3, x   để giải nghiệm cách trục thức đơn gần không nhiều điểm Để giải triệt để ta sử dụng kỹ thuật xét tổng hiệu: x  16  x  x   x     x    16  x  3x   x  16  x  3x  3x  12 x 2 x  16  x  x  2  x 1 1 x 1 1 x x 1 1 Như nghiệm x  Nếu x  x  16  x  3x   3  x     x 1 1 Do ta có hệ: 4|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!  x  16  x  3x   3  x      x  16  x  x   x    x  16  x 3 2 x    2 De  x  16   13  x  x  16    x  13  x2   x  16   2 x 1 1        x  16  13  x  x   11  x  x    27  x  x     x  3   3x  13 x  3  x 1   x  3    x  3  x  13   x  3    9  x 1    x  16  Vì x  1  x   Ta xét Th 3x  13 3x   x  9   0x  1 x 1  x 1  Vậy phương trình có nghiệm x   x  BÀI 5: x2    x  x  et u.N iTh BÀI TẬP ÁP DỤNG:  x  y  y  x  BÀI 1:  1  x 1  y    x  y  x  y  y BÀI 2:   x  y    x 12  y  y 12  x  12 BÀI 3:    x  8x 1  y   x  y2  x  y2   y 1  BÀI 4:    x  1   x  1 x   y  5|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN II: DỰ ĐOÁN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VÔ TỶ  Phương pháp tận dụng nghiệm vô tỷ mà máy tính dò để đoán trước nhân tử phương trình, hệ phương trình Để sử dụng kỹ thuật này, cần phải nắm tốt quy tắc dò nghiệm SHIFT SOLVE 5x2  5x   x   x2  x   Điều kiện: x  Sử dụng máy tính SHIFT SOLVE với x  ta x  1,390388203 BÀI 1: De  x  x   2,390388203  x  Khi thay vào giá trị thức:  Do  x   2, 780776406  x 5x  x  cần phải tạo 5x  5x    x  1  x  cần phải tạo thành nhóm biểu thức x  x  thành nhóm biểu thức Th 5x2  5x   2,390388203  5x2  5x   x  Như ta thấy 5x2  5x   x   x2  x   Viết lại phương trình ban đầu ta được:      x  x    x  1  x  x   x  x   *   1  x2  x     1   5x  5x   x  x  x     iTh Vì x  1  17  17      x2  x    x  ,y 32 5x  5x   x  x  x  BÀI 2: x  x  x   3x    3x  1 Điều kiện: x  x   Sử dụng SHIFT với x  ta x  4, 236067977 x  x  trừ et u.N  x  2x    Thay vào thức toán:  Như x   5, 236067977      3x  1 trừ  x  1 Viết lại phương trình: x  3x   x  x    3x  1  x  2x  1    x  2x  1  x  1  2x  x  2x  1     x  x    x  1 x    x  1 x2  4x 1 x    x  1 x2  2x    2x  2  x  2x  1 x 1  2x       x  x    x    3x  1  x  x    x2  4x 1    x2  4x 1  x2  4x 1 x    x  1    x2  4x 1  6|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!    x  4x 1           1  x    3x  1  x  2x   x 1  2x        De  x  2x  1 x 1  2x    Vì x  x   nên x  x   2.0   x      x    3x  1   Vậy x2  x   0, x   x   BÀI 3: x3  x2  x   x2 x   x  13 SHIFT SOLVE với x  ta x  0,828427124 Thay vào giá trị thức:  Th 2 x   4,828427125  x   Do ta viết lại phương trình ban đầu:  x  13  3,828427125  x       x x   x   x   x  13    x x  x  16   x   x42 x5  x  x   x  13 0 x   x  13   x2  x  4x    0  x   x  x   x  13    iTh Đến ta chứng minh x   x  x   x  13 dương Để đánh giá điều ta phải xuất phát từ phương trình ban đầu đánh giá điều kiện căn: x3  x2  x   Tuy nhiên phương trình bậc nghiệm xấu, chương trình THPT không nên sử dụng phương pháp Cardano để giải bất phương trình mà ta thêm bớt vài hạng tử nhỏ để bất phương trình dễ giải hơn:   x3  x  x    x3  x  x     x   x    x  4  x2  x    x  2  2  x    et u.N  x   x   Do đó:  Vậy ta có x   x  13       13      BÀI 4: 3x  x3  x  Phương trình giải phương pháp đạo hàm đẹp nhiều thử phá vế sử dụng kỹ thuật hệ số bất định thông qua SHIFT SOLVE để thấy toán có cách giải phổ thông Lập phương hai vế ta được: 27 x6  x3  x  Sử dụng SHIFT SOLVE liên tục với giá trị khác ta thu có nghiệm là: x1  0, 434258545 (Sử dụng tiếp SHIFT RCL A để gán vào biến A) x2  0,767591879 (Sử dụng tiếp  x  x  A  B   SHIFT RCL B để gán vào biến B) Khi ta sử dụng định lý Viet đảo:  Như ta  x x  AB    1 nhận nhân tử có x  x   hay 3x2  x   Thực phép chia đa thức ta thu được: 3 7|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!      27 x6  x3  x   3x2  x  x4  3x3  x  x   Vì x4  3x3  x2  x   x4  3x  x  x  1   x  x  1   nên 3x  x    x   13 BÀI 5: 15x2  x  x  x   SHIFT SOLVE ta x  0,767591879  x2  x   1,535183758  x Nhân tử  De  x2  x   2x 15 x  x  x  x     2 x  x  x   15 x  x      3x  x     3x  x    3x  x    5  2x  x2  x   2x  x  x 1  Xét  2x  x  x        10 x  x  x    (Phương trình bậc 2) Th Kết hợp 3x2  x   15x2  x   ta x   13 BÀI 6: x3  x   x  1 x   SHIFL SOLVE ta x  1,618033989  x   1,618033989  x Do có nhân tử x  x       x    x2  x  x   x2  x 1  x   Xét   x2  x 1 x  x 1  iTh x3  x   x   x2   x  x 1   x  x 1   1   x  x 1     x2  1    x  x   x   (Vô nghiệm) Vậy x  x    x  x  x 1 x3  x   1  x3  x     x  1 x  x   x  x   0x  x   x  2  BÀI 2: x2  x    x  x BÀI 3: x3  3x2  x   x2 x   x  11 BÀI 4: x  x    x   x  x  BÀI 5: x2  x  x2   x4 x2  BÀI 6: x2  x   x  BÀI 7: x3  x   3x  et u.N BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1: x2  3x    x  1 x   8|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN III: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH  Mục đích phương pháp hệ số bất định tạo thêm bớt giả định cho có nhân tử chung đồng hệ số để tìm giả định Hệ số bất định có chất phân tích nhân tử có tác dụng mạnh toán có nhiều nghiệm De BÀI 1: x4  x2   x4  20 x2   x Điều kiện: x  Ta nhận thấy cần phải khai triển 7x  ax  bx với a, b hai số giả định cho chuyển sang bên trái, nhân liên hợp ta tìm hai nhân tử chung Do ta triển khai triển giả định: x  x   ax  x  20 x   bx   4   x4  a2  x2  x  x   ax    x  20  b2 x  x  20 x   bx  0  Th 1  a   Mục đích ta hai tử số có nhân tử chung ta có 1  20  b   a  2, b  a  b   Như ta khai triển lại toán sau:  x4  5x2  x4  x2   x  x4  x2   x  x4  20 x2   5x    1   x4  5x2    0 4 x  20 x   x x  x   x x  20 x   x   x4  5x2    iTh Vì x  nên phương trình có nghiệm x   x  BÀI 2: x  x    x  1 x  x  Điều kiện:  x  x  1  x  1  Do phương trình tương đương với x2  x   x  x  nên ta 2x 1 x2  x    ax  b   x  x    ax  b  có vế trái 2x 1 sau quy đồng vế phải sau trục thức có nhân tử giống tìm nhóm  ax  b  giả định cho phương trình x2  x    ax  b   x  x    ax  b  2x 1 et u.N Vì ta khai triển giả định sau: 2  2a  x    a  2b  x  1  b  1  a  x    2ab  x    b     2x 1 x  x   ax  b Do ta cần tử số có nhân tử giống nên ta có Khi ta khai triển lại toán sau: x2  6x  x2  2x 1   x2  x     2x 1 2x 1  2a  a  2b  b    a  0, b   a2  2ab  b2   x  2x 1   x2  x     x  2x   2x 1 x2  2x 1 9|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!   BÀI 3: x  x  1  x   x  1 x x  x   x3  x  x  Điều kiện: x  Viết lai toán dạng:  x3  x  x nên ta tìm nhóm x 1 2x  2x  x    ax  b   x3  x  x   ax  b * có vế trái  ax  b  giả định cho phương trình x 1 sau quy đồng vế phải sau trục thức có nhân tử giống Ta khai triển giả định sau: De x3   a   x   a   b  x  b  *  x 1    x3  a  x    2ab  x  b 2 x3  x  x   ax  b  Do ta cần tử số có nhân tử giống nên ta có: a  a 1 b b      a  1, b  2 a   2ab b2 Th x3  x  x  Khi khai triển lại toán với a  1, b  ta được:   x    x3  x  x   x   x 1  x  3x   x3  3x  x3  3x     x 1 x3  x  x  x   x3  x  x   VN  BÀI 4: x2  x   21x  17  x2  x  SHIFT SOLVE  x  1 x  Để làm xuất nhân tử này, ta cần khai triển giả định toán thành: Xét iTh  x  x    mx  n    px  q   21x  17   x  x   m  p  x   n  q       x   m  n  2 x  x    mx  n  ta có:   m  n 1  x   2m  n  x   p  q  p  Xét  px  q   21x  17 ta có:    x   p  q  q  1 et u.N Vậy ta khai triển lại toán sau:  x  x    x  1   3x  1  21x  17   x  3x     x 1    17   x  3x     1  Vì x   3.17 21 3x   1   x  x   x  3x   21x  17  21    Do phương trình có nghiệm x   x  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1: x  x     5x  1 x3   x   BÀI 2: x   x  x   x3  3x  x  BÀI 3: x2  3x   x   x  x   BÀI 4: x   3x   x BÀI 5: x3  5x  x   1  x  x  x  10 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN IV: ĐẠO HÀM MỘT BIẾN  Kỹ thuật 1: Coi x ẩn, y tham số, tính đạo hàm f x'  x, y  chứng minh hàm số đơn điệu liên  tục theo x Kỹ thuật 2: Phương trình f  x   có tối đa nghiệm f  x  đơn điệu liên tục theo x  Kỹ thuật 3: f  x   f  y   x  y f  x  đơn điệu liên tục theo x De   x  y2  x  y2   y 1  BÀI 1:    x  1   x  1 x   y  Th y   x  Nếu x  2 y phương trình đầu trở thành  y  y    Thay cặp nghiệm  y  1  x  2 vào phương trình ta thấy không thỏa mãn Nếu x   y  phương trình đầu trở thành y   y   y  1  x  2 Thay cặp nghiệm vào phương trình ta thấy không thỏa mãn Vậy x  2 y , x   y  Khi ta xét hàm số: f  x  x  y2  x  y2   y 1  f '  x   x  y2  x  y2   Do hàm số đơn điệu liên x  iTh tục với x thuộc tập xác định Mà f   y    x   y Thay vào phương trình ta được:    x  1 x   y      x  x  1   x  1 x    x   x x   x   x   x2   x  x2     x2   x    x2   x   x2     x2   x2 1 x    0x  x   2 x   x y 3 x  2 et u.N Do  CHÚ Ý: Để tìm nhân tử x   y ta làm sau: Đặt y  100  x  20000  x  10001  101  x  10000   y BÀI 2: x    x   x     x2  Điều kiện: x > Ta viết lại phương trình thành:  x 1 x3 1     x2  2 x x Xét hàm f  t   t  t   f '  t   x 1  t  t 1 t 1 x   x    x2  x 2  x 1  1        x x   t t t 1  f  t  liên tục đồng biến 11 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!  x 1  1 Do f   f       x   x 1   x 1 x  2 y  y  x  x   x BÀI 3:    y 1  y   x Xét hàm số f  y   y3  y  x  x   x với y ẩn, x tham số Ta có hàm f  y  liên tục De có f '  y   y   nên f  y  hàm đồng biến Mặt khác ta có f    x  1  x   x   x  x  x   x  phương trình có nghiệm y   x Thay vào phương trình ta được:  2x  1 x   x  x   2x 1  x  2 x    2x  1 x   2x  1 x  Th Để tìm nhân tử y   x , ta xử lý sau: Đặt x  99 198 99 99 99  y3  y  1  1   y   1  1 x 100 100 100 100 10 100     iTh  x  y  y  x  xy  BÀI 4:  2 2  x y 1 y  1 x  x y  x  x   x2  x  x   Từ phương trình ta có x   x  x y   y Do   y  Mà x y  1   y    dấu nên ta suy x  0, y  Khi phương trình viết lại thành: Xét hàm số f  t   t  t  t , t   0;    f '  t    t2 1  x x 1  y  y 1 y2 x   t  Do f  t  hàm số liên tục 1 t 1 đồng biến  0;   Vì ta có f    f  y    y Thay vào phương trình đầu ta x  x  x et u.N 2  x  x  2x   y  y  BÀI 5:  2   x  y  3x  y   Để ý thấy phương trình thứ phần khuyết phương trình đầu Nếu ta kết hợp hai phương trình xây dựng hàm đặc trưng Vì ta biến đổi phương trình trở thành x2  3x   y  y cộng vào vế phương trình đầu ta được: x  x   x  x   y  y    x  1   x  1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  t  4, t   0;    f '  t     y  x 1  x  1  y    y  1 x   y2  y2   Do f t4  x 1   f  y  2 12 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN V: LƯỢNG GIÁC HÓA  BÀI 1:  x  x2   x  x t t t   x  cos t  t  0;    sin  2cos t   2cos t sin t  sin  cos 2t  sin 2t  sin  sin  2t   2 4  De BÀI 2: x3  12 x2  x   x  x Phương trình   x  1   x  1    x  1 Đặt x   cos t  t  0;    4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  sin t   BÀI 3:  x 16 x  12 x   x3  3x  t  1   cos   Th x  cos t  t   0;    sin t 16 cos t  12 cos t   cos3 t  3cos t  sin t  cos  2  t   1  cos 3t   sin t  cos 2t   cos 2t  1  cos 3t  sin t  cos 4t  cos 2t  1  cos 3t  sin t  cos 3t cos t  1  cos 3t  sin 5t  sin t  sin t  cos 3t BÀI 4:  iTh  cos 3t sin 2t  sin t  cos 3t  x2  x2  x 1   2x x  x2        x  tan t , t    ;  \ 0;  ;  4  2         et u.N x  x2 2x  x 1  ,  sin 2t ,  sin 2t cos 2t 2 cos t x  x 1 x2  x2  1 x 1      2x cos t sin 2t sin 4t 2x 1 x    cos 2t  2sin t  1 2sin t  2    sin 2t sin 4t sin 4t sin 4t    cos 2t  2sin t  1    2sin t  2sin t  1   sin t  13 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN VI: ĐẶT ẨN PHỤ    Kỹ thuật 1: Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử De   x  y  1 x  y  x y   BÀI 1:   x   x  y  y 2a  b  b2  Đặt a  x  y  0, b  y    x  Thay vào hệ phương trình ta được: ,y 2     2 2   a  2b  a  b  2a  b   a  b   x  2, y   2 a  a   b   Th   y  1 x  y   x  y  1 y  x  BÀI 2:  2  x y   y x   Đặt a  x  y  0, b  y   x  a  b2 , y  b2 Vì phương trình lớn nên ta tập trung vào phương trình đầu để phân tích nhân tử:  b2  1 a   a  1 b  a  b2    a  1 b  1 a  b    (1) Đến ta sử dụng phương pháp Tuy nhiên để ý kỹ phương trình xử     iTh lý cách độc lập: x y    y x   x y   16 x y   64  y x     x  16 x y   y    x  y      x  y  (2)   a  1, x  y   x  , y  Kết hợp (1) (2)   b  1, x  y   x  3, y  et u.N  x  y  y 1  x  y  BÀI 3:    y   xy  y Đặt a  x  y  0, b  y    a  b2  x  y  Thay vào phương trình đầu: a2  b2  a  b  Vì phương trình không phân tích thành nhân tử nên ta phải tìm cách biến đổi phương trình Để ý ta thấy a 2b2   x  y  y  1   x  y   xy  y  có xy  y   y xuất phương trình Do đó: a2b2   x  y    y    x  y   a 2b2  x  y    a 2b2  a  b2  Vậy ta có hệ đối xứng loại 1: a2  b2  a  b  4, a 2b2  a  b2   a  b   x  2, y  BÀI 4:  x  x  x   x Để ý thấy 1  x 1  x    x nên ta đặt ẩn phụ dựa yếu tố Đặt a   x  0, b   x  Khi ta có: 2x  a  b4 Nhân vế phương trình ta được:     2a  a  b4 b  2ab   a  b  2a  b  a  b  a  b2    a  b  x  14 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ    Kỹ thuật 1: Đưa phương trình, hệ phương trình dạng A2  B2  Kỹ thuật 2: Sử dụng Cauchy với có bậc lớn  Kỹ thuật 3: Sử dụng Bunyakovsky: ax  by  De    Kỹ thuật 4: Sử dụng Minkowski: a  b2  x a  b2  x  y    y Dấu bằng:  a  x   b  y  2 a b  x y Dấu bằng: a b  x y a b2  a  b  a b Kỹ thuật 5: Sử dụng Schwartz: Dấu bằng:    x y x y x y Kỹ thuật 6: Sử dụng bất đẳng thức Jensen dành cho hàm lồi, hàm lõm:   ab   f " x    f  a   f b   f      Dấu xảy a  b   f " x    f  a   f b   f  a  b       Th BÀI 1: x3  x2  5x   4 16 x  xuất bậc nên ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán gọn nhẹ Tuy nhiên để Cauchy đẳng thức phải Ta thấy 16 x    x  1 x   nên ta tách: SHIFT SOLVE ta tìm nghiệm x  iTh 16 x   4 4 x      2x  2x  Như ta có x3  x2  5x   x  Do đó:  4 1 2  x3  x  x     x   x  1  Vì x    x     x  1   x  2 BÀI 2: x   x   x  3x  x xuất bậc nên ta nghĩ tới việc sử dụng bất et u.N SHIFL SOLVE ta tìm nghiệm x  x   1, 8x   nên ta sử dụng Cauchy bậc  4x 1    8x  Cauchy bậc ta có: x    x   x,1.1.1 x    8x   x đẳng thức Cauchy Ta thấy với x  Vậy x  3x  5x  x  x  3x  x   x  x  1 x  1   x  BÀI 3:  x   3x3  x   3x3  x  x   x  x  SHIFL SOLVE ta tìm nghiệm x  1 Khi 3x3  x2   3x3  x  x   mà ta thấy có biểu thức lập phương đối căn, bình phương triệt tiêu nên ta nghĩ đến sử dụng Bunyakovsky: 3x3  x   3x3  x  x   1      12  3x3  x   3x3  x  x   15 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!       Do ta có x  x   3x  x  Bình phương vế   x  1 x    x  1 2   y   x  1  x 8 x  1 BÀI 4:   40 x  x  y 14 x  Sử dụng phép y  De 40 x  x vào phương trình đầu sử dụng SHIFT SOLVE ta x  , y  14 x  1 Chú ý x  ,8 x   nên ta có: x 8 x  1  8 x  8x  1  8x  8x  1 8x   x 8 x  1  3 y  14 x  Và 14 x   Do hệ phương trình trở thành:  y  y 14 x   2 Th 8x    y   x  1  1 8x  2 Lấy 1 +2    y   x  1  40 x  x   y  14 x   2 40 x  x  y  14  x       96 x  24 x  1    96  x     x  , y  8  iTh 2  x  2x    y  y  BÀI 5:   6 x  y  11  10  x  x  Sử dụng phép y  x  11  10  x  x vào phương trình đầu SHIFT SOLVE ta x  1; y  3 Khi  y  y   1, 10  x  x  Vì ta điều chỉnh số cho hợp lý áp dụng Cauchy: et u.N  1 y2  y    y2  y 1 x  x    x  x    y  y     Do ta có:   2 2 10  x  x  10  x  x  6 x  y  11   x  x 6 x  y  11      2  2 x  x  y  y   Cộng hai vế hai phương trình ta được:    x  10 x  y  15  3x2  x  y  y  12    x  1   y  3   x  1, y  3 BÀI TẬP ÁP DỤNG:  x  12  y  x  x  1  BÀI 1:  2 3x  x   y x  x   x 12  y  y 12  x  12    BÀI 2:    x  8x   y  16 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net [...]... PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ    Kỹ thuật 1: Đưa phương trình, hệ phương trình về dạng A2  B2  0 Kỹ thuật 2: Sử dụng Cauchy với những bài có căn bậc lớn  Kỹ thuật 3: Sử dụng Bunyakovsky: ax  by  De    Kỹ thuật 4: Sử dụng Minkowski: a  b2 2  x a 2  b2  x 2  y 2  2   y 2 Dấu bằng:  a  x   b  y  2 2 a b  x y Dấu bằng: a b  x y a 2 b2  a  b  a b Kỹ thuật 5: Sử dụng Schwartz: ... DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN VI: ĐẶT 2 ẨN PHỤ    Kỹ thuật 1: Đặt 2 ẩn phụ để đưa về hệ phương trình cơ bản Kỹ thuật 2: Đặt 2 ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử De   x  3 y  1 x  y  2 x 2 y  1  8 BÀI 1:   x  5  2 x  y  9 y 2a 2  b 2  1 b2  1 Đặt a  x  y  0, b  2 y  1  0  x  Thay vào hệ phương trình ta được:... y    y Thay vào phương trình đầu ta được x  1 x  x et u.N 2 2  x  x  2x  5  3 y  y  4 BÀI 5:  2 2   x  y  3x  3 y  1  0 2 Để ý thấy phương trình thứ 2 là một phần khuyết của phương trình đầu Nếu ta kết hợp hai phương trình đó thì có thể xây dựng hàm đặc trưng Vì vậy ta biến đổi phương trình 2 trở thành x2  3x  1  y 2  3 y và cộng vào 2 vế của phương trình đầu ta được: x... 8 Đặt a  x  y  0, b  y  0  x  a 2  b2 , y  b2 Vì phương trình 2 khá lớn nên ta tập trung vào phương trình đầu để phân tích nhân tử:  b2  1 a   a 2  1 b  a 2  b2  2   a  1 b  1 a  b  2   0 (1) Đến đây là ta có thể sử dụng phương pháp thế được rồi Tuy nhiên nếu để ý kỹ thì phương trình 2 có thể xử     iTh lý được một cách độc lập: x y 2  8  8  y x 2  8  x 2 y...http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN IV: ĐẠO HÀM MỘT BIẾN  Kỹ thuật 1: Coi x là ẩn, y là tham số, tính đạo hàm f x'  x, y  và chứng minh hàm số đơn điệu và liên  tục theo x Kỹ thuật 2: Phương trình f  x   0 có tối đa 1 nghiệm nếu f  x  đơn điệu và liên tục theo x  Kỹ thuật 3: f  x   f  y   x  y nếu f ... 1 Thay vào phương trình đầu: a2  b2  a  b  4 Vì phương trình này không phân tích được thành nhân tử nên ta phải tìm cách biến đổi phương trình 2 Để ý ta thấy rằng a 2b2   x  y  2 y  1   x  y  2  xy  y 2  trong đó có xy  y 2  2  y xuất hiện trong phương trình 2 Do đó: a2b2   x  y  2  2  y    x  y  4  a 2b2  x  y  1  3  a 2b2  a 2  b2  3 Vậy ta có hệ đối xứng...  x 2  1  2  x  1 x 2  1  2 y  Th y  0  x  0 Nếu x  2 y 2 thì phương trình đầu trở thành 1  y 2  y  1   Thay các cặp nghiệm trên  y  1  x  2 vào phương trình 2 ta thấy không thỏa mãn Nếu x   y 2  1 thì phương trình đầu trở thành y 2  1  y  1  y  1  x  2 Thay cặp nghiệm trên vào phương trình 2 ta thấy cũng không thỏa mãn Vậy x  2 y 2 , x   y 2  1 Khi đó ta... trên Mặt khác ta có f  và  1  x  2 1  x  1  x  1  x  2 x 1  x  3 1  x  0 do đó phương trình có một nghiệm duy nhất đó là y  1  x Thay vào phương trình 2 ta được: 3  2x  1 x  2  x  x  2 3  2x 1  x  2 x   3  2x  1 x  3  2x  1 x  1 Th Để tìm ra nhân tử y  1  x , ta xử lý như sau: Đặt x  99 198 99 99 1 99  2 y3  y  1  3 1  0  y   1  1 x 100 100 100... cả 2 vế của phương trình ta được:     2a 2  a 4  b4 b  2ab   a  b  2a  b  a  b  a 2  b2   0  a  b  x  0 14 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP... http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY!       Do đó ta có 2 x 2  x  1  2 3x 2  2 x  1 Bình phương 2 vế   x  1 2 x 2  1  0  x  1 2 2 2   y   4 x  1  3 4 x 8 x  1 BÀI 4:  2  40 x  x  y 14 x  1 Sử dụng phép thế y  De 40 x 2  x 1 3 vào phương trình đầu và sử dụng SHIFT SOLVE ta được x  , ... DE THI THU THPT Quoc Gia - Tai Lieu On Thi.Cap nhat moi ngay.Truy cap TAI NGAY! PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ    Kỹ thuật 1: Đưa phương trình, hệ phương trình dạng A2  B2  Kỹ thuật 2: Sử... vào phương trình thứ ta 2|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Like Fanpage de cap nhat nhieu DE THI THU hon: http://facebook.com/dethithu.net http://dethithu.net - DE THI THU THPT Quoc Gia. .. phát từ phương trình ban đầu đánh giá điều kiện căn: x3  x2  x   Tuy nhiên phương trình bậc nghiệm xấu, chương trình THPT không nên sử dụng phương pháp Cardano để giải bất phương trình mà